Решение уравнений с комплексными числами по муавру

Формула Муавра

Содержание:

Задание комплексных чисел в тригонометрической форме удобно при выполнении над числами действий умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.

Найдем произведение двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме; пусть

Выражения, стоящие в круглых скобках, можно упростть с помощью известных формул (115.4), (116.1):

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Доказано правило: для умножения чисел, заданных в тригонометрической форме у их модули надо перемножить, а аргументы сложить.

Это правило остается верным для любого количества сомножителей.

Примеры с решением

Пример 1.

Найти произведение чисел

Решение:

Так как деление—действие, обратное умножению, то легко вывести следующее правило: для выполнения деления двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, следует их модули разделитьу а аргументы вычесть:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2.

Найти частное от деления числа на число

Решение:

Находим по формуле (17.2):

Используем теперь равенство (17,1) для возведения произвольного комплексного числа в натуральную степень Для этого придется модуль этого числа взять множителем раз и аргумент взять слагаемым раз. Это приводит к равенству

Равенство (17.3) называется формулой Муавра. Из нее следует, что для возведения комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень у а аргумент умножить на показатель степени.

Пример 3.

Вычислить

Решение:

В соответствии с формулой Муавра (17.3)

Если число задано в алгебраической форме то для возведения его в степень с помощью формулы Муавра надо предварительно записать его в тригонометрической форме.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Комплексные числа

Алгебра — это наука о решении уравнений. Но в каких числах? Если принимать в рассмотрение только множество натуральных чисел $ \mathbb N_<> $, то уравнение $ 5+x=3 $ решений не имеет. Дополнив множество $ \mathbb N_<> $ нулем и отрицательными числами, мы добиваемся того, что во множестве $ \mathbb Z_<> $ целых чисел любое уравнение $ a+x=b $ получает решение, причем единственное. Но вот уравнение $ 2\cdot x=3 $ решений снова не имеет… Снова дополняем множество $ \mathbb Z_<> $ дробными числами до множества $ \mathbb Q_<> $ рациональных чисел. В этом множестве будет существовать единственное решение уравнения $ a\cdot x=b $ если только $ a_<>\ne 0 $. Но вот уравнение $ x^2-2=0 $ решений в $ \mathbb Q_<> $ не имеет. Пополнив множество рациональных чисел числами иррациональными, мы получаем решение — в вещественных числах $ \mathbb R_<> $ — и этого уравнения, но, однако же, не любого квадратного! Так, не существует вещественного числа, удовлетворяющего уравнению $ x^2+1=0 $.

Задача. Расширить множество вещественных чисел так, чтобы в этом расширении уравнение $ x^2+1=0 $ имело решение.

Такое расширение должно «наследовать» все свойства вещественных чисел, т.е. в этом множестве операции должны подчиняться аксиомам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности:

7. существует нейтральный элемент $ <\mathfrak e>$ относительно умножения: $ <\mathfrak a>\cdot <\mathfrak e>= <\mathfrak a>$.

Все указанные равенства должны выполняться для произвольных чисел $ <\mathfrak a>, <\mathfrak a>_1,<\mathfrak a>_2,<\mathfrak a>_3 $.

Определение

Комплéксным 1) числом называется упорядоченная пара вещественных чисел $ z=(a,b) $. Аксиоматически вводятся понятие равенства комплексных чисел, а также правила действий над ними.

Два комплексных числа $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называются равными: $ z_1=z_2 $ тогда и только тогда, когда $ a=c $ и $ b=d $. В противном случае они называюся неравными.

Суммой комплексных чисел $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называется комплексное число $$ z_3=z_1+z_2 = (a+c,b+d) \ . $$

Пример. $ (1,-1)+(2,1)=(3,0) $, $ (0,1)+(1,0)=\qquad \qquad $ , $ (3,2)+(-3,-2)=\qquad $ .

Произведением комплексных чисел $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называется комплексное число $$ z_4=z_1\cdot z_2 = (ac-bd,\ ad+bc) \ . $$

Так же как и в случае вещественных чисел, для знака умножения используют $ \times_<> $; часто его вовсе опускают: $ z_1\cdot z_2 = z_1\times z_2 = z_1z_2 $.

Пример. $ (2,3)\cdot (1,2)=(-4,7) $, $ (1,-1)\cdot(1,1)= \qquad $ , $ (0,1)\cdot(0,1)=\qquad $ .

В отличие от суммы комплексных чисел, определение произведения кажется довольно искусственным. Ответ на вопрос

Что послужило основанием для такого правила умножения?

будет дан ☟ НИЖЕ. А пока убедимся, что даже введенное таким «неестественным» способом, оно, тем не менее, сохранит те свойства операций над числами вещественными, которые упомянуты выше. Имеем, например: $$z_1\cdot z_2=(ac-bd,\ ad+bc),\ z_2\cdot z_1=(ca-db,\, da+cb) \ \Rightarrow \ z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1 \ . $$ Остальные свойства проверяются аналогично.

Теперь осталось определить операции, противоположные сложению и умножению, т.е. вычитание и деление.

Разностью комплексных чисел $ z_1 $ и $ z_2 $ называется число $ z_5 $ такое, что $ z_2+z_5=z_1 $. Этот факт записывают: $ z_5 = z_1-z_2 $.

Вопрос о существовании и единственности такого числа решается конструктивно: его построением. Пусть $ z_1=(a,b) $, $ z_2=(c,d) $, $ z_5=(x,y) $, тогда $$(c,d)+(x,y)=(a,b) \ \iff \ c+x=a,\ d+y=b \ \iff \ x=a-c,\ y=b-d \ , $$ т.е. $ (a,b)-(c,d)=(a-c,\, b-d) $. В частности, $$(a,b)-(a,b)=(0,0) \quad \mbox< или >\quad (a,b)+(0,0)=(a,b)$$ для любого комплексного числа. Таким образом, комплексное число $ (0,0) $ играет для сложения ту же роль, что для вещественных чисел играл нуль $ 0 $.

Частным комплексных чисел $ z_1 $ и $ z_2 $ называется число $ z_6 $ такое, что $ z_2\cdot z_6=z_1 $. Этот факт записывают: $$ z_6= z_1\colon z_2 \quad \mbox< или >\ z_6 = z_1\big/ z_2 \ . $$

Вопрос о существовании и единственности такого числа решается конструктивно: его построением. Пусть $ z_1=(a,b) $, $ z_2=(c,d) $, $ z_6=(x,y) $, тогда $$(c,d)\cdot (x,y)=(a,b) \ \iff \ \left\<\begin cx-dy=a, \\ dx+cy=b \end \right. \ \iff \ \left\<\begin (c^2+d^2)x=(ac+bd), \\ (c^2+d^2)y=(bc-ad). \end \right. $$ Таким образом, необходимым условием существования частного является $ c^2+d^2\ne 0 $ т.е. $ z_2\ne (0,0) $. При выполнении этого условия, частное будет единственно и определяется формулой: $$(a,b) \colon (c,d) =\left( \frac \, ,\ \frac \right) \ . $$ Запомнить и применять эту формулу довольно сложно, но, как мы вскоре увидим, в этом и нет необходимости.

А пока что заметим, что введенные на множестве комплексных чисел операции полностью подчиняются указанной в начале раздела системе аксиом 1 — 7 чисел вещественных. Нейтральный элемент относительно сложения совпадает с числом $ (0,0) $, а относительно умножения — с числом $ (1,0) $: $$ (a,b)\cdot (x,y)=(a,b)\ \iff \ \left\< \begin a\,x-b\,y=a, \\ b\,x+a\,y=b, \end \right. \ \iff \ \left\< \begin \left(a^2+b^2 \right)x=\left(a^2+b^2 \right), \\ \left(a^2+b^2 \right)y=0 \end \right. \qquad \Rightarrow y=0,\, x=1 \ . $$

Каждое комплексное число может быть представлено в виде $$z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)(0,1) \ , $$ т.е. в виде комбинации комплексных чисел вида $ (a,0) $ — с нулевой второй компонентой, и одного специального числа $ (0,1) $. За последним закрепляется обозначение 2) $$ \mathbf i = (0,1) \ . $$

Польза от нормальной формы записи состоит в том, что она упрощает действия с комплексными числами. В самом деле, перемножение двух комплексных чисел, представленных в нормальной форме, можно начать производить по обычным правилам перемножения вещественных чисел: $$(a+\mathbf i \, b)(c+ \mathbf i \, d)=ac + \mathbf i\, ad+ \mathbf i\, bc+ \mathbf i^2 bd \ , $$ а затем воспользоваться равенством $ \mathbf i^2 = -1 $: $$= (ac-bd)+\mathbf i \, (ad+bc) \ . $$ Мы получили тот же результат, что формально определен аксиомой.

Если $ n_<> $ — целое число, то число $$ z^n = \left\< \begin \overbrace^ \ & npu \ n>0, \\ 1 \ & npu \ n=0, z\ne 0, \\ 1/z^ <-n>\ & npu \ n 1 $ и $ z=a+ \mathbf i\, b $ можно применить формулу бинома Ньютона: $$ \left(a+ \mathbf i\, b \right)^n = $$ $$ =a^n+C_n^1 a^b\mathbf i+C_n^2 a^b^2\mathbf i^2 +C_n^3 a^b^3\mathbf i^3+C_n^4 a^b^4\mathbf i^4+\dots+b^n \mathbf i^n $$ (здесь $ C_n^k $ означает биномиальный коэффициент ); и для приведения этого числа к нормальной форме, нам потребуется вычислить степени $ \mathbf i $. Получаем последовательно: $$\mathbf i^2=-1,\ \mathbf i^3=\mathbf i^2\mathbf i=-\mathbf i,\ \mathbf i^4=1,\ \mathbf i^5=\mathbf i, \dots $$ и понятно, что последовательность оказывается циклической с периодом $ 4_<> $. Окончательно: $$\left(a+ \mathbf i\, b \right)^n =\left(a^n- C_n^2 a^b^2 +C_n^4 a^b^4 — \dots \right) + \mathbf i \left(C_n^1 a^b-C_n^3 a^b^3+ \dots \right) \ . $$

Пример. Найти нормальную форму числа $ (1+\mathbf i )^3 $.

Решение. Разложение по формуле бинома дает $ (1+\mathbf i)^3= (1-3) +\mathbf i (3-1) =-2+2\mathbf i $. ♦

Пример. Найти нормальную форму числа

Решение. $$(3+2\mathbf i)^2=5+12 \mathbf i \ , (5+12 \mathbf i)(1-3\mathbf i)=5-15\mathbf i+12\mathbf i-36\mathbf i^2=41-3\mathbf i \ ,$$ $$(3+\mathbf i)^2=8+6\mathbf i \ ,\ (8+6\mathbf i)(1+2\mathbf i)=8+16\mathbf i +6\mathbf i +12\mathbf i^2=-4+22 \mathbf i \ .$$

Ответ. $ -\frac<23> <50>-\frac<39> <50>\mathbf i $.

Прием, использованный нами при решении последнего примера, можно сделать универсальным.

Число $ a-\mathbf i b $ называется числом, комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) числу $ z=a+\mathbf i b $. Оно обозначается $ \overline $. Сама операция нахождения $ \overline $ называется комплексным сопряжением.

Пример. $ \overline<-2-2\mathbf i>=-2+2\mathbf i,\ \overline<3\mathbf i>=-3\mathbf i,\ \overline<4>=4 $.

а) $ \overline<\overline>=z $;

б) $ \overline=\overline+\overline $;

в) $ \overline=\overline \cdot \overline $.

Легко установить, что сумма и произведение двух комплексно-сопряженных чисел будет числом вещественным: $$ <.>_<> \mbox < при >z= a+ \mathbf i b \ \mbox < имеем: >z+\overline=2a,\ z \cdot \overline=a^2+b^2 \ . $$ На последнем свойстве и основан прием вычисления частного двух чисел $ z_1/z_2 $. Именно, эта дробь домножается на число, сопряженное к знаменателю: $$ \frac=\frac>> \ ; $$ при перемножении в знаменателе образуется вещественное число: $$ =\frac<(a+\mathbf i b)(c-\mathbf i d)> \ , $$ и, таким образом, операцию деления сводим к операции умножения: $$ =\frac<(ac+bd)+ \mathbf i (bc-ad)>=\frac + \mathbf i \frac \ . $$

Для комплексного числа, представленного в нормальной форме $ z=a+\mathbf i b $, число $ a $ называется вещественной частью и обозначается $ \mathfrak(z) $, число $ b_<> $ называется мнимой частью и обозначается $ \mathfrak (z) $. Таким образом, $ z=\mathfrak(z) +\mathbf i \mathfrak(z) $. Число $ \mathbf i $ называется мнимой единицей. Число $ z\ne 0 $, имеющее ненулевую мнимую часть: $ \mathfrak(z) \ne 0 $, называется мнимым числом, а число $ z $, имеющее нулевую вещественную часть: $ \mathfrak(z)=0 $, называется чисто мнимым.

Аксиому равенства комплексных чисел можно записать теперь в виде: $$z_1=z_2 \quad \iff \quad \mathfrak(z_1)=\mathfrak (z_2),\ \mathfrak (z_1)=\mathfrak (z_2) \ .$$

Найти вещественное число $ x_<> $, удовлетворяющее уравнению

$$ (1+ \mathbf i)x^3+(1+2\, \mathbf i)x^2- (1+4\,\mathbf i)x — 1+ \mathbf i = 0 \ . $$

Верно ли равенство $ \mathfrak(z_1z_2)= \mathfrak(z_1) \mathfrak(z_2) $?

Множество всех комплексных чисел с определенными выше операциями обозначается $ \mathbb C_<> $ . Отождествление комплексного числа $ z_<> $, у которого $ \mathfrak (z)=0 $, с вещественным числом $ \mathfrak(z) $ позволяет говорить, что множество $ \mathbb C_<> $ включает в себя множество вещественных чисел $ \mathbb R_<> $: $ \mathbb R_<> \subset \mathbb C_<> $.

Однако, несмотря на то, что не всегда удается установить параллель между свойствами двух объектов, хотя бы некоторые результаты, а также приемы исследования, могут допускать распространение. Один из таких приемов лежит на виду. Вспомним, что вектор на плоскости может быть задан не только в декартовых координатах, но и в полярных, т.е. своей длиной и углом, образованным вектором с полярной осью.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Для числа $ z=a+\mathbf i \, b $ его модулем (или абсолютной величиной) называется неотрицательное вещественное число обозначаемое $ |z| $, определяемое как $$|z|=\sqrt= \sqrt> \ ; $$ при этом корень квадратный в правой части понимается как корень арифметический, т.е. как единственное неотрицательное вещественное число, квадрат которого равен $ a^2+b^2 $.

Геометрическая интерпретация модуля комплексного числа очевидна: это длина вектора, этим числом порождаемого. В случае когда $ \mathfrak (z) =0 $ введенное определение модуля соответствует определению модуля вещественного числа: $ |z|=|a| $.

Аргументом комплексного числа $ z=a+\mathbf i \, b\ne 0 $

называется величина угла 4) , образованного на комплексной плоскости вектором $ \vec <\mathbf OA>$ с вещественной осью. При этом, для однозначности определения, договоримся, что угол будет отсчитываться от вещественной оси в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, и что он будет находиться в интервале $ [0,2\, \pi[ $ если вычисляется в радианах. Аргумент комплексного числа $ 0_<> $ не определяется. Будем обозначать аргумент числа $ z_<> $ через $ \operatorname\, (z) $. Для определения $ \operatorname\, (z) $ мы имеем две формулы: $$ \cos \left( \operatorname\, (z) \right) = \frac<\sqrt> \ , \ \sin \left( \operatorname\, (z) \right) = \frac<\sqrt> \ , $$ которые позволяют однозначно восстановить 5) угол в интервале $ [0, 2\, \pi[ $.

Итак, ненулевое комплексное число $ z\ne 0 $, наряду со своей нормальной формой $ z=a+\mathbf i \, b $, может быть представлено еще и в форме $$ z= \rho \left(\cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right) \quad npu \ \rho\ge 0,\ 0 \le \varphi 0 & \pi/2 \\ -6\,\mathbf i=0-6\,\mathbf i \ & \sqrt<0+36>=6 & 0 & 0 & 3\pi/4 \\ \frac<1><2>-\mathbf i \frac<\scriptstyle<\sqrt<3>>> <\scriptstyle 2>\ & \sqrt<\frac<1><4>+\frac<3><4>>=1\ & \frac<1> <2>& 0 & \arccos \left(-\scriptstyle<2>/\scriptstyle<\sqrt<5>> \right) \approx \\ & & & & \approx 2.67794 \end $$

Ответ. а) $ 4\left(\cos \pi + \mathbf i \, \sin \pi \right) $; б) $ \cos \pi/2 + \mathbf i \, \sin \pi/2 $; в) $ 6\left(\cos 3\pi/2 + \mathbf i \, \sin 3\pi/2 \right) $; г) $ \sqrt <2>\left(\cos 3\pi/4 + \mathbf i \, \sin 3\pi/4 \right) $;

д) $ \cos 5\pi/3 + \mathbf i \, \sin 5\pi/3 $;

е) $ \sqrt <5>\left\<\cos \left( \arccos \left( -\scriptstyle<2>/\scriptstyle<\sqrt<5>> \right) \right) +\mathbf i \sin \left( \arccos \left(-\scriptstyle<2>/\scriptstyle<\sqrt<5>> \right) \right) \right\> \approx 2.23606 \left( \cos 2.67794 + \mathbf i \sin 2.67794 \right) $.

Пусть $ z=a+\mathbf i \, b $. Выразить а) $ \operatorname (-z) $ ; б) $ \operatorname (\overline) $ в) $ \operatorname (1/z) $; г) $ \operatorname (b+\mathbf i\, a) $ через $ \operatorname (z) $.

С учетом этого допущения, сформулируем следующий критерий равенства чисел $ z_ <1>$ и $ z_ <2>$, представленных в тригонометрической форме.

Теорема. Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а их аргументы различаются на целое кратное числа $ 2\, \pi $ или, если использовать терминологию из теории чисел, сравнимы по модулю $ 2\, \pi $:

$$ \rho_1 \left(\cos \varphi_1 + \mathbf i \, \sin \varphi_1 \right)= \rho_2 \left(\cos \varphi_2 + \mathbf i \, \sin \varphi_2 \right) \ \iff $$ $$ \iff \ \rho_1=\rho_2 , \ \varphi_1 \equiv \varphi_2 \pmod <2\, \pi>\ . $$

Доказательство следует из аксиомы равенства комплексных чисел. ♦

Тригонометрическая форма комплексных чисел позволяет дать геометрическую интерпретацию правилам их умножения и деления.

Теорема. Имеет место равенство:

$$\rho_1 \left(\cos \varphi_1 + \mathbf i \, \sin \varphi_1 \right) \cdot \rho_2 \left(\cos \varphi_2 + \mathbf i \, \sin \varphi_2 \right)= $$ $$ = \rho_1 \rho_2 \left(\cos (\varphi_1+\varphi_2) + \mathbf i \, \sin (\varphi_1+\varphi_2) \right)\ ; $$ иными словами: при перемножении комплексных чисел перемножаются их модули и складываются аргументы (по модулю $ 2\, \pi $): $$ \left| z_1\cdot z_2 \right| = \left| z_1 \right| \cdot \left| z_2 \right| \ ,\ \operatorname (z_1 \cdot z_2)= \operatorname (z_1) + \operatorname (z_2) \pmod <2\, \pi>\ . $$

Доказательство. $$ z_1z_2=\rho_1 \rho_2\big(\left[\cos \varphi_1\cos \varphi_2 — \sin \varphi_1\sin \varphi_2 \right] + \mathbf i \, \left[\cos \varphi_1\sin \varphi_2 + \sin \varphi_1\cos \varphi_2 \right] \big) = $$ $$ =\rho_1 \rho_2\left(\cos (\varphi_1+\varphi_2) + \mathbf i \, \sin (\varphi_1+\varphi_2) \right) \ . $$ ♦

Переписав равенство для модуля произведения из последней теоремы для нормальной формы записи комплексных чисел, получаем совершенно вещественное равенство (фактически, если рассматривать входящие в это равенство параметры как переменные величины — тождество для полиномов от нескольких переменных ): $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 \ , $$ иными словами: произведение суммы квадратов на сумму квадратов есть снова сумма двух квадратов. Существуют ли подобные тождества с большим, чем $ 2_<> $ числом квадратов? Ответ оказывается положительным: подобные тождества для $ 4_<> $-х квадратов были получены Эйлером (см. ☞ ЗДЕСЬ ), а для $ 8_<> $-ми квадратов — Кэли. Доказано, что других случаев быть не может. Эта задача тесно связана с понятием гиперкомплексных чисел, т.е. многомерных аналогов комплексных чисел (см. ☞ ЗДЕСЬ ).

$$ \frac=\frac<\rho_1><\rho_2 >\left(\cos (\varphi_1-\varphi_2) + \mathbf i \, \sin (\varphi_1-\varphi_2) \right) \quad npu \ z_2 \ne 0 \ . $$

Индукцией по числу сомножителей показывается справедливость общей формулы:

$$ \prod_^n z_j= \prod_^n \rho_j \left(\cos \sum_^n \varphi_j + \mathbf i \, \sin \sum_^n \varphi_j \right) \ . $$

В частном случае, когда все сомножители одинаковы, приходим к одной замечательной формуле —

Формула Муавра

Теорема. Для любого целого $ n $ справедлива формула Муавра:

$$ \left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^n = \cos n\varphi + \mathbf i \, \sin n\varphi \ . $$

Доказательство для положительных $ n $ следует из результата предыдущего пункта. При $ n=0 $ формула фактически является формальным определением нулевой степени комплексного числа. Для отрицательного показателя $ n=-m, m\in \mathbb N $ справедливость формулы доказывается сведением к уже рассмотренному случаю положительного показателя: $$ \left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^= \left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^<-m>= $$ $$ =\frac<1><\left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^> = \frac<1><\cos m\varphi + \mathbf i \, \sin m\varphi>= \frac<\cos m\varphi - \mathbf i \, \sin m\varphi > <\cos^2 m\varphi + \sin^2 m\varphi >= $$ $$ =\cos m\varphi — \mathbf i \, \sin m\varphi= \cos (- m\varphi) + \mathbf i \, \sin (- m\varphi)=\cos n\varphi + \mathbf i \, \sin n\varphi \ . $$

Справедлива формула возведения в степень комплексного числа, представленного в тригонометрической форме:

$$ \left[ \rho \left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right) \right]^n = \rho^n \left( \cos n\varphi + \mathbf i \, \sin n \varphi \right) \ npu \ \forall \ \rho \ne 0 \ u \ n\in \mathbb Z \ . $$

Пример. Вычислить

Решение. С одной стороны, можно воспользоваться формулой бинома Ньютона — мы получим точный ответ, хотя и дорогой ценой… Если же нас интересует приближенное значение, то его можно получить по формуле Муавра, предварительно представив число в тригонометрической форме: $$ \left| z \right| = 1, \ \cos (\operatorname (z)) = \frac<1><2>\sqrt<\frac<3><2>> \approx 0.61237, \ \sin (\operatorname (z)) ☞ ЗДЕСЬ

Неравенства для модуля

Теорема. Справедливо неравенство треугольника: $$ \left| z_1 + z_2 \right| \le \left| z_1\right| + \left| z_2\right| \ . $$

Доказательство. Имеем: $$\left| z_1 + z_2 \right|^2=\left( z_1 + z_2 \right)\overline<\left( z_1 + z_2 \right)>= \left( z_1 + z_2 \right)\left( \overline + \overline \right)= z_1\overline + z_1\overline+ \overlinez_2+ z_2 \overline= $$ $$ =\rho_1^2 + \rho_2^2 +\rho_1 \rho_2 \left( \cos \varphi_1 + \mathbf i \sin \varphi_1 \right)\left( \cos \varphi_2 — \mathbf i \sin \varphi_2 \right) + $$ $$ + \rho_1 \rho_2 \left( \cos \varphi_1 — \mathbf i \sin \varphi_1 \right)\left( \cos \varphi_2 + \mathbf i \sin \varphi_2 \right)= $$ $$ =\rho_1^2 + \rho_2^2 +2\,\rho_1 \rho_2 \left(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2+ \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 \right)= $$ $$ =\rho_1^2 + \rho_2^2 +2\,\rho_1 \rho_2 \cos \left( \varphi_1 — \varphi_2 \right) \le \rho_1^2 + \rho_2^2 +2\,\rho_1 \rho_2 = \left( \rho_1 +\rho_2 \right)^2 $$ поскольку $ \left| \cos \left( \varphi_1 — \varphi_2 \right) \right|\le 1 $. Извлекая корень (арифметический), получаем доказываемое неравенство. ♦

При каких условиях на $ z_ <1>$ и $ z_ <2>$ неравенство треугольника превращается в равенство?

$ \displaystyle \left| \sum_^n z_j \right| \le \sum_^n |z_j | $.

$ \displaystyle \left| z_1 + z_2 \right| \ge \big| | z_1 | — | z_2 | \big| \ , \ \left| z_1 — z_2 \right| \ge \big| | z_1 | — | z_2 | \big| $.

Доказать «равенство параллелограмма»:

$$ |z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2|z_1|^2 + 2|z_2|^2 \quad \mbox < при >\ \ \subset \mathbb C . $$

Выведение тригонометрических формул

Сумма синусов (косинусов)

Задача. Найти компактное выражение для $$ B= \sin \varphi + \sin 2\, \varphi + \dots + \sin n\, \varphi \ . $$

Для пояснения такой постановки сошлемся на известные выпускнику школы формулы, выражающие суммы арифметической и геометрической прогрессий: $$ a+(a+d)+\dots+(a+(n-1)d)=\frac<(2a+(n-1)d)n> <2>\ , $$ $$ a+aq+\dots+aq^ =a\frac \quad npu \ q\ne 1 \ . $$ О подобных формулах говорят, что соответствующие суммы «свернулись».

Поставленную задачу будем решать путем ее усложнения. Попробуем одновременно с указанной суммой свернуть и сумму $$ A= \cos \varphi + \cos 2\, \varphi + \dots + \cos n\, \varphi \ . $$ Для этого составим выражение $$ A+ \mathbf i B= \left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right) + \left( \cos 2\, \varphi + \mathbf i \sin 2\,\varphi \right) + \dots + \left( \cos n\, \varphi + \mathbf i \sin n\, \varphi \right)= $$ на основании формулы Муавра: $$ =\left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right) + \left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right)^2 + \dots + \left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right)^n \ . $$ Введем новую переменную: $ z= \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi $. Тогда последняя сумма оказывается суммой геометрической прогрессии: $$ A+ \mathbf i B =z+z^2+\dots +z^n =\frac — z> \quad npu \ z\ne 1 \ . $$ Возвращаемся к исходной переменной $ \varphi $: $$ A+ \mathbf i\, B =\frac <\left(\cos \varphi + \mathbf i\, \sin \varphi \right)^— \left(\cos \varphi + \mathbf i\, \sin \varphi \right)> <\cos \varphi + \mathbf i\, \sin \varphi-1>\ \ npu\ \varphi \ne 2\, \pi k \ , \ k\in \mathbb Z \ . $$ (последнее условие можно записать в виде $ \varphi \not\equiv 0 \pmod <2\, \pi>$) и снова применяем формулу Муавра, только теперь уже «в обратном направлении»: $$ A+ \mathbf i\, B = \frac <\left(\cos (n+1)\, \varphi + \mathbf i\, \sin (n+1)\, \varphi \right) - \left(\cos \varphi + \mathbf i\, \sin \varphi \right)> <\cos \varphi + \mathbf i\, \sin \varphi-1>$$ при $ \varphi \not\equiv 0 \pmod <2\, \pi>$. Искомое выражение для $ B $ получится если мы вычислим мнимую часть дроби, стоящей в правой части. Мы сейчас сделаем это, только предварительно слегка преобразуем числитель и знаменатель с использованием известных тригонометрических формул: $$ \cos \alpha — \cos \beta = 2 \sin \frac<\alpha + \beta > <2>\, \sin \frac<\beta - \alpha> <2>\quad , \quad \sin \alpha — \sin \beta = 2 \cos \frac<\alpha + \beta > <2>\, \sin \frac< \alpha - \beta> <2>\ . $$ Итак, числитель правой части формулы равен $$ \left(\cos (n+1)\, \varphi — \cos \, \varphi \right) + \mathbf i \, \left(\sin (n+1)\, \varphi — \sin \, \varphi \right)= $$ $$ =-2\, \sin \frac<(n+2)\, \varphi> <2>\, \sin \frac <2>+ 2\, \mathbf i\, \cos \frac<(n+2)\, \varphi> <2>\, \sin \frac<2>= $$ $$ =2\, \mathbf i\, \sin \frac <2>\left(\cos \frac<(n+2)\, \varphi> <2>+ \mathbf i\, \sin \frac<(n+2)\, \varphi> <2>\right) \ ; $$ а знаменатель: $$ (\cos \varphi -1) + \mathbf i\, \sin \varphi =-2\, \sin^2 \frac<\varphi> <2>+ 2\, \mathbf i\, \sin \frac<\varphi> <2>\, \cos \frac<\varphi> <2>=2\, \mathbf i\, \sin \frac<\varphi> <2>\left(\cos \frac<\varphi> <2>+ \mathbf i\, \sin \frac<\varphi> <2>\right) \ . $$ Следовательно, $$ A+ \mathbf i\, B = \frac<\sin \displaystyle \frac <2>><\sin \displaystyle \frac<\varphi> <2>> \cdot \frac<\displaystyle \cos \frac<(n+2)\, \varphi> <2>+ \mathbf i\, \sin \frac<(n+2)\, \varphi><2>> <\displaystyle \cos \frac<\varphi> <2>+ \mathbf i\, \sin \frac<\varphi><2>>= $$ ко второй дроби применяем формулу деления чисел, представленных в тригонометрической форме: $$ = \frac<\sin \displaystyle \frac <2>><\sin \displaystyle \frac<\varphi> <2>> \left(\cos \frac<(n+1)\, \varphi> <2>+ \mathbf i\, \sin \frac<(n+1)\, \varphi> <2>\right) \ , $$ и вычислить мнимую часть этого выражения не составляет труда. Окончательно имеем: $$ \sin \varphi + \sin 2\, \varphi + \dots + \sin n\, \varphi = \frac<\sin \displaystyle \frac <2>\, \varphi \, \sin \displaystyle \frac <2>\, \varphi > <\sin \displaystyle \frac<1> <2>\, \varphi> \ npu \ \varphi \not\equiv 0 \pmod <2\, \pi>\ . $$ В качестве «бонуса» мы получили и аналогичную формулу для косинусов: $$ \cos \varphi + \cos 2\, \varphi + \dots + \cos n\, \varphi = \frac<\sin \displaystyle \frac<2\,n+1> <2>\, \varphi><2 \sin \displaystyle \frac<1> <2>\, \varphi> — \frac<1> <2>\ . $$

$$ \sin \varphi \cdot \sin \frac<1> <2>\, \varphi + \sin 2\, \varphi \cdot \sin \frac<1> <2>\, \varphi + \dots + \sin n\, \varphi \cdot \sin \frac<1> <2>\, \varphi = $$ и преобразуем каждое произведение в разность косинусов: $$ =\frac<1> <2>\bigg(\cos \frac<3> <2>\, \varphi — \cos \frac<1> <2>\, \varphi + \cos \frac<5> <2>\, \varphi — \cos \frac<3> <2>\, \varphi + \dots + $$ $$ + \cos \left( n + \frac<1> <2>\right) \, \varphi — \cos \left( n — \frac<1> <2>\right) \, \varphi \bigg) = $$ все слагаемые, кроме двух, сокращаются: $$ =\frac<1> <2>\left(\cos \left( n + \frac<1> <2>\right) \, \varphi — \cos \frac<1> <2>\, \varphi \right) = \sin \displaystyle \frac <2>\, \varphi \, \sin \displaystyle \frac <2>\, \varphi \ , $$ и мы получили числитель дроби, стоящей в правой части выведенной формулы. В чем же заключалась польза от комплексных чисел, если доказать формулу можно и без их использования? — Да в том, что эти числа позволили нам вывести эту формулу, т.е. дали возможность угадать неизвестный путь к истине.

$$\cos \varphi + \cos 3\, \varphi + \dots + \cos (2n-1)\varphi \ . $$

Ответ ☞ ЗДЕСЬ

Применение формулы суммы косинусов см. в разделе ☞ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

Синус и косинус кратного угла

Задача. Найти общую формулу, выражающую $ \cos n \varphi $ через $ \cos \varphi $ и $ \sin \varphi $.

Из школьного курса алгебры известна такая формула для $ n_<>=2 $: $ \cos 2 \varphi = \cos^2 \varphi — \sin^2 \varphi $. Для выведения же общей формулы воспользуемся двумя формулами разложения $ \left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^n $: формулой бинома Ньютона $$ \left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^n = $$ $$ =\cos^ \varphi+C_n^1 \cos^ \varphi \sin \varphi \mathbf i+C_n^2 \cos^ \varphi \sin^2 \varphi \mathbf i^2 +C_n^3 \cos^ \varphi \sin^3 \varphi \mathbf i^3+ $$ $$ +C_n^4 \cos^ \varphi \sin^4 \varphi \mathbf i^4+\dots+\sin^n \varphi \mathbf i^n $$ и формулой Муавра. Получаем: $$ \cos n\varphi + \mathbf i \, \sin n\varphi =\left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^n= $$ $$ =\left(\cos^n \varphi — C_n^2 \cos^\varphi \sin^2 \varphi + C_n^4 \cos^\varphi \sin^4 \varphi — \dots \right) + $$ $$ + \mathbf i \, \left(C_n^1 \cos^\varphi \sin \varphi — C_n^3 \cos^\varphi \sin^3 \varphi- \dots \right) \ . $$ На основании аксиомы равенства комплексных чисел: $$ \begin \cos n\varphi = & \cos^n \varphi — \displaystyle \frac <2>\cos^\varphi \sin^2 \varphi + C_n^4 \cos^\varphi \sin^4 \varphi — \dots \\ = & \displaystyle \sum_^ <\lfloor n/2 \rfloor>(-1)^j C_n^ <2\, j>\sin^ <2\, j>\varphi \cos^ \varphi \ ; \\ \sin n\varphi = & \sin \varphi \left(n \cos^\varphi -C_n^3 \cos^\varphi \sin^2 \varphi +C_n^5 \cos^\varphi \sin^4 \varphi-\dots \right) = \\ = &\displaystyle \sum_^ <\lfloor (n-1)/2 \rfloor>(-1)^j C_n^ <2\, j+1>\sin^ <2\, j+1>\varphi \cos^ \varphi \ . \end $$ Здесь $ C_n^k $ означает биномиальный коэффициент, а $ \lfloor \quad \rfloor $ — целую часть числа. Таким образом, снова комплексные числа позволили нам вывести два совершенно вещественных равенства.

Пример.

$$ \begin \cos \, 4\varphi &= \cos^4 \varphi — 6\, \cos^2 \varphi \sin^2 \varphi + \sin^4 \varphi \ ,\\ \sin \, 5\varphi &= 5 \, \cos^4 \varphi \sin \varphi — 10 \, \cos^2 \varphi \sin^3 \varphi+ \sin^5 \varphi \ . \end $$

Найти выражения $ \sin \, n \varphi $ через $ \sin \varphi $ и $ \cos \, n \varphi $ через $ \cos \varphi $.

Решение ☞ ЗДЕСЬ.

Найти выражение $ \operatorname\, n \varphi $ через $ \operatorname \, \varphi $.

Решение обратной задачи: выражение $ \cos^n \varphi $ и $ \sin^n \varphi $ через косинусы и синусы кратных углов, т.е. через $ \cos \varphi,\sin \varphi,\cos 2\varphi , \sin 2\varphi ,\dots, \cos n\varphi , \sin n\varphi $ ☞ ЗДЕСЬ.

Извлечение корня из комплексного числа

Пусть $ n_<> $ означает натуральное число. Корнем $ n_<> $-й степени из комплексного числа $ z_<> $ называется такое комплексное число $ w_<> $, что $ w^n=z $. Очевидно, что корень первой степени из $ z_<> $ совпадает с самим числом $ z_<> $ и корень любой степени из $ 0_<> $ равен $ 0_<> $ (в дальнейшем эти случаи рассматривать не будем). Обозначение корня при $ n\ge 2 $ такое же как и в случае вещественных чисел: $$ w = \sqrt[n], \ \mbox < а при >n=2 \ \mbox < показатель обычно не указывают: >w=\sqrt \ . $$

Задача. Вычислить $ \displaystyle \sqrt[n] $.

Квадратный корень

Пусть $ z_<> $ представлено в каноническом виде: $ z=a+\mathbf i b $ при $ \< a,b \>\subset \mathbb R $. Будем искать число $ w $ также в каноническом виде: $ w=x+ \mathbf i y $, где $ x_<> $ и $ y_<> $ неизвестные вещественные величины. По определению квадратного корня, должно быть выполнено: $$w^2=z \ \iff \ (x+ \mathbf i y)^2 = a+\mathbf i b \ \iff \ (x^2-y^2) + 2\,\mathbf i xy = a+\mathbf i b \iff $$ $$ \ \iff \ x^2-y^2 = a,\ 2\, xy = b \ . $$ (на основании аксиомы равенства комплексных чисел). Возведем оба получившихся уравнения в квадрат и сложим: $$\left(x^2+y^2 \right)^2 = a^2+ b^2 \ \iff \ x^2+y^2 = \sqrt \ \mbox <(поскольку >\\subset \mathbb R \mbox < )>\ . $$ Вместе с первым уравнением получаем линейную систему относительно $ x_<>^2 $ и $ y_<>^2 $. Решаем ее относительно $ x_<>^2 $: $$x^2=\frac<1> <2>\left(a+\sqrt \right) \Rightarrow x=\pm \frac<1><\sqrt<2>> \sqrt> \ . $$ Имеем: $ x=0 \iff b=0, a\le 0 $. В этом случае $ y=\pm \sqrt <-a>$. Таким образом: $$ \sqrt= \pm \mathbf i \sqrt <-a>\quad npu \ a комплексного числа.

Пример. Решить уравнение $ z^2-2\, z+3=0 $.

Решение. Здесь $ \mathcal D=-8 $ и $ \sqrt<\mathcal D>= \pm \mathbf i 2 \sqrt <2>$.

Ответ. $ 1\pm \mathbf i \sqrt <2>$.

Пример. Решить уравнение $ z^2-(3+2\, \mathbf i )\, z +(5+5\, \mathbf i ) =0 $.

Решение. Здесь $ \mathcal D=(3+2\, \mathbf i )^2-4\, (5+5\, \mathbf i )=-15 — 8\, \mathbf i $. По формуле извлечения корня: $ \sqrt<\mathcal D>=\pm (1-4\, \mathbf i ) $.

Ответ. $ 2- \mathbf i ,\ 1+3\, \mathbf i $.

Пример. Решить уравнение $ (3- \mathbf i )\, z^2+(1+ \mathbf i )\, z + 6\, \mathbf i =0 $.

Решение. Можно сначала поделить все уравнение на коэффициент при $ z^2 $, но можно действовать и напрямую, обобщив понятие дискриминанта: $$ \mathcal D=(1+ \mathbf i )^2- 4\, (3- \mathbf i )\, 6\, \mathbf i=-24-70\, \mathbf i \ , \ \sqrt<\mathcal D>=\pm ( 5 — 7\, \mathbf i ) \ ,$$ а также формулу вычисления корней: $$ z_<1,2>=\frac<-(1+ \mathbf i) \pm ( 5 - 7\, \mathbf i )> <2 (3- \mathbf i)>\ . $$

Ответ. $ 1-\mathbf i \ , -\frac<6> <5>+ \frac<3> <5>\mathbf i $.

Общий случай

Алгоритм предыдущего пункта может быть очевидным образом обобщен для нахождения корней степеней $ 2^m $ из комплексных чисел. Понятно также, что количество корней возрастает вдвое при переходе от $ 2^m $ к $ 2^ $. Вопрос о том будут ли все эти корни различными пока открыт.

Попробуем найти приемом, задействованным в предыдущем пункте, величину $ \sqrt[3] $. $$ w^3=z \ \iff \ (x+ \mathbf i y)^3 = a+\mathbf i b \iff \left(x^3-3\, x y^2 \right) + \mathbf i \, (3\, x^2 y-y^3) = a+\mathbf i b $$ $$ \iff \left\< \begin x^3-3\, x y^2 = a, \\ 3\, x^2 y-y^3 = b \ . \end \right. $$ Возведем оба получившихся уравнения в квадрат и сложим: $$x^6+3\, x^4y^2+3\, x^2y^4+y^6=a^2+b^2 \ \iff \ (x^2+y^2)^3=a^2+b^2 $$ $$ \ \iff \ x^2+y^2 = \sqrt[3]\ . $$ Выразим отсюда $ y^2 $ и подставим в первое уравнение: $$ 4\, x^3 — 3\, x \sqrt[3] -a =0 \ . $$ Получилось кубическое уравнение относительно неизвестной вещественной величины $ x_<> $. Существует общий метод решения подобного уравнения (см. ☞ ЗДЕСЬ); однако его применение к настоящему случаю отягощается серьезной проблемой.

Речь идет о формуле Кардано представления корней кубического уравнения в радикалах относительно коэффициентов этого уравнения. Однако в данном конкретном примере мы сталкиваемся с так называемым неприводимым случаем формулы Кардано: заведомо вещественные корни могут быть выражены только посредством мнимых чисел! Получаем порочный круг 6) : искомые комплексные величины $ \sqrt[3] $ ищутся через посредство кубического уравнения с вещественными корнями, для которых, в свою очередь, имеется только комплексные представления.

Рассмотрим теперь случай $ a_<>=0 $. Уравнение принимает вид $$4\, x^3 — 3\, x \sqrt[3]=0 \ ,$$ из которого сразу же находятся значения $ x_<> $: $$x_1=0,\ x_<2,3>= \pm \frac<\sqrt<3>> <2>\sqrt[3] \ . $$ Соответствующие значения для $ y $: $$ y_1=- \sqrt[3],\ y_<2,3>= \frac<1> <2>\sqrt[3] \ . $$ Таким образом, кубический корень из чисто мнимого числа $ z=\mathbf i b $ имеет три значения: $$ \left\< -\mathbf i \sqrt[3],\ \sqrt[3] \left( \pm \frac<\sqrt<3>>2 + \frac<1><2>\, \mathbf i \right) \right\> \ . $$

Теперь приведем другой способ вычисления $ w=\sqrt[n] $, основанный на тригонометрической форме записи чисел $ w_<> $ и $ z_<> $. Пусть $$z=a+\mathbf i b= \rho \left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right) \ , w=x+\mathbf i y = r \left( \cos \vartheta + \mathbf i \sin \vartheta \right) \ .$$ Применяя формулу Муавра, получаем $$w^n=r^n \left( \cos n\vartheta + \mathbf i \sin n\vartheta \right)= \rho \left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right)$$ и на основании правила равенства комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, получаем: $$r^n = \rho ,\ n\vartheta \equiv \varphi \pmod<2 \pi>$$ Первое из этих равенств мы получали в явном виде для квадратных и кубических корней, оно равносильно $$r= \sqrt[n] <\rho>\ , $$ т.е. модуль корня $ n_<> $-й степени из комплексного числа равен (арифметическому) корню $ n_<> $-й степени из модуля этого числа.

Теорема. Существует $ n_<> $ различных значений корня $ n_<> $-й степени из комплексного числа $ z=\rho (\cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi ) $. Все они даются формулой

Доказательство того, что при любом целом числе $ k_<> $ числа $ w_k $ являются корнями $ n $-й степени из $ z_<> $ уже проведено. Далее, из периодичности $ \sin $ и $ \cos $ следует, что $$w_<0>=w_,\ w_<1>=w_,\dots , w_=w_ \quad npu \ k\in \mathbb Z \ , $$ т.е. все эти корни содержатся в объявленном множестве. Осталось показать, что все числа $ w_0,w_1,\dots, w_ $ различны. Но это так и есть, поскольку их аргументы не подчиняются правилу равенства комплексных чисел. ♦

Пример. Вычислить $ \sqrt[3] <\mathbf i>$ .

Решение. $ \mathbf i= \cos <\pi>/2 + \mathbf i \sin <\pi>/2 $ $$\sqrt[3] <\mathbf i>= \sqrt[3]<\cos \frac<\pi>2 + \mathbf i \sin \frac<\pi><2>>= \cos \frac<<\pi>/2 + 2\pi k> <3>+ \mathbf i \sin \frac<<\pi>/2 + 2\pi k> <3>\ npu \ k \in \<0,1,2\>.$$ Видим, что значения $$w_0=\cos \frac<\pi>6 + \mathbf i \sin \frac<\pi>6=\frac<\sqrt<3>>2 + \frac<1> <2> <\mathbf i>\ , \quad w_1= \cos \frac<5\pi>6 + \mathbf i \sin \frac<5\pi>6=-\frac<\sqrt<3>>2 + \frac<1> <2> <\mathbf i>\ , \quad w_2=\cos \frac<3\pi>2 + \mathbf i \sin \frac<3\pi>2=-\mathbf i $$ совпадают с выведенной выше формулой для $ \sqrt[3] <\mathbf i b>$. ♦

Пример. Вычислить $ \sqrt[7] <1+9\, \mathbf i>$.

Изобразим корни на комплексной плоскости: видим, что они располагаются на окружности с центром в $ 0_<> $ и радиусом $ \sqrt[14] <82>\approx 1.36993 $; и делят эту окружность на $ 7_<> $ дуг одинаковой длины. Аналитика подтвержает это: число $ w_k $ может быть получено домножением $ w_0 $ на число $ \cos 2 \pi k/7 + \mathbf i \sin 2 \pi k/7 $, что соответствует повороту вектора $ \vec $ на угол кратный $ 2\pi/7 $. ♦

Корни из единицы

Обобщим соображения из последнего примера: корень $ n_<> $-й степени из комплексного числа $ z_<> $ можно представить в виде произведения $$ \sqrt[n] <\rho>\left(\cos \frac<\varphi+2 \pi k> + \mathbf i \sin \frac<\varphi+2 \pi k>\right) = $$ $$ =\sqrt[n] <\rho>\left( \cos \frac<\varphi> + \mathbf i \sin \frac<\varphi> \right) \left( \cos \frac<2 \pi k> + \mathbf i \sin \frac<2 \pi k> \right)= w_0 \left( \cos \frac<2 \pi k> + \mathbf i \sin \frac<2 \pi k> \right) $$ двух сомножителей, первый из которых не зависит от $ k_<> $. Числа $$ \varepsilon_k = \cos \frac<2 \pi k> + \mathbf i \sin \frac<2 \pi k> $$ при $ k\in \ <0,1,\dots,n-1\>$ имеют очевидный смысл — они являются корнями $ n $-й степени из единицы: $$ \varepsilon_k^n=1 \quad npu \quad k\in \ <0,1,\dots,n-1 \>\ . $$ Также очевидно, что $ \varepsilon_0=1 $.

Теорема. Множество всех корней $ n_<> $-й степени из комплексного числа $ z_<> $ можно представить в виде произведения какого-то фиксированного корня на множество всех корней $ n_<> $-й степени из $ 1_<> $:

Доказательство. Для $ j=0 $ справедливость утверждения уже показана. Для $ j>0 $ она очевидно следует из равенства $ w_j \varepsilon_k=w_0 \varepsilon_ $ и цикличности последовательности $ \<\varepsilon_\>_ $. ♦

Пример. Множества корней $ n_<> $-й степени из $ 1_<> $:

$$\begin n=1& 1 \\ & \\ n=2& 1,\, -1 \\ & \\ n=3& 1,\, -\frac<1> <2>+ \mathbf i \frac<\sqrt<3>><2>,\, -\frac<1> <2>— \mathbf i \frac<\sqrt<3>>2 \\ & \\ n=4& 1,\, \mathbf i,\, -1,\, -\mathbf i \\ & \\ n=5& 1,\, \frac<1> <4>\left( \scriptstyle<(\sqrt<5>-1)> +\displaystyle <\mathbf i>\scriptstyle<\sqrt<2 (5+\sqrt<5>)>> \right),\, \frac<1> <4>\left( -\scriptstyle<(\sqrt<5>+1)> +\displaystyle <\mathbf i>\scriptstyle<\sqrt<2 (5-\sqrt<5>)>> \right),\, \frac<1> <4>\left( -\scriptstyle<(\sqrt<5>+1)> — \displaystyle <\mathbf i>\scriptstyle<\sqrt<2 (5-\sqrt<5>)>> \right),\, \frac<1> <4>\left( \scriptstyle<(\sqrt<5>-1)> — \displaystyle <\mathbf i>\scriptstyle<\sqrt<2 (5+\sqrt<5>)>> \right) \\ & \\ n=6& 1,\ \frac<1> <2>+ \mathbf i \frac<\sqrt<3>> <2>,\ -\frac<1> <2>+ \mathbf i \frac<\sqrt<3>><2>, -1,\ — \frac<1> <2>— \mathbf i \frac<\sqrt<3>><2>,\ \frac<1> <2>— \mathbf i \frac<\sqrt<3>> <2>\end $$ Как были получены эти выражения? — Мы ведь не выводили в предыдущем пункте алгебраического представления для, скажем $ \sqrt[5] $, но, тем не менее, какие-то значения в таблице привели. Ответ на этот вопрос заключается в том, что уравнение $ z^n-1=0 $, определяющее корни $ n_<> $-й степени из $ 1_<> $, иногда удается решить в «хороших» выражениях (см. ☞ ВОЗВРАТНЫЙ ПОЛИНОМ ). Так, к примеру, уравнение $ z^9-1=0 $ можно переписать в виде: $$ (z^9-1)\equiv (z-1)(z^2+z+1)(z^6+z^3+1)=0 \ , $$ и выражения для, по крайней мере, трех его корней угадываются сразу: $$ \left\< 1,\, -\frac<1> <2>+ \mathbf i \frac<\sqrt<3>><2>,\, -\frac<1> <2>— \mathbf i \frac<\sqrt<3>>2 \right\> \ . $$ Разумеется, они совпадают с уже встречавшимися в таблице корнями кубическими из $ 1_<> $. Оставшееся уравнение $ z^6+z^3+1=0 $ можно свести к квадартному заменой переменной. Но дальше пройти не удается: алгебраические выражения для корней этого уравнения не получить. ♦

Уравнение $ z^n-1=0 $ называется уравнением деления круга — с очевидным геометрическим смыслом 7) .

Теорема. Для любых $ \\subset \ <0,1,\dots,n-1\>$ справедливы равенства

Пусть $ \varepsilon_<> $ — корень $ n_<> $-й степени из $ 1_<> $. Говорят, что он является первообразным корнем n-й степени из 1 или что он принадлежит показателю n если $ \varepsilon_<> $ не является корнем меньшей степени из $ 1_<> $: $$ \varepsilon^j \ne 1 \quad npu \ j\in \<1,\dots,n-1\>,\quad \varepsilon^n = 1 \ . $$ Образно говоря: если мы построим таблицу подобную той, что построена в предыдущем примере, для всех корней степеней $ 2,3,\dots, n $, то первообразным корнем $ n_<> $-й степени из $ 1_<> $ будет тот, который нигде раньше в этой таблице не встречался.

Пример. В приведенном выше примере, корень $ \displaystyle -\frac<1> <2>+ \mathbf i \frac<\sqrt<3>> <2>$ не является первообразным корней $ 6_<> $-й степени из $ 1_<> $, но является первообразным корнем $ 3_<> $-й степени из $ 1_<> $.

Теорема. Корень

$$ \varepsilon_k = \cos \frac<2 \pi k> + \mathbf i \sin \frac<2 \pi k> $$ будет первообразным степени $ n_<> $ тогда и только тогда, когда $ \operatorname (k,n)=1 $ ( $ \operatorname $ означает наибольший общий делитель ).

Указать индексы $ k\in\ <0,\dots, 15\>$, которые соответствуют первообразным корням $ \displaystyle \cos \frac<2 \pi k> <16>+ \mathbf i \sin \frac<2 \pi k> <16>$ степени $ 16 $ из $ 1_<> $.

Будет ли произведение двух первообразных корней степени $ n_<> $ первообразным корнем степени $ n_<> $ ?

При любом $ n\in \mathbb N $ корень

$$ \varepsilon_1 = \cos \frac<2 \pi > + \mathbf i \sin \frac<2 \pi > $$ будет первообразным степени $ n_<> $.

Будет ли $ \varepsilon_ $ первообразным корнем?

Число первообразных корней $ n_<> $-й степени из $ 1_<> $ равно $ \phi (n) $, где $ \phi $ — функция Эйлера.

[2]. Пусть $ \varepsilon_ $ — первообразный корень. Доказать, что $ \varepsilon_^>> = \varepsilon_ <1>$.

Произвольный корень $ n_<> $-й степени из $ 1_<> $ может быть получен как некоторая степень произвольного первообразного корня $ n_<> $-й степени из $ 1_<> $.

В самом деле, если $ \varepsilon^n=1 $ и $ \varepsilon^j\ne 1 $ при $ j\in \ <1,2,\dots,n-1\>$, то все числа $ \varepsilon, \varepsilon^2,\dots,\varepsilon^ $ будут корнями $ n_<> $-й степени из $ 1_<> $, все они будут различны между собой и отличны от $ 1_<> $. Следовательно, эти степени представляют собой перестановку корней $ \varepsilon_1, \varepsilon_2,\dots, \varepsilon_ $.

В каком случае степень первообразного корня будет первообразным корнем?

Подробнее об уравнении деления круга ☞ ЗДЕСЬ

Экспоненциальное представление комплексного числа

Еще одно представление комплексного числа может быть организовано на основании важной функции комплексного аргумента.

В курсе математического анализа доказывается существование следующего предела $$ \lim_ \left(1+\frac<1>\right)^n \ , $$ он имеет специальное обозначение 8) : $$ e \approx 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595\ldots $$ и исключительно важен в приложениях. Также доказывается, что показательная функция $ e^x $ (экспонента) может быть представлена рядом Тейлора $$ e^x=1+x+ \frac<2!>+\dots + \frac+\dots = \sum_^ <\infty>\frac $$ сходящимся при всех $ x\in \mathbb R $. Аналогичным рядом по комплексной переменной $ z=x+ \mathbf i y $ определяется комплексная экспонента: $$ e^z=1+z+ \frac<2!>+\dots + \frac+\dots = \sum_^ <\infty>\frac \ ; $$ и в курсе теории функций комплексной переменной доказывается, что этот ряд сходится при всех $ z\in \mathbb C $.

По аналогии с рядами Тейлора для функций $$ \sin x = x — \frac<3!>+\frac<5!>-\frac<7!>+\dots = \sum_^ <\infty>\frac<(-1)^jx^<2j+1>> <(2j+1)!>$$ и $$ \cos x = 1- \frac<2!>+\frac<4!>-\frac<6!>+\dots = \sum_^ <\infty>\frac<(-1)^jx^<2j>> <(2j)!>$$ определяются тригонометрические функции $$ \sin z = z — \frac<3!>+\frac<5!>-\frac<7!>+\dots = \sum_^ <\infty>\frac<(-1)^jz^<2j+1>> <(2j+1)!>$$ и $$ \cos z = 1- \frac<2!>+\frac<4!>-\frac<6!>+\dots = \sum_^ <\infty>\frac<(-1)^jz^<2j>> <(2j)!>; $$ оба ряда сходятся при всех $ z\in \mathbb C $.

В комплексной плоскости (как и на вещественной оси) справедливы тождества $$ \sin (-z) \equiv — \sin z,\quad \cos (-z) \equiv \cos z \ , $$ т.е. функция $ \sin $ является нечетной, а функция $ \cos $ — четной.

Теорема [Эйлер]. Формула

$$ e^ <\mathbf i z>\equiv \cos z + \mathbf i \sin z $$ имеет место при всех $ z \in \mathbb C $.

Доказательство. $$ \begin e^<\mathbf i z>&=& \displaystyle 1+\mathbf i z+ \frac<\mathbf i^2 z^2><2!>+\frac<\mathbf i^3 z^3><3!>+\frac<\mathbf i^4 z^4><4!>+ \dots = 1+\mathbf i z- \frac<2!>-\frac<\mathbf i z^3><3!>+\frac<4!>+ \dots \\ & = & \displaystyle \left(1- \frac<2!>+\frac<4!>-\dots \right) + \mathbf i\left(z-\frac<3!>+\frac<5!>— \dots \right) = \\ & = & \cos z + \mathbf i \sin z \ . \end $$ ♦

Для вещественного числа $ \varphi $ имеем

$$ e^<<\mathbf i>\varphi >= \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \ ; $$ сравнивая это выражение с тригонометрической формой комплексного числа $ z_<> $ получаем его экспоненциальное представление $$ z= \rho e^<<\mathbf i>\varphi > \ . $$

Следующая формула Эйлера связывает между собой четыре знаменитые математические величины:

См. по поводу этой формулы ☞ цитату А.Н.Крылова.

Тригонометрические функции комплексного аргумента могут быть выражены как линейные комбинации экспонент:

Угадайте первые три цифры числа $ 1001^ <1000>$.

А зачем они всё же нужны?

Этот вопрос — о полезности комплексных чисел, о необходимости их введения — остается открытым. Проанализируем все полученные в настоящем разделе результаты на предмет ответа на вопрос: «стоила ли овчинка выделки?», т.е. оправдано ли введение новой (и подозрительно мнимой) сущности получением новых и вещественных результатов?

1. Применение комплексных чисел для выведения тригонометрических формул. Действительно, использование аппарата мнимых чисел позволило упростить вывод вещественных равенств. Однако, после получения ответа в задаче о суммировании $ \sin \varphi + \sin 2\,\varphi+\dots + \sin n\, \varphi $ был сразу же показан альтернативный способ получения того же ответа без использования комплексных чисел. Можно ожидать, что и остальные результаты того пункта — как то выражение синусов и косинусов кратных углов как степеней косинусов и синусов исходного угла, а также решение обратной задачи — тоже допускают принципиально вещественное решение 9) . Таким образом, польза от введения комплексных чисел не очень оправдана применением их для решения подобных задач.

2. Геометрические приложения. Проанализируем их на примерах трех введенных операций. Пусть $ w=x+ \mathbf i y $ — переменная величина, т.е. числа $ \ < x,y \>\subset \mathbb R $ могут принимать произольные значения, а $ z=a+ \mathbf i b $ — фиксированное комплексное число. Геометрический смысл операции суммирования $ w+z $ заключается в преобразовании комплексной плоскости, а именно — в сдвиге ее точек $$ (x,y) \mapsto (x+a,y+b) $$ на фиксированную величину.

Вторая из введенных операций — комплексное сопряжение — также имеет простое геометрическое содержание: $$ w \mapsto \overline \quad \iff \quad (x,y) \mapsto (x,-y) ; $$ каждая точка комплексной плоскости зеркально отражается относительно вещественной оси.

Наконец, операция умножения комплексных чисел: $ w \mapsto w\cdot z $. Геометрию этой операции мы анализировали ВЫШЕ переходом к тригонометрической форме записи комплексного числа. Проведем более подробый анализ. Рассмотрим сначала частный случай числа $ z_<> $: пусть его модуль равен $ 1_<> $, т.е. $ z = \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi $. Умножение числа $ w_<> $ на такое число $ z_<> $ равносильно повороту точек комплексной плоскости на угол $ \varphi $ вокруг начала координат. Так, к примеру, умножению на мнимую единицу $ \mathbf i $ соответствует поворот точек плоскости на угол $ \pi/2 $; а если еще раз повернем на тот же угол — то результатом будет преобразование $$ (x,y) \mapsto (-x,-y) \ ; $$ и результат снова полностью соответствует основополагающему правилу комплексных чисел: $ \mathbf i^2=-1 $.

Рассмотрим теперь другой частный случай выбора числа $ z_<> $. Пусть оно будет вещественно: $ z=a \in \mathbb R $ и отлично от $ 0_<> $. Тогда $$ w \mapsto a \cdot w \quad \iff \quad (x,y) \mapsto (ax,ay) ; $$ и мы имеем дело с растяжением каждого отрезка комплексной плоскости, имеющего одним концом начало координат, на величину 10) $ a_<> $.

Теперь понятно, что умножение $ w_<> $ на произвольное число $ z = \rho (\cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi) $ (отличное от $ 0_<> $) сводится к комбинации рассмотренных выше преобразований: т.е. к одновременному повороту вокруг начала координат на угол $ \varphi $ и растяжению с коэффициентом $ \rho $.

Подводим итоги: комплексные числа позволяют дать аналитические выражения (формулы) для ряда важных операций на плоскости, как то — сдвига, зеркального отражения, поворота, растяжения. Сразу же возникают соображения о возможности комбинирования этих операций ($ w \mapsto z_1\cdot w + z_2 $, $ w \mapsto z_1\cdot (\overline + z_2) $ и т.п.) для покрытия возможно большего разнообразия мыслимых геометрических преобразований. В этом месте происходит зарождение отдельного раздела комплексного анализа — теории функций комплексной переменной 11) . Пока не устремляясь к этим красочным горизонтам, охладим наш пыл одним критическим замечанием.

Дело в том, что все указанные геометрические преобразования могут быть аналитически представлены и без введения комплексной переменной. Формулы $$ X=x+a, Y=y+b \ ; $$ $$X=x,Y=-y \ ; $$ $$X= x \cos \varphi — y \sin \varphi, \ \quad Y=x \sin \varphi + y \cos \varphi \ ; $$ $$ X=ax, Y=ay $$ полностью описывают все обсужденные операции на вещественной плоскости $ (x,y) $. Никакой мнимой единицы вводить не нужно… И мы вынуждены повторить приведенный выше вывод: польза от введения комплексных чисел не очень оправдана применением их для решения подобных задач.

3. Решение уравнений. Да, задача, поставленная в начале раздела, решена: мы придали смысл словам «решить уравнение $ x^2+1 = 0 $»; более того, на основе разработанного аппарата, мы смогли решить любое уравнение второго порядка. А зачем это нужно? Какой смысл имеют мнимые корни такого уравнения, какую реальность они отражают? — Ответа на этот вопрос пока не даем. Отметим только два обстоятельства. Первое: если полагать, что реальную смысловую нагрузку несут хотя бы вещественные решения уравнения, то, оказывается, что без комплексных чисел не обойтись.

Пример. Решить уравнение $ x^3-3\,x+1=0 $.

Ответом будут три вещественных корня: $$ 2 \cos (<2\pi>/9) \approx 1.53208,\ 2 \cos (<4\pi>/9) \approx 0.34729,\ 2 \cos (<8\pi>/9) \approx -1.87938 \, . $$ Истинность можно проверить подстановкой в уравнение (с применением формулы приведения для степени косинуса, выведенной ☞ ЗДЕСЬ ). Как был получен этот ответ? Решение этого примера на основе формулы Кардано изложено ☞ ЗДЕСЬ. Это решение существенно использует комплексные числа в промежуточных выкладках, хотя они и не участвуют в конечном результате. В данном конкретном примере можно было бы обойтись без них — например, каким-то чудесным способом угадав ответ. Но попробуйте угадать ответ для, скажем, уравнения $ x^3-17\,x+2=0 $ (которое также имеет три вещественных корня). Ответ можно выразить в виде определенной комбинации коэффициентов уравнения, но эта комбинация будет явным образом содержать $ \mathbf i $. Попытки избавиться от мнимой единицы не приводят к результату. Именно эта задача — решения кубического уравнения с вещественными коэффициентами и заведомо вещественными решениями — привела к первому появлению комплексных чисел на математическом горизонте в XVI веке; иными словами, для получения правильного вещественного ответа пришлось вводить число с парадоксальным правилом возведения в квадрат: $ \mathbf i^2=-1 $. См. свидетельство «психологического шока» первооткрывателя ☞ слова Кардано. ♦

Второе обстоятельство, оправдывающее введение комплексных чисел, заключается в их достаточности для решения произвольного уравнения вида $ a_0x^n+a_1x^+\dots+a_n=0 $; здесь $ n_<> $ — натуральное число, $ a_0,a_1,\dots,a_n $ — произвольные фиксированные числа, а $ x_<> $ — неизвестная, относительно которой разыскивается решение уравнения. Оказывается, что все решения этого уравнения можно найти в комплексных числах — при любых коэффициентах (будь они вещественные или даже мнимые). Иными словами, введения других, «сверхкомплексных», чисел не требуется. Этот результат носит название «Основной теоремы высшей алгебры»; это название объясняется тем, что вплоть до конца XIX века основной задачей алгебры считалась задача решения уравнений и систем уравнений.

4. Наконец, исключительно важное значение мнимые числа имеют в экономической науке. К примеру, вручение престижной премии в номинации «Экономика» за 2002 г. см. ☞ ЗДЕСЬ.

Задачи

Источники

[1]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948

[2]. Задача № E 1899 из журнала American Mathematical Monthly, v. 74, N 8, 1967, c. 1010

[3]. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. М.Едиториал УРСС, 2004

[4]. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.Наука. 1984

[5]. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М. Наука. 1965

Примеры решений задач с комплексными числами

На этой странице вы найдете подробные готовые задания с ответами по разделу «Комплексные числа»: действия с комплексными числами, преобразование в алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму, возведение в степень и извлечение корня по формуле Муавра, решение уравнений с комплексными корнями и т.п.

Если вам нужна помощь в выполнении работы по комплексным числам, мы будем рады помочь: стоимость задания от 70 рублей, срок от 1 дня, гарантия месяц, подробное оформление (см. Решение задач на заказ).

Еще полезные ссылки для изучения:

Графические задачи с комплексными числами

Задача 1. Найдите геометрическое место точек, изображающих $z$, удовлетворяющих системе неравенств: $$ |z-1| \lt 1, \\ Re z \le 1, \\ Im z \le 1.$$

Задача 2. Изобразите на $C$: $Re z^2 =-1$.

Действия с комплексными числами. Решения задач

Задача 3. Вычислить сумму $(z_1 + z_2)$ и разность $(z_1 — z_2)$ комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости. $$ z_1 = 2 e^<-\pi i>, z_2=4 e^<\pi i>.$$

Задача 4. Вычислить произведение $z_1 \cdot z_2$ и частное $z_1 / z_2$ комплексных чисел. Операнды и результаты изобразить на комплексной плоскости. $$ z_1 = 4+3i, z_2=1-\sqrt <3>i.$$

Задача 5. Найти все значения корней из заданного комплексного числа $\sqrt[4]<-9>.$

Задача 6. Вычислить $\left(\frac<1-i> <1+i>\right)^<40>.$ Представить результат в алгебраической и показательной формах.

Формы комплексных чисел. Решения задач

Задача 7. Найти $|z|$, $\arg z$, записать число $z$ в тригонометрической и показательной форме $z=-\sqrt<3>-i.$

Задача 8. Найдите $z$ в тригонометрической форме, если $z=(3-3i\sqrt<3>)(5\sqrt<3>+5i).$

Задача 9. Дано комплексное число $a$. Требуется:
1) записать число $a$ в алгебраической и тригонометрической формах;
2) найти корни уравнения $z^3+a=0$. $$a=\frac<1><\sqrt<3>-i>.$$

Уравнения с комплексными числами. Решения задач

Задача 10. Решите уравнение (ответ запишите в алгебраической форме): $sh z — ch z =2i.$

Задача 11. Решить уравнения или вычислить: $$ \frac = \frac<4+i><4i-1>. $$

Задача 12. Найти все комплексные корни заданного уравнения, отметить найденные корни на комплексной плоскости: $z^6-7z^3-8=0.$