Решение уравнений с комплексными числами в алгебраической форме
Квадратный корень из комплексного числа
Корни четвертой и пятой степени
Возведение в степень
Мнимая и действительная часть
Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):
Правила ввода выражений и функций
3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно
2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Где учитесь?
Для правильного составления решения, укажите:
Решение уравнений с комплексными числами
Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.
Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:
где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = <0, 1, 2, 3, …n-1 >.
Пример 1. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.
Пример 2. Найти все корни уравнения
Найдем дискриминант уравнения:
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:
Найдем корни уравнения:
Ответ:
Пример 3. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа
Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = <0, 1, 2, 3>. Найдем модуль комплексного числа:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:
Пример 4. Найти корни уравнения
Решение кубического уравнения комплексными числами:
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.
Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:
Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.
Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.
После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.
Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.
Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.
Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.
Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №38. Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) понятие мнимой единицы;
2) определение комплексного числа;
3) действия с комплексными числами и действия над ними.
Глоссарий по теме
Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — действительные числа.
Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.
Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z1 и z2, то есть z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.
Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z,
Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.
Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2 i называется комплексное число z, определяемое равенством:
Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.
Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем i 2 = —1.
Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.
Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — действительные числа. При этом выполняются условия:
б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:
в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:
Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.
Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0
Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a: a + 0i = a.
Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi: 0 + bi = bi.
Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.
Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1 i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z1 и z2, то есть z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.
Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
3º. Комплексное число – a – bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0
Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z + z2 =z1.
Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.
Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) — (-3 + 2i).
(4 – 2i) — (-3 + 2i) = (4 — (-3)) + (-2 — 2) i = 7 – 4i.
Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2i называется комплексное число z, определяемое равенством:
Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:
4º. z · = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2 — действительное число.
На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.
В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.
Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).
1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2⋅ 5 – 3⋅ (- 7)) + (2⋅ (- 7) + 3⋅ 5)i =
= (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.
2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2⋅ 5 + 2⋅ (- 7i) + 3i⋅ 5 + 3i⋅ (- 7i) =
= 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.
Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.
На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.
Пусть z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, тогда
В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.
Пример 4. Найти частное
5) Возведение в целую положительную степень.
а) Степени мнимой единицы.
Пользуясь равенством i 2 = -1, легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 и т. д.
Это показывает, что значения степени i n , где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .
Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.
Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17 ) · i 23 .
i 36 = (i 4 ) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4⋅ 4+1 = (i 4 ) 4 ⋅ i = 1 · i = i.
i 23 = i 4⋅ 5+3 = (i 4 ) 5 ⋅ i 3 = 1 · i 3 = — i.
(i 36 + i 17 ) · i 23 = (1 + i) (- i) = — i + 1= 1 – i.
б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.
Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3⋅ 4 2 ⋅ 2i + 3⋅ 4⋅ (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Стоит отметить. что с помощью комплексных чисел можно решать квадратные уравнения, у которых отрицательный дискриминант.
Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.
Пример 7. Решите уравнения:
а) x 2 – 6x + 13 = 0; б) 9x 2 + 12x + 29 = 0.
Решение. а) Найдем дискриминант по формуле
D = b 2 – 4ac.
Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то
D = (– 6) 2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;
Корни уравнения находим по формулам
б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,
D = b 2 – 4ac =122 – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900,
Находим корни уравнения:
Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: единичный выбор
Вычислите сумму (2 + 3i)+ (5 – 7i).
Решение: 2 + 3i + 5 — 7i = (2 + 5) + (3 — 7)i = 7 — 4i.
Можем сделать вывод, что верный ответ
№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.
Чему будет равно частное: (5 + 3i):(1 — 2i)=______
http://matematyka.ru/reshenie-uravnenij-s-kompleksny-mi-chislami/
http://resh.edu.ru/subject/lesson/4115/conspect/