Решение уравнений с кусочными функциями

Кусочные функции. Как построить график кусочной функции

Кусочными функциями называют функции, которые заданы разными формулами на разных промежутках.

Другими словами, на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам.

Пример. Построить график кусочной функции \(y=\begin-\frac<5>, & x≤-1\\x^2-4x,& x>-1\end\)

1) Построим первую функцию на области \(x∈(-∞;-1]\). Для этого найдем несколько точек из этого участка, одна из которых — граничная точка с \(x=-1\).

Отметим их на координатной плоскости:

\(y=-\) \(\frac<5>\) — гипербола, с учетом этого соединим полученные точки. Главное не перечертить график за граничную точку \((-1;5)\).

2) Построим вторую функцию на области \(x∈(-1;∞)\).
Для начала проверим «состыкуются» ли графики, для этого найдем значение функции \(y=x^2-4x\) в точке \(-1\):
\(y(-1)=(-1)^2-4\cdot(-1)=1+4=5\) – значение такое же, как в первой функции, значит графики состыкуются.

\(y=x^2-4x\) – квадратичная функция , график этой функции — парабола с ветвями вверх. Чтобы её построить найдем координаты вершины парабола:

Отметим эту точку на графике и проведем через неё ось симметрии параболы.

Найдем значение в точке \(1\) и \(0\):
\(y(1)=1^2-4\cdot 1=1-4=-3\)
\(y(0)=0^2-4\cdot 0=0\)
Отметим точки \((1;-3)\), \((0;0)\) и симметричные им на координатной плоскости.

Соединим первый график и получившиеся точки в одну плавную линию.

Готово. График кусочной функции построен.

Как не должна выглядеть кусочная функция:

Здесь парабола заехала на территорию гиперболы, а гипербола заехала на территорию параболы, так быть не должно! У каждого кусочка – своя территория.

Кусочно-линейная функция

Графики и формулы кусочно-линейных функций

Ситуация, когда движение или другое явление можно описать одной линейной функцией, определенной на интервале $-\infty \lt t \lt +\infty$, в действительности невозможна. Хотя бы потому, что возраст Вселенной велик, но не бесконечен.

На практике в течение некоторого времени тело может двигаться, потом – покоиться, потом – опять прийти в движение, но уже с другой скоростью и в другом направлении и т.п. Как задать подобную зависимость?

Допустим, турист идет из начальной точки по прямой тропинке в течение 2 ч со скоростью 5 км/ч, затем останавливается отдохнуть на 1ч и возвращается обратно по той же тропинке со скоростью 4 км/ч. Нам нужно найти формулу для расстояния s(t) от начальной точки на протяжении всего похода.

Изобразим зависимость s(t) графически:

Первый отрезок AB легко записать: $ s_1 (t) = 5t,0 \le t \lt 2$

С отрезком BC тоже всё ясно: $s_2 (t) = 10,2 \le t \lt 3$

Осталось найти формулу для отрезка CD. Для него известен угловой коэффициент, равный скорости k = -4; знак «минус» оттого, что турист возвращается обратно. Формула имеет вид $s_3 (t) = -4t+b$. Также, нам известны координаты C(3;10).

Подставляем: $10 = -4 \cdot 3+b \Rightarrow b =22$. Осталось рассчитать момент возвращения:

$$0 = -4t_+22 \Rightarrow t_ = 22:4 = 5,5$$ (ч)

Значит, формула движения на отрезке $CD:s_3 (t) = -4t+22,3 \le t \le 5,5.$

$$s(t) = <\left\< \begin 5t,0 \le t \lt 2 \\ 10,2 \le t \lt 3 \\ -4t+22,3 \le t \le 5,5 \end \right.> $$

Важным свойством заданной функции является выполнение условий согласования:

$$ s_1 (2) = s_2 (2) = 10,s_2 (3) = s_3 (3) = 10$$

Наша функция «сшита» на концах промежуточных интервалов.

$$x f(x) = <\left\< \begin k_1 x+b_1, x_1 \le x \lt x_2 \\ k_2 x+b_2,x_2 \le x \lt x_3 \\…\\ k_n x+b_n,x_n \le x \lt x_ \end \right.>$$

При этом для функции на краях интервалов выполняются условия согласования:

Графиком кусочно-линейной функции является ломаная линия

Знак модуля в линейных функциях

$$ |x| = \left[ \begin x, x\ge0 \\ -x, x \lt 0\end \right.$$

Если в формуле для линейной функции содержится знак модуля, то после его раскрытия получается кусочно-линейная функция.

Мы заменили квадратную скобку со значением «или» на фигурную скобку со значением «и», поскольку именно смысл объединения — «и того, и другого» — вкладывается в определение кусочно-линейной функции .

Примеры

Пример 1. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:

б) $ y = 2|x|-1 = <\left\< \begin -2x-1, x \lt0 \\ 2x-1, x \ge 0 \end \right.>$

Пример 2*. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:

Как видно из этого примера, аналитически выводить формулу для двух модулей очень нелегко.

Гораздо легче сразу построить график, если следовать следующим простым правилам преобразования.

Шаг 1. Строим y = 2x-1

Шаг 2. Строим y = 2|x|-1 по правилу: |x| отражает часть графика для положительных $x \ge 0$ влево, зеркально относительно оси Y

Шаг 3. Строим y = |(2|x|-1)| по правилу: общий модуль отражает участок графика с отрицательными $y \lt 0$ вверх, зеркально относительно оси X

6. Дифференциальные уравнения с кусочными функциями

Дифференциальные уравнения с кусочными функциями

Функции кусочного типа широко используются при математическом моделировании различных физических объектов и систем. В основе такого моделирования обычно лежит решение дифференциальных уравнений, описывающих поведение объектов и систем. Покажем возможность применения кусочных функций для решения дифференциальных уравнений.

Ниже представлено задание дифференциального уравнения первого порядка, содержащего кусочную функцию:

Используя функцию dsolve, выполним решение этого дифференциального уравнения:

Нетрудно заметить, что результат получен также в форме кусочной функции, полностью определяющей решение на трех интервалах изменениях. Приведем пример решения дифференциального уравнения второго порядка с кусочной функцией:

В конце этого раздела приведем пример решения нелинейного дифференциального уравнения Риккати с кусочной функцией:

В ряде случаев желательна проверка решения дифференциальных уравнений. Ниже показано, как она делается для последнего уравнения:

Как видно из приведенных достаточно простых и наглядных примеров, результаты решения дифференциальных уравнений с кусочными функциями могут быть довольно громоздкими. Это, однако, не мешает эффективному применению функций данного класса.