«Некоторые методы решения логарифмических уравнений»
Разделы: Математика
Некоторые методы решения логарифмических уравнений.
Настоящая статья содержит систематическое изложение методов решения логарифмических уравнений с одной переменной. Это поможет учителю, прежде всего в дидактическом смысле: подбор упражнений позволяет составить для учащихся индивидуальные задания с учетом их возможностей. Данные упражнения могут быть использованы для урока обобщения и для подготовки к ЕГЭ.
Краткие теоретические сведения и решения задач позволяют учащимся самостоятельно развивать умения и навыки решения логарифмических уравнений.
Решение логарифмических уравнений.
Логарифмические уравнения – уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма. При решении логарифмических уравнений часто используются теоретические сведения:
Обычно решение логарифмических уравнений начинается с определения ОДЗ. В логарифмических уравнениях рекомендуется все логарифмы преобразовать так, чтобы их основания были равны. Затем уравнения либо выражают через один какой – либо логарифм, который обозначается новой переменной, либо уравнение преобразовывают к виду, удобному для потенцирования.
Преобразования логарифмических выражений не должны приводить к сужению ОДЗ, если же примененный метод решения сужает ОДЗ, выпуская из рассмотрения отдельные числа, то эти числа в конце задачи необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение, т.к. при сужении ОДЗ возможна потеря корней.
1. Уравнения вида – выражение, содержащее неизвестное число, а число .
Для решения таких уравнений надо:
1) воспользоваться определением логарифма: ;
2) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
Если ) .
2. Уравнения первой степени относительно логарифма, при решении которых используются свойства логарифмов.
Для решения таких уравнений надо:
1) используя свойства логарифмов, преобразовать уравнение;
2) решить полученное уравнение;
3) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
).
3. Уравнение второй и выше степени относительно логарифма.
Для решения таких уравнений надо:
- сделать замену переменной;
- решить полученное уравнение;
- сделать обратную замену;
- решить полученное уравнение;
- сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
4.Уравнения, содержащие неизвестное в основании и в показателе степени.
Для решения таких уравнений надо:
- прологарифмировать уравнение;
- решить полученное уравнение;
- сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им
корни (решения).
5. Уравнения, которые не имеют решения.
- Для решения таких уравнений надо найти ОДЗ уравнения.
- Проанализировать левую и правую часть уравнения.
- Сделать соответствующие выводы.
Исходное уравнение равносильно системе:
Доказать, что уравнение не имеет решения.
ОДЗ уравнения определяется неравенством х ≥ 0. На ОДЗ имеем
Сумма положительного числа и неотрицательного числа не равна нулю, поэтому исходное уравнение решений не имеет.
Ответ : решений нет.
В ОДЗ попадает только один корень х = 0. Ответ: 0.
Произведем обратную замену.
Найденные корни принадлежат ОДЗ.
ОДЗ уравнения – множество всех положительных чисел.
Аналогично решаются данные уравнения:
Задачи для самостоятельного решения:
Используемая литература.
- Бесчетнов В.М. Математика. Москва Демиург 1994
- Бородуля И.Т. Показательная и логарифмическая функции. ( задачи и упражнения). Москва «Просвещение» 1984
- Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Москва «Наука» 1987
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер. Москва «Илекса»2007
- Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В.. Задачи по алгебре и началам анализа. Москва «Просвещение» 2003
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение логарифмических уравнений.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить логарифмическое уравнение. Программа для решения логарифмического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> ln(b) или log(b) или log(e,b) — натуральный логарифм числа b
log(10,b) — десятичный логарифм числа b
log(a,b) — логарифм b по основанию a
Введите логарифмическое уравнение
Решить уравнение
Немного теории.
Логарифмическая функция. Логарифмы
Задача 1. Найти положительный корень уравнения x 4 = 81
По определению арифметического корня имеем \( x = \sqrt[4] <81>= 3 \)
Задача 2. Решить уравнение 3 x = 81
Запишем данное уравнение так: 3 x = 3 4 , откуда x = 4
В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени. Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение 3 x = 80 таким способом решить не удаётся. Однако это уравнение имеет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения, вводится понятие логарифма числа.
Уравнение a x = b, где a > 0, \( a \neq 1 \), b > 0, имеет единственный корень. Этот корень называют логарифмом числа b no основанию a и обозначают logab
Например, корнем уравнения 3 x = 81 является число 4, т.е. log381 = 4.
Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, \( a \neq 1 \), называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b
log77 = 1, так как 7 1 = 7
Определение логарифма можно записать так:
Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.
Действие нахождения числа по его логарифму называют потенцированием.
Вычислить log64128
Обозначим log64128 = х. По определению логарифма 64 x = 128. Так как 64 = 2 6 , 128 = 2 7 , то 2 6x = 2 7 , откуда 6x = 7, х = 7/6.
Ответ log64128 = 7/6
Вычислить \( 3^ <-2\log_3 5>\)
Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим
Решить уравнение log3(1-x) = 2
По определению логарифма 3 2 = 1 — x, откуда x = -8
Свойства логарифмов
При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.
Пусть а > 0, \( a \neq 1 \), b > 0, c > 0, r — любое действительное число. Тогда справедливы формулы:
Десятичные и натуральные логарифмы
Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью микрокалькулятора. И в том и в другом случае находятся только десятичные или натуральные логарифмы.
Определение. Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут
lg b вместо log10b
Определение. Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e — иррациональное число, приближённо равное 2,7. При этом пишут ln b вместо logeb
Иррациональное число e играет важную роль в математике и её приложениях. Число e можно представить как сумму:
$$ e = 1 + \frac<1> <1>+ \frac<1> <1 \cdot 2>+ \frac<1> <1 \cdot 2 \cdot 3>+ \dots + \frac<1> <1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n>+ \dots $$
Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы чисел по любому основанию.
Для этого используется формула замены основания логарифма:
Следствия из формулы замены основания логарифма.
При c = 10 и c = e получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:
$$ \log_a b = \frac<\lg b> <\lg a>, \;\; \log_a b = \frac<\ln b> <\ln a>$$
Логарифмическая функция, её свойства и график
В математике и её приложениях часто встречается логарифмическая функция
y = logax
где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1 \)
Логарифмическая функция обладает свойствами:
1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел.
2) Множество значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел.
3) Логарифмическая функция не является ограниченной.
4) Логарифмическая функция y = logax является возрастающей на промежутке \( (0; +\infty) \), если a > 1,
и убывающей, если 0 1, то функция y = logax принимает положительные значения при х > 1,
отрицательные при 0 1.
Ось Oy является вертикальной асимптотой графика функции y = logax
Отметим, что график любой логарифмической функции y = logax проходит через точку (1; 0).
При решении уравнений часто используется следующая теорема:
Логарифмическая функция y = logax и показательная функция y = a x , где a > 0, \( a \neq 1 \), взаимно обратны.
Логарифмические уравнения
Решить уравнение log2(x+1) + log2(x+3) = 3
Предположим, что х — такое число, при котором равенство является верным, т.е. х — корень уравнения. Тогда по свойству логарифма верно равенство
log2((x+1)(x+3)) = 3
Из этого равенства по определению логарифма получаем
(x+1)(x+3) = 8
х 2 + 4х + 3 = 8, т.е. х 2 + 4x — 5 = 0, откуда x1 = 1, х2 = -5
Так как квадратное уравнение является следствием исходного уравнения, то необходима проверка.
Проверим, являются ли числа 1 и -5 корнями исходного уравнения.
Подставляя в левую часть исходного уравнения х = 1, получаем
log2(1+1) + log2(1+3) = log22 + log24 = 1 + 2 = 3, т.е. х = 1 — корень уравнения.
При х = -5 числа х + 1 и х + 3 отрицательны, и поэтому левая часть уравнения не имеет смысла, т.е. х = -5 не является корнем этого уравнения.
Ответ x = 1
Решить уравнение lg(2x 2 — 4x + 12) = lg x + lg(x+3)
По свойству логарифмов
lg(2x 2 — 4x + 12) = lg(x 2 + 3x)
откуда
2x 2 — 4x + 12 = x 2 + 3x
x 2 — 7x + 12 = 0
x1 = 3, х2 = 4
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ x1 = 3, х2 = 4
Решить уравнение log4(2x — 1) • log4x = 2 log4(2x — 1)
Преобразуем данное уравнение:
log4(2x — 1) • log4x — 2 log4(2x — 1) = 0
log4(2х — 1) • (log4 x — 2) = 0
Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения к нулю, получаем:
1) log4 (2х — 1) = 0, откуда 2х — 1 = 1, х1 = 1
2) log4 х — 2 = 0, откуда log4 = 2, х2 = 16
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
Ответ x1 = 1, х2 = 16
Логарифмические уравнения
Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.
Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
При этом 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.
Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:
Основное логарифмическое тождество:
Основные формулы для логарифмов:
(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)
(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)
Формула перехода к новому основанию:
Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.
Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.
Простейшие логарифмические уравнения
Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.
Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ alt=’b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1′ />.
Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.
2. Решите уравнение:
В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.
3. Решите уравнение:
Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.
4. Решите уравнение:
Область допустимых значений: 0.’ alt=’4+x> 0.’ /> Значит, -4.’ alt=’x> -4.’ />
Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.
Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом -4′ alt=’x> -4′ />.
5. Решите уравнение:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:
0\\ x^<2>-4> 0\\ x^<2>+x=x^<2>-4 \end
Ответ: –4.
Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.
Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов.
0 \end
Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.
ОДЗ:
0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end
Теперь можно «убрать» логарифмы.
— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 0′ alt=’x> 0′ />.
8. Решите уравнение .
ОДЗ уравнения: 0′ alt=’x> 0′ />
Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.
Вернемся к переменной х:
Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.
Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.
Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену
Вернемся к переменной х. Получим:
. Мы нашли все корни исходного уравнения.
Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.
http://www.math-solution.ru/math-task/logarithmic-equality
http://ege-study.ru/logarifmicheskie-uravneniya/