Решение уравнений с множествами примеры

Решение некоторых задач по теории множеств

Разделы: Математика

На математическом кружке вместе с учащимися рассматривался ряд задач, благодаря наглядности которых, процесс решения становится понятным и интересным. На первый взгляд им хочется составить систему уравнений, но в процессе решения остается много неизвестных, что ставит их в тупик. Для того, чтобы уметь решать эти задачи, необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические разделы теории множеств.

Введем определение множества, а так же некоторые обозначения.

Под множеством мы будем понимать такой набор, группу, коллекцию элементов, обладающих каким-либо общим для них всех свойством или признаком.

Множества обозначим А, В, С…, а элементы множеств а, b, с…, используя латинский алфавит.

Можно сделать такую запись определения множества:

, где

“” – принадлежит;
“=>“ – следовательно;
“ø” – пустое множество, т.е. не содержащее ни одного элемента.

Два множества будем называть равными, если они состоят из одних и тех же элементов

Если любой элемент из множества А принадлежит и множеству В, то говорят, что множество А включено в множество В, или множество А является подмножеством множества В, или А является частью В, т.е. если , то , где “С” знак подмножества или включения.

Графически это выглядит так (рис.1):

Можно дать другое определение равных множеств. Два множества называются равными, если они являются взаимными подмножествами.

Рассмотрим операции над множествами и их графическую иллюстрацию (рис.2).

Объединением множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Слова “или ” ключевое в понимании элементов входящих в объединение множеств.

Это определение можно записать с помощью обозначений:

А υ В, где

где “ υ ” – знак объединения,

“ / ” – заменяет слова ”таких что“

Пресечение двух множеств А и В называется множество С, образованное всеми элементами, которые принадлежат и множеству А, и множеству В. Здесь уже ключевое слово “и”. Запишем коротко:

А ∩ В = С, где

“∩“ – знак пересечения. (рис.3)

Обозначим буквой Е основное или универсальное множество, где A С Е (“”- любо число), т.е. А Е = Е; АЕ =А

Множество всех элементов универсального множества Е, не принадлежащих множеству А называется дополнением множества А до Е и обозначается Ā Е или Ā (рис.4)

Е

Примерами для понимания этих понятий являются свойства:

А Ā=Е Ø = Е Е Ā=Ā

Свойства дополнения имеют свойства двойственности:

АВ = А∩В

АВ = АUВ

Введем еще одно понятие – это мощность множества.

Для конечного множества А через m (A) обозначим число элементов в множестве А.

Из определение следуют свойства:

Для любых конечных множеств справедливы так же утверждения:

m (AB) =m (A) + m (В) – m (А∩В)

m (A∩B) = m (A) + m (В) – m (АВ)

m (ABC) = m (A) + m (В) + m (С)– m (А∩В) — m (А∩С) – m (В∩С) – m (А∩В∩С).

А теперь рассмотрим ряд задач, которые удобно решать, используя графическую иллюстрацию.

Задача №1

В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек.

По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека.

1. Сколько учащихся решили все задачи?
2. Сколько учащихся решили только две задачи?
3. Сколько учащихся решили только одну задачу?

Задача № 2

Первую или вторую контрольные работы по математике успешно написали 33 студента, первую или третью – 31 студент, вторую или третью – 32 студента. Не менее двух контрольных работ выполнили 20 студентов.

Сколько студентов успешно решили только одну контрольную работу?

Задача № 3

В классе 35 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 6 учеников, метро и автобусом – 15 учеников, метро и троллейбусом – 13 учеников, троллейбусом и автобусом – 9 учеников.

Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта?

Решение задачи № 1

Запишем коротко условие и покажем решение:

• m (Е) = 40
• m (А) = 20
• m (В) = 18
• m (С) = 18
• m (А∩В) = 7
• m (А∩С) = 8
• m (В∩С) = 9

m (АВС) = 3 => m (АВС) = 40 – 3 = 37

Обозначим разбиение универсального множества Е множествами А, В, С (рис.5).

К 1 – множество учеников, решивших только одну задачу по алгебре;

К 2 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и геометрии;

К 3 – множество учеников, решивших только задачу по геометрии;

К 4 – множество учеников, решивших только две задачи по алгебре и тригонометрии;

К 5 – множество всех учеников, решивших все три задачи;

К 6 – множество всех учеников, решивших только две задачи, по геометрии и тригонометрии;

К 7 – множество всех учеников, решивших только задачу по тригонометрии;

К 8 – множество всех учеников, не решивших ни одной задачи.

Используя свойство мощности множеств и рисунок можно выполнить вычисления:

• m (К 5 ) = m (А∩В∩С)= m (АВС) — m (А) — m (В) — m (С) + m (А∩В) + m (А∩С) + m (В∩С)
• m (К 5 ) = 37-20-18-18+7+8+9=5
• m (К 2 ) = m (А∩В) — m (К 5 ) = 7-5=2
• m (К 4 ) = m (А∩С) — m (К 5 ) = 8-5=3
• m (К 6 ) = m (В∩С) — m (К 5 ) = 9-5=4
• m (К 1 ) = m (А) — m (К 2 ) — m (К 4 ) — m (К 5 ) = 20-2-3-5=10
• m (К 3 ) = m (В) — m (К 2 ) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 18-2-4-5=7
• m (К 7 ) = m (С) — m (К4) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 18-3-4-5 =6
• m (К 2 ) + m (К 4 ) + m (К6) = 2+3+4=9 – число учеников решивших только две задачи;
• m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 10+7+6=23 – число учеников решивших только одну задачу.

Ответ:

5 учеников решили три задачи;

9 учеников решили только по две задачи;

23 ученика решили только по одной задаче.

С помощью этого метода можно записать решения второй и третьей задачи так:

Решение задачи № 2

• m (АВ) = 33
• m (АС) = 31
• m (ВС) = 32
• m (К 2 ) + m (К 4 ) + m (К 6 ) + m (К 5 ) = 20

Найти m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 )

• m (АUВ) = m (К 1 ) + m (К 2 ) + m (К 3 ) + m (К 4 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) = m (К 1 ) + m (К 3 ) + 20 = 33 =>
• m (К 1 ) + m (К 3 ) = 33 – 20 = 13
• m (АUС) = m (К 1 ) + m (К 4 ) + m (К 2 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) + m (К 7 ) = m (К 1 ) + m (К 7 ) + 20 = 31 =>
• m (К 1 ) + m (К 7 ) = 31 – 20 = 11
• m (ВUС) = m (К 3 ) + m (К 2 ) + m (К 5 ) + m (К 6 ) + m (К 7 ) + m (К 4 ) = m (К 3 ) + m (К 7 ) + 20 = 32 =>
• m (К 3 ) + m (К 7 ) = 32 – 20 = 12
• 2m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 13+11=24
• 2m (К 1 ) + 12 = 24
• 
• m (К 3 )= 13-6=7
• m (К 7 )=12-7=5
• m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = 6+7+5=18

Ответ:

Только одну контрольную работу решили 18 учеников.

Решение задачи № 3

• m (Е) = 35
• m (А∩В∩С)= m (К 5 ) = 6
• m (А∩В)= 15
• m (А∩С)= 13
• m (В∩С)= 9

Найти m (К1) + m (К3) + m (К 7 )

• m (К 2 ) = m (А∩В) — m (К 5 ) = 15-6=9
• m (К 4 ) = m (А∩С) — m (К 5 ) = 13-6=7
• m (К 6 ) = m (В∩С) — m (К 5 ) = 9-6=3
• m (К 1 ) + m (К 3 ) + m (К 7 ) = m (Е) — m (К 4 ) — m (К 2 ) — m (К 6 ) — m (К 5 ) = 35-7-9-3-6=10

Ответ:

Только одним видом транспорта пользуется 10 учеников.

Литература: А.Х. Шахмейстер «Множества. Функции. Последовательности»

Операции над множествами

Пересечение множеств

Рассмотрим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.

Видим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла.

Говоря на языке множеств, элементы Том и Фред принадлежат как множеству друзей Джона, так и множеству друзей Майкла.

Зададим новое множество с названием «Общие друзья Джона и Майкла» и в качестве элементов добавим в него Тома и Фреда :

В данном случае множество «Общие друзья Джона и Майкла» является пересечением множеств друзей Джона и Майкла.

Пересечением двух (или нескольких) исходных множеств называется множество, которое состоит из элементов, принадлежащих каждому из исходных множеств.

В нашем случае элементы Том и Фред принадлежат каждому из исходных множеств, а именно: множеству друзей Джона и множеству друзей Майкла.

Обозначим множество друзей Джона через букву A , множество друзей Майкла — через букву B , а множество общих друзей Джона и Майкла обозначим через букву C :

Тогда пересечением множеств A и B будет множество C и записываться следующим образом:

Символ ∩ означает пересечение.

Говоря о множестве, обычно подразумевают элементы, принадлежащие этому множеству. Символ пересечения ∩ читается, как союз И. Тогда выражение A ∩ B = C можно прочитать следующим образом:

«Элементы, принадлежащие множеству A И множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C».

«Друзья, одновременно принадлежащие Джону И Майклу, есть общие друзья Джона и Майкла».

Теперь представим, что у Джона и Майкла нет общих друзей. Для удобства, как и прежде обозначим множество друзей Джона через букву A , а множество друзей Майкла через букву B

В этом случае говорят, что исходные множества не имеют общих элементов и пересечением таких множеств является пустое множество. Пустое множество обозначается символом ∅

Пример 2. Рассмотрим два множества: множество A , состоящее из чисел 1, 2, 3, 5, 7 и множество B, состоящее из чисел 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18

Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B

Множество С является пересечением множеств A и B , поскольку элементы множества C одновременно принадлежат множеству A и множеству B

Пример 3. Рассмотрим два множества: множество A, состоящее из чисел 1, 5, 7, 9 и множество B , состоящее из чисел 1, 4, 5, 7

Зададим новое множество C и добавим в него элементы, которые одновременно принадлежат множеству A и множеству B

Множество С является пересечением множеств A и B , поскольку элементы множества C одновременно принадлежат множеству A и множеству B.

Пример 4. Найти пересечение следующих множеств:

Пересечением множеств A , B и C будет множество, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств A , B и C . Этими элементами являются числа 3 и 9.

Зададим новое множество D и добавим в него элементы 3 и 9. Затем с помощью символа пересечения ∩ запишем, что пересечением множеств A, B и C является множество D

Чтобы найти пересечение, вовсе необязательно задавать множества с помощью букв. Если элементов мало, то множество можно задать прямым перечислением элементов.

К примеру, пусть первое множество состоит из элементов 1, 3, 5, а второе из элементов 2, 3, 5 . Пересечением в данном случае является множество, состоящее из элементов 3 и 5 . Чтобы записать пересечение, можно воспользоваться прямым перечислением:

Числовые промежутки, которые мы рассмотрели в предыдущих уроках, тоже являются множествами. Элементами таких множеств являются числа, входящие в числовой промежуток.

Например, отрезок [2; 6] можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие данному отрезку:

Следует иметь ввиду, что мы перечислили только целые числа. Отрезку [2; 6] также принадлежат и другие числа, не являющиеся целыми, например, десятичные дроби. Десятичные дроби располагаются между целыми числами, но их количество настолько велико, что перечислить их не представляется возможным.

Еще пример. Интервал (2; 6) можно понимать, как множество всех чисел от 2 до 6, кроме чисел 2 и 6. Ранее мы говорили, что интервал это такой числовой промежуток, границы которого не принадлежат ему. Для наглядности можно перечислить все целые числа, принадлежащие интервалу (2; 6) :

Поскольку числовые промежутки являются множествами, то мы можем находить пересечения между различными числовыми промежутками. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 5. Даны два числовых промежутка: [2; 6] и [4; 8] . Найти их пересечение.

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [2; 6] и [4; 8] :

Видно, что числа 4, 5, 6 принадлежат как первому промежутку [2; 6] , так и второму [4; 8] .

Тогда пересечением числовых промежутков [2; 6] и [4; 8] будет числовой промежуток [4; 6]

Изобразим промежутки [2; 6] и [4; 8] на координатной прямой. На верхней области отметим числовой промежуток [2; 6] , на нижней — промежуток [4; 8]

Видно, что числа, принадлежащие промежутку [4; 6] , принадлежат как промежутку [2; 6] , так и промежутку [4; 8] . Можно также заметить, что штрихи, входящие в промежутки [2; 6] и [4; 8] пересекаются в промежутке [4; 6] . В такой ситуации, когда перед глазами есть координатная прямая, понятие пересечения множеств можно понимать в прямом смысле, что очень удобно.

Пример 6. Найти пересечение числовых промежутков [−2; 3] и [4; 7]

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие промежуткам [−2; 3] и [4; 7] :

−2, −1, 0, 1, 2, 3 ∈ [−2; 3]

Видно, что числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] не имеют общих чисел. Поэтому их пересечением будет пустое множество:

Если изобразить числовые промежутки [−2; 3] и [4; 7] на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:

Пример 7. Дано множество из одного элемента < 2 >. Найти его пересечение с промежутком (−3; 4)

Множество, состоящее из одного элемента < 2 >, на координатной прямой изображается в виде закрашенного кружка, а числовой промежуток (−3; 4) это интервал, границы которого не принадлежат ему. Значит границы −3 и 4 будут изображаться в виде пустых кружков:

Пересечением множества < 2 >и числового промежутка (−3; 4) будет множество, состоящее из одного элемента < 2 >, поскольку элемент 2 принадлежит как множеству < 2 >, так и числовому промежутку (−3; 4)

На самом деле мы уже занимались пересечением числовых промежутков, когда решали системы линейных неравенств. Вспомните, как мы решали их. Сначала находили множество решений первого неравенства, затем множество решений второго. Затем находили множество решений, которые удовлетворяют обоим неравенствам.

По сути, множество решений, удовлетворяющих обоим неравенствам, является пересечением множеств решений первого и второго неравенства. Роль этих множеств берут на себя числовые промежутки.

Например, чтобы решить систему неравенств , мы должны сначала найти множества решений каждого неравенства, затем найти пересечение этих множеств.

В данном примере решением первого неравенства x ≥ 3 является множество всех чисел, которые больше 3 (включая само число 3). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток [3; +∞)

Решением второго неравенства x ≤ 6 является множество всех чисел, которые меньше 6 (включая само число 6). Иначе говоря, решением неравенства является числовой промежуток (−∞; 6]

А общим решением системы будет пересечение множеств решений первого и второго неравенства, то есть пересечение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

Если мы изобразим множество решений системы на координатной прямой, то увидим, что эти решения принадлежат промежутку [3; 6] , который в свою очередь является пересечением промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

Поэтому в качестве ответа мы указывали, что значения переменной x принадлежат числовому промежутку [3; 6], то есть пересечению множеств решений первого и второго неравенства

Пример 2. Решить неравенство

Все неравенства, входящие в систему уже решены. Нужно только указать те решения, которые являются общими для всех неравенств.

Решением первого неравенства является числовой промежуток (−∞; −1) .

Решением второго неравенства является числовой промежуток (−∞; −5) .

Решением третьего неравенства является числовой промежуток (−∞; 4) .

Решением системы будет пересечение числовых промежутков (−∞; −1), (−∞; −5) и (−∞; 4) . В данном случае этим пересечением является промежуток (−∞; −5) .

На рисунке представлены числовые промежутки и неравенства, которыми эти числовые промежутки заданы. Видно, что числа, принадлежащие промежутку (−∞; −5) , одновременно принадлежат всем исходным промежуткам.

Запишем ответ к системе с помощью числового промежутка:

Пример 3. Решить неравенство

Решением первого неравенства y > 7 является числовой промежуток (7; +∞) .

Решением второго неравенства y является числовой промежуток (−∞; 4) .

Решением системы будет пересечение числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4) .

В данном случае пересечением числовых промежутков (7; +∞) и (−∞; 4) является пустое множество, поскольку эти числовые промежутки не имеют общих элементов:

Если изобразить числовые промежутки (7; +∞) и (−∞; 4) на координатной прямой, то можно увидеть, что они нигде не пересекаются:

Объединение множеств

Объединением двух (или нескольких) исходных множеств называют множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств.

На практике объединение множеств состоит из всех элементов, принадлежащих исходным множествам. Поэтому и говорят, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств.

Рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3 и множество B с элементами 4, 5, 6.

Зададим новое множество C и добавим в него все элементы множества A и все элементы множества B

В данном случае объединением множеств A и B является множество C и обозначается следующим образом:

Символ ∪ означает объединение и заменяет собой союз ИЛИ. Тогда выражение A ∪ B = C можно прочитать так:

Элементы, принадлежащие множеству A ИЛИ множеству B, есть элементы, принадлежащие множеству C.

В определении объединения сказано, что элементы такого множества принадлежат хотя бы одному из исходных множеств. Данную фразу можно понимать в прямом смысле.

Вернёмся к созданному нами множеству C , куда входят все элементы множеств A и B . Возьмём для примера из этого множества элемент 5. Что можно про него сказать?

Если 5 является элементом множества C , а множество С является объединением множеств A и B , то можно с уверенностью заявить, что элемент 5 принадлежит хотя бы одному из множеств A и B . Так оно и есть:

Возьмем ещё один элемент из множества С , например, элемент 2. Что можно про него сказать?

Если 2 является элементом множества C , а множество С является объединением множеств A и B , то можно с уверенностью заявить, что элемент 2 принадлежит хотя бы одному из множеств A и B . Так оно и есть:

Если мы захотим объединить два или более множества и вдруг обнаружим, что один или несколько элементов принадлежат каждому из этих множеств, то в объединение повторяющиеся элементы будут входить только один раз.

Например, рассмотрим множество A с элементами 1, 2, 3, 4 и множество B с элементами 2, 4, 5, 6.

Видим, что элементы 2 и 4 одновременно принадлежат и множеству A , и множеству B . Если мы захотим объединить множества A и B , то новое множество C будет содержать элементы 2 и 4 только один раз. Выглядеть это будет так:

Чтобы при объединении не допустить ошибок, обычно поступают так: сначала в новое множество добавляют все элементы первого множества, затем добавляют элементы второго множества, которые не принадлежат первому множеству. Попробуем сделать такое объединение с множествами A и B .

Итак, у нас имеются следующие исходные множества:

Зададим новое множество С и добавим в него все элементы множества A

Теперь добавим элементы из множества B , которые не принадлежат множеству A . Множеству A не принадлежат элементы 5 и 6 . Их и добавим во множество C

Пример 2. Друзьями Джона являются Том, Фред, Макс и Джордж. А друзьями Майкла являются Лео, Том, Фред и Эван. Найти объединение множеств друзей Джона и Майкла.

Для начала зададим два множества: множество друзей Джона и множество друзей Майкла.

Зададим новое множество с названием «Все друзья Джона и Майкла» и добавим в него всех друзей Джона и Майкла.

Заметим, что Том и Фред одновременно являются друзьями Джона и Майкла, поэтому мы добавим их в новое множество только один раз, поскольку сразу двух Томов и двух Фредов не бывает.

В данном случае множество всех друзей Джона и Майкла является объединением множеств друзей Джона и Майкла.

Друзья Джона ∪ Друзья Майкла = Все друзья Джона и Майкла

Пример 3. Даны два числовых промежутка: [−7; 0] и [−3; 5] . Найти их объединение.

Оба промежутка обрамлены квадратными скобками, значит их границы принадлежат им.

Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этим промежуткам:

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1 , 0 ∈ [−7; 0]

−3,−2, −1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−3; 5]

Объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5] , который содержит все числа промежутка [−7; 0] и [−3; 5] без повторов некоторых из чисел

−7, −6, −5, −4, −3,−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ∈ [−7; 5]

Обратите внимание, что числа −3,−2, −1 принадлежали и первому промежутку и второму. Но поскольку в объединение допускается включать такие элементы только один раз, мы включили их единоразово.

Значит объединением числовых промежутков [−7; 0] и [−3; 5] будет числовой промежуток [−7; 5]

Изобразим на координатной прямой промежутки [−7; 0] и [−3; 5] . На верхней области отметим числовой промежуток [−7; 0] , на нижней — промежуток [−3; 5]

Ранее мы выяснили, что промежуток [−7; 5] является объединением промежутков [−7; 0] и [−3; 5] . Здесь полезно вспомнить про определение объединения множеств, которое было приведено в самом начале. Объединение трактуется, как множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств.

Действительно, если взять любое число из промежутка [−7; 5] , то окажется, что оно принадлежит хотя бы одному из промежутков: либо промежутку [−7; 0] либо промежутку [−3; 5] .

Возьмём из промежутка [−7; 5] любое число, например число 2 . Поскольку промежуток [−7; 5] является объединением промежутков [−7; 0] и [−3; 5] , то число 2 будет принадлежать хотя бы одному из этих промежутков. В данном случае число 2 принадлежит промежутку [−3; 5]

Возьмём ещё какое-нибудь число. Например, число −4 . Это число будет принадлежать хотя бы одному из промежутков: [−7; 0] или [−3; 5] . В данном случае оно принадлежит промежутку [−7; 0]

Возьмём ещё какое-нибудь число. Например, число −2 . Оно принадлежит как промежутку [−7; 0] , так и промежутку [−3; 5] . Но на координатной прямой оно указывается только один раз, поскольку в одной точке сразу два числа −2 не бывает.

Не каждое объединение числовых промежутков является числовым промежутком. Например, попробуем найти объединение числовых промежутков [−2 ; −1] и [4 ; 7].

Идея остаётся та же самая — объединением числовых промежутков [−2 ;−1] и [4 ; 7] будет множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из промежутков: [−2; −1] или [4; 7] . Но это множество не будет являться числовым промежутком. Для наглядности перечислим все целые числа, принадлежащие этому объединению:

Получили множество < −2, −1, 4, 5, 6, 7 >. Это множество не является числовым промежутком по причине того, что числа, располагающиеся между −1 и 4 , не вошли в полученное множество

Числовой промежуток должен содержать все числа от левой границы до правой. Если одно из чисел отсутствует, то числовой промежуток теряет смысл. Допустим, имеется линейка длиной 15 см

Эта линейка является числовым промежутком [0; 15], поскольку содержит все числа в промежутке от 0 до 15 включительно. Теперь представим, что на линейке после числа 9 сразу следует число 12.

Эта линейка не является линейкой в 15 см, и её нежелательно использовать для измерения. Также, её нельзя назвать числовым промежутком [0; 15] , поскольку она не содержит все числа, которые должна была содержать.

Решение неравенств, содержащих знак ≠

Некоторые неравенства содержат знак ≠ (не равно). Например, 2x ≠ 8 . Чтобы решить такое неравенство, нужно найти множество значений переменной x , при которых левая часть не равна правой части.

Решим неравенство 2x ≠ 8 . Разделим обе части данного неравенства на 2, тогда получим:

Получили равносильное неравенство x ≠ 4 . Решением этого неравенства является множество всех чисел, не равных 4. То есть если мы подставим в неравенство x ≠ 4 любое число, которое не равно 4, то получим верное неравенство.

Подставим, например, число 5

5 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 5 не равно 4

7 ≠ 4 — верное неравенство, поскольку 7 не равно 4

И поскольку неравенство x ≠ 4 равносильно исходному неравенству 2x ≠ 8 , то решения неравенства x ≠ 4 будут подходить и к неравенству 2x ≠ 8 . Подставим те же тестовые значения 5 и 7 в неравенство 2x ≠ 8 .

Изобразим множество решений неравенства x ≠ 4 на координатной прямой. Для этого выколем точку 4 на координатной прямой, а всю оставшуюся область с обеих сторон выделим штрихами:

Теперь запишем ответ в виде числового промежутка. Для этого воспользуемся объединением множеств. Любое число, являющееся решением неравенства 2x ≠ 8 будет принадлежать либо промежутку (−∞; 4) либо промежутку (4; +∞). Так и записываем, что значения переменной x принадлежат (−∞; 4) или (4; +∞) . Напомним, что для слова «или» используется символ ∪

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x , принадлежат промежутку (−∞; 4) или промежутку (4; +∞).

Неравенства, содержащие знак ≠ , также можно решать, как обычные уравнения. Для этого знак ≠ заменяют на знак = . Тогда получится обычное уравнение. В конце решения найденное значение переменной x нужно исключить из множества решений.

Решим предыдущее неравенство 2x ≠ 8 , как обычное уравнение. Заменим знак ≠ на знак равенства = , получим уравнение 2x = 8 . Разделим обе части данного уравнения на 2 , получим x = 4 .

Видим, что при x , равном 4, уравнение обращается в верное числовое равенство. При других значениях равенства соблюдаться не будет. Эти другие значения нас и интересуют. А для этого достаточно исключить найденную четвёрку из множества решений.

Пример 2. Решить неравенство 3x − 5 ≠ 1 − 2x

Перенесем −2x из правой части в левую часть, изменив знак, а −5 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Разделим обе части получившегося неравенства на 5

Решением неравенства x ≠ 1,2 является множество всех чисел, не равных 1,2 .

Изобразим множество решений неравенства x ≠ 1,2 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x принадлежат промежутку (−∞; 1,2) или промежутку (1,2; +∞)

Решение совокупностей неравенств

Рассмотрим ещё один вид неравенств, который называется совокупностью неравенств. Такой тип неравенств, возможно, вы будете решать редко, но для общего развития полезно изучить и их.

Совокупность неравенств очень похожа на систему неравенств. Различие в том, что в системе неравенств нужно найти множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству, образующему эту систему.

А в случае с совокупностью неравенств, нужно найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.

Совокупность неравенств обозначается квадратной скобкой. Например, следующая запись из двух неравенств является совокупностью:

Решим данную совокупность. Сначала нужно решить каждое неравенство по отдельности.

Решением первого неравенства x ≥ 3 является числовой промежуток [3; +∞) . Решением второго неравенства x ≤ 6 является числовой промежуток (−∞; 6] .

Множество значений x , при которых верно хотя бы одно из неравенств, будет принадлежать промежутку [3; +∞) или промежутку (−∞; 6] . Так и записываем:

В этом выражении говорится, что переменная x , входящая в
совокупность принимает все значения, принадлежащие промежутку [3; +∞) или промежутку (−∞; 6] . А это то, что нам нужно. Ведь решить совокупность означает найти множество решений, удовлетворяющих хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность. А любое число из промежутка [3; +∞) или промежутка (−∞; 6] будет удовлетворять хотя бы одному неравенству.

Например, число 9 из промежутка [3; +∞) удовлетворяет первому неравенству x ≥ 3. А число −7 из промежутка (−∞; 6] удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6.

Посмотрите внимательно на выражение x ∈ [3; +∞) ∪ (−∞; 6], а именно на его правую часть. Ведь выражение [3; +∞) ∪ (−∞; 6] представляет собой объединение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] . Точнее, объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Стало быть, решением совокупности неравенств является объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6]

Объединением числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] является промежуток (−∞; +∞) . Точнее, объединением числовых промежутков [3; +∞) и (−∞; 6] является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

либо заменить на более короткий:

Возьмём любое число из полученного объединения, и проверим удовлетворяет ли оно хотя бы одному неравенству.

Возьмем для примера число 8. Оно удовлетворяет первому неравенству x ≥ 3.

Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 1. Оно удовлетворяет второму неравенству x ≤ 6

Возьмем еще какое-нибудь число, например, число 5 . Оно удовлетворяет и первому неравенству x ≥ 3 и второму x ≤ 6

Пример 2. Решить совокупность неравенств

Чтобы решить эту совокупность, нужно найти множество решений, которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству, образующему эту совокупность.

Для начала найдём множество решений первого неравенства x . Этим множеством является числовой промежуток (−∞; −0,25) .

Множеством решений второго неравенства x ≥ −7 является числовой промежуток [−7; +∞).

Решением совокупности неравенств будет объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞)

Объединением числовых промежутков (−∞; −0,25) и [−7; +∞) является является вся координатная прямая. А вся координатная прямая это все числа, которые только могут быть

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

либо заменить на более короткий:

Пример 3. Решить совокупность неравенств

Решим каждое неравенство по отдельности:

Множеством решений первого неравенства x является числовой промежуток (−∞; −3) .

Множеством решений второго неравенства x ≤ 0 является числовой промежуток (−∞; 0] .

Решением совокупности неравенств будет объединение множеств решений первого и второго неравенства.

Иначе говоря, решением совокупности будет объединение числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0]

Объединением числовых промежутков (−∞; −3) и (−∞; 0] является числовой промежуток (−∞; 0]

Ответ можно оставить таким, каким мы его записали ранее:

Множество в математике с примерами решения и образцами выполнения

Математика — это точная абстрактная наука, оперирующая своими специальными понятиями, структурами и символами. Основными методами в математических исследованиях являются строгие логические рассуждения, а объектами изучения — математические модели. Но абстрактность математики не означает ее отрыв от реальной жизни. Реальные задачи описываются в математических терминах, как правило в безразмерном виде. Это есть так называемая
математическая модель явления. При решении уже поставленной математической задачи используются абстрактные математические методы.

Одна и та же математическая модель может описывать свойства различных реальных явлений. Само реальное явление рассматривается вновь после решения математической задачи и ее анализа, на основании которого могут быть сделаны выводы
не только о состоянии явления, но и о его развитии. В этом смысле без математики нет науки. Еще великий Леонардо да Винчи писал: «Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя применить ни одну из математических наук, ив том, что не имеет связи с математикой.» И еще: » Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства.»

Математические методы играют огромную роль в образовании современного высококвалифицированного специалиста в технических областях, предоставляя ему аппарат исследования, дисциплинируя, приучая к строгим логическим рассуждениям.
Поскольку язык и методы математики широко используются при современном преподавании всех естественно-научных и технических дисциплин, математика изучается с первого семестра в любом высшем техническом учебном заведении, и на нее выделяется значительная часть бюджета времени студента.

Под множеством понимают любой набор определенных и различимых между собой объектов, рассматриваемых как единое целое. Это высказывание не является определением, поскольку слово « множество» заменено словом «набор». Близкими к понятию «множество» являются понятия: собрание, совокупность, комплекс, система и т. п. Вместе с тем здесь имеется три важных момента.

Объекты, входящие во множество, определенные (т. е. для каждого объекта можно однозначно сказать, принадлежит ли он данному множеству или нет), различимы между собой (во множестве не может быть двух или более одинаковых объектов) и все объекты, входящие во множество, мыслятся как единое целое (все объекты рассматриваются в совокупности, а от свойств отдельных объектов абстрагируются).

Множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Объекты, входящие во множество, называют элементами и их обозначают строчными буквами. Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае множество называется бесконечным.

Множество может быть задано при помощи правила, позволяющего определить, является ли данный объект элементом множества или нет. В записи правило, задающее множество, отделено вертикальной чертой. Например, пусть множество В есть множество решений уравнения тогда В можно записать так Элементами множества В являются числа 2 и 3, то есть

Конечное множество может быть задано перечислением входящих в него и разделенных запятой элементов, например, Множество может содержать и всего лишь один элемент. Множество, не содержащее вообще ни одного эле-

мента, называется пустым и обозначается символом Например, пусть есть множество точек на плоскости, удовлетворяющих условию При окружность, при одна точка, а при пустое множество.

Для указания того факта, что объект принадлежит данному множеству, используют знак Например, Если же объект не принадлежит данному множеству, то пишут знак Например,

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент В одновременно является элементом множества А. Это записывается так:

Пример:

Пусть заданы множества Очевидно, что В есть подмножество А, т. е. Из определения следует, что множество А есть подмножество самого себя, т. е. Говорят, что А — самое широкое подмножество А. Пустое множество является самым узким подмножеством любого множества. Множество А и пустое множество называются несобственными подмножествами множества А. Все другие подмножества А называются собственными подмножествами А.

Пример:

Если то оно имеет, следующие подмножества: Всего 8 подмножеств.

Если конечное множество А состоит из п элементов, то оно имеет ровно подмножеств. Из них ровно являются собственными подмножествами. Элементами множества могут также выступать и другие множества. В этом случае говорят не о множестве множеств, а о системе множеств. Частным случаем системы множеств является система всех подмножеств данного множества А и обозначается Р(А). Так, система подмножеств множества А из предыдущего примера имеет вид

Замечание. Не следует путать символы и . Символ употребляется для обозначения отношения элемента к множеству. Символ употребляется для обозначения отношения множества к множеству.

Зафиксированное каким-либо образом множество объектов, допустимых при данном рассмотрении, называют базовым или универсумом. Базовое множество обозначают буквой Примерами универсума являются: числа в арифметике, слова в языкознании, законы в юриспруденции и т.п.

Операции над множествами

Множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Равенство множеств

Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств обозначают так: А=В. Если множества не равны, то пишут: А В. Отсюда следует, что запись равенства двух множеств «А=В» эквивалентна записи

Пример. Доказать, что множество равно множеству В корней уравнения

Для доказательства решим уравнение. Получим: Следовательно, или Затем непосредственной подстановкой убеждаемся, что любое из чисел 0,2, 3 удовлетворяет уравнению, следовательно или Теперь можно записать, что А=В.

Объединение (сумма) множеств

Объединением множеств А и В называется такое множество С, каждый элемент которого содержится хотя бы в одном из множеств А или В. Обозначается: Пример. Если

Можно рассматривать объединение множеств:

при этом в А входят все элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств Например, множество всех дей-

ствительных чисел состоит из множества положительных чисел множества отрицательных чисел и множества содержащего один элемент — ноль, то есть

Для наглядного представления соотношений между несколькими подмножествами какого-либо универсума часто используются круги Эйлера или диаграммы Венна. Универсум представляется множеством всех точек некоторого прямоугольника, а его подмножества — соответствующими кругами. Операция объединения и другие операции иллюстрируются кругами Эйлера представленными на рис. 1.1-1.5.

Пересечение (умножение) множеств

Пересечением множеств А и В называется множество D, составленное из общих для множеств А и В элементов. Обозначение: Например:

Можно рассматривать пересечение множеств:

при этом в А входят только те элементы, которые входят во все множества Пересечение двух множеств иллюстрируется на рис 1.2.

Пусть есть некоторое множество А. Говорят, что задано разбиение множества А на классы если

для всех причем

Классы — это такие подмножества разбиваемого множества, которые не имеют общих элементов, а их объединение образует исходное множество А. Следовательно, каждый элемент множества А входит в один и только в один класс.

Разность двух множеств

Разностью двух множеств А и В называется множество G, содержащее лишь те элементы из А, которые не входят в В. Обозначение: Отметим, что в А могут находиться не все элементы из вычитаемого множества В (см. рис. 1.3). Например,

Если В — подмножество то разность называется дополнением к В до А. Например, если и то множество дополнение к В до А. Операция дополнения иллюстрируется на рис. 1.4. Дополнение к А до универсума имеет особое обозначение: (см. рис. 1.5).

Пример. Пусть Такое множество называется множеством неотрицательных чисел.

Тогда это множество отрицательных чисел.

Операции над множествами подчиняются определенным законам. Перечислим их.

1.Коммутативный или переместительный закон

2.Ассоциативный или сочетательный закон

Так как порядок выполнения операций несущественен, то скобки в записи опускают.

3.Дистрибутивный или распределительный закон:

6.Закон двойственности де Моргана:

10.Если и одновременно

Из законов (1-12) следует принцип двойственности: всякое равенство, тождественно выполняемое в теории множеств, переходит также в тождественно выполняющееся равенство при замене знака объединения на знак пересечения множество универсум на пустое множество и наоборот.

Прямое произведение множеств

Кортежем называют любую выделенную упорядоченную совокупность объектов (элементов кортежа). Синонимами понятия «кортеж» являются: упорядоченная система, упорядоченная совокупность, вектор, упорядоченный набор, «-ка» и др. Отличие кортежа от множества заключается в том, что компоненты кортежа упорядочены и могут полностью или частично совпадать. Два кортежа называются равными, если они имеют

одинаковую длину, и все их соответствующие компоненты совпадают.

Элементы, составляющие кортеж, называются компонентами, которые в силу упорядоченности имеют номер: первый компонент, второй компонент, … -ый компонент. Длиной кортежа называют число компонентов в кортеже. Когда вместо термина «кортеж» употребляется термин «вектор», то говорят соответственно о координатах и размерности вектора.

Примеры кортежей: Это кортеж N длины 5, первый компонент которого — 8, второй — 7, третий — 4 и т. д.; в этом случае второй, а четвертый компонент кортежа М.

Прямым произведением двух множеств А и В (обозначается называется множество, состоящее из всех тех и только тех пар, первый компонент которых принадлежит А, второй -В. Если первый сомножитель имеет элементов, а второй — то их прямое произведение имеет элементов, каждый из которых — упорядоченная пара. Например, если и В общем случае, если Тем самым прямым произведением множеств называется множество всех кортежей длины (-ок), первый компонент которых принадлежит второй -тый — т. е.

где -ый элемент множества

Если все множества равны между собой, то есть то прямое произведение множеств обозначается как

Например: пусть R — множество действительных чисел, тогда множество упорядоченных пар вида Геометрически R — множество точек числовой оси, тогда множество точек плоскости, где координаты этих точек. Прямое произведение часто называют декартовым произведением множеств. Множество Р называется графиком, если

каждый его элемент является упорядоченной парой, следовательно, любое подмножество множества можно назвать графиком.

Проекцией кортежа на і-ю ось называется і-ый компонент кортежа, т. е. Проекция точки плоскости на первую ось называется абсциссой, на вторую ось — ординатой Из определения прямого произведения следует, что оно не коммутативно, т. е.

Пример:

Пусть А — отрезок [1,3], В — отрезок [2,5]. Тогда множество точек прямоугольника, заштрихованного на рис. 1.6, прямоугольник, заштрихованный на рис. 1.7.

Пример:

Пусть А — множество, элементами которого являются буквы, цифры и все знаки операций и препинания. Такое множество называют алфавитом. Тогда множество всех слов длины .

Природа компонентов прямого произведения обычно отличается от природы элементов сомножителей. Например, пусть Q — множество участников шахматного турнира, тогда при всех есть множество пар участников, причем играет белыми фигурами, черными.

Понятие соответствия

Пусть заданы два множества . Если для каждого элемента указан элемент с которым сопоставляется то говорят, что между множествами установлено соответствие. Иначе говоря, соответствием называется тройка множеств Множество называется областью отправления, — областью прибытия, — графиком соответствия. Если то множество первых проекций называется областью определения соответствия, множество вторых проекций — областью значений этого соответствия, — график соответствия.

Два соответствия равны тогда и только тогда, когда равны их области отправления, области прибытия и графики. Пример. Заданы четыре разных соответствия, имеющие одинаковые области отправления и прибытия:

На рис. 1.8а, 1.86, 1.8в, и 1.8г. различия этих соответствий видны достаточно наглядно.

В соответствии множество всех которые сопоставляются элементу называется образом Множество же всех которым сопоставляют элемент называется прообразом

Соответствие называется всюду определенным, если множество т. е. его область определения, совпадает с областью отправления (в противном случае говорят о частичном соответствии). Если же то соответствие называют сюръективным, или накрывающим. Это означает, что область значений соответствия совпадает с его областью прибытия. На рис. 1.8 а и 1.8 б представлено всюду определенное сюръективное соответствие. Соответствия, представленные на рис.18 в и 1.8 г, не сюръективны, а соответствие, изображенное на рис. 1.8, г не всюду определенное.

Соответствие называется функциональным (или однозначным), если образом любого элемента из является единственный элемент из График такого соответствия называется функциональным. Это означает, что в нем нет пар с одинаковыми первыми и различными вторыми компонентами. Например, соответствие, представленное на рис. 1.8 б, нефункционально. Соответствие называется инъективным, если любому элементу из соответствует единственный элемент из , на рис. 1.8 в изображено инъективное соответствие.

Соответствие между называется взаимно-однозначным (или биективным), если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.

Пусть — множества вещественных чисел. В этом случае график соответствия может быть представлен некоторой линией на плоскости. Например. На рис. 1.9 представлено функциональное соответствие, но оно не инъективно (некоторым соответствует более одного ), не всюду определено ( определен не для всех ), не сюръективно ( проектируется не на все ) и не биективно. На рис. 1.10 представлено нефункциональное соответствие, которое не всюду определено, сюръективно и не биективно. На рис. 1.11 представлено взаимно-однозначное соответствие.

Мощность множества

Мощность множества характеризует количество элементов этого множества. Множества равномощны, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие. Число элементов в конечном множестве А называется кардинальным числом и обозначается |А|. Подсчет элементов конечного множества заключается в установлении взаимно-однозначного соответствия между этими элементами и конечной последовательностью натуральных чисел.

Множество называется бесконечным, если оно равномощно хотя бы одному из его собственных подмножеств. Бесконечное множество А называется счетным, если оно равномощно множеству всех натуральных чисел N. Примеры счетных множеств: множество целых чисел, четных чисел, рациональных чисел. Счетное множество образуется при объединении счетного множества конечных множеств (например, множество слов в любом конечном алфавите) и т. д. Счетным будет и объединение счетного множества счетных множеств (множество всех векторов с натуральными компонентами). Множество А называется не более чем счетным, дискретным, если оно конечно (в частности, пусто) или счетно. Счетное множество среди бесконечных множеств имеет наименьшую мощность.

Рассмотрим все вещественные числа на отрезке Эти числа не могут быть пронумерованы, следовательно, их множество не образует счетное множество, оно несчетно. По определению, множество, равномощное множеству всех вещественных чисел

единичного отрезка числовой оси, имеет мощность континуума (непрерывное множество). Мощность множества континуума превышает мощность счетного множества. Любой конечный отрезок числовой оси равномощен единичному отрезку. Более того, любой конечный отрезок равномощен и всей числовой оси. Например, между отрезком и множеством можно установить такое соответствие:

Множества наибольшей мощности не существует. Это следует из того, что мощность любого множества А всегда строго меньше мощности множества всех его подмножеств

Множества — основные понятия

Под множеством понимается совокупность каких-либо объектов, называемых элементами этого множества. Например, можно говорить о множестве студентов данного вуза, множестве учебников по математике, множестве треугольников, множестве действительных чисел и т. д. Множества, содержащие конечное число элементов, называются конечными (множество студентов, множество учебников). Множества с бесконечным числом элементов называются бесконечными (множество треугольников, множество действительных чисел).

Множество обычно обозначается заглавными латинскими буквами A, B, С, …, а их элементы — малыми а, b, с, ….

Утверждение ’’элемент х принадлежит множеству А” записывается так : «х ∈ А ”, а противоположное утверждение ” элемент х не принадлежит множеству А” записывается так : ”х ∉ А ”.

Определение:

Если все элементы множества А принадлежат также множеству В, то говорят, что ” А содержится в В” или: ” А является подмножеством В”, и записывают так: A ⊂ В.

Определение:

Два множества называются равными (совпадающими), если они состоят из одних и тех же элементов: A = B.

Пример:

Сформулируйте словами утверждение:
A=B⇔ A ⊂ B и B ⊂ A и докажите его.

Конечное множество можно задать перечислением его элементов. Так, запись A = <1;2;3>означает, что множество А состоит из трех чисел 1,2,3. При этом порядок перечисления элементов не играет роли: <1;2;3>= <3;2;1>.

Бесконечное множество можно задать, написав условие, которое выполняется для всех элементов данного множества и не выполняется для других. Запись
В = <x | 1 Рис. 1. Диаграмма Эйлера

Определение:

Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом ⊘.

Так, например, множество отрицательных натуральных чисел пусто.

Операции над множествами

Определение:

Пересечением множеств A и B называется множество С, состоящее из всех элементов, одновременно входящих и в А, и в В. Это записывается следующим образом: A ∩ В = С.

Иллюстрация пересечения двух множеств с помощью диаграмм Эйлера приведена на рис. 2, где множество C заштриховано.

Рис. 2. Пересечение множеств А и В

Пример:

Если множество А есть интервал (1 ;5) а множество В есть интервал (2;7), то пересечение множеств A и B есть интервал (2;5).

Свойства операции пересечения множеств приведем без доказательств:

1. A ∩ В = В ∩ А(коммутативность).
2. A ∩ (В ∩ С) = (A ∩ В) ∩ C = A ∩ В ∩ С(ассоциативность).
3. A ⊂ В ⟹ А ∩ В = А.
4. A∩A= А.
5. A ∩ ⊘ = ⊘

Определение:

Объединением множеств A и B называется множество С, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств или А, или В, или A u B одновременно. Это обозначается следующим образом : A ∪ В = С.

Рис. 3. Объединение множеств А и В

Иллюстрация объединения с использованием диаграмм Эйлера приведена на рис. 3, где множество C заштриховано.

Пример:

Если множество А есть отрезок [1;3], множество В есть отрезок [2;5], то A ∪ B есть отрезок B=[1;5].

Свойства операции объединения множеств приведем без доказательств:
1) A ∪ B=B ∪ A (коммутативность).
2) A ∪ (B∪C)=(A ∪ B) ∪ C=A ∪ B ∪ C (ассоциативность).
3) A∩(B∪C)=(A∩B) ∪ (A∩C) (дистрибутивность).
4) A ⊂ B ⇒A ∪ B=B.
5) A ∪ A=A.
6) A ∪ ⊘=A.

Определение:

Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих В. Разность A u B обозначается А\В и изображена штриховкой на рис. 4.

Операция вычитания множеств не коммутативна : A∖B≠B∖A.

Пример:

Если А = (1; 10), В = (3; 20), то А\В=(1;3], В\А =[10,20).

Рис. 4. Разность множеств А и В

Кванторы общности и существования

При изложении материала мы будем использовать знак , называемый квантором общности, и знак Ǝ, называемый квантором существования. Символ означает: ’’для любого х«, ’’для всех х”, ’’для каждого х«, ’’какое бы ни было х«. Запись > 0 означает: ’’для всех положительных x” Запись ∈ M читается: ’’для всех x, принадлежащих множеству М”.

Обозначение Ǝх означает: ’’существует такое х, что …”, ”по крайней мере для одного х…”, запись Ǝх > 0 читается: ’’существует такое положительное число х, что…”, запись Ǝх₁ ,x₂ Є M означает: ’’существуют такие х₁ ,x₂ — элементы множества М, что …”.

Нам также неоднократно придется использовать символы ⇒ и ⇔.

Запись логического следования А ⇒ В означает, что если верно утверждение А, то верно и утверждение В, то-есть из А следует В.

Запись логической равносильности ⇔ означает, что из А следует В и наоборот, из В следует А.

Так, например, запись: > ƎN > N ⇒ | f (x) — b| Необходимое и достаточное условие

Любая теорема может быть сформулирована в виде: если выполняется условие А, то верно утверждение В. Будем называть это прямой теоремой и схематически запишем в виде:

Теорема:

В качестве примера приведем теорему, называемую достаточным условием экстремума непрерывной функции, изучаемую в курсе математики средней школы.

Теорема:

Если функция f непрерывна в точке а и производная f меняет знак при переходе через эту точку, то а является точкой экстремума функции f.

Условие А стоит после слова «если», утверждение В написано после
слова «то».

Определение:

А называется достаточным условием для
выполнения В. В свою очередь, В является необходимым условием для выполнения А.

Применительно к теореме 1.2 это выглядит следующим образом.
Достаточным условием для существования экстремума непрерывной функции f в точке а является изменение знака ее производной при переходе через эту точку.

Для лучшего усвоения введенных понятий рассмотрим очевидно справедливое утверждение не из области математики.

Теорема:

Если человек здоров, то у него есть голова.

Здесь здоровье является достаточным условием наличия у человека головы. Наоборот, наличие головы является необходимым условием здоровья. Подумайте, будет ли это условие достаточным для того, чтобы человек был здоров? Реально ли вообще сформулировать достаточное условие того, что человек здоров?

Обозначим А утверждение, заключающееся в отрицании утверждения А(читается «не А»). Если справедлива прямая теорема 1.1, то методом «от противного» легко можно доказать справедливость следующего утверждения, которое называется
«противоположная к обратной теорема»:

Теорема:

Доказательство:

Имеем А ⇒ В, нужно доказать, что В⇒ А Предположим противное: В ⇒ А, но в соответствии с теоремой 1.1 А ⇒ В. Полученное противоречие (В ⇒ В) доказывает теорему.

Аналогично можно доказать, что если справедлива теорема 1.4, то верна теорема 1.1, т. е. эти утверждения равносильны.

Для теоремы 1.2 противоположной к обратной будет теорема: ’’Если точка а не является точкой экстремума функции f ̕ непрерывной в этой точке, то производная f ̕ не меняет знак при переходе через эту точку”.

Для теоремы 1.3 противоположным к обратному будет утверждение: ’’Если у человека нет головы, то он не здоров”.

Проведите доказательство этого утверждения самостоятельно методом ”от противного».

Наряду с прямой теоремой 1.1 можно рассмотреть утверждение, называемое «обратной теоремой” :

Теорема:

Однако обратная теорема не всегда справедлива, если верна прямая. Так, например, для теоремы 1.3 обратное утверждение: «Если у человека есть голова, то он здоров”, очевидно, не верно.

Если все же теорема 1.5 справедлива, то методом «от противного” исходя из нее доказывается справедливость утверждения, называемого «противоположная теорема”:

Теорема:

Наоборот, из теоремы 1.6 вытекает справедливость теоремы 1.5, т.е. эти утверждения равносильны. Заметим, что из прямой теоремы 1.1 не обязательно следует справедливость противоположной теоремы 1.6.

Приведенные связи удобно запоминать, представляя себе следующий ’’логический квадрат» (рис. 5):

Рис. 5. Логический квадрат

Если наряду с прямой теоремой выполняется также обратная теорема, то А является ’’необходимым и достаточным” условием для В. То же самое можно сказать про В по отношению к А.

Так, например, то, что треугольник прямоугольный, является необходимым и достаточным условием того, что квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других.

Множество N натуральных чисел

Определение:

Числа 1,2,3,… называются натуральными.

Сумма и произведение натуральных чисел будет числом натуральным, а разность и частное — не всегда. При вычитании натуральных чисел может получится отрицательное число, а при делении — не целое. Например, при делении получится целая часть 2 и 1 в остатке, что записывается следующим равенством: .

Приводя к общему знаменателю, получим равенство: 7 = 2 ∙ 3 + 1. В этих равенствах 7 называется делимым, 3 — делителем, 2 — целой частью и 1 — остатком (остаток всегда меньше делителя). Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель, как, например, 6 делится на 3. Если натуральное число, большее единицы, делится только на 1 и на себя (что всегда справедливо), то оно называется простым. Простыми числами являются числа 2,3,5,7,11,13,17,19,23 и т. д. Любое натуральное число может быть представлено в виде произведения простых сомножителей. Например : 12 = 1 ∙ 2 2 3, 18 = 1 2 ∙ 3 3, 7 = 1 ∙ 7 и т. д.

Определение:

Наименьшим общим кратным двух данных натуральных чисел называется наименьшее из чисел, которые делятся на каждое из них.

Для любых двух натуральных чисел всегда найдется наименьшее общее кратное, поскольку их произведение всегда делится на каждое из двух данных.

Наименьшее общее кратное 12 и 18 равно 36. Для того чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, нужно первое число помножить на простые множители, входящие в разложение второго числа и не входящие в разложение первого: 12 ∙ 3 = 36.

Определение:

Наибольшим общим делителем двух данных натуральных чисел называется наибольшее из чисел, на которые делится каждое из них.

Для любых двух натуральных чисел всегда найдется наибольший общий делитель, поскольку любые два числа всегда делятся на единицу. Если у двух натуральных чисел нет других общих делителей кроме единицы, они называются взаимно простыми. Наибольший общий делитель 12 и 18 равен 6. Для того, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел, нужно перемножить общие простые множители, входящие в разложение и одного, и другого числа: 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6.

Множество Z целых чисел

Определение:

Натуральные, отрицательные натуральные числа и ноль образуют множество целых чисел (множество Z).

Сумма, произведение и разность целых чисел является целым числом, а частное — не всегда. Иногда множество отрицательных целых чисел обозначается Z_.

Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел: N ⊂ Z.

Множество Q рациональных чисел

Определение:

Рациональными числами называются числа вида , где m — целое (m Є Z), n — натуральное (n Є N), тип взаимно простые. Множество рациональных чисел обозначается Q.

Множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел, т. к. любое целое число m можно рассматривать как рациональное, представив в виде . Сумма, произведение, разность, частное рациональных чисел ( при ненулевом знаменателе) является числом рациональным, однако корень из рационального числа — не всегда, как, например, , и т.д.

Всякое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби, конечной или периодической. И наоборот, любая конечная или периодическая десятичная дробь может быть записана в виде простой дроби.

Пример:

=0,5; =0,8 ; =0,666…=0,(6) ; =7,31(06).

Две последние десятичные дроби бесконечные периодические. Повторяющиеся цифры называются периодом дроби и пишутся в скобках, количество этих цифр называется длиной периода. Для обратного преобразования конечной десятичной дроби ее нужно представить в виде простой и сократить: 0,8==. На самом деле разница между конечной дробью и периодической непринципиальная. Так, 0,5=0,4(9).

Перевод периодической десятичной дроби в простую объясним на примере.

Пример:

Записать в виде простой дроби 0,(6).

Решение:

Периодическую дробь 0,(6) обозначим за x: 0,(6)=x, тогда, т. к. 10‧х — 10-0,666… = 6,666…, легко заметить, что 10∙х = 6 х. Решая это уравнение, получаем: 9‧x=6⇔x = = .

Определение:

Целой частью числа называется наибольшее целое число, не превосходящее данное. Целая часть числа х обозначается [x].

Примеры:

[3,56]=3; [0,12]=0; [-0,12]=-1; [-]=-4;
[5]=5; [0]=0.

Определение:

Дробной частью числа называется разность между самим числом и его целой частью. Дробная часть числа обозначается . Она строго меньше единицы и находится в пределах : 0 ≤ Множество J иррациональных чисел

Определение:

Иррациональным числом называется бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Примерами иррациональных чисел являются √2, √3, ∛11, π, е, и т. д. Заметим, что J ∩Q = ⊘ Иррациональное число нельзя представить в виде простой дроби, его также невозможно ’’выписать до конца” (представить в виде конечной десятичной дроби), поэтому запись √2 = 1,41 ошибочна, следует писать √2 ≈ 1,41.

Заданное бесконечной непериодической дробью иррациональное число определяет две последовательности конечных (рациональных) десятичных дробей, называемых десятичными приближениями по недостатку и по избытку. Например, для √2 можно написать:
1 √2 Множество R действительных чисел

Определение:

Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных (вещественных) чисел: R = QuJ.

В множестве действительных чисел всегда выполнимы сложение, вычитание, умножение, деление (не на ноль), возведение в любую действительную степень положительного числа, извлечение корня нечетной степени из отрицательного числа.

В множестве действительных чисел невозможно извлечение корня четной степени из отрицательного числа.

Числовая ось

Множеству действительных чисел можно дать простую геометрическую интерпретацию. Выберем на прямой положительное направление (указывается стрелкой), начало отсчета и единицу масштаба. Такая прямая называется числовой осью. Каждой ее точке можно поставить в соответствие единственное действительное число следующим образом: положительное число х изображается точкой, расположенной на оси на расстоянии х в направлении стрелки (на рис. 6 справа от О), отрицательное с другой стороны (на рис. 6 слева от О) на расстоянии х от О.

Число х называется координатой соответствующей точки на числовой оси. Из двух чисел больше будет то, которое расположено на числовой оси дальше в направлении стрелки (на рис. 6 — правее).

Рис. 6. Числовая ось

Числовые промежутки

Если известны два действительных числа а и b, a a>, (- ∞ ;b)= Рис. 7. Полуинтервал (2;5]

Числовые промежутки будем выделять штриховкой или утолщенной линией.

Примеры с решением на тему: «Множества«

При решении примеров данного практического занятия используется материал средней школы и материал лекции 1. Применение метода интервалов для решения неравенств иллюстрируется примерами 1.2-1.5

Пример:

Пусть A = [-3;5],B = (-5;7),C = [1;2). Найдите множество: A₀ = (4 ∩ В) U (В ∩ С).

Решение:

Для нахождения результата операций над числовыми промежутками их удобно изображать на числовых осях, расположенных одна под другой с согласованным началом и одинаковым масштабом. Если исходные промежутки А и В заштриховать, то их пересечением будет множество точек, заштрихованных на каждой из осей (рис. 8), а их объединением — множество точек, заштрихованных хотя бы на одной из осей (рис. 9).

Пользуясь этим правилом, последовательно получим A ∩ В, В ∩C и, наконец, (Л ∩ В) ∪ (В ∩ С) (рис. 8, 10, 11).
Ответ: A₀ ≈ [-3; 5].

Пример:

Решение:

Неравенство (2 — 3x)(х + 4)(x — 2) > 0 решим методом интервалов, для чего нанесем на числовую ось значения х, при которых левая часть неравенства обращается в ноль: x₁ =,x₂ = -4,х₃ = 2. (рис. 12)

Рис. 8. Нахождение пересечения [—3; 5] ∩ (—5; 7) Рис. 9. Нахождение объединения [-3; 5] ∪ (-5; 7) Рис. 10. Нахождение пересечения (—5; 7) ∩ [1; 2]

Сами эти значения не удовлетворяют неравенству, поэтому соответствующие точки “выколоты».

Знаки выражения в левой части неравенства определим, подставляя в него по одному значению из каждого интервала, на которые все множество R разбилось точками x₁,x₂,х₃. Отметим штриховкой те интервалы, на которых выражение в левой части неравенства положительно. Это множество является искомым.

Ответ: A₀=(-∞; -4) ∪ (; 2).

Рис. 11. Решение примера 1.1 Рис. 12. Решение примера 1.2

Пример:

Задайте характеристическим свойством множество: A₀ — множество всех натуральных чисел, меньших 5 или больших 10.

Решение:

В условии требуется,чтобы натуральные числа были меньше 5 или больше 10, т.е. искомое множество есть объединение двух подмножеств: множества натуральных чисел, меньших 5 и больших 10.

Пример:

Решите систему неравенств:

Решение:

Решение системы неравенств есть пересечение множеств решений каждого из входящих в систему неравенств. Аналогично тому, как это делалось при решении примера 1.2, решим каждое из неравенств системы методом интервалов и найдем их пересечение (рис 13).

Пример:

Решите совокупность систем неравенств:

Рис. 13. Решение примера 1.4

Решение:

Решение совокупности систем неравенств есть объединение решений каждой системы, входящей в совокупность. Для решения разложим каждый многочлен в произведение с помощью корней:

Решение совокупности систем методом интервалов представлено на рис. 14

Рис. 14. Решение примера 1.5

Множества

Понятие множества является одним из основных понятий математики. Оно не сводится к другим понятиям и не оп­ределяется. Вместо определения приводят лишь примеры, поясня­ющие его смысл. Так, можно говорить о множестве всех учеников данной школы, о множестве всех собак на земном шаре, о множе­стве всех клеток данного человеческого тела, о множестве всех кар­тофелин в данном мешке, о множестве всех натуральных чисел, о множестве всех треугольников на данной плоскости, о множестве всех точек данного круга и т. д.

Когда в математике говорят о множестве, то объединяют некоторые предметы в одно целое — множество, состоящее из этих пред­метов. Основатель теории множеств Георг Кантор (1845—1918) выразил это следующими словами: «Множество есть многое, мыслимое как единое».

Предметы (объекты), составляющие некоторое множество, называются его элементами. То обстоятельство, что объект а является элементом множества А, записывается так: (словами: а есть элемент множества А; а принадлежит А; а содержится в А; А содержит а). Если объект а не является элементом мно­жества А, то это записывается так: (словами: а не есть эле­мент множества А; а не принадлежит А; а не содержится в А; А не содержит а).

Например, если А есть множество всех четных натуральных чисел, то

Множество иногда можно задать перечислением всех его элементов. В этом случае употребляют фигурные скобки, в которые помещают названия всех элементов множества, разделенные запя­тыми. Так, <1, 2, 3) обозначает множество, состоящее из чисел «один», «два», «три» и только из них.

Вообще некоторое множество считается заданным, если указано некоторое свойство, которым обладают все его элементы и не обла­дают никакие другие объекты. Такое свойство называется характе­ристическим свойством множества.

Числовые множества

Множества могут состоять из объектов самой различной природы. Их элементами могут быть буквы, ато­мы, числа, уравнения, точки, углы и т. д. Именно этим объясняется чрезвычайная широта теории множеств и ее приложимость к са­мым разным областям знания (математике, механике, физике, лингвистике, экономике и т. д.). Для математики особо важную роль играют множества, составленные из «математических» объек­тов— корней уравнений, геометрических фигур и т. д. Чаще все­го нам будут встречаться числовые множества, то есть множества, элементами которых являются числа. Примерами числовых мно­жеств являются: а) множество всех действительных чисел; б) множество всех рациональных чисел; в) множество всех положительных чисел; г) множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству д) множество всех чисел вида

Некоторые числовые множества имеют особые названия. Если даны два числа а и b, а

если это не вызывает недоразумений, просто отрезком и обознача­ют [а, b]. На числовой оси ему соответствует отрезок с концами а и b (рис. 1).

Множество чисел, удовлетворяющих неравенству а а (или х

(или (—, а)) (рис. 3). Иногда нам будут встречаться множества чисел, удовлетворяющих неравенствам или (рис. 4). Их называют (числовыми) полуотрезками и обозначают [а, b) и (а, b]. Заметим, что квадратная скобка означает, что соответствующий

конец включается в множество, а круглая — что он исключается.

Пустое множество

Введение понятия множества в математи­ку оказалось очень полезным. Из-за того что элементами множеств могут быть вещи самой различной природы, одни и те же утвержде­ния, касающиеся множеств, можно истолковать и как утверждения о натуральных числах, и как утверждения о точках геометрических фигур, и как утверждения о множестве слов и т. д. Таким образом, понятия и теоремы теории множеств обладают большой общностью. Этим и объясняется то, что язык теории множеств применяется в самых различных областях математики.

В математике приходится иногда рассматривать множества, содержащие только один элемент, и даже множества, не имеющие ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемен­та, называют пустым. Его обозначают знаком . На первый взгляд может показаться, что понятие пустого множества излишне. Но когда множество задано своим характеристическим свойством, заранее неизвестно, пусто оно или нет. Например, пусть некоторое множество состоит из всех прямоугольников с неравными диаго­налями. То, что свойство «быть прямоугольником с неравными диагоналями» задает пустое множество, составляет утверждение геометрической теоремы: «Во всяком прямоугольнике диагонали равны». Точно так же из теоремы Пифагора следует, что множество прямоугольных треугольников, для которых квадрат гипотенузы не равен сумме квадратов катетов, пусто. Вот еще несколько приме­ров задания пустого множества характеристическим свойством: а) множество рациональных чисел r таких, что б) множество всех точек пересечения двух параллельных прямых; в) множество треугольников, сумма углов которых отлична от 180°; г) множество квадратных уравнений, имеющих более двух раз­ личных корней; д) множество решений системы уравнений

О некотором множестве может быть неизвестно, является ли оно пустым множеством или нет. Так, до сих пор неизвестно, пусто ли множество натуральных чисел n таких, что n > 2, а уравнение

имеет положительные целочисленные решения (в этом состоит из­вестная проблема Ферма).

Пустое множество единственно: нет двух разных пустых множеств.

Подмножество

Пусть даны два множества A и B, причем каждый элемент первого множества является элементом второго множества. Тогда множество А называют подмножеством (или частью) множества В. В этом случае пишут:

Примеры подмножеств: а) числовой отрезок [1,3] есть подмножество числового отрез­ка [0, 4];

б) множество всех квадратов есть подмножество множества всех прямоугольников; в) множество всех целых чисел есть подмножество множества всех рациональных чисел.

Отметим, что пустое множество является подмножеством любого множества А. Каждое множество А яв­ляется одним из своих подмножеств. Эти два подмножества ( 0 и все множество) называют несобственными. Все остальные подмножества называют собственными.

Множества часто изображают наглядно как множество точек геометрической фигуры. Тогда подмножество — это множество то­ чек части фигуры (рис. 5).

Пересечение множеств

Пусть даны множества А, В, С, … . Их пересечением называют множество X, содержащее те и только те элементы, которые входят в каждое из заданных множеств. Пере­ сечение двух множеств А и В обозначают АВ или

Если множества А и В состоят из точек некоторых геометрических фигур, то — множество общих точек этих фигур, то есть множество точек пересечения этих фигур в обычном смысле (рис. 6).

Пересечение множеств называют также их произведением, а операцию пересечения — умножением множеств. Можно показать,

что многие свойства пересечения множеств напоминают свойства ум­ножения чисел.

Примеры пересечения множеств: а) пересечением числового отрезка [0, 4 ] с числовым отрезком [2, 5] является числовой отрезок [2, 4] (рис. 7);

б) пересечение числового отрезка [0, 2] с числовым отрезком [3, 5] пусто; в) пересечение множества всех ромбов с множеством всех прямоугольников есть множество всех квадратов; г) пересечением множества четных натуральных чисел с множеством натуральных чисел, делящихся на 3, является множество натуральных чисел, делящихся на 6.

Сложение множеств

Суммой (или объединением) множеств А, В, С, . . . называют множество X, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из этих («слагае­мых») множеств. Сумму двух мно­жеств А и В обозначают А + В или . Мы увидим позже, что некоторые свойства суммы мно­жеств напоминают свойства сум­мы чисел.

Если какой-нибудь элемент вхо­дит в несколько слагаемых множеств, то в сумме он берется лишь один раз. Например, суммой числового отрезка [0, 4] и числового отрезка [2, 5] является числовой отрезок [0, 5]. При этом точки отрезка [2, 4] входят в оба слагаемые, но в сумме они берутся лишь один раз. Впрочем, выражения «некоторый элемент берется в данном множестве пять раз» и т. п., как это следует из принятого нами понимания терминов «множество» и «элемент», просто не имеют смысла.

Примеры а) Обозначим через А множество точек некоторой плоской области и через В — множество точек другой области (рис. 8). Тогда их суммой будет множество точек заштрихованной фигуры, ограни­ченной на рис. 8 жирной линией. б) Обозначим через А множество успевающих учеников в классе, через В — множество девочек в этом классе и через С — множество неуспевающих мальчиков. Тогда является мно­жеством всех учеников этого класса. (Имеют ли множества А и В общие элементы?) в) Обозначим через множество всех положительных дробей со знаменателем n. Тогда является множест­вом всех положительных дробей, то есть дробей вида , где m и n — натуральные числа. г) Обозначим через множество правильных n-угольников. Тогда является множеством всех правильных многоугольников. д) Обозначим через A множество целых чисел вида 4n — 1, а через В — множество целых чисел вида 4n + 1. Тогда — множество всех нечетных целых чисел.

Разбиение множеств

Пусть множество X является суммой множеств A, В, С. . . , причем никакие два из них не имеют общих элементов. Тогда говорят, что множество X разбито на (непересекающиеся) подмножества А, В, С, . . . .

Примеры разбиения множеств: а) Множество натуральных чисел разбивается на подмножества четных чисел и нечетных чисел. б) Множество всех учеников в классе разбивается на множе­ства учеников, фамилия которых начинается на букву «А», учени­ков, фамилия которых начинается на букву «Б», и т. д. вплоть до буквы «Я». Какое из этих множеств пусто, если взять ваш класс? Какие из этих множеств пусты для любого класса? в) Множество всех векторов на плоскости можно разбить на непересекающиеся подмножества, относя к одному подмножеству все векторы, равные друг другу по длине, параллельные и одинаково направленные. г) Это же множество можно разбить иначе, относя к одному под­ множеству векторы, выходящие из одной точки плоскости.

Вычитание множеств

Если даны два множества A и В, то их разностью называют такое множество X = A \ В или (А — В), в которое входят все элементы из Л, не принадлежащие множест­ву В. При этом не предполагается, что множество В является час­тью множества A. Таким образом, при вычитании множества В из множества A из A удаляют общую часть (пересечение) A и В:

Например, если A — множество всех учащихся IX класса данной школы, а В — множество всех девочек, которые учатся в этой школе, то A \ В — множество всех мальчиков, обучающихся в IX классе этой школы.

В случае, когда В — часть множества А, А \ В называют дополнением к В в множестве А и обозначают (разумеется, одно и то же множество В имеет разные дополнения в разных содержащих его множествах А). Например, дополнением множества четных чисел в множестве всех целых чисел является множество нечетных чисел. Дополнением множества всех квадратов в множестве прямоугольников является множество всех прямоугольни­ков с неравными сторонами, а дополнением того же множества квадратов в множестве всех ромбов — множество ромбов с неравными диагоналями.

Отображение множеств

Пусть даны два множества X и У и пусть име­ется правило ставящее в соответствие каждому элементу некоторый определенный . Тогда говорят, что задано отображение множества X в множество У. Элемент, соответствующий х в силу правила обозначают и пишут: . Элемент у называют образом элемента х при отобра­жении а элемент х называют прообразом элемента у при отображении Отображение называют также функцией, заданной на множестве X и при­нимающей значения во множестве У. Множество X называют областью опре­деления функции

Если всякий является образом некоторого при отображе­нии , то отображение называют отображением множества X на множест­во У. В этом случае множество У называется областью значений функции .

Приведем примеры отображений множеств: а) Пусть X — множество всех действительных чисел, У — множество всех неотрицательных чисел. Равенство связывающее с элементом множества X элемент у множества У, задает отображение X на У. При этом числу 2 соответствует число 4, числу 6 — число 36 и т. д. б) Пусть X — множество всех действительных чисел, отличных от чис­ла 3, У — множество всех действительных чисел. Равенство , связывающее с элементом х множества X элемент множества У, задает отобра­жение X в У. Является ли это отображение отображением на У? в) Пусть X — множество всех кругов, а У — множество всех действи­тельных чисел. Поставим каждому кругу в соответствие длину его радиуса. Мы получим отображение множества X в множество У. Другое отображе­ние X в У получится, если поставить каждому кругу в соответствие его пло­щадь. г) Пусть X — множество всех треугольников, а У — множество всех окружностей. Поставим каждому треугольнику в соответствие вписанную в него окружность. Получим отображение множества X в У. Другое отобра­жение X в У получится, если поставить в соответствие каждому треуголь­нику описанную вокруг него окружность. д) Пусть У — множество всех деревьев на земном шаре, а X — множе­ство всех плодов, растущих на этих деревьях. Поставим каждому плоду в соответствие дерево, на котором он растет. Получим отображение множества X в множество У.

Пусть — отображение множества X в множество У и пусть Множество всех элементов вида уназывается образом мно­жества при отображении и обозначается

Рассмотрим некоторый элемент у из множества У и возьмем все элементы х из X, отображающиеся в у при отображении . Множество всех этих элемен­тов называют полным прообразом элемента у при отображении и обознача­ют . В первом примере в) полным прообразом положительного числа r является множество всех кругов радиуса r. В первом примере г) полным прооб­разом любой данной окружности является множество всех треугольников, опи­санных вокруг этой окружности.

Если полный прообраз каждого элемента у из У при отображении или пуст, или состоит только из одного элемента, то отображение называется вложением в У. Например, функция с отрезком [1, 4] в качестве облас­ти определения определяет вложение этого отрезка в действительную ось.

Если есть отображение множества X на множества У и полный прообраз каждого элемента у из У состоит лишь из одного элемента, то отображение называется взаимно-однозначным отображением множества X на множество У. Иными словами, отображение взаимно-однозначно, если каждый элемент из его области значений является образом одного и только одного элемента его области определения.

Краткие исторические сведения

Теоретико-множественные представ­ления в неявной форме давно использовались математиками. Геометры древ­ней Греции в III веке до н. э. рассматривали «геометрические места точек», то есть множества точек, обладающих тем или иным свойством. Однако труд­ности, связанные с понятием бесконечности, привели к тому, что в течение длительного времени математики избегали рассматривать геометрические фигуры как множества точек.

Исследования по бесконечным множествам начали чешский ученый Б. Больцано (1781— 1841) и немецкий математик Г. Кантор (родился в 1845 г. в Петербурге, умер в 1918 г. в Галле). Труд Больцано был опубликован лишь через много лет после его смерти. Основные заслуги в развитии теории мно­жеств принадлежат Кантору. Он пришел к проблемам этой теории, исходя из сравнительно узкой математической задачи (вопроса о сходимости и рас­ходимости тригонометрических рядов). Однако вскоре ему и его последова­телям стало ясно, что теория множеств имеет важнейшее значение для раз­личных областей математики. Сейчас теория множеств дает общепринятый язык для многих разделов математики. В целом ряде случаев применение теоретико-множественных понятий позволило привести в систему многие ветви математики. Большой вклад в теорию множеств сделан трудами со­ветских математиков П. С. Александрова, А. Н. Колмогорова, Н. Н. Лузина, П. С. Новикова, М. Я. Суслина и других. Советская школа теории множеств оказала сильное влияние на развитие этой части математики во всем мире.

Вскоре после создания теории множеств выяснилось, что «наивная» трак­товка понятия бесконечного множества может привести к противоречиям. Исследования в этом направлении потребовали развития математической логики. Первоначально эта область математики была очень далека от практических приложений, но впоследствии ее принципы составили идейную ос­нову конструирования электронных вычислительных машин и программиро­вания вычислений на этих машинах.

Правила действий над высказываниями, во многом известные еще Ари­стотелю (создателю формальной логики), были более подробно сформулиро­ваны Г. В. Лейбницем, которого часто считают создателем математической логики. Алгебраическую форму этим правилам придали английские матема­тика Дж. Буль (1815— 1864) и А. де Морган (1806—1871). По сути дела, эти правила совпадают с указанными выше правилами действий над множест­вами. Большой вклад в развитие математической логики внесли Г. Фреге, Б. Рассел, Д. Гильберт, К. Гёдель, А. Тарский, советские математики П. С. Новиков, А. Н. Колмогоров, А. А. Марков и другие.

Дополнение к различным типам множеств

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института