Решение уравнений с модулями и квадратами

Урок по теме «Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля»

Разделы: Математика

Задача: провести повторение, обобщение и систематизацию знаний учащихся по теме “Квадратные уравнения. Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля ”.

Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний.

Организационные формы общения: работа в группах, индивидуальная работа.

Форма проведения урока: беседа с элементами самостоятельной работы учащихся, работа у доски, индивидуальная и групповая работа по выполнению учебных заданий.

Оборудование: ПК, проектор, экран.

I. Организационный момент.

(Приветствие учащихся и проверка готовности к уроку.)

– Квадратные уравнения в школьном курсе математики занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.), сегодня на уроке мы должны суметь применить все свои знания и умения к решению квадратных уравнений с параметром и модулем.

II. Постановка цели.

– Тема урока: “Квадратные уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля”. Сегодня у нас урок по решению квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Ребята, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы?

– Иными словами, повторить, обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений, квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Для возможности выбора рационального пути решения.

– Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, квадратных уравнений с параметром и модулем, научиться выбирать рациональный путь решения.

III. Воспроизведение и коррекция опорных знаний:

– Прежде всего, вспомним некоторый, изученный материал. Приложение 1

– Выполним устно задания теста. Приложение 2

– Итак, весь необходимый материал повторили, я приглашаю вас на презентацию решения квадратных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. Для начала заполним карточки, которые лежат у каждого на столе. Приложение 3

Проверим. Возьмите в руки простой карандаш, сверим ответы.

Поднимите руки те, кто безошибочно справились с работой. Молодцы! Передайте свои заполненные карточки вперед.

IV. Обобщение и систематизация знаний, их применение для выполнения практических заданий:

1. Пример: Решите уравнение: x 2 -5│х│= 0.

Решение. Используя свойство модуля: |a| 2 =a 2 , перепишем данное уравнение в виде: │х│* (│х│– 5) = 0. Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю. Решив уравнение, имеем: х₁= 0, х_2,3= +5.

2. Пример: Существует ли на окружности, заданной уравнением (х-3) 2 + (у+1) 2 = 7, точка: а) с абсциссой, равной 1,5; б) с ординатой, равной – 3?

Решение. а) (у+1) 2 = 7 – (1,5 – 3) 2 >0 – такая точка существует; б) (х+3) 2 =7-(-3+1)>0-такая точка существует.

3.Пример: дано соотношение 2а 2 +4а + 2b 2 -4b – 5(a+1)(b-1) +4 = 0. Выразите b через а.

Решение. Имеем 2(а 2 +2a)+2(b 2 -2b) – 5(a+1)(b-1) +4 = 0;

2(a 2 +2a+1) +2(b 2 -2b+1)-5(a+1)(b-1)=0; 2(a+1) 2 -5(a+1)(b-1)+2(b-1) 2 =0.

Рассматривая это равенство, как квадратное уравнение относительно а+1, получим a+1 = 2(b-1) или a+1=(b-1)/2. Следовательно, b = (a+3)/2 или b= 2a+3.

4. Пример: Решите уравнение:│х 2 +х-3│=х.

Решение. Решим методом замены уравнения совокупностью, по определению модуля получаем систему:

5.Пример: Решите уравнение: │х+3│=│2х 2 +х-5│.

Решение. Решим методом замены уравнения совокупностью двух уравнений, по определению модуля получаем:

6.Пример: Решите уравнение: х 2 +(3-а)х-3а ‗0

Ответ: Нет решений при а = -3 и а = 4; при х = а данное уравнение имеет решение.

VI. Усвоение ведущих идей и основных теорий на основе широкой систематизации знаний:

7.Пример: Решите уравнение: │х-2│х 2 =10-5х.

Решение. Так как │х-2│х 2 =5(2-х), то х≤2.

Тогда уравнение примет вид (х-2)х 2 =5(2-х);

8. Пример: Решите уравнение:

Ответ: При b =7 или b = 2: один корень х = 2 b; при b = 1/2 или b = 3: один корень х = b – 1; при остальных b: два корня х = 2 b и х = b – 1.

VII. Оперирование ЗУН-ми в стандартных ситуациях:

9. Пример: Найдите сумму квадратов всех корней уравнения

Решение. Применив метод – введения новой переменной, решим уравнение. Пусть: t = │х│, получим уравнение t 2 – 3t + 1 = 0, имеющее два корня t₁ и t₂ (так как D>0). Очевидно, что корни t₁ и t₂ – положительны (t₁ + t₂ >0, t₁ * t₂ >0). Следовательно, по свойству модуля исходное уравнение, равносильно совокупности уравнений

имеет четыре корня: + t₁, + t₂. Их сумма квадратов t₁ 2 + (-t₁ ) 2 + t₂ 2 + (-t₂ ) 2 = 2(t₁ 2 +t₂ 2 ). Так как t₁ 2 +t₂ 2 = (t₁+t₂) 2 – 2 t₁ t₂ = 9 – 2*1 = 7, то искомая сумма квадратов всех корней равна 14.

10.Пример: При каком значении параметра а уравнение (а + 4х – х 2 -1)(а+1-│х – 2│) = 0 имеет три корня?

Решение. Данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Рассмотрим уравнение х 2 – 4х + 1 – а = 0.

Так как ¼ D = 4 – 1 + а = 3 + а, то при а > – 3 оно имеет два корня;

при а = – 3 – один корень; при а – 1 – два корня. При а – 1 каждое из уравнений имеет по два корня, симметричных относительно точки х₀ = 2. В этом случае х = 2 не является корнем, а общее число корней уравнений четно.

Итак, исходное уравнение имеет три корня лишь при а = – 1.

VIII. Пауза отдыха:

– Посмотрите на многообразие методов решения. Как, когда, сразу ли появилось такое многообразие? Как много вопросов…

Безусловно, человечество “додумалось” до всего не сразу и не в одночасье. Для этого потребовались долгие годы и даже столетия. Обратимся к историческому путеводителю. Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся ко второму тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта. Первое тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь. Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым он заложил основы буквенной алгебры.

IX. Выполнение упражнений:

11. Одна из цифр двузначного числа на 3 меньше другой, а сумма квадратов этого числа и числа, полученного перестановкой его цифр, равна 1877. Найдите это число.

Решение. Пусть а – одна из цифр числа, тогда а + 3 – другая цифра. Исходное число имеет вид 10а + (а + 3) = 11а + 3.

После перестановки цифр получится число 10(а + 3) + а = 11а + 30. Согласно условию, получаем уравнение (10а + 3) 2 +(11а+30) 2 = 1877, откуда находим а = 1.

Ответ: 14 или 41.

X. Подведение итогов.

– Сегодня на уроке мы:

1) повторили определение квадратного уравнения;

2) рассмотрели виды квадратных уравнений и алгоритм решения квадратных уравнений, формулы для нахождения корней квадратного уравнения;

3) сформулировали теорему Виета и обратную ей теорему;

4) повторили определение модуля и параметра;

5) рассмотрели способы решения квадратных уравнений, содержащих параметр;

6) рассмотрели способы решения квадратных уравнений, содержащих модуль;

7) обобщили опыт решения квадратных уравнений с параметром и модулем;

8) научились выбирать наиболее рациональный метод решения квадратного уравнения с параметром и модулем.

– Оценки на уроке выставляются: – за теоретический опрос;

– за индивидуальную работу у доски;

– за работу по карточкам;

– за самостоятельную работу.

XI. Домашнее задание и его инструктаж:

М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Приложение 4

(Учащимся предлагается выполнить задание на приготовленных карточках)

1. Анищенко А.Г. и др. Имена в математике и информатике. – Брянск: РИО Брянского ИПКРО, 1995. – 96 с.
2. Балаян Э.Н. Как сдать ЕГЭ по математике на 100 баллов. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2003. – 288 с.
3. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва. 1996 и последующие издания.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа (методические рекомендации и дидактические материалы). – М.: Просвещение, 1986.
5. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.
6. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. Задания для проведения письменного экзамена по математики в 9 классе. Москва “Просвещение” 1994 и последующие издания.
7. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Г.В.Дорофеева. Москва “Просвещение” 1997 и последующие издания.
8. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Г.В.Дорофеева. Москва “Просвещение” 1997 и последующие издания.
9. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса с углубленным изучением математики. Москва “Просвещение” 2001 и последующие издания.
10. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики. Москва “Просвещение” 2001 и последующие издания.

Решение квадратных уравнений с модулем
учебно-методический материал по алгебре (8 класс)

Урок. Решение квадратных уравнений с модулем

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема: « Решение квадратных уравнений с

Цель урока: Научить решать квадратные уравнения с модулем с

использованием определения модуля и введением

1. Организационный момент. (3 мин.)
2. Повторение изученного материала: (5 мин.)

Способы решения квадратных уравнений:

а) решение квадратных уравнений общим способом (через Д);

б) решение квадратных уравнений с чётным вторым коэффициентом (через Д/4)

в) решение квадратных уравнений с использованием теоремы, обратной теореме Виета;

г) решение квадратных уравнений через сумму коэффициентов

1. Объяснение нового материала: (20 мин.)

1. Решить уравнение : х 2 – 7IхI + 6 = 0.

а) Используя определение модуля, данное уравнение можно заменить совокупностью двух уравнений:

х 2 – 7х + 6 = 0 и х 2 + 7х + 6 = 0;

х = 1, х = 6; х = -1, х = -6.

Ответ: .

б) Учитывая, что IxI 2 = x 2 , и, обозначив IxI = у, где у 0, данное уравнение можно записать в виде:

х = х = 6

Ответ: .

2. Решить уравнение: (х – 2) 2 – 8I х – 2I + 15 = 0.

Вопрос: Чем данное уравнение отличается от предыдущего?

После ответа на поставленный вопрос, учащиеся решают данное уравнение в тетрадях, сверяя, если есть затруднения, с решением на доске, которое выполняет учащийся.

3. Решить уравнение: х 2 + 4х + Iх +3I + 3 = 0.

Данное уравнение отличается от предыдущих тем, что сумма первых двух слагаемых не является полным квадратом третьего слагаемого. Поэтому, при решении данного уравнения необходимо найти точки, при переходе через которые выражение под знаком модуля изменяет знак. Для этого решаем уравнение

Х + 3 = 0, х = -3. Далее раскрываем знак модуля, используя определение, для х — 3.

При х 2 + 4х — х — 3 + 3 + 0, х 2 + 3х + 0, х = 0, х = -3, но оба эти корни не удовлетворяют условию х

При х — 3, х 2 + 4х + х + 3 + 3 + 0, х 2 + 5х + 6 = 0, х = -2, х = -3.

4. Решить уравнение: х 2 + 17 = 9х + 4Iх – 3I.

Данное уравнение учащиеся решают в тетрадях, сверяя по необходимости с решением, которое выполняет учащийся на доске.

Ответ: ; .

1. Закрепление изученного материала: (15 мин).

Примеры для самостоятельного решения в классе:

1. х 2 + 2IхI – 1 = 0, отв. — 1; 1 —
2. х 2 + 5 IхI -24 = 0, отв. -3; 3.
3. (2х -3) 2 – 5I2х-3I – 6 = 0. отв. -1,5; 4,5.
4. 2х 2 – 4Iх – 6I +7х = -11, отв. -6,5; 1.
5. (2х – 1) (IxI – 1) = -0,5. отв. ; .
6. Ix 2 +2x +3I = 3х +45 отв.-6; 7.

Данные примеры учащиеся выполняют под контролем учителя, при необходимости учащимся оказывается индивидуальная помощь.

1. Подведение итогов урока. Домашнее задание. (2 мин).

Примеры для домашнего задания:

1. 4х 2 – 3IxI + х = 0,
2. Ix-2Iх 2 = 10 – 5х,
3. (х + 4) 2 — 7(х + 4) – 8 = 0,
4. х 2 – 5х — = 0.
5. Ix 2 – 4x -9I = 4x.

Тема: «Решение квадратных неравенств с модулем».

Цель урока: Научить решать неравенства второй степени с модулем

по определению модуля и с использованием свойств

1. Организационный момент. (2 мин.)
2. Устный опрос и проверка домашнего задания. (10 мин.)

а) Ответить на вопросы учащихся (если есть) и проверить решение примеров:

1. х 2 – 5х — =0,

х = 6, (-1 – не удовлетворяет условию)

оба корня 2 и 3 не удовлетворяют условию.

2. I x 2 – 4x -9I =4х.

По смыслу модуля, данное уравнение решаем для х 0.

x 2 – 4x -9 =4х, x 2 – 4x -9 =-4х

х 2 – 8х -9 = 0, х 2 – 9 = 0,

х = 9, (-1 не удовлетворят х = 3, (-3 не удовлетворяет условию) условию)

б) Решить уравнения (устно):

1. х 2 – 8IxI + 7 = 0 Отв. -1; -7; 1; 7.

2. х 2 – 10IxI -11 = 0 Отв. -11; 11.

3. х 2 – IxI + 17 = 0 Отв. нет решений.

в) Решить линейные неравенства:

2. IxI > 5; отв. (- ; -5) (5; + )

3. I6x — 42I 0; отв. 7.

4. I7x — 56I решений нет.

III. Объяснение и закрепление нового материала. (30 мин)

Объяснение нового материала построено на разборе трёх типовых неравенств с последующим закреплением при решении подобных примеров.

1. Решить неравенство: х 2 – 8IxI — 9 .

Обозначив левую часть неравенства через У, и введя новую переменную t = IxI, (t 0), найдём промежуток, на котором функция У = х 2 – 8IxI – 9 принимает значения меньше 0. Это интервал (-1; 9).

Учитывая, что t = IxI, и t 0 при любом х, получим линейное неравенство IxI

1. Решить неравенство: -4х 2 – 7IxI +11 ≤ 0.

Вопрос: Чем данное неравенство отличается от предыдущего?

После ответа на поставленный вопрос, учащиеся решают данное неравенство в тетрадях, сверяя, если есть затруднения, с решением на доске, которое выполняет учащийся.

Ответ: (- ; -1] [1; + ).

1. Решить неравенство: х 2 — 7х + 12

Находим точки при переходе через которые выражение под знаком модуля изменяет знак:

Рассмотрим два случая:

б) х 4, тогда х 2 — 7х + 12

Очевидно, что это неравенство решений не имеет.

4. Решить неравенство: х 2 — 13х + 42 Ix – 7I.

Данное неравенство учащиеся решают в тетрадях, сверяя по необходимости с решением, которое выполняет учащийся на доске.

Ответ: (- ; 5] [7; + ).

5 Решить неравенство: Ix 2 – 2xI ≤ -x.

При решении данного неравенства будем пользоваться свойством: IaI ≤ b -b ≤ a ≤ b .

x 2 – 2x ≤ -x,

x 2 – x ≤ 0,

Изобразив решение каждого неравенства на числовой прямой, получим:

◦////////////////////◦ x \\\\\\\\\\\\\\\\ ///////// x

х = 0 – единственное решение данного неравенства.

1. Решить неравенство: Ix 2 – 3x – 16I ≥ 3x.

IV. Подведение итогов урока. Домашнее задание. (3 мин.)

1. 2х 2 — 5IxI + 3x ≥ 0,

1. х 2 — 7IxI + 10
2. Ix 2 – 5xI
3. I2x 2 – 5xI ≤ 5x,
4. Ix + 3I > x 2 + 5x + 6,
5. Ix 2 + 6xI ≤ -3x.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Эффективное решение квадратных уравнений. Приемы устного решения.

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических.

урок по информатике в 9 классе по теме «Решение задач с конструкцией ветвление. Алгоритм решения квадратного уравнения»

Конспект и презентация к уроку в 9 классе по теме «Алгоритм решения квадратного уравнения».

План конспект урока по алгебре в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений содержащих параметры, решение нестандартных задач»

План конспект урока по алгебре в 8 классе по теме «Решение квадратных уравнений содержащих параметры, решение нестандартных задач&quot.

Конспект урока по теме: квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений.

Урок в 8 классе по теме Учитель математики: Папшева Ю.А. Тема урока: Квадратные уравнения. Ре.

Решение уравнений, сводимых к решению квадратных уравнений

Тема «Решение квадратных уравнений» изучается в 8 классе, и она является одной из самых важных тем при изучении математики. В старших классах при изучении различных тем, мы возвращае.

Методические рекомендации к изучению темы: « Решение квадратных уравнений» с применением теоремы Виета для решения приведенного квадратного уравнения и полного квадратного уравнени

Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто в старших классах, Решение иррациональных, показательных , логарифмических ,тригонометрических уравнений часто сводится к решени.

Решение задач по теме «Графические способы решения квадратных уравнений»

Цель урока: закрепить графический способ решения квадратных уравнений при решении задач практического содержания, формировать умения строить математические модели, совершенствование навыков пост.

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.