Решение уравнений с неизвестными компонентами

Памятка по нахождению неизвестных компонентов действий.
учебно-методический материал по математике на тему

Памятка по нахождению неизвестных компонентов действий.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Выучи названия компонентов действий и правила нахождения неизвестных компонентов:

1. Сложение: слагаемое, слагаемое, сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

1. Вычитание: уменьшаемое, вычитаемое, разность. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

1. Умножение: множитель, множитель, произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

1. Деление: делимое, делитель, частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.

Выучи названия компонентов действий и правила нахождения неизвестных компонентов:

1. Сложение: слагаемое, слагаемое, сумма. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

1. Вычитание: уменьшаемое, вычитаемое, разность. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

1. Умножение: множитель, множитель, произведение. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

1. Деление: делимое, делитель, частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное. Чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Математика

План урока:

Узнаем, что такое уравнение и как решить уравнение.

Рассмотрим первый пример.

В 5 классе, спортивной школы 14 учеников посещают бассейн, 10 человек занимаются футболом, а остальные увлечены баскетболом. Всего в классе 36 человек. Можно ли узнать, сколько в классе баскетболистов?

Давайте подумаем. Чтобы получить общее количество учеников, нужно сложить количество детей во всех спортивных секциях, то есть: бассейн + футбол + баскетбол = 36. Следует помнить, что мы не знаем количество детей, занимающихся баскетболом. В таких случаях неизвестный компонент принято обозначать прописными буквами латиницы x,y,z.

Получается, 14+10+х=36. Составленное выражение, имеющее неизвестный компонент и называется уравнением. Суммируем известные слагаемые: 14+10=24.

Если от общего количества детей отнять число посещающих бассейн и секцию футбола,то получим количество учеников, посещающих секцию баскетбола.

Следовательно,в классе 12 баскетболистов. Вот так, на самые простые жизненные вопросы, находятся ответы с помощью математических выражений.

Давайте дадим правильное определение понятию уравнение.

Уравнение – это математическое равенство, имеющее неизвестный компонент, обозначаемый на письме буквой латиницы.

Корни уравнения

Корни деревьев, корни растений – это все понятно. А что же такое корни уравнений, для чего они нужны, как их найти?

В саду росло 48 деревьев, несколько деревьев были очень старыми, их пришлось выкорчевать. После этого в саду осталось 22 дерева. Сколько же деревьев выкорчевали?

Мы знаем, общее число деревьев (48), число выкорчеванных деревьев неизвестно (х),так же знаем остаток растущих деревьев (22).Если из общего количества деревьев, вычесть выкорчеванные, то в результате получим число оставшихся. Составим уравнение:

Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно из общего количества деревьев (48) вычесть число оставшихся (22) :

Выкорчевали 26 деревьев.

становится верным равенством 48-26=22.

Числовое значение искомого компонента, преобразующее математическое выражение с искомым компонентом, в верное равенство и называют корнем уравнения.

Корень уравнения – точно подобранное число, преобразующее уравнение в верное равенство.

Теперь мы знаем, правильные определения и постараемся их запомнить. А как же найти корень уравнения? Какие действия нужно выполнить? Внимательно прочитав определение корня, приходим к выводу, что определить числовое значение корня можно только подобрав верное значение для искомого компонента, то есть просто решить уравнение!

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Ну а чтобы такие математические равенства не огорчали вас, рассмотрим основные правила решения уравнений.

Исходя из того, какое математическое действие лежит в основе равенства, подберите правильный способ поиска искомой составляющей!

Нахождение неизвестного компонента в уравнениях со сложением

Дети играли кубиками. Они взяли 15 красных и несколько желтых. Всего у детей было 26 кубиков. Сколько желтых кубиков было у детей?

Чтобы дать верный ответ, важно правильно составить уравнение. Нужно сложить количество красных (15) кубиков и желтых (х) кубиков, а сумма должна равняться 26 кубикам.

В составленном равенстве нужно определить число, удовлетворяющее искомой составляющей. Воспользуемся простым способом.

Чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Найдем число соответствующее искомой составляющей равенства с применением данного способа:

У детей было 11 желтых кубиков. Мы решили уравнение, то есть, нашли его корни.

Нахождение искомой составляющей в равенствах с вычитанием

На стройку привезли песок. 8 тонн песка использовали. Осталось 23 тонны. Сколько тонн песка привезли на стройку?

Чтобы узнать, сколько песка привезли на стройку нужно составить уравнение.

Сколько песка привезли, мы не знаем, поэтому принимаем за х. Количество использованного и оставшегося песка известно. Если от привезенного количества отнять использованное, то получим оставшееся количество песка:

Помощником в вычислении таких равенств, станет правило:

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, достаточно к вычитаемому прибавить разность.

Используя описанный способ вычислим:

На стройку привезли 31 тонну песка.

Рассмотрим следующий пример.

Перед поездкой водитель влил в бак 60 литров бензина. После прохождения всего пути осталось 6 литров. Сколько бензина израсходовал водитель?

Нам известно количество влитого бензина (60), количество израсходованного неизвестно (х), известен остаток 6 литров. Если из влитого бензина, вычесть израсходованный, то получим оставшийся. Составим уравнение:

Для решения уравнений с неизвестным вычитаемым, используют правило:

Определить числовое значение искомого вычитаемого, можно отняв от уменьшаемого разность.

Применив правило, получаем:

Водитель использовал 54 литра бензина.

Вычисление неизвестной составляющей в равенствах с умножением

Мама купила 10 килограммов картофеля. За покупку заплатила 240 рублей. Найдите цену 1 кг.картофеля.

Нам известно количество купленного картофеля (10), цена за 1 кг не известна (х), так же известна стоимость покупки (240). Если стоимость 1 кг картофеля мы умножим на количество кг.купленного картофеля, то получим стоимость покупки. Составим уравнение:

Найти подходящее, искомое значение будет легче, если вы запомните простое правило:

Найти подходящее значение искомому множителю, можно разделив произведение на известный множитель.

Применив правило, получаем:

Цена 1 кг картофеля составляет 24 рубля.

Нахождение неизвестного компонента в уравнениях с делением

На поле собрали 300 кг томатов. Их разложили в ящики по 20кг в каждом. Сколько получилось ящиков?

Нам известен общий вес помидоров(300), количество ящиков мы не знаем(х), известен вес каждого ящика(20).Если общий вес помидоров разделить на количество ящиков, то получим вес одного ящика. Составим уравнение:

Чтобы решать уравнения с неизвестным делителем, необходимо пользоваться правилом:

Определить соответствующее значение искомого делителя, можно разделив делимое на частное.

Применим правило к данному уравнению:

Все томаты разложили в 15 ящиков.

Рассмотрим еще одну задачу.

Добытый на шахте уголь погрузили в 25 вагонов по 10 тонн в один вагон. Какое количество угля добыли на шахте?

Общий вес добытого угля нам неизвестен(х), но известно количество вагонов(25), и вес угля в каждом вагоне (10).Если общий вес угля мы разделим на количество вагонов, то получим вес одного вагона. Составим уравнение:

Упростить вычисление математического равенства с искомой составляющей можно следующим образом:

Вычислить, числовое значение искомого делимого можно умножив делитель на частное.

Найдем число, соответствующее искомой составляющей:

Значит, вес добытого угля равен 250 тоннам.

Постарайтесь запомнить эти способы нахождения искомой составляющей, и тогда любое математическое равенство вызовет у вас только интерес, а чувство беспомощности останется в прошлом!