Решение уравнений с одним неизвестным математика

Уравнение с одним неизвестным

Уравнение вида ax = b, где x — неизвестное, a и b — числа, называется уравнением с одним неизвестным или линейным уравнением.

Число a называется коэффициентом при неизвестном, а число b — свободным членом.

Если в уравнении ax = b коэффициент не равен нулю (a ≠ 0), то, разделив обе части уравнения на a, получим . Значит, уравнение ax = b, в котором a ≠ 0, имеет единственный корень .

Если в уравнении ax = b коэффициент равен нулю (a = 0), а свободный член не равен нулю (b ≠ 0), то уравнение не имеет корней, так как равенство 0x = b, где b ≠ 0, не является верным ни при каком значении x.

Если в уравнении ax = b и коэффициент, и свободный член равны нулю (a = 0 и b = 0), то уравнение имеет бесконечное множество корней, так как равенство 0x = 0 верно при любом значении x.

Решение уравнений с одним неизвестным

Все уравнения с одним неизвестным решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения уравнений:

• освобождение от дробных членов;
• раскрытие скобок;
• перенос всех членов, содержащих неизвестное, в одну часть, а известные — в другую (члены с неизвестными, как правило, переносят в левую часть уравнения);
• сделать приведение подобных членов;
• разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Пример 1. Решить уравнение

Освобождаем уравнение от дробных членов:

20x — 28 — 24 = 9x + 36.

20x — 9x = 36 + 28 + 24.

Выполняем приведение подобных членов:

Делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (на 11):

Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:

Уравнение обратилось в верное равенство, следовательно, корень был найден верно.

Пример 2. Решить уравнение

Это уравнение проще решить, не раскрывая скобок, поэтому делим обе части уравнения на 5:

Выполняем приведение подобных членов:

Обычно все рассуждения при решении уравнения производят устно, а само решение записывается так:

Решение уравнений с одним неизвестным (переменной)

В данной публикации мы рассмотрим определение и общий вид записи уравнения с одним неизвестным, а также приведем алгоритм его решения с практическими примерами для лучшего понимания.

Определение и запись уравнения

Математическое выражение вида ax + b = 0 называется уравнением с одним неизвестным (переменной) или линейным уравнением. Здесь:

a и b – любые числа: a – коэффициент при неизвестном, b – свободный коэф.

Уравнение можно представить в равнозначном виде . После этого мы смотрим на коэффициенты.

• При a ≠ 0 единственный корень .
• При a = 0 уравнение примет вид . В таком случае:
  • если b ≠ 0 , корней нет;
  • если b = 0 , корнем является любое число, т.к. выражение верно при любом значении x .

  Алгоритм и примеры решения уравнений с одим неизвестным

  Простые варианты

  Рассмотрим простые примеры при a = 1 и наличии всего одного свободного коэффициента.

  » data-lang=»default» data-override=»<"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default">» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

  Пример	Решение	Объяснение
  слагаемое	от суммы отнимается известное слагаемое
  уменьшаемое	разность прибавляется к вычитаемому
  вычитаемое	из уменьшаемого вычитается разность
  множитель	произведение делится на известный множитель
  делимое	частное умножается на делитель
  делитель	делимое делится на частное

  Сложные варианты

  При решении более сложного уравнения с одной переменной, очень часто требуется сначала его упростить, прежде чем находить корень. Для этого могут применяться следующие приемы:

  • раскрытие скобок;
  • перенос всех неизвестных в одну сторону от знака “равно” (обычно в левую), а известных в другую (правую, соответственно).

  Пример: решим уравнение .

  1. Раскрываем скобки:
     6x + 18 – 3x = 2 + x .
  2. Переносим все неизвестные влево, а известные вправо (не забываем при переносе менять знак на противоположный):
     6x – 3x – x = 2 – 18 .
  3. Выполняем приведение подобных членов:
     2x = -16 .
  4. Делим обе части уравнения на число 2 (коэффициент при неизвестной):
     x = -8 .

  Урок 43 Бесплатно Решение уравнений

  Сегодня на уроке вспомним, что такое уравнение и что называют корнем уравнения. Рассмотрим один из видов уравнений: линейное уравнение с одним неизвестным, определим его общий вид и узнаем, как называются составные части такого равенства.

  Разберем способы и приемы решения линейных уравнений с одним неизвестным.

  Рассмотрим алгоритм и пример решения задач с помощью линейных уравнений.

  

  Линейное уравнение

  В реальной жизни нам часто приходится решать множество различных примеров и задач.

  

  Связать реальную жизнь и математическое описание любой ситуации нам позволяет математическая модель.

  Составив математическую модель жизненной задачи, мы можем превратить слова в формулы, неравенства, равенства, уравнения и т.п.

  Математическая модель задачи в виде уравнения позволяет установить связи между всеми данными задачи, а также применить эту модель-уравнение для решения огромного множества подобного типа задач.

  Вам уже хорошо известно, что уравнение — это математическое равенство, содержащее неизвестное число, которое необходимо определить.

  Неизвестное число, входящее в уравнение, называют неизвестным членом данного уравнения.

  Принято обозначать неизвестный член уравнения маленькими латинскими буквами.

  Чаще всего в математике используют буквы x, y, z.

  Найти неизвестное число, при котором из уравнения получается верное равенство, — это значит решить уравнение, т.е. найти корни уравнения или убедиться, что корней нет.

  

  Корень уравнения — это значение неизвестного числа в уравнении, при котором уравнение обращается в верное равенство.

  Уравнения могут иметь разное количество корней.

  Существуют уравнения, имеющие один единственный корень, и уравнения, вообще не имеющие корней.

  Встречаются уравнения, решением которых являются несколько значений (два, три и более), а в некоторых случаях уравнение может иметь бесконечное множество решений.

  Уравнение, в котором находится одна неизвестная, называют уравнением с одной неизвестной.

  х + 3 = 6 (уравнение с одной неизвестной х)

  3 ∙ у = 15 (уравнение с одной неизвестной y).

  Существуют уравнения с большим количеством неизвестных: с двумя, тремя и т. д.

  Рассмотрим, что представляют собой линейные уравнения с одной неизвестной.

  Линейные уравнения с одной неизвестной называют уравнения вида a ∙ x = b, где a ≠ 0

  

  х— неизвестное число

  a и b— некоторые числа:

  а— это коэффициент уравнения.

  b— это свободный член уравнения.

  Линейное уравнение с одной неизвестной может быть представлено в виде a ∙ x + b = 0, оно является равнозначным уравнению вида a ∙ x = ax = b.

  

  У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

  

  Уравнения с одним неизвестным умели решать в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте более четырех тысяч лет назад.

  Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что знания о неизвестных величинах и методах их вычисления, которыми тогда владели ученые, были образными.

  Одним из древнейших задачников по математике (примерно 1700 г до н.э.) является древнеегипетский папирус Ахмеса (также известный, как папирус Ринда (Райнда) по имени его первого владельца).

  Папирус Ахмеса содержит условия и решения 84 задач. Он является наиболее полным старейшим математическим сборником задач, дошедшим до наших дней.

  Все задачи, описанные и решенные в нем, имели практическое значение и могли применяться в строительстве, в межевании земельных наделов и т.д.

  Папирус содержит множество задач, которые сводятся к решению различных видов уравнений, в том числе и к линейным уравнениям.

  Папирус был обнаружен в 1858 г. Сейчас большая часть рукописи хранится в Британском музее.

  В III веке н.э. древнегреческий математик Диофант Александрийский в своей рукописи «Арифметика» изложил 130 задач, которые решались с помощью определенных (имеющих одно решение) и неопределенных уравнений.

  Уравнения, изложенные в книге, сейчас называются «Диофантовыми уравнениями».

  Также Диофант Александрийский впервые ввел буквенную символику в математику.

  Однако первым руководством по решению задач стал научный труд багдадского ученого IX века Мухамеда Бен Мусы аль-Хорезми «Книга о восстановлении и противопоставлении».

  Данная научная работа стала началом становления науки о решении уравнений.

  Мухамед Бен Муса аль-Хорезми впервые представил алгебру (раздел математики) как самостоятельную науку об общих методах решения уравнений, предложил классификацию уравнений.

  Но его математические сочинения в большей степени выражались словесно, в связи с чем казались очень громоздкими и сложными.

  Значительно упростить и облегчить описание и решение уравнений удалось великому французскому ученому XVI века Франсуа Виету.

  Он был первым, кто ввел буквенное обозначение коэффициентам уравнений и неизвестным величинам.

  Установил связь между корнями и коэффициентами уравнения.

  Франсуа Виет внедрил в науку мысль о том, что преобразования можно производить не только над величинами, но и над символами, таким образом, решать любую задачу в общем виде, т.е., по сути, он ввел понятие математической формулы.

  До сих пор многие идеи Виета являются актуальными и востребованными

  Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

  
  

  источники:

  http://microexcel.ru/uravnenie-s-odnoy-peremennoy/

  http://ladle.ru/education/matematika/6class/reshenie-uravnenij