Решение уравнений с одним неизвестным задания

Математика

54. Задачи на составление уравнений с одним неизвестным :

Мы можем применить умение решать уравнение к решению задач. Нижеследующие примеры укажут, как это делать.

Задача 1 . Продавался дом. У одного покупателя была сумма денег, равная ¾ его стоимости, а у другого — равная 5/6 его стоимости. Если бы они сложились вместе, то у них оказался бы излишек в 7000 руб. Какова стоимость дома?

Положим, что дом стоит x рублей. Тогда (в согласии с началом задачи) первый покупатель имел (x · ¾) руб. или, что тоже самое, 3x/4 руб., а второй имел 5x/6 руб. Следующая фраза условия задачи, а именно — «если бы они сложились вместе, то у них оказался бы излишек в 7000 руб.» — является уравнением, выраженным словами: надо выразить его теперь не словами, а математическими знаками. Сначала возьмем подобную же фразу в упрощенной форме: «если сложить числа a и b, то полученная сумма даст излишек m против числа c» — эту фразу можно переписать математическими знаками так: a + b = c + m.

Совершенно так же можно записать и то уравнение, которое имеется в нашей задаче: если сложить числа 3x/4 и 5x/6, то полученная сумма даст излишек 7000 над числом x, или
3x/4 + 5x/6 = x + 7000.

Полученное уравнение должно упростить: 1) умножим обе части уравнения на общего знаменателя 12 — получим

9x + 10x = 12x + 84000

2) Перенесем неизвестные члены в левую часть:

9x + 10x – 12x = 84000

Теперь мы можем дать ответ на задачу:

Стоимость дома составляла 12000 руб.

Задача 2 . В понедельник в классе отсутствовало 13 учеников, а во вторник 5 учеников. Отношение числа присутствующих учеников в понедельник к числу присутствующих во вторник равнялось 7/9. Сколько всего учеников было в этом классе?

Положим, что всего в классе числилось x учеников. Тогда в понедельник присутствовало (x – 13) учеников, а во вторник (x – 5) учеников. Фраза «отношение числа присутствующих учеников в понедельник к числу присутствующих во вторник равнялась 7/9» является уравнением, выраженным словами, и может быть переписана математическими знаками:

(x – 13) / (x – 5) = 7/9.

Решим это уравнение:

9(x – 13) = 7(x – 5) или 9x – 117 = 7x – 35.

Отсюда получим: 2x = 82 и x = 41.
Итак, в этом классе числились 41 ученик.

Задача 3 . Найти дробь, знаменатель которой на 3 больше числителя и которая обращается в 4/5, если из ее числителя и знаменателя вычесть по 1.

Эта задача несколько отличается от предыдущих. В ней требуется «найти дробь», но нельзя было бы начать решение задачи так, как это делали в 1-ый и 2-ой задаче: положим, что искомая дробь равна x. Нельзя было бы так начать потому, что в задаче речь идет отдельно о числителе и отдельно о знаменателе: приходится вычитать 1 отдельно из числителя и отдельно из знаменателя. Поэтому надо так обозначить дробь, чтобы были видны и ее числитель и ее знаменатель. Так как сказано, что знаменатель на 3 больше числителя, то можно обозначить буквою x или числителя или знаменателя, — тогда легко найти выражение для другого члена дроби и для самой дроби.

Вот решение задачи.

Положим, что числитель искомой дроби равен x. Тогда ее знаменатель равен x + 3, и искомая дробь равна x/(x+3). Фраза, «которая (т. е. дробь) обращается в 4/5, если из ее числителя и знаменателя вычесть по 1», является уравнением и может быть написана математически:
(x – 1) / (x + 3 – 1) = 4/5 или (x – 1) / (x + 2) = 4/5.

5(x – 1) = 4(x + 2); 5x – 5 = 4x + 8; 5x – 4x = 5 + 8; x = 13.

Тогда знаменатель дроби равен 16 и искомая дробь 13/16.

Задача 4 . Один брат старше другого на 14 лет, а через 6 лет он будет в 2 раза старше. Сколько лет каждому брату?

Здесь надо дать два ответа: сколько лет младшему брату и сколько лет старшему, но решать задачу можно при помощи уравнения с 1 неизвестным, так как сказано, что старший брат на 14 лет старше младшего. Решим задачу так:

Положим, что младшему брату x лет; тогда старшему (x + 14) лет.

Через 6 лет будет младшему брату (x + 6) лет, а старшему (x + 14 + 6) лет или (x + 20) лет.

Сказано, что старший будет тогда (через 6 лет) в 2 раза старше младшего, т. е. число x + 20 должно быть в 2 раза больше x + 6, а это можно записать в виде

(x + 20) / (x + 6) = 2 или x + 20 = 2 (x + 6) или (x + 20) / 2 = x + 6.

Наиболее естественная запись — первая: узнавать, во сколько раз одно число больше другого, надо делением; нам надо узнать, во сколько раз число (x + 20) больше числа (x + 6) — для этого надо (x + 20) разделить на (x + 6), и нам сказать ответ « в два раза». Поэтому пишем, что от этого деления получится число 2, т. е. (x + 20) / (x + 6) = 2.

Вторая запись может быть объяснена так: нам сказано, что число (x + 20) должно быть в 2 раза больше числа (x + 6). Чтобы сравнять эти числа, надо, следовательно, меньшее из них, т. е. x + 6, умножить на 2. Тогда x + 20 = 2(x + 6).

Тогда запись объясняется так: чтобы сравнять числа x + 20 и x + 6, надо большее из них уменьшить в 2 раза, и тогда (x + 20) / 2 = x + 6.

Если мы возьмем 1-ую запись

и умножим обе части уравнения на x + 6, то получим

т. е. вторую запись. Легко также из 3-ей записи получить 2-ую или 1-ую и т. д.

Во всяком случае, после освобождения уравнения от дробей, получим

и легко решим уравнение:

x + 20 = 2x + 12; 20 – 12 = 2x – x; 8 = x или x = 8.

Итак, младшему брату 8 лет, а старшему 8 + 14 = 22 года.

Задача 5 . Купили сахару и кофе, всего 28 фунтов; за фунт сахару платили 15 коп., а за фунт кофе 80 коп., за всю же покупку заплатили 12 рублей. Сколько купили сахару и сколько купили кофе?

Здесь затруднение может быть в том, что в условии задачи даны числа то в копейках, то в рублях. Должно заранее установить, в каких единицах, в рублях или копейках, будет вестись решение. Решим задачу в рублях. Тогда решение таково:

Положим, что купили x фунтов сахару. Тогда кофе купили (28 – x) фунтов.

За сахар заплатили (15x) копеек или (3/20)x рублей (так как 15 коп. равны 3/20 рубля), а за кофе заплатили 80(28 – x) коп. или 4/5 (28 – x) руб. (так как 80 коп. = 4/5 рубля).
Фраза «за всю покупку заплатили 12 руб.» может быть записана:

3x/20 + 4(28x – x)/5 = 12

[Если бы решали в копейках, то уравнение было бы 15x + 80(28 – x) = 1200].

Освободим уравнение от дробей, для чего обе части умножим на 20, — получим:

3x + 16(28 – x) = 240

3x + 448 – 16x = 240

3x – 16x = 240 – 448

Итак, сахару купили 16 фунтов, а кофе 12 фунтов (28 – 16 = 12).

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Решение линейных уравнений с одним неизвестным

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Решение линейных уравнений.

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.

Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Давайте вспомним, что называется корнем уравнения?

Корнем уравнения называют, такое значение переменной, при которой уравнение преобразуется в верное числовое равенство.

А что же означает решить уравнение?

Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что корней нет.

Давайте попробуем сформулировать теперь, как решать линейные уравнения и подумаем, а какие у нас могут быть случаи?

Решение линейного уравнения – это приведение его путем тождественных преобразований к стандартному виду.

Давайте решим уравнение:

Следовательно, уравнение не имеет корней.

А теперь давайте решим другое уравнение:

Попробуем решить уравнение:

При любом значении переменной, уравнение принимает вид верного равенства:

0 = 0, следовательно, уравнение имеет бесконечное множество корней.

Отсюда можно сделать вывод, что возможные варианты решения уравнения, зависят от того, какие значения принимает свободный член и коэффициент при переменной.

При решении уравнения вида возможны следующие три случая:

Замечательно, а теперь узнаем, можно ли проверить, является число корнем уравнения не решая его?

Да, конечно можно. Для этого нужно подставить в уравнение вместо переменной это число, если после упрощения, мы получаем верное равенство, то данное число будет являться корнем уравнения.

Давайте проверим, так ли это. Узнаем, является ли число

Замечательно. А теперь давайте попробуем порешать линейные уравнения первой степени.

является корнем уравнения.

уравнение к стандартному виду. Слагаемые, зависящие от икс, перенесём в левую часть уравнения, числа – в правую, изменяя их знаки на противоположные.

Разбор заданий тренировочного модуля.

содержащие переменной в правую часть, меняя знак на противоположный;

слагаемые, содержащие переменную в левую часть, не содержащие переменной, в правую часть, меняя знак на противоположный;

Самостоятельные работы по алгебре по теме «Уравнения с одним неизвестным», 7 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Самостоятельная работа 2.1

Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным

1. Какое из чисел 1, 17, 0 является корнем уравнения 8х – (7х + 8) = 9?

2. Решите уравнение:

а) 9а – 25 = 9(а — 2) – 7

б) 4х – (6 – 2х) = 12

в) 6(5у + 8) – 35 = 4у – 13

г)

3. Решите уравнение, используя свойство пропорции:

4. Решите уравнение:

а) |32х| = 3,2 б) |5х| = — 25 в) 6|х| = 4,2

Самостоятельная работа 2.1

Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным

1. Какое из чисел 0, 4, 1 является корнем уравнения 5х + 3(3х + 7) = 35?

2. Решите уравнение:

а) 8у + 30 = 8(у + 3) – 33

б) 12а – (5а + 25) = — 24

в) 3х — 16 = 26 – 3(4 + 9х)

г)

3. Решите уравнение, используя свойство пропорции:

4. Решите уравнение:

а) |6х| = — 42 б) |2х| = 2,8 в) 3|х| = 4,8

Самостоятельная работа 2.2

Решение задач с помощью уравнений

Ленту длиной 40 метров разрезали на три части, причём первая часть в 4 раза длиннее третьей, а вторая — на 12 метров длиннее третьей. Найдите длину каждой части ленты.

В первом ящике было в 4 раза больше яблок, чем во втором. Когда из первого ящика взяли 22 яблока, а во второй положили 14 яблок, в ящиках яблок стало поровну. Сколько яблок было в каждом ящике сначала?

3. Решите задачу:

Бригада должна была выполнить заказ за 10 дней. Ежедневно перевыполняя норму на 16 деталей, бригада за 8 дней работы не только выполнила задание, но еще изготовила дополнительно 44 детали. Сколько деталей в день изготовляла бригада?

Самостоятельная работа 2.2

Решение задач с помощью уравнений

Одна сторона треугольника в 3 раза меньше второй и на 14мм меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 69мм.

В первом овощехранилище было в 5 раз больше картофеля, чем во втором. Когда во второе овощехранилище завезли 38 тонн картофеля, а из первого вывезли на продажу 46 тонн, то в обоих овощехранилищах картофеля стало поровну. Сколько тонн картофеля было в каждом овощехранилище первоначально?

3. Решите задачу:

Туристы должны были преодолеть маршрут за 8 дней. Ежедневно они проходили на 3 км больше, чем планировалось первоначально, и достигли пункта назначения за 6 дней. Сколько километров в день проходили туристы день?

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 929 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 586 858 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.

Глава 2. Уравнения с одним неизвестным

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 19.09.2021
• 524
• 25

• 19.09.2021
• 1623
• 42

• 19.09.2021
• 135
• 1

• 19.09.2021
• 276
• 5

• 19.09.2021
• 153
• 4

• 19.09.2021
• 30
• 2

• 19.09.2021
• 275
• 10

• 19.09.2021
• 274
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 19.09.2021 3643
• DOCX 16.5 кбайт
• 265 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Васильева Елена Валерьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 22359
• Всего материалов: 3

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только на 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки