Решение уравнений с одной переменной методом касательных

Метод Ньютона

Инструкция . Введите выражение F(x) , нажмите Далее . Полученное решение сохраняется в файле Word . Также создается шаблон решения в Excel .

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Правила ввода функции, заданной в явном виде

2. Примеры правильного написания F(x) :
   1. 10•x•e 2x = 10*x*exp(2*x)
   2. x•e -x +cos(3x) = x*exp(-x)+cos(3*x)
   3. x 3 -x 2 +3 = x^3-x^2+3
   4. Выражение 0.9*x=sin(x)+1 необходимо преобразовать к виду: sin(x)+1-0.9*x . Аналогично, x^2-7=5-3x к виду x^2+3x-12 .

   Пусть дано уравнение f(x)=0 , где f(x) определено и непрерывно в некотором конечном или бесконечном интервале a ≤ x ≤ b . Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ)=0 называется корнем уравнения или нулем функции f(x) . Число ξ называется корнем k -ой кратности, если при x = ξ вместе с функцией f(x) обращаются в нуль ее производные до (k-1) порядка включительно: f(ξ)=f’(ξ)= … =f k-1 (ξ) = 0 . Однократный корень называется простым.
   Приближенное нахождение корней уравнения складывается из двух этапов:

   1. Отделение корней, то есть установление интервалов [α_i,β_i] , в которых содержится один корень уравнения.
      1. f(a)•f(b) , т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки.
      2. f’(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция монотонна (эти два условия достаточны, но НЕ необходимы) для единственности корня на искомом отрезке).
      3. f”(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция выпукла вверх, либо – вниз.
   2. Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной точности.

   Геометрическая интерпретация метода Ньютона (метод касательных)

   Критерий завершения итерационного процесса имеет вид

   Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона для решения уравнений с одной переменной

   Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод Ньютона для решения уравнений с одной переменной

   Метод Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643-1727), под именем которого и обрёл свою известность.

   Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи De analysi per aequationes numero terminorum infinitas ( лат .О б анализе уравнениями бесконечных рядов), адресованной в 1669 году Барроу , и в работе De metodis fluxionum et serierum infinitarum ( лат.Метод флюксий и бесконечные ряды) или Geometria analytica ( лат.Аналитическая геометрия) в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения x_n , а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение x.

   Впервые метод был опубликован в трактате Алгебра Джона Валлиса в 1685 году, по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работе Analysis aequationum universalis (лат. Общий анализ уравнений). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений x_n вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном.

   Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента.

   В соответствии с данным методом задача поиска корня функции сводится к задаче поиска точки пересечения с осью абсцисс касательной, построенной к графику функции .

   Рис.1 . График изменение функции

   Проведенная в любой точке касательная линия к графику функции определяется производной данной функции в рассматриваемой точке, которая в свою очередь определяется тангенсом угла α ( ). Точка пересечения касательной с осью абсцисс определяется исходя из следующего соотношения в прямоугольном треугольнике: тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется отношением противолежащего катета к прилежащему катету треугольнику. Таким образом, на каждом шаге строится касательная к графику функции в точке очередного приближения . Точка пересечения касательной с осью Ox будет являться следующей точкой приближения . В соответствии с рассматриваемым методом расчет приближенного значения корня на i -итерации производится по формуле:

   Наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом, однако следует обратить внимание на то, что алгоритм не учитывает кривизну графика и следовательно в процессе расчета остается неизвестно в какую сторону может отклониться график.

   Условием окончания итерационного процесса является выполнение следующего условия:

   где ˗ допустимая погрешность определения корня.

   Метод обладает квадратичной сходимостью. Квадратичная скорость сходимость означает, что число верных знаков в приближённом значении удваивается с каждой итерацией.

   Математическое обоснование

   Пусть дана вещественная функция , которая определена и непрерывна на рассматриваемом участке. Необходимо найти вещественный корень рассматриваемой функции.

   Вывод уравнения основано на методе простых итераций, в соответствии с которым уравнение приводят к эквивалентному уравнению при любой функции . Введем понятие сжимающего отображения, которое определяется соотношением .

   Для наилучшей сходимости метода в точке очередного приближения должно выполняться условие . Данное требование означает, что корень функции должен соответствовать экстремуму функции .

   Производная сжимающего отображения определяется в следующем виде:

   Выразим из данного выражение переменную при условии принятого ранее утверждения о том, что при необходимо обеспечить условие . В результате получим выражение для определения переменной :

   С учетом этого сжимающая функция прием следующий вид:

   Таким образом, алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:

   Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу Ньютона для уравнения с одной переменной

   1. Задать начальную точку приближенного значения корня функции , а также погрешность расчета (малое положительное число ) и начальный шаг итерации ( ).

   2. Выполнить расчет приближенного значения корня функции в соответствии с формулой:

   3. Проверяем приближенное значение корня на предмет заданной точности, в случае:

   — если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается.

   — если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

   Пример решения уравнений

   по методу Ньютона для уравнения с одной переменной

   В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения методом Ньютона для уравнения с одной переменной . Корень необходимо найти с точностью в качестве первого приближения .

   Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD представлен на рисунке 3.

   Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.2).

   Рис.2 . Результаты расчета по методу Ньютона для уравнения с одной переменной

   Для обеспечения заданной точности при поиске приближенного значения корня уравнения в диапазоне необходимо выполнить 4 итерации. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .

   Рис.3 . Листинг программы в MathCad

   Модификации метода Ньютона для уравнения с одной переменной

   Существует несколько модификаций метода Ньютона, которые направлены на упрощение вычислительного процесса.

   Упрощенный метод Ньютона

   В соответствии с методом Ньютона требуется вычислять производную функции f(x) на каждом шаге итерации, что ведет к увеличению вычислительных затрат. Для уменьшения затрат, связанных с вычислением производной на каждом шаге расчета, можно произвести замену производной f’( x_n ) в точке x_n в формуле на производную f’(x₀) в точке x₀. В соответствии с данным методом расчета приближенное значение корня определяется по следующей формуле:

   Таким образом, на каждом шаге расчета строятся прямые , которые параллельны касательной к кривой y=f(x) в точке B₀ (см. рис.4). Преимуществом данного метода является то, что производная функции вычисляется один раз.

   Разностный метод Ньютона

   В соответствии с методом Ньютона требуется вычислять производную функции f(x) на каждом шаге итерации, что не всегда удобно, а иногда практически невозможно. Данный способ позволяет производную функции заменить разностным отношением (приближенным значением):

   В результате приближенное значение корня функции f(x) будет определяться выражением разностного метода Ньютона:

   Двух шаговый метод Ньютона

   В соответствии с методом Ньютона требуется вычислять производную функции f(x) на каждом шаге итерации, что не всегда удобно, а иногда практически невозможно. Данный способ позволяет производную функции заменить разностным отношением (приближенным значением):

   В результате приближенное значение корня функции f(x) будет определяться следующим выражением:

   Метод секущих является двух шаговым, то есть новое приближение определяется двумя предыдущими итерациями и . В методе необходимо задавать два начальных приближения и . Скорость сходимости метода будет линейной.

   Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

   Численное решение нелинейных уравнений с одной переменной

   

   Учащимся 10-11 классов

   доцент кафедры информатики и информационных технологий ГОУ ВПО ДВГГУ

   Численное решение нелинейных уравнений с одной переменной

   При решении задач прикладного характера в разнообразных разделах физики, механики, техники и других областях возникает необходимость решения нелинейных уравнений с одной переменной. При этом многие уравнения не имеют аналитических решений. Это относится к большинству трансцендентных уравнений. Также доказано, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраические уравнение выше четвертой степени.

   Уравнение будем называть линейным[1], алгебраическим или трансцендентным в зависимости от того, имеет ли оно одно решение, n решений или неопределенное число решений.

   Нелинейные уравнения можно разделить на два класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). Например, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.[2]

   Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

   Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

   Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложное, то его корни сравнительно редко удается найти точно. Поэтому большое значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности. Если точно определить корни уравнения не представляется возможным, для их решения используют численные итерационные (iteration — повторение) методы с заданной степенью точности.

   Далее будут рассмотрены несколько численных методов и приведены алгоритмы нахождения корней уравнений.

   В общем случае нелинейное уравнение можно записать в виде:

   (1)

   где функция F(x) — определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале

   (2)

   где функции f(x) и g(x) также определены и непрерывны на интервале .

   Всякое число обращающее уравнения (1) или (2) в верные числовые равенства называется корнем этого уравнения.

   Корни уравнения могут быть действительными и комплексными. В дальнейшем будет идти речь только о вычислении действительных корней.

   Решить уравнение численно значит:

   1) установить имеет ли оно действительные корни;

   2) отделить эти корни (то есть на числовой оси найти достаточно тесные промежутки, называемые интервалами изоляции корня[3], содержащие только один корень данного уравнения);

   3) уточнить отделенные корни, т. е. найти значения корней с заданной степенью точности .

   Последнее означает следующее.

   Пусть x* — точный корень уравнения и x* , то есть x* . Если , тогда числа и могут рассматриваться как приближенные значения корня x* соответственно с недостатком и с избытком с точностью до , так как и .

   Любое число, содержащееся между и , можно принять за приближенное значение корня x* с точностью до .

   Графические методы решения уравнений[4]

   Пусть дано уравнение F (х) = 0. Построим график функции F (х). Абсциссы точек пересечения графика с осью Ох и являются корнями уравнения.

   Иногда для графического решения уравнения удобнее записать его в виде и построить графики функций: и Абсциссы точек пересечения этих графиков и являются корнями уравнения F (х) = 0 (рис. 1).

   Однако этот метод позволяет получить лишь грубо приближенные значения корней уравнения. Для получения значений корней с большей точностью применяются численные методы. Однако, графи­ческий метод очень удобен, так как он позволяет найти корни с точностью, достаточной для решения многих практических задач, а также достаточно нагляден, прост и доступен.

   Численные методы решения уравнений

   Наиболее распространенными на практике численными методами решения уравнения (1) являются: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных, метод простой итерации и т. д.[5]

   Процесс численного решения уравнений разбивается на три этапа:

   1. Отделение корней уравнения. Этот процесс можно сделать как графически, так и аналитически. Важно найти такие отрезки, которые бы содержали по одному корню уравнения (1).

   2. Выбор метода решения и преобразование уравнения к виду, удобному для применения данного метода.

   3. Уточнение корней с заданной точностью при помощи выбранного численного метода.

   Говорят, что корень x* уравнения отделен на отрезке , если он содержится в данном отрезке, и если на этом отрезке других корней нет.

   Провести полное отделение всех корней уравнения – значит разбить всю область допустимых значений на интервалы (или на отрезки), в каждом из которых содержится ровно по одному корню (или не содержится ни одного корня).

   Отделение корней обычно начинают проводить графически. Для этого строят графики функций, получают интервалы, в которых на­ходятся корни уравнения. Это предположение затем проверяют ана­литически, пользуясь следующим свойством непрерывной функции F(x): если функция непрерывна на интервале и на его концах имеет разные знаки (), то между точками a и b имеется хотя бы один корень уравнения .

   При этом корней может оказаться и несколько, как показано на рис. 2. Рис.2

   Для того, чтобы на интервале существовал только один корень, должно выполняться следующее свойство: если функция непрерывна и монотонна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка содержится корень уравнения и этот корень единственный (рис. 3, а, b).

   

   Пример 1: Отделить графически положительные корни уравнения

   Решение: Найдем приближенные значения корней уравнения графически. Для этого удобно представить уравнение в следующем виде: e0,3x = 2 sin(2x).

   Решением данного уравнения будет являться абсцисса x точки пересечения графиков следующих функций:

   

   На рисунке видно, что графики функций y1(x) и y2(x) пересекаются в двух точках A и B, абсциссы которых положительны и лежат соответственно в промежутках и. Следовательно, уравнение имеет два положительных корня x1 и x2, которые лежат в промежутках и.

   Примечание: Графики функций можно строить с помощью компьютера, например, в электронных таблицах Excel или в свободно распространяемой системе компьютерной математики Scilab.[7]

   Пример 2: Отделить аналитически корни уравнения

   Решение: Для аналитического отделения корней найдем производную функции

   Производная этой функции

   ни в одной точке не обращается в нуль, т. к. D = 36 -4*3*11 0, следовательно, функция f везде возрастает, и уравнение (4) может иметь один корень.

   

   

   [3] Методы определения интервала изоляции корня основаны на следующем свойстве: если непрерывная функция f(x) на интервале [a, b] поменяла знак, т. е. f(a)*f(b)

   
   

   источники:

   http://simenergy.ru/math-analysis/solution-methods/45-method-newton-s

   http://pandia.ru/text/77/276/87588.php