Решение уравнений с параметрами за 10 класс

Решение уравнений с параметрами
творческая работа учащихся (10 класс) по теме

Работа студентки, написанная для конференции

Скачать:

Предварительный просмотр:

Федеральное государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования
Пермский химико-технологический техникум

Решение уравнений с параметром

Выполнил студент гр. П-10-9:

Руководитель: Старкова О.П.

1. Решение уравнений с параметром

2.1. Основные определения

2.2. Линейные уравнения и уравнения, приводимые к ним

2.3. Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным

3. Практическая часть

3.1. Линейные уравнения и уравнения, приводимые к ним

3.2. Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным

3.3. Системы линейных уравнений с двумя переменными

3.4. Тригонометрические уравнения

3.5. Графический способ решения уравнений

Во многих областях человеческой деятельности возникает потребность решать уравнения. С решением линейных и квадратных уравнений мы уже знакомы. Любое равенство вида f(x)=g(x) , где f(x) и g(x) – некоторые функции, называется уравнением с одной переменной х . В реальных же прикладных задачах их больше. При этом важно выяснить, как зависит ответ (сколько решений вообще или с определёнными свойствами: положительные, рациональные, целые и т. д.) в зависимости от тех или иных переменных, входящих в уравнение. Поэтому решение уравнений с параметром находит широкое применение и имеет большое значение.

В математике, физике, экономике решаются следующие уравнения:

1. линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным;
2. квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным;
3. уравнения с модулем;
4. графическое решение уравнений с параметром;
5. системы линейных уравнений;

2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ.

2.1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Уравнение х² + ах + 1 = 0 можно рассматривать как уравнение с переменными х и а. Но чаще говоря о решении уравнения относительно х , т.е. считают переменные х и а неравноценными и решают уравнение, считая а известным. При таком рассмотрении переменная х называется неизвестным, переменная а – параметром.

Рассмотрим уравнение вида к f ( a; в; с; … ; к; х; )=g( а; в; с; … ; х ) , где

а; в; с; … ; к; х – переменные величины.

Любую систему значений а = а ; в = в ; … ; к = к ; х = х ; при которой обе части уравнения имеют смысл, будем называть системой допустимых значений переменных а; в; с; … ; к; и …………………………………………. подставить в обе части уравнения, то получим уравнение с одной переменной х .

Переменные а; в; с; … ; к; которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами , а само уравнение называется уравнением с параметром .

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: а; в; с;

… ; к; l; t; n; а известные – буквами х; у; z .

= =

a, b, c, d, l, m, n, p – являются параметрами, х – неизвестное.

Допустимой является любая система значений a, b, c, d, l, m, p, x, удовлетворяющая условию: х ≠ 0, с ≠ 0, m ≠ -1, р ≠ 0, m ≠ 0 .

Решить уравнение – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения, сколько их и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называют равносильными, если:

1. они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров,
2. каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

2.2 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ,

ПРИВОДИМЫЕ К ЛИНЕЙНЫМ

Уравнения вида ах = b , где а и b – выражения, зависящие только от параметров, а х – неизвестное, называются линейным уравнением относительно х .

Приведём словесное описание алгоритма его решения:

Ответ: единственный корень .

1. Если а = 0 , b = 0 , то 0·х = 0

Ответ: х — любое число.

1. Если а = 0 , b ≠ 0 , то 0 ·х = b

Ответ: решений не существует .

если а ≠ 0 , то х = 0;

если а = 0 , то корней нет.

если а ≠ 0, то х = 1;

если а = 0 , то 0х = 0,

х – любое действительное число .

если а=1 , то уравнение корней не имеет;

если а ≠ 1 , то х = 2 : (а-1) корень уравнения.

2.3 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ К КВАДРАТНЫМ

Уравнения вида mx² + px + q = 0 , где х – неизвестное, m, p, q – выражения, зависящие только от параметров, а m ≠ 0 , называются квадратными уравнениями относительно х .

Допустимыми являются такие значения параметров, при которых m, p, q имеют смысл.

ах² — 2(а+1)х + 2а = 0

Если а = 0 , то в этом случае уравнение не будет являться квадратным, уравнение примет вид: 2х = 0,

Если а ≠ 0 , то в этом случае уравнение является квадратным, поэтому существование корней и их число определяется знаком дискриминанта. Найдём дискриминант:

D = (a+1)²-2a² = -a² + 2a +1 .

D зависит от параметра а . Для вычисления его знака найдём корни: а 1 =1- и а 2 =1+ . Нанесём на числовую ось а полученные точки (рис.2)

Если 1 — , а ≠ 0 , то D > 0 и уравнение имеет два решения:

При а = 1 — и а = 1 + , D = 0 и уравнение имеет по одному решению. Если а = 1 — , то х = , при а = 1 + — корень х = — .

При а є (- ; 1 — ) (1 + ; + ) уравнение не имеет решений, так как D

Ответ: а є(- ;1 — ) корней нет,

3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ

Рассмотрим ряд уравнений, содержащие буквенные коэффициенты (параметры). Решить уравнение с параметром – значит найти все решения данного уравнения для каждой допустимой системы значений параметров.

3.1 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

ПРИВОДИМЫЕ К НИМ.

а) При каких значениях а данное уравнение имеет единственное решение, не имеет решения?

если а=5 , то имеем х · 0= -3 – не имеет решение.

Ответ: а = 5 уравнение не имеет решения,

а≠ 5 , уравнение имеет единственное решение: х= .

б) При каких значениях а данное уравнение имеет единственное решение, не имеет решения?

( а² — 9)х = а² + 2а — 3

Уравнение имеет смысл при любых значениях параметра. Запишем уравнение в виде:

(а — 3)(а + 3)х = (а + 3)(а — 1)

если а = — 3 , то уравнение примет вид: 0х = 0 . Отсюда следует, что решением этого уравнения является любое действительное число (x є R) .

если а ≠ — 3 , то уравнение примет вид: (а — 3)х = а — 1

при а = 3 имеем 0х = 2 . Уравнение решения не имеет.

при а ≠ 3 имеем х = . Уравнение имеет одно решение.

Ответ: а = — 3, x є R;

а = 3, нет решения;

в) При каких значениях а данное уравнение имеет единственное решение, не имеет решения?

Очевидно, (х + 1)а ≠ 0, т.е. х ≠ -1, а ≠ 0.

Преобразуем данное уравнение, умножив обе его части на а(х + 1) ≠ 0.

(х — 4)а – 1 = — 2(х + 1)

ха — 4а – 1 = — 2х — 2

ха — 4а – 1 + 2х + 2 = 0

ха — 4а + 2х + 1 = 0

Если а = — 2 , то имеем 0х = — 9 , уравнение решений не имеет.

Если а ≠ — 2 , то х = .

Согласно ОДЗ: х ≠ — 1 , поэтому необходимо проверить, нет ли таких значений а , при которых найденное значение х равно — 1 :

Значит, при а ≠ 0, а ≠ — 2, а = — уравнение имеет единственное решение:

Разработка урока «Уравнения с параметрами». 10 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

І-ІІІ ступеней №2 отдела образования администрации города Кировское,

10 класс. Алгебра

Тема урока: Решение уравнений с параметрами в программе Advanced Grapher.

Обучающая — организова ть работу учащихся по закреплению знаний, умений и навыков решения уравнений с параметрами. Показать на примере применение программы Advanced Grapher с использованием метода самостоятельной практической деятельности.

Развивающая — обеспечить получение новых знаний и развитие в учащихся навыков, способствующих применению полученных знаний и умений для решения более сложных уравнений с параметрами.

Воспитательная — формирование информационной культуры, умения и навыков самостоятельного овладения знаниями.

Оборудование:

компьютеры с установленной операционной системой Advanced Grapher компьютер учителя -1 шт, компьютер ученика -12 шт;

учебник Нелин Е.П., Алгебра и начало анализа, профильный уровень, 10 класс. – Харьков: Издательство «Гимназия», 2010.

Тип урока: урок усовершенствования знаний и умений учащихся по теме «Решение уравнений с параметрами».

Ход урока

І .Организационный момент.

Сообщение темы, целей и задач урока.

ІІ .Объяснение учителя.

Уравнение (неравенство) с параметрами – математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значения одного или нескольких параметров, обозначенных буквами (а, в , с и т.д.).

Решить уравнение с параметром означает:

Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.

Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Задачи, связанные с решением уравнений с параметрами, часто встречаются на олимпиадах разных уровней, на различных конкурсах. Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами при сдаче Единого Государственного экзамена и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение.

Значительный вклад в изучение вопроса методики решения уравнений с параметрами сделали такие ученые как Горнштейн П.И., Полонский В.Б., М.С., Цыпкин А.Г., Пинский А.И., Новоселов С.И., Никонов Е.Ю., Ткачук В.В., Локоть В.В., Мордкович А.Г и др.

Универсального метода решения задач с параметрами не существует.

Часто пользуются аналитическим (с использованием формул, свойств функций) и графическими методами.

Рассмотрим несколько примеров решения таких задач.

ІІІ. Решение упражнений.

Задание №1. Решить уравнение

При решении данного уравнения необходимо рассмотреть случаи, когда (это происходит, когда а = 2, или а = -2) и случай, когда .

Если а = 2, уравнение имеет вид 0 · х = 0, тогда х – любое число.

Если а = — 2, уравнение имеет вид 0 · х = — 4, тогда уравнение не имеет решений.

Если а 2, а -2, тогда уравнение имеет вид

Ответ: если а = 2, то х – любое число; если а = — 2, то уравнение не имеет решений; если а 2, а -2, то

Пользуясь собственным опытом, выполните решение предложенной ниже турнирной задачи.

Задача. «Количество решений». Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет один корень.

, ОДЗ: х R , а R .

Решим уравнение графическим способом. Для этого рассмотрим функции

у = | x + 3| — 1 и у = |2х — а|. Построим графики функций в одной системе координат.

Алгоритм построение графика у = | x + 3| — 1.

1 шаг: у = х + 3 – графиком является прямая, сдвинутая вверх по оси ОУ на 3 единицы. Точки пересечения с ОХ (у = 0), х = — 3.

2 шаг: у = | x + 3| — часть прямой, которая расположена выше оси ОХ остается без изменения. Часть прямой, находящаяся ниже оси ОХ отображается симметрично этой оси вверх.

3 шаг: у = | x + 3| — 1 — полученный график опускаем вниз на 1 единицу.

Точки пересечения с ОХ (у = 0) Точки пересечения с ОУ (х = 0) у = 2.

Алгоритм построения графика у = |2х — а|.

1 шаг: у = 2х – графиком является прямая пропорциональность. График проходит через начало координат.

2 шаг: у = 2х – а. В зависимости от параметра а график сдвигается параллельным переносом вдоль оси ОУ вверх (если а 0).

3 шаг: у = |2х — а|. Часть графика, находящаяся выше оси ОХ остается без изменения, часть графика, находящаяся ниже оси ОХ отображается симметрично оси ОХ вверх.

При построении графиков в одной системе координат видно, что они будут иметь одну общую точку (одно решение уравнения) при Значит:

Если , то уравнение имеет одно решение.

Если х( — уравнение имеет 2 решения.

Если х(-4;-2) – уравнение не имеет решений.

Графически это выглядит так:

Найдем значение параметра а, при котором

Если х = -2, то у = 0, имеем |-4-а| = 0, а = -4.

Если х = -4, то у = 0, имеем |-8-а| = 0, а = -8.

Ответ: уравнение имеет одно решение, если а= -4 или а= -8.

І V . Домашнее задания

Используя программу Advanced Grapher, найдите все значения параметра а, при котором уравнение имеет больше двух решений.

В программе Advanced Grapher строим график функции у = |х-1| + |х-3|.

В этой же системе координат строим графики у = а, если а = 5; 2; -3. Это используем для того, чтобы показать, количество возможных решений:

-если а = 2, то уравнение имеет бесконечное множество решений;

-если а > 2, то уравнение имеет два решения.

Уравнения с параметром

Разделы: Математика

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

если а = 5, то х = = ;

Дидактический материал

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

Ответы:

1. При а1 х =;

1. При а3 х = ;

1. При а1, а-1, а0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

1. При а2, а0 х = ;

1. При а-3, а-2, а0, 5 х =

1. При а + с0, с0 х = ;

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

х = –

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

a =

a =

Если а -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

х = – = –

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

В итоге

4(а – 1)(а – 6) > 0 — 2(а + 1) 0

а 6 а > — 1 а > 5/9

6

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а*3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х , получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log₃2 , или х 2 – хlog₃2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 ₃2 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log₃а, или х 2 – хlog₃а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 ₃2 – 4 > 0, или |log₃а| > 2.

Если log₃а > 2, то а > 9, а если log₃а 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х₁ = -3, х₂ = а = >

а – положительное число.

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х — (5а-3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Ответ:

1. 0 25/2
2. при а = 1, а = -2,2
3. 0 0, х1/4 (3)

х = у

Если а = 0, то –

2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а₀; 2), где а₀ 2

а₀ =

Ответ: x + 9a 3 ) = x имеет ровно два корня.

Ответы:

при а 16.06.2009