Решение уравнений с параметром какой класс

Линейные уравнения с параметрами в 7-м классе (методические рекомендации)

Разделы: Математика

Известно, что в программе по математике для неспециализированных школ задачам с параметрами отводится незначительное место.
К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, относятся, например, задачи, в которых отыскивается решение линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследуется количество их корней в зависимости от значений параметров.
Естественно, что такой небольшой класс задач не позволяет учащимся овладеть методами решения задач с параметрами. В результате, у учащихся возникает психологический барьер уже при «первом» знакомстве с параметрами — это неизвестное и известное, переменная и постоянная. Выход из сложившейся ситуации — включать задачи с параметрами в каждую тему.

Для решения задач с параметрами требуется:

а) свободное владение навыками решения уравнений;
б) знание специфических преобразований, которые используются в уравнениях;
в) умение построить логическую цепочку рассуждений.

а) отработку навыков решения уравнений;
б) повышают интеллектуальный уровень ученика и его логическое мышление;
в) формируют навыки исследовательской деятельности;
г) повышают интерес к математике.

Прежде чем ввести понятие «параметр», учащимся необходимо напомнить роль букв в алгебре. Обратить внимание ребят на то, что за буквой скрывается число.
Предложите учащимся задания, в которых надо выразить одну переменную через другую. К этим задачам надо возвращаться постоянно, особенно в 7-м классе, поскольку умение выражать одну переменную через другую очень пригодится при решении задач по физике, где требуется вначале составить буквенное выражение и только затем подставить числовые значения.

Пример №2.
Выразить х : а) ах = а-1; б) (а+2) х = а-1; в) а х = а -1.
Укажите, при каких значениях а имеет смысл полученное выражение.
Найдите значение х при а=2; а=3; а= -10.
Повторите на простых примерах, что такое уравнение, что значит решить уравнение. При решении уравнений типа 2х-2=-1;14х=-4; 3-3х=1 обратите внимание учащихся на то, что мы выразили неизвестное, которое надо найти, через числа.
Покажите, что в уравнение, помимо неизвестного, могут быть введены и другие буквы, и буквенные выражения. Например, ах=а-1, (а+2)х=а-1, (а+2)х=(а+2)-1, а х=а -1.
При этом, как всегда в алгебре, мы полагаем, что буквы могут принимать любые числовые значения. Например, задавая произвольно значения а для уравнения ах=а-1 получаем
при а=2 имеем 2х=2-1; при а=3 имеем 3х=3-1; при а=0 имеем 0х=0-1; при а=-4 имеем -4х=-4-1.

Пример №3.
Дано уравнение ах=5а-9.
Напишите уравнение, которое получится, если а=10; а=-2; а=0.

Пример №4.
Решить уравнение относительно х:
х+2=а+7.
Решение: х=а+5.
Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовем параметром.

Параметр — это переменная величина, которая в процессе решения уравнения (задачи) считают фиксированной и относительно которойпроводится анализ полученного решения.
Решить уравнение с параметром — этозначит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

Заметим, что в нашем примере параметр а может принимать любые значения.
Ответ запишем так: при любом значении параметра а

х=а+5 .
Основное, что нужно усвоить при первом «знакомстве» с параметром, это необходимость осторожного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна в примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относятся задачи, в которых требуется сравнить два числа.

Пример №5.
Сравнить числа: а) а и 3а;
б) -а и 3а.
Решение:
а) естественно рассмотреть три случая:
если а 3а; если а = 0, то а = 3а; если а > 0, то а 3а; если а = 0, то -а = 3а; если а > 0, то -а -1 уравнение имеет два корня.

Как было сказано ранее, к уравнениям с параметрами надо возвращаться постоянно. Поэтому, на конец учебного года можно вынести уравнения:
1) (а-3)х=а2-9;
2) (3-2а)х=4а2-12а+9;
3) (а2-4)х=а2-5а+6;
4) (а2-1)х=а3+1
Решение.1) (а2-1)=0, а=±1.
При а=1 уравнение имеет вид 0х=2. Следовательно, решений нет.
При а=-1 уравнение имеет вид 0х=0. Следовательно, х- любое число.

Задачи для самостоятельного решения.

Для всех значений параметров а и в решите уравнения:

(5а+1)х+25а2+10а+1=0;
ах-а=х-1;
(а2-4)х=а2+а-2;
(а2-1)х-а2+2а-1=0;
(а-2в)х+а+в=3;
каких значениях параметра а уравнение а2(х-2)=х+а-3 имеет бесконечное множество решений?
каком значении параметра а корень уравнения х+3=2х-а будет отрицательным числом?
каждого значения параметра а определить число корней уравнения |x-1| =а.
каждого значения параметра а определить число корней уравнения|5x-3| =а.

Используемая литература.

Газета «Математика». Учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября»: Е.Пронина, « Линейные уравнения с параметрами» №12, 2000 г.; C.Неделяева, «Особенности решения задач с параметрами» №34, 1999 г.
Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Математика для старшеклассников. Минск: «Аверсэв», 2003.
Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Чебоксары: Изд-во Чувашского университета, 2004.
Соколовская С.И., ДухонМ.Ю. Линейные уравнения и неравенства с параметром. Пособие для учащихся старших классов. М., 2005.

Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

Одна из сложных задач Профильного ЕГЭ по математике — задача с параметрами. В ЕГЭ 2022 года это №17. И даже в вариантах ОГЭ они есть. Что же означает это слово — параметр?

Толковый словарь (в который полезно время от времени заглядывать) дает ответ: «Параметр — это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса».

Хорошо, параметр — это какая-либо характеристика, свойство системы или процесса.

Вот, например, ракета выводит космический аппарат в околоземное пространство. Как вы думаете — какие параметры влияют на его полет?

Если корабль запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту.

Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, позволяет космическому кораблю преодолеть поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно равная 16,7 км/с, дает возможность преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы.

А если скорость меньше первой космической? Значит, тонны металла, топлива и дорогостоящей аппаратуры рухнут на землю, сопровождаемые репликой растерянного комментатора: «Кажется, что-то пошло не так».

Скорость космического корабля можно — параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба. Конечно, это не единственный параметр. В реальных задачах науки и техники, задействованы уравнения, включающие функции многих переменных и параметров, а также производные этих функций.

1. Теперь пример из школьной математики.

Все мы помним, что такое квадратное уравнение. Это уравнение вида , где коэффициент а не равен нулю.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения:

Если , квадратное уравнение имеет два корня: и

Если , квадратное уравнение имеет единственный корень

Если , квадратное уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим уравнение . Его дискриминант равен Если , то есть , это квадратное уравнение имеет два корня.

Если при , уравнение имеет единственный корень.

Если , то есть с > 1, корней нет.

В нашем уравнении с — параметр, величина, которая принимать любые значения. Но от этого параметра с зависит количество корней данного уравнения.

Для того чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отличное знание и алгебры, и планиметрии.

И еще две простые задачи с параметром.

2. Найдите значение параметра p, при котором уравнение имеет 2 различных корня.

Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда .

Найдем дискриминант уравнения

Т.к. , получим:

Вспомним, как решаются квадратичные неравенства (вы проходили это в 9 классе).

Найдем корни квадратного уравнения . Это и

Разложим левую часть неравенства на множители:

Рисуем параболу с ветвями вверх. Она пересекает ось р в точках и

3. При каких значениях параметра k система уравнений не имеет решений?

Оба уравнения системы — линейные. График линейного уравнения — прямая. Запишем уравнения системы в привычном для нас виде, выразив у через х:

Первое уравнение задает прямую с угловым коэффициентом . Второе уравнение — прямую с угловым коэффициентом -2.

Система уравнений не имеет решений, если эти прямые не пересекаются, то есть параллельны. Это значит, что и .

Действительно, в этом случае первое уравнение задает прямую , а второе — параллельную ей прямую

Задачи с параметрами в курсе основной школы

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Задачи с параметрами в курсе основной школы

2. Цели и задачи работы

3. Методические разработки по классам

4. Используемая литература

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся. Решение задач с параметрами открывает перед учениками большое число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития, применимых в исследованиях и в любом другом математическом материале. Они имеют принципиально исследовательский характер, и с этим связаны как методическое значение таких задач, так и трудности выработки навыков их решения. Именно в терминах параметров происходит описание свойств математических объектов: функций, уравнений, неравенств. 14141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414

Задачи с параметрами для учеников массовой школы являются непривычными, а для многих из них сложными. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат. Часто изобилие всевозможных вариантов и подвариантов, на которые распадается основной ход решения, вызывают трудности в выписывании ответа. Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Этим обусловлены трудности, возникающие у учащихся при решении таких задач,

В последние годы задачи с параметрами (и прежде всего уравнения и неравенства с одним параметром) постоянно встречаются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения. Таким образом, очевидна необходимость отработки приемов решения различных задач с параметрами. К сожалению, программа не дает ответа на вопрос, в какое время и как школьник должен осваивать решение задач с параметрами.

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы рассмотреть возможности введения понятия «параметр» с 7 – го класса, не выходя за рамки программы.

Впервые знакомиться с параметрами полезно в 7-м классе при изучении линейных уравнений, чтобы ученики привыкли к понятию «параметр» и не испытывали затруднений при изучении этой темы в старших классах. Кроме того, задачи с параметрами хорошо развивают логическое мышление, тренируют внимание и память.

Прежде чем ввести понятие «параметр» ученикам необходимо напомнить роль буквы в алгебре и предложить задания в которых надо выразить одну переменную через другую.

Выразите х через другие переменные:

а) ; б) ; в)

г) ; д)

Семиклассники хорошо решают линейные уравнения с параметрами.

Вспомним, что называется линейным уравнение с одной переменной.

Определение: Уравнение вида ax = b , где х – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Алгоритм решения уравнения ax = b .

1) если а  0, то ;

2) если а = 0, b  0, то корней нет (0 x = b )

3) если а = 0, то х – любое (0 x = 0)

Повторив на простых примерах, что значит решить уравнение, обратим внимание учащихся на то, что мы выразили неизвестное через числа.

Однако, в уравнении помимо неизвестного могут быть введены другие буквы и буквенные выражения.

При этом, как всегда в алгебре, мы полагаем, что буквы могут принимать любые числовые значения.

Например, задавая произвольно значения а для уравнения ax = a – 1, получим:

Пример 1: Решите уравнение х + 2 = а + 7 относительно х .

Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовем параметром.

Решить уравнение с параметром – это значит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

Значение х находится по формуле х = 5 + а , подставляя в нее задаваемые значения параметра а . Заметим, что значения параметра а задаем произвольно.

В нашем примере: при а = 3 х = 8; при а = 0 х = 5; при а = –4 х = 1.

Ответ запишем так: при любом значении параметра а х = 5 + а.

Когда начинать решать такие уравнения? В зависимости от уровня класса, на уроках в течение всего года. Параллельно решаем задачу, обратную данной.

Пример 2: При каком значении параметра а х = 2,5 является корнем уравнения х + 2 = а + 7?

Решение: Т.к. х = 2,5 корень уравнения х + 2 = а + 7, то при подстановке х = 2,5 в уравнение получим верное равенство: 2,5 + 2 = а + 7

Ответ: при а = – 2,5.

Можно предложить ученикам придумать линейное уравнение с параметром и решить его.

Пример 3: Решите уравнение ах = 1

В 7 классе начинаем обращать внимание учеников на запись ответа.

В нашем примере можно записать следующим образом

Ответ: если а = 0, то корней нет, если а  0, то .

Пример 4: Решите уравнение ах + 8 = а ( а – параметр)

Ответ: при а = 0 – нет корней, при а  0 .

Пример 5: Решите уравнение ( а – 1) х = 12

Ответ: если а = 1, то корней нет, если а  1, то .

Пример 6: Решите уравнение х ( а + 2) – а (1 – х ) = 3

ах + 2 х – а – ах = 3; 2 ах + 2 х – 3 = а; 2 х ( а + 1) – 3 = а;

Ответ: если а = – 1, то корней нет,

если а  – 1, то .

Самостоятельная работа (обучающая)

1) Найдите значение а , при котором число 2 является корнем уравнения х ( а – 2) – а (1 – х ) = 3

Ответ: .

2) Решите уравнения:

а) 2 х – 3( х – а ) = 3 + а; Ответ: х = 2 а – 3

б) ах – 3(1 + х ) = 5; Ответ: если а = 3, то корней нет, если а  3, то .

в) Ответ: если а = 0, то корней нет, если а  0, то .

Далее можно ввести и алгоритм решения уравнений с параметром; продолжить работу по формированию умений решать линейные уравнения с параметром.

Условия для поиска значения параметра а

Характеристика множества корней

1. k ( a ) не имеет смысла

2. b ( a ) не имеет смысла

один корень

Применим этот алгоритм к решению уравнений.

Пример 1: Решите уравнение

Решение: ,

k ( a ) не имеет смысла при а = 2

b ( a ) не имеет смысла при а = – 3

, система решений не имеет

4) , , если а  – 2, а  – 3, а  2, то

5) , система имеет единственное решение при а = – 2.

Ответ: если а = 2, а = – 3, то решений нет; если а  – 2, а  – 3, а  2, то ;

если а = – 2, то х – любое число.

Пример 2: Решите уравнение ( k 2 – 1) x = k + 1

Решение: 1) k + 1 имеет смысл при любом k .

2) k 2 – 1 имеет смысл при любом k .

3) , при k = 1 исходное уравнение решений не имеет

4) ( k 2 – 1)  0, ( k – 1) ( k + 1)  0; если k  1, k  – 1, то

, .

5) , если k = – 1, то х – любое число.

Ответ: если k = 1, то решений нет; если k = – 1, то х – любое число; если k  1, k  – 1, то .

Пример 4: При каких значениях параметров m и n уравнение 2 m – nx = 1 не имеет решений? Ответ: если n = 0 и , то корней нет; если n  0 и m любое число, то ;

если n = 0 и , то х любое число.

Для самостоятельной работы:

а)

б)

Ответ: если а = 0 и b  – 3, то корней нет; если а = 0 и b – любое число, то ;

если а = 0 и b = – 3, то х любое число.

Задания для закрепления:

Ответы: а) х = ; б) х = 3 с; в) х = – (7 b + 6 a ); г) х =

д)При каких значениях уравнение имеет положительное решение?

е) При каких значениях уравнение имеет отрицательное решение?

ж) При каких значениях уравнение имеет одно положительное решение?

з) При каких значениях уравнение имеет решения, удовлетворяющее условию ?

Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры – один из труднейших разделов школьной математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений, приходится думать об удачной классификации. Квадратные и дробно-рациональные уравнения с параметрами – это тема, на которой проверяется не натасканность ученика, а подлинное понимание им материала.

Что должны знать восьмиклассники?

Определение: квадратным уравнением называется уравнение вида , где х – переменная, а , b и с – некоторые числа, при чем а ¹ 0.

Определение: если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения .

Если D > 0, то уравнение имеет два корня

и .

Если D = 0, то уравнение имеет один корень .

Пример 1: Линейным или квадратным является уравнение относительно х , при : а) b = 1; б) b = 2; в) b = 0,4; г) b = 0?

Решение: а) b = 1; – квадратное уравнение;

б) b = 2;

– линейное уравнение;

в) b = 0,4;

– неполное квадратное уравнение;

г) b = 0;

–линейное уравнение.

Итак, в зависимости от значений параметра b , уравнение может быть квадратным, линейным или неполным квадратным уравнением.

Пример 2: При каких значениях параметра а уравнение является:

а) квадратным; б) неполным квадратным; в) линейным?

а) Уравнение является неполным квадратным, если:

если а Î (– ¥ ; – 2) È (– 2; 0) È (0; 1) È (1; + ¥ ), то исходное уравнение является квадратным.

б) Уравнение является линейным, если при а = 0 или а = 1.

Пример 3: При каких значениях параметра b уравнение

а) имеет корни; б) не имеет корней?

Решение: ; D =

а) , но , следовательно, ;

если , то уравнение корни имеет.

б) – при любых значениях b , кроме нуля;

если b Î (– ¥ ; 0) È (0; + ¥ ), то исходное уравнение корней не имеет.

Для закрепления можно предложить следующие упражнения:

Пример 1: Решите относительно х уравнение

Решение:

Ответ: если а = 0, то х = 0;

Пример 2: Решите относительно х уравнение

Решение: , D = 4 – 4 с

Алгоритм: рассмотреть случаи, когда: D > 0, D = 0, D

3) с > 1 исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: если с Î (– ¥ ; 1), то

если с = 1, то х = 1

если с Î (1; + ¥ ), то корней нет.

Пример 3: Решите относительно х уравнение

Решение

В первую очередь, обратить внимание учащихся на коэффициент перед х 2 .

1) если m = 0, то

2) если m ¹ 0, то D = 36 – 4 m

б) 36 – 4 m = 0, m = 9, х =

в) 36 – 4 m 0, m > 9, исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: если m Î (– ¥ ; 0) È (0; – 9), то

если m = 0, то х =

если m Î (9; + ¥ ), то корней нет.

Ответы: 4) если с = 2, то y – любое число;

5) если b = 0, то y – любое число;

7) при а = 0 y – любое число;

при а ¹ 0 корней нет.

8. Решите уравнения :

а) ; в)

б) ; г) .

а) ; в)

б) ; г)

а) ; в)

б) ; г) .

Уже в 8 классе можно решать квадратные уравнения, содержащие параметр, с ограничением на корни.

Выделим задачи, в которых благодаря параметрам на переменную накладываются какие-либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: при каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два, бесконечно много, ни одного; уравнение имеет два различных корня, положительные корни и т.д.

Пример 1: При каких а уравнение имеет единственное решение?

Решение: естественно начать решение со случая а = 0. Итак, если а = 0, то очевидно, что данное уравнение имеет единственное решение. Если же а ¹ 0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1 – 2 а принимает значение, равное нулю, при а = .

Ответ: а = 0 или а = .

Пример 2: При каких а уравнение имеет два различных корня?

Решение: данное уравнение является квадратным относительно переменной х при а ¹ 0 и имеет различные корни, когда его дискриминант , т.е. при а а = 0 получается уравнение , имеющее один корень. Таким образом, а Î (– ¥ ; 0) È (0; 1).

Ответ: а Î (– ¥ ; 0) È (0; 1).

Рассмотрим несколько примеров, где значения параметра расставляют «ловушки».

Пример 3: При каких а уравнение имеет более одного корня?

Решение: при а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а ¹ 0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант – положительный. Отсюда получаем: . Однако в полученный промежуток (– 4; 1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.

Ответ: или .

Пример 4 (для самостоятельного решения): При каких а уравнение имеет более одного корня?

Решение: Стандартный шаг – начать со случаев а = 0 и а = – 3. При а = 0 уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при а = – 3 решением уравнения является любое действительное число. При а ¹ 0 и а ¹ – 3, разделив обе части данного уравнения на а + 3, получим квадратное уравнение , дискриминант которого положителен при а > – .

Опыт решения предыдущего примера подсказывает, что из промежутка ( –; + ¥ ) надо исключить точку а = 0, а в ответ не забыть включить а = – 3.

Ответ: а = – 3, или – а а > 0.

К этой группе задач примыкают задачи , содержащие параметр, решаемые с использованием теоремы Виета.

Теорема Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

D > 0 :

Итак , .

Пример 1: При каких значениях параметра b уравнение имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) единственный корень?

если b ¹ 1, то

а) согласно теореме Виета , b Î (– ¥ ; – 1) È ( – 1; + ¥ )

б) , решений нет

в) если b = 1, то –2 х + 2 = 0; х = 1; b ¹ 1; .

Ответ: а) b Î (– ¥ ; – 1) È ( – 1; + ¥ ); б) таких b не существует; в) х = 1.

1.При каких значениях параметра а уравнение имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) корни разных знаков?

Ответ: а) а Î (2; + ¥ ); б) а Î (– ¥ ; – 3); в) а Î (– 3; 2).

2. При каких значениях параметра b уравнение имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) корни разных знаков?

Ответ: а) b Î (2; + ¥ ); б) b Î (– ¥ ; – 1); в) b Î (– 1; 2).

Пример 2: При каком значении q один корень уравнения равен квадрату второго?

Решение: Если корни уравнения связаны соотношением , то по теореме Виета

Тогда , , ; ; .

5. При каких значениях параметра с уравнение имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) единственный корень?

6. При каких значениях параметра с уравнение

б) не имеет корней;

в) имеет положительный корень;

г) имеет отрицательный корень?

Ответы: 1) а) При с > 8; б) при с с = – 8 или с = 8.

2) а) с Î (– ¥ ; –) È (–; + ¥ ); б) с = –); в) с Î (–; + ¥ ); г) с Î (– ¥ ; –).

1. При каких значениях произведение корней квадратного уравнения равно нулю?

2. При каких значениях сумма корней квадратного уравнения равна нулю?

3. В уравнении сумма квадратов корней равна 16. Найти .

4. В уравнении квадрат разности корней равен 16. Найти .

5. При каких значениях сумма корней уравнения равна сумме квадратов корней?

6. При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения наименьшая?

7. При каком значении параметра сумма квадратов корней уравнения наибольшая?

8. При каких значениях параметра один из корней квадратного уравнения в два раза больше другого?

9 .При каких значениях уравнение имеет корни разных знаков?

10. При каких значениях уравнение имеет корни и такие, что ?

Тест состоит из 5-ти заданий, последнее из них более сложное. Для каждого задания предлагается три ответа, один из которых правильный, а два другие – неверные. Класс делится на 2 варианта. Каждому ученику дается карточка с заданиями соответствующего варианта.