Решение уравнений с параметром онлайн если

Квадратные уравнения с параметром

Уравнение называется квадратным, если имеет вид \(ax^2+bx+c=0,\) где \(a,b,c\) — любые числа \((a≠0)\). При этом надо быть внимательным, если \(a=0\), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при \(x^2\) и рассматривать 2 случая: \(a=0\) (линейное уравнение); \(a≠0\) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

Исследование квадратного многочлена

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

• Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа \(γ\): \(x_1≤x_2 0)\); ветки параболы направлены вниз \((a 0\). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число \(γ\) должно по условию лежать вне отрезка \((x_1,x_2)\), то \(f(γ)>0\).
• \(a 0\). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа \(γ\).

В итоге получаем:

если \(a*f(γ) 0\), то \(γ∉(x_1,x_2)\).

Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа \(γ\). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы \(x_0\) относительно \(γ\). Заметим, что вершина лежит между точками \(x_1\) и \(x_2\). Если \(x_0 0, \\x_0

При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?

1 случай: Если \(a(a+3)=0\), то уравнение будет линейным. При \(a=0\) исходное уравнение превращается в \(6x-9=0\), корень которого \(x=1,5\). Таким образом, при \(a=0\) уравнение имеет один корень.
При \(a=-3\) получаем \(0*x^2+0*x-0=0\), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

2 случай: Если \(a≠0; a≠-3\), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-\frac<1><3>.$$ С учетом \(a≠0;\) \(a≠-3\), получим, что уравнение имеет два корня при \(a∈(-\frac<1><3>;0)∪(0;+∞)\). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):

Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку \([-2;2]\).

1 случай: Если \(a=-1\), то \(0*x^2-x+1-1=0\) отсюда \(x=0\). Это решение принадлежит \([-2;2]\).

2 случай: При \(a≠-1\), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат \([-2;2]\). Для решения введем функцию \(f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1\) и запишем систему, которая задает требуемые условия:

Подставляем полученные выражения в систему:

Параметрическое уравнение прямой проходящей через две точки: онлайн-калькулятор

Параметрическое уравнение прямой можно легко составить с помощью онлайн-калькулятора. Просто выберите размерность (плоскость или трехмерное пространство), укажите координаты точек и нажмите «рассчитать». Онлайн-калькулятор выдаст подробное пошаговое решение.

Как найти параметрическое уравнение прямой, проходящей через две точки, с помощью онлайн-калькулятора

Рассмотрим пример, наглядно демонстрирующий работу с онлайн-калькулятором. Найдем параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки с координатами (1;4) и (3;0). Для этого:

1. Укажем размерность. Калькулятор позволяет работать с объектами на плоскости (2), или в пространстве (3). В нашем конкретном примере выберем плоскость (2):
   
2. Зададим прямую по двум точкам. Для этого впишем координаты этих точек в пустые поля калькулятора:
   
3. Нажмем «Рассчитать» и получим ответ с решением:
   

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

Параметрическое уравнение прямой онлайн

Параметрическое уравнение прямой представляет собой систему из двух или трех уравнений. Чтобы задать прямую на плоскости или в пространстве параметрически, достаточно знать координаты двух точек, через которые эта прямая проходит. Онлайн-калькулятор позволяет найти параметрическое уравнение прямой в один клик, минуя все расчеты.

Интерфейс онлайн-калькулятора устроен максимально понятно и просто: вы можете не только получить ответ, но и разобраться с ходом решения примера, так как программа выдает все математические выкладки с подробным пояснением.

Данный сервис будет полезен студентам, школьникам, преподавателям, а также всем людям, интересующимся математикой.

Решение уравнений онлайн

В общем виде, уравнение относительно некоторой переменной может быть записано следующим образом:

Решить, приведенное выше уравнение, означает найти все значения переменной при которых выражение обращается в верное тождество.

Графически, корни уравнения представляют собой абсциссы точек пересечения графика функции с осью :

Таким образом, из приведенного на рисунке графика некоторой функции , мы можем сразу сказать, что значения являются корнями уравнения .

В зависимости от конкретного вида функции существует бесконечное множество различных уравнений (линейные, квадратные, кубические, тригонометрические, уравнения с корнями, степенями и т.д.).

Наш онлайн калькулятор построен на основе системы Wolfram Alpha LLC и способен решить очень много различных типов уравнений с описанием подробного решения.