Решение уравнений с подробным решением видео

Решение уравнений (Вольфсон Г.И.)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке вы узнаете, какие свойства уравнений можно применять при их решении. Вы познакомитесь с определением линейного уравнения и уравнения, сводящегося к линейному. Разобранные примеры и упражнения проиллюстрируют применение рассмотренных правил и позволят связать новый и ранее изученный материал в единое целое.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Уравнения с модулем

Что такое уравнение с модулем

Модуль числа — абсолютная величина, демонстрирующая удаленность точки от начала координат.

В том случае, когда число является отрицательным, его модуль соответствует числу, ему противоположному. Для неотрицательного числа модуль равен этому числу.

| x | = x , x ≥ 0 — x , x 0

Уравнения с модулем являются такими уравнениями, в составе которых имеется переменная, заключенная в знак модуля.

Самое простое уравнение с модулем |f(x)|=a является равносильным совокупности

Здесь a>0. При а отрицательном у такого уравнения отсутствует решение.

Уравнения с модулем могут быть предложены в качестве самостоятельного задания. Кроме того, подобные выражения нередко образуются в процессе решения других видов уравнений, к примеру, квадратных или иррациональных.

Разберем подробное решение квадратного уравнения:

Заметим, что справа имеется квадрат числа 4:

На первый взгляд, нужно избавиться от квадратов, чтобы получить линейное уравнение. С другой стороны, существует правило:

Вычисления следует продолжить с учетом записанной формулы. Тогда получим уравнение с модулем:

x 2 = 4 2 ⇔ x 2 = 4 2 ⇔ x = 4

Рассмотрим для тренировки пример, когда уравнения с модулем появляются при решении иррациональных уравнений. Например, дано уравнение:

2 x — 1 2 = 9 x 2 + 12 x + 4

Согласно стандартному алгоритму действий, в этом случае потребуется выполнить действия:

• перенос слагаемых;
• приведение подобных;
• решение квадратного уравнения, например, с помощью дискриминанта.

Второй вариант решения предусматривает использование формулы сокращенного умножения квадрат суммы:

9 x 2 + 12 x + 4 = 3 x + 2 2

Преобразуем сложное уравнение:

2 x — 1 2 = 3 x + 2 2

На первый взгляд, можно избавиться от квадратов и решить линейное уравнение. Однако:

В результате получим:

2 x — 1 2 = 3 x + 2 2 ⇔ 2 x — 1 = 3 x + 2 .

При решении уравнений, которые содержат модуль, необходимо помнить свойства модуля:

1. Модуль числа является неотрицательным числом: x ≥ 0 , x = 0 ⇔ x = 0 .
2. Противоположные числа равны друг другу по модулю: — x = x .
3. Произведение пары или более чисел по модулю равно произведению модулей этих чисел: x · y = x · y .
4. Частное пары чисел по модулю равно частному модулей этих чисел: x y = x y , y ≠ 0 .
5. Сумма чисел по модулю в любом случае меньше или равна сумме модулей данных чисел: x + y ≤ x + y .
6. Постоянный множитель, который больше нуля, допустимо вынести за знак модуля: c x = c · x при c > 0 .
7. Квадрат какого-то числа по модулю равен квадрату данного числа: x 2 = x 2 .

Пример 3

Руководствуясь перечисленными свойствами модуля, рассмотрим решение уравнения:

Заметим, что x равен x при x больше либо равно нулю. Значение –x возможно, когда x является отрицательным числом. Таким образом:

x = 7 ⇔ x = 7 , п р и x ≥ 0 — x = 7 , п р и x 0 ⇔ x = 7 x = — 7

Рассмотрим несколько иное уравнение:

В этом случае логика такая же, как в предыдущем примере:

x = — 7 ⇔ x = — 7 , при x ≥ 0 — x = — 7 , при x 0 ⇔ x = — 7 x ≥ 0 ⇒ р е ш е н и я н е т x = 7 x 0 ⇒ р е ш е н и я н е т

Способы решения уравнений с модулями для 10 и 11 классов

Существует три основных вида уравнений с модулем, которые предусматривают определенные подходы к решению:

1. Уравнения x = a . x = a ⇔ x = a , п р и x ≥ 0 — x = a , п р и x 0 ⇔ x = a x = — a .
2. Уравнения вида x = y . x = y ⇔ y ≥ 0 x = y x = — y

Примеры решения задач с объяснением

Уравнения, которые содержат модуль и имеют вид |x| = |a|, решают с помощью определения модуля.

Рассмотрим в качестве примера:

Определим x . Когда x ≥ 0 , значение равно х . Если x – х . Таким образом:

x = 5 ⇔ x = 5 при x ≥ 0 — x = 5 при x 0 ⇔ x = 5 x = — 5 .

Получим, что решением уравнения являются -5; 5.

Рассмотрим следующее задание, в рамках которого необходимо решить уравнение:

Воспользуемся стандартным алгоритмом:

x = — 3 ⇔ x = — 3 при x ≥ 0 — x = — 3 при x 0 ⇔ x = — 3 x ≥ 0 ⇒ решений нет x = 3 x 0 ⇒ решений нет

Согласно первому свойству модуля:

x ≥ 0 , то есть модуль в любом случае не является отрицательным числом.

Можно обобщить рассмотренные действия и записать правило для решения уравнений, которые имеют вид x = a . Данное правило можно использовать в работе:

x = a ⇒ a ≥ 0 x = a x = — a .

Используя данное правило, решим уравнение:

По сравнению с предыдущим примером, здесь под знаком модуля записано иное выражение. Однако суть решения от этого не меняется. Зная правило, выполним замену:

x — 5 = 3 ⇔ 3 ≥ 0 x — 5 = 3 x — 5 = — 3 ⇒ x = 8 x = 2

Решим следующее уравнение:

Воспользуемся правилом и получим:

3 x — 5 = 3 ⇔ 3 ≥ 0 3 x — 5 = 3 3 x — 5 = — 3 ⇒ x = 8 3 x = 2 3

Далее рассмотрим решение уравнений, которые записаны в виде | x | = | y | .

При раскрытии модулей, согласно определению, возникнет необходимость во множестве проверок. Например, потребуется определить, какое число является положительным, а какое будет отрицательным. Полученную в результате систему в дальнейшем необходимо упростить.

Второй вариант решения подразумевает изначально краткую запись вычислений. Вспомним, что по свойству модуля:

Применим это свойство к нашему примеру и исключим знаки модулей из уравнения:

x = y ⇔ x 2 = y 2 ⇔ x 2 = y 2 ⇔ x 2 — y 2 = 0 ⇔

⇔ x — y x + y = 0 ⇔ x = y x = — y .

Рассмотрим еще несколько примеров.

Воспользуемся рассмотренным правилом применения свойства модуля, получим:

x + 1 = 2 x — 1 ⇔ x + 1 = 2 x — 1 x + 1 = — 2 x — 1 ⇔ x = 2 x = 0 .

Решение выполняем по аналогии с предыдущими заданиями:

2 x — 9 = 3 — x ⇔ 2 x — 9 = 3 — x 2 x — 9 = x — 3 ⇔ 3 x = 12 x = 6 ⇔ x = 4 x = 6 .

Разберем на примере, как решать уравнения вида | x | = y .

Заметим, что справа записана переменная, которая может быть положительным или отрицательным числом. Исходя из того, что модуль не может быть отрицательным числом, убедимся в том, что эта переменная также не является отрицательным числом:

x = y ⇔ y ≥ 0 x = y x = — y

Воспользуемся стандартным алгоритмом:

x + 1 = 1 — 2 x ⇔ 1 — 2 x ≥ 0 x + 1 = 1 — 2 x x + 1 = 2 x — 1 ⇔ x ≤ 1 2 x = 0 x = 2 ⇔ x = 0 .

Заметим, что без проверки на положительность части уравнения, которая записана с правой стороны, существуют риски появления посторонних корней в решении. К примеру, проверим x=2 путем подстановки в начальное уравнение x + 1 = 1 — 2 x :

2 + 1 = 1 — 2 · 2 ⇔ 3 = — 3 не является верным.

При решении уравнений с модулем также применяют метод интервалов. Данный способ следует применять в тех случаях, когда уравнение содержит более двух модулей.

Рассмотрим пример такого выражения:

x + 3 — 2 x — 1 = 1

Первый модуль имеет вид:

Согласно определению модуля, при раскрытии знака выражение под ним сохраняется без изменений, если:

После раскрытия знака модуля получим противоположный знак, когда:

x + 3 = x + 3 , если x + 3 ≥ 0 — x — 3 , если x + 3 0 .

По аналогии выполним преобразования второго модуля:

2 x — 1 = 2 x — 1 , если 2 x — 1 ≥ 0 1 — 2 x , если 2 x — 1 0 .

Сложность заключается в том, что требуется проанализировать много вариантов, то есть по два варианта для каждого из модулей. Всего получится четыре уравнения. А в том случае, когда модулей три, потребуется рассмотреть восемь уравнений. Возникает необходимость в сокращении числа вариантов.

Заметим, что в нашем примере не предусмотрено одновременное выполнение всех условий:

Данные условия противоречивы относительно друг друга. В связи с этим, нецелесообразно раскрывать второй модуль со знаком плюс, когда первый модуль раскрыт со знаком минус. В результате получилось избавиться от одного уравнения.

Обобщая эту информацию, можно записать алгоритм действий. В первую очередь следует вычислить корни выражений, заключенных под знаком модуля. В результате получаются такие х , при которых выражения принимают нулевые значения:

x + 3 = 0 ⇒ x = — 3 2 x — 1 = 0 ⇒ x = 1 2

С помощью стандартного способа интервалов можно отметить на координатной прямой корни выражений, которые находятся под модулями, и расставить знаки. Далее для каждого из полученных интервалов нужно составить и решить уравнение.

В этом случае оба модуля раскрываются со знаком минус:

— x + 3 + 2 x — 1 = 1 ⇔ — x — 3 + 2 x — 1 = 1 ⇔ x = 5 > — 3 является сторонним корнем.

В данном выражении первый модуль раскроется со знаком плюс, а второй — со знаком минус:

x + 3 + 2 x — 1 = 1 ⇔ x + 3 + 2 x — 1 = 1 ⇔ x = — 1 3 полученный корень соответствует своему интервалу.

Теперь для обоих модулей будет записан знак плюс:

x + 3 — 2 x — 1 = 1 ⇔ x + 3 — 2 x + 1 = 1 ⇔ x = 3 данный корень также подходит для решения.

Выполним проверку корней. В первом случае корень посторонний:

x = 5 : 5 + 3 — 2 · 5 — 1 = 8 — 9 = — 1 ≠ 1

Второй корень является решением:

x = — 1 3 : — 1 3 + 3 — 2 · — 1 3 — 1 = 8 3 — 5 3 = 1 .

Третий корень также является решением:

x = 3 : 3 + 3 — 2 · 3 — 1 = 6 — 5 = 1 .

Таким образом, запишем ответ: — 1 3 ; 3 .

Существует ряд уравнений, в которых модуль расположен под знаком модуля. К примеру:

В этом случае следует раскрывать модули поочередно. Проанализируем два варианта решения.

Первое решение подразумевает вычисления для уравнения, которое имеет вид:

f x = a ⇔ f x = a f x = — a

Здесь f x является подмодульным выражением. Применительно к нашей задаче, это:

x — 5 = 3 ⇔ x — 5 = 3 x — 5 = — 3 ⇔ x = 8 x = 2

Получена пара простейших уравнений аналогичного вида, то есть:

x = 8 x = — 8 x = 2 x = — 2

Данные четыре числа являются решениями. Проверить это можно путем подстановки ответов в исходное уравнение.

Второй вариант решения является универсальным и позволяет справиться с нестандартными задачами.

Раскроем сначала внутренние модули:

Начальное уравнение будет записано, как пара уравнений:

x ≥ 0 x — 5 = 3 x 0 — x — 5 = 3

Задачи для самостоятельного решения

Найти корни уравнения:

Здесь нужно возвести в квадрат все части выражения, сохраняя знак плюса справа. Тогда получится система:

Найдем корни квадратного уравнения:

3 x 2 — 18 x + 24 = 0

В процессе потребуется сократить уравнение на 3:

D = ( — 6 ) 2 — 4 · 1 · 8 = 36 — 32 = 4

Заметим, что D>0. В таком случае у уравнения есть пара решений, которые можно определить так:

x 1 , 2 = — b ± D 2 a ⇒ x 1 , 2 = 6 ± 4 2 · 1 ⇒ x 1 , 2 = 6 ± 2 2 ⇒ x 1 = 4 , x 2 = 2

Заметим, что оба корня больше единицы. Это соответствует условию. В результате начальное уравнение обладает двумя решениями:

x 1 = 4 и x 2 = 2

Ответ: x 1 = 4 , x 2 = 2

Найти корни уравнения:

Здесь требуется возвести в квадрат обе части уравнения:

( 3 x — 1 ) 2 = ( x + 5 ) 2

9 x 2 — 6 x + 1 = x 2 + 10 x + 25

8 x 2 — 16 x — 24 = 0

Заметим, что получившееся равенство можно сократить на число 8:

Используя теорему Виета, определим корни уравнения. Предположим, что x 1 и x 2 являются в данном случае решениями, тогда:

x 1 + x 2 = 2 , а x 1 · x 2 = — 3 ⇒ x 1 = 3 и x 2 = — 1 . .

Ответ: x 1 = 3 , x 2 = — 1

Нужно решить уравнение:

| x + 1 | + | x — 5 | = 20

Воспользуемся методом интервалов. Определим х , при которых модули принимают нулевые значения:

x + 1 = 0 ⇒ x = — 1 ; x — 5 = 0 ⇒ x = 5

С помощью данных точек координатная прямая будет поделена на три интервала:

Далее необходимо решить уравнение в каждом случае:

Корень соответствует определенному ранее промежутку.

Этот промежуток не имеет корней.

Этот корень соответствует определенному ранее интервалу.

Ответ: x 1 = — 8 , x 2 = 12

3 x + 1 = 1 — 2 x ⇔ 3 x + 3 = 1 — 2 x 3 x + 3 = 2 x — 1 ⇔ 5 x = — 2 x = — 4 ⇔ x = — 2 5 x = — 4 .

Ответ: x = — 2 5 , x = — 4

Найти корни уравнения:

2 x — 9 = 3 — x ⇔ 3 — x ≥ 0 2 x — 9 = 3 — x 2 x — 9 = x — 3

x ≤ 3 3 x = 12 x = 6 ⇔ x ≤ 3 x = 4 x = 6 ⇔ x ∈ ∅ .

Найти корни уравнения:

— 2 x + 4 = 3 — 4 x ⇔ 2 x + 8 = 4 x — 3 ⇔ ;

4 x — 3 ≥ 0 2 x + 8 = 4 x — 3 2 x + 8 = 3 — 4 x ⇔ x ≥ 3 4 x = 11 2 x = — 5 6 ⇔ x = 11 2 .

Найти корни уравнения:

2 x 2 — 15 = x ⇔ x ≥ 0 2 x 2 — x — 15 = 0 1 2 x 2 + x — 15 = 0 2

Найдем корни квадратных уравнений:

Заметим, что они обладают идентичным дискриминантом:

D = 1 + 4 · 2 · 15 = 121 = 11 2 .

1 : x 1 , 2 = 1 ± 11 4 ⇔ x = 3 x = — 5 2

2 : x 1 , 2 = — 1 ± 11 4 ⇔ x = — 3 x = 5 2

Таким образом, начальное уравнение можно записать в виде системы:

2 x 2 — 15 = x ⇔ x ≥ 0 x = 3 x = — 5 2 x = — 3 x = 5 2 ⇔ x = 3 x = 5 2

Найти корни уравнения:

x + 2 — 3 x — 1 + 4 — x = 3

x + 2 — 3 x — 1 + 4 — x = 3 x + 2 = 0 ⇒ x = — 2 3 x — 1 = 0 ⇒ x = 1 3 4 — x = 0 ⇒ x = 4

— x + 2 + 3 x — 1 + 4 — x = 3

x = 2 > — 2 ⇒ — этот корень является посторонним.

x + 2 + 3 x — 1 + 4 — x = 3 ⇔

3 x = — 2 ⇔ x = — 2 3 ∈ — 2 ; 1 3 этот корень удовлетворяет условиям.

x + 2 — 3 x — 1 + 4 — x = 3 ⇔ — 3 x = — 4 ⇔ x = 4 3 ∈ 1 3 ; 4 этот корень удовлетворяет условиям.

x + 2 — 3 x — 1 — 4 — x = 3 ⇔ x = 4 ⇔ x = — 4 4 — корень посторонний

Ответ: — 2 3 ; 4 3 .

Найти корни уравнения:

3 x — 5 + 3 + 2 x = 2 x + 1

3 x — 5 + 3 + 2 x = 2 x + 1 ⇔ 3 x — 5 + 3 + 2 x — 2 x + 1 = 0 .

3 x — 5 = 0 ⇒ x = 5 3 3 + 2 x = 0 ⇒ x = — 3 2 x + 1 = 0 ⇒ x = — 1

— 3 x — 5 — 3 + 2 x + 2 x + 1 = 0 ⇔

— 3 x = — 4 ⇔ x = 4 3 > — 3 2 ⇒ — корень является посторонним

— 3 x — 5 + 3 + 2 x + 2 x + 1 = 0 ⇔

x = — 10 — 1 ⇒ — корень является посторонним

— 3 x — 5 + 3 + 2 x — 2 x + 1 = 0 ⇔

— 3 x = — 6 ⇔ x = 2 > 5 3 ⇒ — корень является посторонним

3 x — 5 + 3 + 2 x — 2 x + 1 = 0 ⇔

3 x = 4 ⇔ x = 4 3 5 3 ⇒ — корень является посторонним

В результате на рассмотренных интервалах графика координатной прямой отсутствуют корни. В таком случае уравнение не имеет решений.