Решение уравнений с помощью геометрической интерпретации

Геометрическая интерпетация при решении уравнений, содержащих знак модуля
презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему

Материал данного урока содержит «нестандартный» метод, который позволяет более эффективно решать уравнения, содержащие модуль, и, безусловно, может использоваться учителем как на уроках математики в 8-10 классах, так и на факультативных и дополнительных занятиях

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Тема урока: Геометрическая интерпретация при решении уравнений, содержащих знак модуля МОУ « Осташевская средняя общеобразовательная школа», учитель математики Качайкина Н.Б.

Основные понятия Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А( а ) . Модуль числа 5 равен 5. Пишут: |5| = 5. Число 6 называют модулем числа -6 . Пишут: |-6| = 6. Модуль числа не может быть отрицательным. Противоположные числа имеют равные модули: | -а | = | а |

Расстояние между двумя точками На координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца. ВС = 5 – 1 = 4; АС = 5 – (- 2 ) = 7; AD = — 2 – (- 4) = 2 0 -4 — 2 5 1 D A B C

М о д у л ь и расстояние между двумя точками 8 -4 3 -9 -3 5 CD = — 4 – 5 = 5 – (- 4 ) = 9 AB = 3 – 8 = 8 – 3 = 5 MN = — 9 – (- 3 ) = — 3 – (- 9 ) = 6 M N C D A B Формула расстояния между двумя точками координатной прямой с координатами х и а : ρ ( x,a ) = |x — a|

Решите уравнения: | х-2 | = 3, | 3х+6| = 4, | х-3 | + | х-1 | = 5, | х+4| + | х-5| = 9, | 2х-3| + | 2х+3| = 6, | х+5| — | х-8 | = 13, | х+4| — | х-3 | = 1, | 3х-8| — | 3х-2| = 6. | х+7| = | х-5 |

П р о в е р ь с е б я Сколько решений может иметь уравнение | х-4 | = а, в зависимости от значений а ? Сколько решений может иметь уравнение | х+3 | +| х-1 | = а, в зависимости от значений а ? Сколько решений может иметь уравнение | х+3 | -| х-1 | = а, при положительных значениях а ?

Число решений уравнения вида: Ι х – a Ι + Ι х – в Ι = с Если сумма модулей с больше расстояния между двумя точками а и в , то уравнение имеет два решения. Если сумма модулей равна расстоянию между двумя точками, то уравнение имеет множество решений , которые принадлежат отрезку между точками [ a ; в ] . Если расстояние между двумя точками меньше суммы модулей , то решений нет.

Домашняя работа Исследовать уравнения и определить число корней в зависимости от значения а : | х – 4 | — | х +2 | = а, | х+1 | — | х — 6 | = а, | х – 3 | — | х — 8 | = а. С п а с и б о за в н и м а н и е.

П р о в е р ь с е б я Сколько решений может иметь уравнение | х-4 | = а, в зависимости от значений а ? Ответ: а) Если а=0 , то уравнение имеет одно решение; б) Если а >0 , то уравнение имеет 2 корня, в) Если а 4 , то уравнение имеет 2 корня, в) Если а 4 , то уравнение не имеет решений.

Решение уравнения |х — 2|=3 Решить уравнение : х – 2 = 3, значит найти на координатной прямой такие точки х , которые удовлетворяют условию ρ ( х;2 )= 3 ; другими словами удалены от точки с координатой 2 на расстояние 3. Ответ: -1 ; 5. -1 х 5 х 2 х 3 3

| х — 3 | = ρ ( x , 3) ; | х — 1 | = ρ ( x , 1) Нужно найти такую точку Х( х ), что : ρ ( x , 3 ) + ρ ( x , 1 ) = 5. ρ (3, 1) = 2, 2 ρ ( х ; 8) ρ ( х ; -5) — ρ ( х ; 8) = 13 это множество точек координатной прямой, расположенных правее числа 8. Ответ : х  [ 8; + ∞) ρ ( х ; -5) ρ ( х ; 8) //////////////////////////// -5 8 х 13

Решение уравнения | х+4 | — | х-3 | = 1 ρ ( x , -4 ) — ρ ( x , 3 ) = 1, где ρ ( x , -4 ) > ρ ( x , 3 ) ρ (-4, 3) = 7, 7 > 1 , следовательно, точка с координатой х находиться внутри отрезка [ -4; 3 ] и такая точа одна. -3 Ответ: 0 -4 3 х ρ ( х ; -4) 0 ρ ( х ; 3)

Решение уравнения |3х-8| — |3х-2| = 6 ρ (8; 2) = 6 , ρ (3х; 8) > ρ (3х; 2) ρ (3х; 8) — ρ (3х; 2) = 6 это множество точек координатной прямой, расположенных левее числа 6. ρ (3х; 8) 3х Мне нравится

Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины

Разделы: Математика

Цели урока:

• формировать умения применять геометрическую интерпретацию модуля при решении линейных уравнений;
• осуществлять поиск решения задач синтетическим методом;
• учить наблюдать и анализировать.

Тип урока: изучение нового материала.

Структура урока:

1. Мотивационно-ориентировочный этап

1) Повторение изученного материала;
2) Актуализация прежних знаний и способов действия;
3) Мотивация учебной деятельности;
4) Постановка целей и учебных задач урока, сообщение темы урока.

2. Операционно-познавательный этап

Ознакомление с новым материалом (формирование новых знаний и способов решения)

3. Рефлексивно-оценочный этап

1) Сопоставление целей и результатов урока.
2) Первичный контроль усвоения знаний.
3) Постановка домашнего задания.;
4) Подведение итогов урока.

1 этап урока

На доске записаны задания:

– Сколько корней имеет данное уравнение?

– Чем мы пользуемся при решении данного уравнения?

– Какие способы вы можете предложить для решения данного уравнения?

После устного ответа двое учеников решают уравнение графическим и аналитическим способами на доске.

| х – 3 | = 5 | х – 3 | = 5
х – 3 = 5 х – 3 = – 5 у = | х – 3 |, сдвиг графика
х = 8 х = – 2 у = | х | на 3 ед. вправо.
Ответ: х = 8, х = – 2. y = 5 – прямая || оси абсцисс.

3) Прочитать и объяснить словесную запись:

Предполагаемый ответ (ПО): Найти точки, которые находятся от точки 7 на расстоянии, равном 2 ед. отрезкам.

ПО: Найти точки, которые находятся от точки – 5 на расстоянии, равном 3 ед. отрезкам.

– В чем заключается геометрический смысл модуля?

ПО: Расстояние между точками на координатной прямой.

4) Записать аналитическую модель рисунка:

ПО: | х + 6 | = 3

– В чем заключается смысл задания с геометрической точки зрения?

ПО: Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки 2.

– Записать данное уравнение с помощью знака ρ и решить его.

Ρ(х; 2) = 3; х – 2 = 3 х – 2 = – 3
х = 5 х = – 1

– Как можно найти корни уравнения, используя координатную прямую?

6) Прочитайте данное уравнение с помощью геометрического смысла модуля | х + 5 | = 3, найдите его корни, используя координатную прямую.

ПО: Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки – 5.

Ответ: х = – 2; х = – 8.

7) | х – 2 | = | х + 5 |

Посмотрите внимательно на данное уравнение и попробуйте сами сформулировать задание с геометрической точки зрения.

ПО: Расстояние от х до -5 и 2 должно быть одинаковым.

Составьте план решения этого уравнения с помощью координатной прямой.

ПО:

а) найдем расстояние между точками – 5 и 2.

б) т.к. х равноудалена от точек – 5 и 2, найдем половину этого расстояния: 7/2 = 3,5

в) найдем координату точки: – 5 + 3,5 = – 1,5 или 2 – 3,5 = – 1,5

– Молодцы! Назовите способ, с помощью которого мы с вами решили данное уравнение. Как вы думаете, чем мы с вами будем заниматься сегодня на уроке? Попробуйте сами сформулировать тему сегодняшнего урока.

2 этап урока

Учащиеся записывают в тетрадь тему урока: «Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений».

1) Посмотрите внимательно на следующее уравнение и прочитайте его с помощью геометрического смысла:

| х – 1 | + | х – 2 | = 1

ПО: Левая часть есть сумма расстояний от точки х до 1 и 2. Правая часть показывает, что эта сумма равна 1.

– Найдите расстояние между точками 2 и 1. Оно равно 1. Следовательно, х может быть любым числом из отрезка [1; 2].

2) | х – 1 | + | х – 2 | = – 1

– Посмотрите внимательно на данное уравнение и дайте ответ.

ПО: Уравнение корней не имеет, т.к. сумма расстояний не может быть отрицательным числом.

3) | х – 1 | + | х – 2 | = 3. В чем заключается геометрический смысл данного уравнения?

ПО: Сумма расстояний от точки х до 1 и 2 равна 3.

Уравнение имеет 2 корня: х = 0; х = 3.

4) Аналогично рассуждая, решите сами следующее уравнение: | х – 3 | + | х – 7 | = 4

5) | х – 3 | – | х – 7 | = 4

– В чем заключается геометрический смысл этого уравнения?

ПО: Разность расстояний от точки х до точек 3 и 7 равна 4.

– Так как расстояние между 3 и 7 равно 4, то ответом будет любое число, расположенное на координатной оси правее 7.

6) | х – 7 | – | х – 3 | = – 4 (возможно учащиеся по аналогии с суммой скажут, что корней нет, но это неверный ответ, обязательно изобразить решение на координатной прямой).

7) | х – 7 | – | х – 3 | = 4

3 этап урока

– Посмотрите внимательно на все решенные уравнения и попробуйте сделать вывод.

ПО: Сумма расстояний всегда положительна, а разность может принимать любое по знаку число.

Далее, с целью закрепления материала, учащиеся решают вместе с учениками, вызванными к доске задания:

| х – 9 | = 3
| х – 6 | = | х + 2 |
| х – 9 | + | х – 3 | = 6
| х – 9 | – | х – 3 | = 6

и еще раз проговаривают схему решения данных уравнений.

– Подведем итог урока.
– Что нового вы узнали сегодня на уроке?
– Сколько способов решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, вы знаете?
– В чем заключается геометрический смысл модуля?
– Запишите в тетради задание на дом:

| х – 13 | = 8
| х – 28 | = | х + 14 |
| х – 10 | + | х – 36 | = 26
| х – 18 | – | х – 12 | = 6
| х – 18 | – | х – 12 | = – 6

Презентация по математике на тему «Геометрическая интерпретация при решении уравнений, содержащих знак модуля»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Презентацию подготовила учитель математики МБОУ «Октябрьская школа-гимназия» Сапунцова Наталья Юрьевна

Геометрическая интерпретация при решении уравнений, содержащих знак модуля

Повторим определение модуля. Продолжите фразу: Модулем положительного числа… Модулем отрицательного числа… Модулем нуля…

Повторим определение модуля. Продолжите фразу: Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от … О А(-6) 6 единиц

Что общего в этих уравнениях? Чем отличаются эти уравнения?

Разделите уравнения на группы. По какому принципу можно разделить уравнения?

Решим уравнение Ответ: -1; 13. 1. Найдем значение, при котором выражение стоящее под знаком модуля обращается в ноль 2. Найдем на координатной прямой точки , которые удалены от данной точки на расстояние 7 единичных отрезков. 6 +7 единиц — 7 единиц 3. Это точки -1 и 13. Значит х=-1 или х=13 13 -1

Решим уравнение -3 1 -7 +4 -4 Следовательно, 2х = -7 или 2х = 1 Х = -3,5 х= 0,5

Решим уравнение Введем замену t=0 или t=4 или

Решим уравнение или

Решим уравнение или или

Ответ: а) Если а=0, то уравнение имеет одно решение; б) Если а>0, то уравнение имеет 2 корня, в) Если а

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 925 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 576 032 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 06.12.2016
• 970
• 0

• 06.12.2016
• 602
• 0

• 06.12.2016
• 979
• 10

• 06.12.2016
• 585
• 0

• 06.12.2016
• 684
• 0

• 06.12.2016
• 2371
• 6

• 06.12.2016
• 1509
• 16

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 06.12.2016 1209
• PPTX 1.6 мбайт
• 47 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Сапунцова Наталья Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 2 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 14651
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.