Решение уравнений с помощью графиков 8 класс

Урок алгебры в 8-м классе по теме «Графический способ решения уравнений»

Разделы: Математика

Всякое учение и всякое обучение основано на некотором уже ранее имеющемся знании.

Цели:

• обобщить и систематизировать свойства графиков некоторых функций, алгоритмы их построения;
• научить решать уравнения графическим способом, в частности используя возможности компьютерных программ;
• учить анализировать, выделять главное, сравнивать.

Формирование компетенций: компетенции самосовершенствования – саморегулирование и саморазвитие, речевое развитие (через устную и самостоятельную работу, формулировка выводов); компетенции социального взаимодействия – сотрудничество; компетенции в общении – устном, письменном; компетенции познавательной деятельности – постановка и решение познавательных задач, проблемные ситуации (их создание и разрешение), прогнозирование деятельности; компетенции информационных технологий – приём, переработка и выдача информации, компьютерная грамотность.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Средства обучения: компьютер, медиапроектор, презентация (Приложение 1).

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, коллективная, диалог, работа с текстом слайда, работа в тетради, парная.

Методы: наглядный, словесный, графический (практический).

Методы мотивации: поощрение, порицание; создание проблемной ситуации, побуждение к поиску решения; предъявление учебных требований, прогнозирование будущей деятельности, самооценка деятельности; создание ситуации взаимопомощи, заинтересованность в результатах коллективной работы.

1. Оргмомент (1 мин.)

2. Актуализация знаний (12 мин.)

А). По карточкам (на доске):

№1. Решите уравнение 4х + 8 = –17 + 9х.
№2. Решите уравнение х 2 + х – 2 = 0.
№3. Решите уравнение х 2 = .
№4. Заполните таблицу:

(На этом этапе можно организовать взаимопроверку и взаимопомощь, если возникнет такая необходимость).

Б). Устная фронтальная работа. (Здесь и далее: подчёркивание – моменты управления презентацией)

Что называется функцией?

С какими функциями уже знакомы? (На партах – памятка, по которой учащиеся вспоминают связь между графиком и формулой, задающих функцию: Приложение 2).

Я предлагаю вашему вниманию формулы, задающие некоторые функции. Из этих функций нужно выбрать линейные. Но перед этим давайте вспомним определение линейной функции. (Работаем со слайдом 2).

Давайте вспомним, что является графиком (гиперссылка) линейной функции.

Среди выбранных нами линейных функций есть особенные. Что это за функции? Чем отличаются графики? (Разбейте линейные функции на две группы). (Работаем со слайдом 3).

Остались функции, о которых мы ничего ещё не сказали. Давайте дадим им название, и название их графикам. (Работаем со слайдом 4).

Что называется уравнением? Корнем уравнения? Что значит решить уравнение? Какие уравнения мы уже можем решать?

В) Проверяется работа по карточкам №1; №2; №3.

1) 4х + 8 = –17 + 9х,
4х – 9х = – 17 – 8,
– 5х = – 25,
х = 5.
Ответ: 5.

2) х 3 + х – 2 = 0,
D = в 3 – 4ас = 12 – 4 . 1 . (– 2) = 9 > 0, уравнение имеет два корня.
х₁ = 1;
х₂ = – 2.
Ответ: 1; – 2. (Могут решать по свойству корней: а + в + с = 0).

3) х 2 = ,
х 3 = 6,
х 3 – 6 = 0. – Мы не располагаем никакими формулами для решения уравнений третьей степени. Как быть?

Значит, нужен другой способ решения таких уравнений. Как вы думаете, что это может быть за способ (исходя из устной работы). Одним из способов является графический способ. Записывается тема урока, (слайд 5).

Г). Давайте поставим цель урока. (Научиться решать уравнения с помощью графиков, слайд 6).

3. Изучение новой темы и первичное закрепление (15 мин.)

Мы получили уравнение х 3 – 6 = 0. Но строить график функции у = х 3 – 6 мы ещё не умеем. Т.е., что получается: это уравнение и графическим способом мы не можем решить? А может быть, нужно вернуться к первоначальному уравнению: х 2 = (слайд 7). Что мы видим внутри этого уравнения? Есть ли выражения, из которых мы можем составить знакомые нам функции? (Да: у = х 2 и у = ). Что нужно сделать?
– Построить их графики.

– В одной координатной плоскости.

– Дальше найдём координаты точки пересечения.

– Нет, только значение х.

Итак, давайте ещё раз выработаем алгоритм решения уравнений графическим способом (каждый этап подтверждается показом в «Живой геометрии», Приложение 3). Используются результаты индивидуальной работы по заполнению таблицы (карточка №4). Учащиеся работают в тетрадях. Некоторые этапы в тетради записываются подробно, (слайд 7).

• Из уравнения выделяем знакомые нам функции.
• Строим графики функций в одной координатной плоскости.
• Находим координаты точек пересечения графиков.
• Из найденных координат выбираем значение абсциссы, т.е. х.
• Записываем ответ.

4. Физминутка (1 мин.)

5. Закрепление (5 мин.)

• Сколько корней имеет уравнение? (Гиперссылка – слайд 8, в «Живую геометрию», 3 страницы. Приложение 4). а) б) х + 2 = х 2 ; в) = х 2 .
• Попади в цель! (Слайд 9. Работа со слайдом показана на рисунке 1)

6. Домакшнее задание (слайд 10): (1 мин)

• п.26;
• № 623 (а), № 624(а);
• №4.10 на стр.117 (сборник Л.В.Кузнецовой): Наташа, Настя, Кирилл, Сергей.

7. Применение в образовательной области (1 мин)

Умения строить графики, читать графики, находить точки пересечения графиков нужны не только при изучении алгебры, но и при изучении физики, когда вы изучаете, н-р, зависимость плавления тела от температуры, зависимость скорости от времени движения двух тел. На уроках информатики, работая в электронных таблицах Excel, вы будете учиться строить графики, решать уравнения. На уроках химии скорость химических реакций также можно описать графически. Умение строить графики, диаграммы нужны и в повседневной жизни: для описания результатов голосования, удоя молока; в инженерных специальностях это умение очень важно.

8. Проверочная работа в виде теста (6 мин)

В – 1:

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у = – 2; б) у = х – 2; в) у = х 2 – 2.

2. График функции у = называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

3. Установите соответствие между функциями и их графиками:

1) у = ; 2) у = 2х 2 ; 3) у = х – 2; 4) у = 2х.

А. Б. В. Г.

4. На рисунке 3 изображены графики функций у = х 3 и у = –2 х – 3. Используя графики, решите уравнение: х 3 = – 2х – 3.

В – 2:

1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:

а) у = + 1; б) у = + 1; в) у = х 5 + 1.

2. График функции у = 3х 2 называется:

а) прямой; б) гиперболой; в) параболой.

3. Установите соответствие между функциями и их графиками:

1) у = – ; 2) у = х 2 – 1; 3) у = – х; 4) у = 1 – х.

А. Б. В. Г.

4. На рисунке 5 изображены графики функций у = – х 2 + 2 и у = . Используя графики, решите уравнение: – х 2 + 2 = .

Ответы:

В – 1: 1. б 2. б 3. 1 – Б; 2 – А; 3 – В; 4 – Г 4. б
В – 2: 1. а 2. в 3. 1 – В; 2 – Г; 3 – А; 4 – Б 4. а

9. Рефлексивно-оценочный этап (отвечают письменно в тетради после выполнения теста) (2 мин.) (Слайд 11)

а) за теоретический опрос;
б) за фронтальную работу;
в) за самостоятельную работу.

Алгебра. 8 класс

Тема: Решение уравнений графическим способом

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Решим графическим способом уравнение:

Решить уравнение – значит найти такие значения x, при которых выполняется равенство x 2 = −3x
Построим в одной системе координат два графика:
график функции y = x 2 и график функции y = −3x.
Для каждого графика составим таблицы значений
y = x 2 – на рисунке синий график

y = −3x – на рисунке красный график

Заметим, что графики пересекаются в двух точках: точке с координатами (0 ; 0) и в точке с координатами (–3 ; 9). Это значит, что при x = 0 и при x = –3 функции y = x 2 и y = −3x имеют одинаковые значения.
Таким образом получаем, что при x = 0 и при x = –3 выполняется равенство x 2 = −3x.
Значит значения x = 0 и x = –3 являются корнями уравнения x 2 = −3x.
Корни, найденные графическим способом – приближённые. Чтобы доказать точность значений корней, надо каждый из них подставить в решаемое уравнение и проверить: выполняется ли полученное равенство.
Подставим в уравнение x 2 = −3x значение x = 0.

0 = 0 – верное равенство, значит x = 0 – точный корень уравнения x 2 = −3x.
Подставим в уравнение x 2 = −3x значение x = –3.

9 = 9 – верное равенство, значит x = −3 – точный корень уравнения x 2 = −3x.
Подведём итог.
Чтобы решить уравнение f₁(x) = f₂(x) графическим способом, необходимо:
1) Построить в одной системе координат графики функций y = f₁(x) и y = f₂(x). Абсциссы точек пересечения – это приближённые корни уравнения f₁(x) = f₂(x).
2) Необходимо подставить каждый приближённый корень в уравнение f₁(x) = f₂(x). Те корни, при которых получается верное равенство будут являться точными корнями уравнения f₁(x) = f₂(x).

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Графический способ решения уравнений
методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме

Графический способ решения уравнений

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок алгебры в 8 классе.

Тема: « Графический способ решения уравнений»

Цель данного урока : познакомить учеников с графическим способом решения

уравнений и совершенствовать их умения и навыки в построении графиков элементарных функций.

а) систематизация знаний по теме «Решение уравнений».

а) развитие пространственного воображения

б) развитие логического мышления.

а) формирование научного мировоззрения;

б) потребность к творческой деятельности, умению работать коллективно .

Технологии: а) ИКТ, подбор материала в интернете, работа с видеопроектором. б)групповая работа. в)дифференцированное обучение.

Урок включает пять основных этапов:

I. Устная работа.

II. Решение уравнений.

III. Объяснение новой темы.

V. Самостоятельная работа. Оборудование урока : видеопроектор, рисунки графиков различных функций.

I. Устная работа

На доске записаны фрагмент темы урока: «Решение уравнений…» и семь уравнений:

1. 2x 2 + 3x + 1 = 0;
2. x 2 + 2x + 3 = 0;
3. -7x + x 2 = 0;
4. x 2 – 9x + 20 = 0;
5. √5 x 2 = 0
6. x 2 – 16 = 0
7. 8x 2 – 14x +5 = 0

Ученикам предлагаются следующие вопросы и задания.

1. Какого вида уравнения записаны на доске?
2. Какие квадратные уравнения называются: а) полными; б) неполными?
3. Укажите среди данных квадратных уравнений: а) полные; б) неполные. Назовите коэффициенты каждого уравнения.
4. Для каждого уравнения, имеющего корни, укажите сумму и произведение.
5. Решите те уравнения, корни которых можно найти (подобрать) без вычислений.

II. Решение уравнений

Далее учащимся предлагаются четыре уравнения. Первые три уравнения ученики решать умеют (решения записываются в тетрадях и на доске), а четвертое, сводящиеся к кубическому уравнению, пока нет (с его помощью на уроке создается проблемная ситуация).

Задание 1. Решите уравнения.

X 1 = — 1/2, x 2 = -1

Чтобы найти корни последнего уравнения, ученикам предлагается рассмотреть функции у=x 2 и у = 6/x и выполнить следующее задание.

Задание 2. В одной координатной плоскости постройте графики функции у = x 2 и y = 6/x и найдите абциссы точек пересечения графиков( т.е. решить уравнение , кубическое)

III. Объясните темы

После выполнения задачи следует обратить внимание учащихся на то, что абсцисса точки пересечения построенных графиков есть значение переменной x, при котором x 2 =6/x, иначе говоря, корень данного уравнения.

Таким образом, при рассмотрении последнего уравнения был применен новый способ решения, основанный на построении графиков функций.

На доске дописывается тема: «Решение уравнений графическим способом».

Каков же алгоритм решения уравнений графическим способом? Ученики формулируют его сами.

Чтобы решить графически уравнение вида f(x) = g(x), нужно:

1. Построить в одной координатной плоскости графики двух функций: y = f(x) и y = g(x).
2. Найти точки пересечения этих графиков.
3. Указать абсциссу каждой из точек пересечения.
4. Записать ответ.

Для того чтобы пользоваться графическим способом решения уравнений, нужно уметь строить графики различных функций и «считывать» информацию с чертежа. Преимуществом данного способа решения уравнений является его наглядность, возможность увидеть решение непосредственно на рисунке.

Стоит также обратить внимание учеников на то, что при решении уравнения графически часто указывается приближенное значение корня, что можно считать недостатком этого способа.

Далее ученикам предлагается выполнить следующее задание.

Задание 3. Решите графически уравнение:

а) 8/х = -х + 6; б) х 3 + 2х – 4 = 0

Решения показаны на рис. 1, 2.

После выполнения задания 3 еще раз повторяется алгоритм решения уравнения графическим способом.

V. Самостоятельная работа

В конце урока проводится самостоятельная работа (в трех вариантах). Каждому ученику выдается листок с заданием и рекомендациями по его выполнению:

1. Если есть необходимость, преобразуйте уравнение таким образом, чтобы в его правой и левой частях были функции f(x) и g(x), графики которых вы умеете строить
2. В одной координатной плоскости постройте графики этих функций.
3. Найдите точки пересечения построенных графиков.
4. В ответе запишите абциссу каждой из точек пересечения графиков. Если точек пересечения нет, то… (закончите предложение).

Решите графически уравнение x 2 + 2x – 3 = 0

Ответ: x 1 = -3, x 2 = 1 (рис. 3).

Решите графически уравнение x + 6/x = 0

Ответ: нет решений (рис. 4).

Решите графически уравнение √x = 6 – x.

Ответ: x = 4 (рис. 5).

Проверку выполнения заданий осуществить, спроектировать их решения на экран. Необходимо обратить внимание учащимся на то, что последнее уравнение относится к иррациональным. Но уже и в младших классах их можно решить графически.

В конце урока проводится рефлексия сделанного на уроке, самоанализ ответов, выставляются оценки. Дается домашнее задание.