Решение уравнений с помощью системы 11 класс

Алгебра 11 класса по учебнику Никольского С.М. Автор: Бельмасова Н.И. учитель МОУ Пролетарская СОШ 5 Ростовской обл. 2011 г. Решение уравнений с помощью. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемВалентина Ярилина

Похожие презентации

Презентация на тему: » Алгебра 11 класса по учебнику Никольского С.М. Автор: Бельмасова Н.И. учитель МОУ Пролетарская СОШ 5 Ростовской обл. 2011 г. Решение уравнений с помощью.» — Транскрипт:

1 Алгебра 11 класса по учебнику Никольского С.М. Автор: Бельмасова Н.И. учитель МОУ Пролетарская СОШ 5 Ростовской обл г. Решение уравнений с помощью систем

2 Цели урока: 1)рассмотреть некоторые приемы решения уравнений с помощью систем ; 2)научиться их самостоятельно применять, опираясь на формулу; 3)так как самое главное в этих уравнениях – составить систему, то именно этим и займемся, а решения к этим примерам напишем в конце урока в оставшееся время, добавив себе за каждое решение еще по 1 балу; 4)выработать математическую зоркость по нахождению ошибок в решении; 5)запомнить эти методы получения знаний для самообразования; 6)за каждый из 7,решенных сегодня примеров, ставим себе плюс или минус на полях тетради и в конце урока проводим самооценку своей работы.

4 Запишем формулу 1

6 Составим и мы систему равносильную уравнению: Сравним с правилом

7 Запишем формулу 2

9 Составим равносильную систему Сравним с правилом

10 Запишем формулу 3

12 Составим равносильную систему Сравним с правилом

13 Запишем формулу 4

15 Составим равносильную систему Сравним с правилом

16 Запишем формулу 5

18 Составим и мы равносильную систему Сравним с правилом

19 Запишем формулу 6

21 Составим равносильную систему Сравним с правилом

22 Запишем формулу 7

23 И попробуем решить без ошибок сами, сравнивая решение с формулой 7

25 Подсчитаем свои плюсы и выставим их сумму в конце работы. Если у вас 7-6 балов- вы отлично поработали. Если 5-4, тоже хорошо. 3-4 –неплохо. Меньше 3- не отчаивайтесь и повторите весь процесс еще раз дома, прочитав по учебнику и по тетради эту тему. Д/з : решить оставшиеся уравнения ( не менее 3)

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №50. Системы уравнений. Методы решения систем уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Методы решений систем: метод сложения, метод подстановки.
• Частные способы решения систем уравнений.
• Решение задач итоговой аттестации

Глоссарий по теме

Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.

Уравнение с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными x и y имеет вид , где f и g — выражения с переменными x и y .

Система уравнений. Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Систему двух уравнений с двумя переменными будем записывать так:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014. С 238-239.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим методы решения систем уравнений

Выразим одну переменную из второго уравнения и подставим во второе:

Решим первое уравнение

Подставим найденное значение в первоначальную систему

Получим ответ: (4; 6)

Сложим почленно уравнения и найдем значение одной из переменных

Подставим полученное значение в первоначальную систему и найдем решение.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Решите систему уравнений

Выберите верный ответ из предлагаемых.

1. (4; 1);
2. (-1; -4); (9; 3)
3. (1; 4);

Правильный вариант: 1) (4; 1);

Рассмотрим первое уравнение.

Решим это уравнение методом замены переменной.

Найдем значение t = 2 т.е.

Подставим полученное значение во второе уравнение.

Решая второе уравнение получим значения y.

, или

, или

Ответ:

Решите систему уравнений

Выберите верный ответ из предложенных

Рассмотрим второе уравнение и преобразуем его:

Факультативный курс по математике (11 класс) «Решение систем линейных уравнений с помощью матриц»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решение систем линейных уравнений с помощью матриц

Учитель математики высшей категории:

Ржанникова Ольга Николаевна

2.2 Действия над матрицами……………………………………………….8

3.2 Способы вычисления определителя………………………………….13

через алгебраические дополнения

Способы решения систем линейных уравнений

Список используемой литературы………………………………………25

В жизни бывают такие ситуации, которые, порой, ставят в тупик многих людей. К числу таких ситуаций относятся и различные математические задачи. Ученые XVI – XVII вв. давно пришли к выводу, что иногда необходимо найти не просто одно неизвестное, а сразу несколько. Тогда возник вопрос: «Как найти сразу несколько неизвестных?» Долгое время работали над этим вопросом и пришли к выводу, что выход есть. Ведь можно решать целые системы уравнений с несколькими неизвестными! И это действительно так. Очень важен тот факт, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных и бытовых задач. Классическим разделом алгебры является линейная алгебра, т.е. теория векторных пространств и модулей, частью которых являются сформировавшиеся еще в XIX в. теория линейных уравнений и теория матриц. В данной области работали многие ученые-математики, но реальных результатов достигли всего несколько ученых, а именно: Гаусс и Крамер. В 1750 году было установлено правило, применимое к любой системе n линейных уравнений с n неизвестным, оно носит название «правило Крамера». Позже был разработан метод Гаусса, он отличался тем, что система линейных уравнений могли иметь бесконечное множество решений или вообще их не иметь. Потом появился матричный способ решения систем линейных уравнений. Он основан на выше сказанных методах, но число переменных теперь могло полностью не соответствовать количеству уравнений.

В школьном курсе изучения математики рассматривается решение систем линейных уравнений, но не достаточно подробно. Мы знаем только два способа решения системы линейных уравнений: подстановкой и сложение. Если же вдруг возникнет ситуация, где требуется найти n неизвестных при m уравнениях:

использовать способы подстановки и сложения нелогично, сложно, иногда, даже невозможно. Поэтому мы решили более углубленно изучить другие способы решения систем линейных уравнений.

Изучение данной темы очень обширный и трудный материал, поэтому разделим тему на два этапа. На первом этапе изучим три способа решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса и матричный способ. Для этого нам потребуется также изучить понятие матрицы и определителя и виды их нахождения.

Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX в. в работах У.Гамильтона и А.Кели. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат К.Вейерштрассу, К.Жордану.

Матрица – это таблица чисел, составленная определенным образом.

Матрицу обозначают большой латинской буквой, например А , записывается она в большие круглые скобки в виде:

В матрице буквой m обозначается количество строк, а буквой n – количество столбцов.

Если m ≠ n , то матрицу А называют прямоугольной . Если же m = n , т.е. число строк равно числу столбцов, то матрица А называется квадратной .

А – прямоугольная матрица.

В – квадратная матрица.

Если А — квадратная матрица, то имеет смысл говорить об ее порядке: так в приведенном примере матрица В — квадратная и ее порядок равен трем (т.к. число строк равно числу столбцов равно трем).

Существуют и другие виды матриц:

Матрица-строка: элементы матрицы расположены в одну строку ( m = 1):

Так как у всех элементов матрицы-строки первый индекс один и тот же, то его часто опускают, записывая матрицу строку порядка n в виде:

Матрица-столбец: элементы матрицы составляют только один столбец ( n = 1):

Второй, одинаковый для всех элементов, индекс обычно опускают, записывая матрицу-столбец порядка m в виде:

Нуль-матрица (матрица произвольного порядка, все элементы которой равны нулю):

Нуль-матрица в матричном исчислении является аналогом нуля в множестве всех вещественных чисел.

Единичная матрица (элементы, расположенные вдоль первой главной диагонали равны 1, а остальные равны 0).

Понятие единичной матрицы относится только к квадратной матрице.

I – является единичной матрицей для квадратной матрицы третьего порядка.

Транспонированная матрица (матрица, у которой соответствующие столбцы и строки поменяли местами). Обозначают транспонированную матрицу A т .

то транспонированной матрицей будет:

Присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений). Обозначают присоединенную матрицу А.

Алгебраическим дополнением элемента а _ij ( i , j = 1, 2, 3) называют его минор (величина (определитель) полученная в результате вычеркивания одной строки и соответствующего столбца), взятый со знаком «+», если сумма его индексов равна четному числу ( i + j = 2К) и взята со знаком «–», если сумма его индексов нечетная ( i + j = 2К – 1).

Квадратная матрица всегда имеет определитель, который обозначается

Если det A = 0 , то матрица А называется вырожденной , если же det A ≠ 0 , то А – невырождена .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Определение: Две матрицы А и В одинакового размера считаются равными, если элементы матрицы А равны соответствующим элементам матрицы В .

Две матрицы А и В одинакового размера можно складывать и вычитать. Если

то есть при сложении или вычитании матриц одинакового размера мы складываем или вычитаем соответствующие элементы матриц А и В . Заметим, что если матрицы А и В – разных размеров, то их нельзя складывать или вычитать.

Здесь А и В — прямоугольные матрицы типа 2 × 3. Складываем их соответствующие элементы:

Далее, для того, чтобы умножить матрицу на число достаточно все элементы матрицы умножить на это число.

Отсюда следует, что если все элементы матрицы А имеют общий множитель α , то его можно вынести за знак матрицы А .

Умножим матрицу А = на число k = 3.

Решение: умножая каждый элемент матрицы А на 3, получим

Умножение матриц не всегда возможно. Мы можем умножать только такие матрицы А и В , если их размеры согласованы таким образом, что число столбцов матрицы А равнялось бы числу строк матрицы В . В противном случае умножение матриц невозможно.

При выполнении этого условия умножения матриц А ∙ В выполняется по следующему правилу:

Заметим, что произведение матриц некомутативно, т.к. мы видим, что если А ∙ В существует, то В ∙ А не существует, т.е.

Пусть А = , В = . Найдем произведение АВ:

Заметим, что деление матриц до сих пор не определено.