Решение уравнений с пределами тригонометрических

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение пределов.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции. Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс вычисления предела.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите выражение функции
Вычислить предел

Немного теории.

Предел функции при $ x \to x_0 $

Пусть функция $ f(x) $ определена на некотором множестве $X$ и пусть точка $ x_0 \in X $ или $ x_0 \notin X $

Возьмем из $X$ последовательность точек, отличных от $x_0$ :
$x_1 \;, \; x_2 \;, \; x_3 \;, . \; x_n \; , \; . \tag <1>$ сходящуюся к $x^*$.
Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
$ f(x_1) \;, \; f(x_2) \;, \; f(x_3) \;, . \; f(x_n) \; , \; . \tag <2>$ и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение. Число $A$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $ x = x_0 $ (или при $ x \to x_0 $ ), если для любой сходящейся к $x_0$ последовательности (1) значений аргумента $x$, отличных от $x_0$ соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу $A$.

Символически это записывается так:
$$ \lim_ < f(x)>= A $$

Функция $f(x)$ может иметь в точке $x_0$ только один предел. Это следует из того, что последовательность $ \left\ < f(x_n) \right\>$ имеет только один предел.

Существует другое определение предела функции.

Определение Число $A$ называется пределом функции $f(x)$ в точке $x_0$, если для любого числа $ \varepsilon > 0 $ существует число $ \delta > 0 $ такое, что для всех $ x \in X, \; x \neq x_0 $, удовлетворяющих неравенству $ |x-x_0| 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей».
Второе определение называют определением «на языке \( \varepsilon — \delta $».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более удобно при решении той или иной задачи.

Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке $ \varepsilon — \delta $» — определением предела функции по Коши.

Предел функции при $ x \to x_ <0->$ и при $ x \to x_ <0+>$

В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение Число $A$ называется правым (левым) пределом функции $f(x)$ в точке $x_0$, если для любой сходящейся к $x_0$ последовательности (1), элементы $x_n$ которой больше (меньше) $x_0$, соответствующая последовательность (2) сходится к $A$.

Символически это записывается так:
$$ \lim_> f(x) = A \; \left( \lim_> f(x) = A \right) $$

Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке $ \varepsilon — \delta $»:

Определение число $A$ называется правым (левым) пределом функции $f(x)$ в точке $x_0$, если для любого $ \varepsilon > 0 $ существует $ \delta > 0 $ такое, что для всех $x$, удовлетворяющих неравенствам \( x_0 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0 -\delta

Предел функции при $ x \to \infty $, при $ x \to -\infty $ и при $ x \to +\infty $

Кроме рассмотренных понятий предела функции при $ x \to x_0 $ и односторонних пределов существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число $A$ называется пределом функции $f(x)$ при $ x \to \infty $, если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к $A$.

Символическая запись:
$$ \lim_ f(x) = A $$

Определение. Число $A$ называется пределом функции $f(x)$ при $ x \to +\infty \; (x \to -\infty) $ , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы $x_n$ которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к $A$.

Символическая запись:
$$ \lim_ f(x) = A \; \left( \lim_ f(x) = A \right) $$

Теоремы о пределах функций

Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести доказанные выше теоремы о пределах последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.

Теорема. Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют в точке $x_0$ пределы $B$ и $C$. Тогда функции $ f(x) \pm g(x) \; , \; f(x) \cdot g(x) $ и $ \frac $ (при $ C \neq 0 $ ) имеют в точке $x_0$ пределы, равные соответственно $ B \pm C \; , \; B \cdot C $, и $ \frac $.

Теорема. Пусть функции $ f(x) \; , \; g(x) $ и $ h(x) $ определены в некоторой окрестности точки $x_0$, за исключением, быть может, самой точки $x_0$, и функции $ f(x) \; , \; h(x) $ имеют в точке $x_0$ предел, равный $A$, т.е. $$ \lim_ f(x) = \lim_ h(x) = A $$
Пусть, кроме того, выполняются неравенства $ f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x) $. Тогда $$ \lim_ g(x) = A $$

Теорема Лопиталя. Если $$ \lim_ f(x) = \lim_ g(x) = 0 $$ или $\infty $, $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в окрестности $x_0$ , и $ g'(x) \neq 0 $ в окрестности $x_0$ , и существует $$ \lim_ \frac $$ то существует $$ \lim_ \frac = \lim_ \frac $$

Т.е. теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Теорема Лопиталя позволяет раскрывать неопределённости вида $ \frac<0> <0>$ и $ \frac<\infty> <\infty>$.

Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

«Уравнения будут существовать вечно».

Цели урока:

Образовательные:
углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
Воспитательные:
воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
формирование умения анализировать поставленную задачу;
способствовать улучшению психологического климата в классе.
Развивающие:
способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx = ;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) х = 2к;
2) х = ± + 2к;
3) х =± + 2к;
4) х = к;
5) х = (–1) + к;
6) х = (–1) + 2к;
7) х = + к;
8) х = + к; к Z.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой, вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла sin 2 = 2 sin cos
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x = + к, к Z или sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к | sin| 1
x = + к; к Z.
Ответ: x = + к , к Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой sin– sin = 2 sin сos

cos 3x + 2 sin сos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит

Ответ:

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой

Ответ:

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x ) = 0,
2 sin 2 x + 3 sin x – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |. Получим квадратное уравнение 2t 2 + 3t – 2 = 0,

. Таким образом . не удовлетворяет условию | t |.

Значит sin x = . Поэтому .

Ответ:

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а) (квадратное уравнение)
2. № 168 (а) (разложение на множители)
3. № 174 (а) (преобразование суммы в произведение)
4. (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin 2 x + sin x – 1 = 0.
Пусть sin x = t, | t | 1. Тогда
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Откуда

Ответ: –.

№ 167 (а)

3 tg 2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1, тогда получим уравнение 3 t 2 + 2 t – 1 = 0.

Ответ:

№ 168 (а )

Ответ:

№ 174 (а )

Ответ:

Решить уравнение:

Ответ:

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида a sin x + b cos x = 0, где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sin x или cos x.

sin x – cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

Ответ:

Уравнения вида a sin 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к. cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

тогда Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + , x =

Ответ: arctg 2 + ,

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x). Тогда получим:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 · (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + k,

6 способ. Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение sin x + cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:

Учитывая, что и, получим:

Ответ:

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол такой, что

Тогда

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что . Тогда получим

0,6 sin x + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол такой, что , т.е. = arcsin 0,6. Далее получим

Ответ: – arcsin 0,8 + +

8 способ. Уравнения вида Р

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t 2 .

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t = sinx + cosx, тогда t 2 = sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = . Следовательно получим:

t + 2 (t 2 – 1) – 1 = 0.
2 t 2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t 2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим = 1, =.

sinx + cosx = 1 или sinx + cosx =

Ответ:

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение:

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида, запишем систему, равносильную исходному уравнению:

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos 2 x.

1 – cos x = 1 – cos 2 x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

Условию удовлетворяют только решения

Ответ:

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х sin x 1, то данное уравнение равносильно системе:

Решение системы

Ответ:

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание: № 164 -170 (в, г).

Примеры решения пределов тригонометрических функций с ответами

Простое объяснение принципов решения пределов тригонометрических функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения пределов тригонометрических функций

Для тригонометрических функций существует много разных пределов, но как правило, все они вычисляются, опираясь на первый замечательный предел и его следствия.

Первый замечательный предел выглядит следующим образом:

Главным следствием первого замечательного предела считают:

Также следствиями являются:

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Примеры решения пределов тригонометрических функций

Задание

Найти предел функции:

Решение

Заменим значение х на число, к которому стремится функция:

Так как мы пришли на неопределённость вида 0/0, преобразуем синус так, чтобы он стал вида первого замечательного предела:

Мы знаем, что первый замечательный предел равен единице, следовательно

Таким образом найдём предел функции:

Задание

Найти предел функции:

Решение

При замене х на число, к которому он стремится, снова получаем неопределённость

Данную задачу можно решить, применив правило Лопиталя.

Найдём производные числителя и знаменателя функции и решим задачу:

Задание

Найти предел функции:

Решение

При подстановке нуля получим неопределённость типа 0/0:

Преобразуем функцию и упростим её:

Вынесем константу ½ за лимит и, пользуюсь свойством первого замечательного предела, найдём передел данной функции:

Задание

Найти предел функции:

Решение

Если заменить x на число, придём к неопределённости 0/0:

Для решения данного примера применим правило Лопиталя и заменим х на число в производных:

Задание

Вычислить предел функции:

Решение

Для решения данного примера воспользуемся свойством разности косинусов:

Вынесем минус за лимит, дабы не потерять и продолжим решение. Для решения задачи приведём функцию к виду первого замечательного предела. Для этого нужно разделить дробь на множители и добавить в знаменатель коэффициент, равный коэффициенту в числителе. А потом упростим выражение:

Снова вынесем константы за лимит и получим вид первого замечательного предела, с помощью которого приходим к искомому решению:

Задание

Вычислить предел функции:

Решение

При подстановке х снова получаем неопределённость

Значит будем искать передел путём приведения к виду первого замечательного предела.

Представим тангенс в виде частного синуса х и косинуса х

Приведём к общему знаменателю и разделим выражение на множители следующим образом:

Мы видим первый замечательный предел, а значит, можем упростить до:

Далее снова приведём числитель к общему знаменателю:

Вновь разделим на множители и подставим значение х во второй косинус:

Таким образом нам остаётся разобраться с первым числителем. Поменяем местами 1 и косинус и вынесем минус за лимит.

Далее воспользуемся формулой понижения степени и найдём решение:

Задание

Вычислить предел функции:

Решение

При простом вычислении получаем неопределённость

Следовательно, будем вычислять предел, опираясь на правило первого замечательного предела. Приведём тангенс к виду частного синуса и косинуса:

Разделим пример на множители.

Приведём синусы к виду первого замечательного предела и получим ответ:

Задание

Найти предел функции:

Решение

При подставлении числа на место х приходим к неопределённости типа 0/0:

Преобразуем tg, приведем выражение к общему знаменателю cos x, вынесем общий множитель – sin x за скобку:

Используя следствие из первого замечательного предела, преобразим выражение и избавимся от тангенса.

Затем вновь приведем функцию к следствию первого замечательного предела и найдем ответ:

Задание

Найти предел функции:

Решение

При подстановке числа видим неопределённость.

Следовательно, искать предел будем, опираясь на правило первого замечательного предела. Для этого заменим переменную, которая будет стремиться к нулю: