Составление и решение пропорций в математике
Пропорции — что это в математике
Валя съела 3 яблока из пяти. Какую часть яблок съела Валя?
Вначале узнаем, какую часть яблок составляет 1 яблоко. Всего у Вали было 5 яблок, значит, одно из них — это 1 5 часть всех яблок. Тогда 3 съеденных яблока составляют 3 5 всех яблок.
Тот же ответ получим, если 3 разделим на пять.
Получается, что 3 яблока соотносятся с пятью яблоками как 3 к 5.
Другой вариант записи ответа отмечают в виде десятичной дроби и процентов: 3 5 = 0 , 6 или 60%.
Отношением двух чисел называют частное этих чисел.
Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого. Или какую часть первое число составляет от второго.
Термин «отношение» применяют в случаях, когда нужно выразить одну величину в долях другой. Например, одну площадь в долях другой площади. Это операцию выполняют с помощью деления.
Делимое в выражении отношения называют предыдущим членом. Делитель называют последующим членом.
В задаче 1 предыдущий член — это 3, последующий — 5.
Если есть два равных отношения, то они образуют пропорцию.
Пропорцией называют равенство двух отношений.
Даны два отношения: 3,8:2 и 5,7:3.
Можно ли составить из этих выражений пропорцию?
Найдем значения каждого из отношений:
3 , 8 : 2 = 1 , 9 ; 5 , 7 : 3 = 1 , 9 .
Значения выражений оказались равными, значит, эти отношения равны.
Тогда можно записать равенство: 3,8:2=5,7:3.
Такое равенство называется пропорцией.
Ответ: да, можно составить из этих отношений чисел пропорцию.
С помощью буквенных символов пропорцию можно записать так: a : b = c : d или a b = c d .
Полученное равенство читают: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a относится к b, как c относится к d».
Числа a и d в пропорции называют крайними членами пропорции.
Числа b и c — средними членами пропорции.
Назовите крайние и средние члены пропорции 42:6=49:7.
Крайние члены пропорции — 42 и 7.
Средние члены пропорции — 6 и 49.
Определите средние члены пропорции 25 5 = 35 7 .
Средние члены пропорции — 5 и 35.
Понятие «пропорция» пришло из латинского языка. Слово в переводе означает соразмерность, определенное соотношение частей между собой.
Основное свойство пропорции, правило
Основное свойство пропорции
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов:
Определите, верна ли пропорция 6:2=9:3.
В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Произведение крайних членов равно произведению 6 и 3. Получим 6 * 3 = 18 .
Произведение средних членов равно произведению 2 и 9. Получим 2 * 9 = 18 .
Значит, 6:2=9:3. Пропорция верна.
Обратное утверждение тоже верно:
Если произведение средних членов равно произведению крайних членов, то пропорция верна.
Пропорция 60:12=10:2 верна, потому что 60 * 2 = 12 * 10 = 120 .
Если поменять в это пропорции местами средние члены, получим 60:10=12:2. Эта пропорция тоже верна. При перестановке произведение крайних и средних членов не изменилось.
Если в пропорции поменять крайние члены — 2:10=12:60, то произведение тоже не изменится.
Пропорция будет верной, если поменять местами средние члены или крайние члены.
Если какой-то из членов пропорции неизвестен, то его можно найти.
По основному свойству пропорции можно найти ее неизвестный член, если все остальные компоненты известны.
Найдите неизвестный член пропорции: 4,8:b=8:2,5.
Используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.
Получим 4 , 8 * 2 , 5 = b * 8 .
b = 4 , 8 * 2 , 5 : 8 ;
Составление и решение пропорций
Запишите пропорцию: 6 так относится к 18, как 9 относится к 27.
Слово «относится» заменяем на знак деления.
Получаем два отношения: 6:18 и 9:27.
Если эти два отношения равны, то получаем верную пропорцию.
6 : 18 = 9 : 27 ; 1 3 = 1 3 , получили верную пропорцию.
Запишите пропорцию и проверьте ее: отношение 2 к 1 4 равно отношению 3 к 1 15 .
Записываем отношения: 2 1 4 и 3 1 15 .
Составляем пропорцию: 2 1 4 = 3 1 15 .
Проверяем, верна ли пропорция.
Для этого воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.
2 * 1 15 ≠ 1 4 * 3 ; 2 15 ≠ 3 4 . Условие равенства произведений не выполнилось, значит, пропорция не верна.
Определите, верна ли пропорция: 1 , 4 0 , 7 = 3 , 4 1 , 7 .
Чтобы проверить, верна ли пропорция, воспользуемся основным свойством пропорции.
Запишем произведения крайних и средних членов пропорции:
1 , 4 * 1 , 7 = 2 , 38 ; 0 , 7 * 3 , 4 = 2 , 38 .
Значит, произведение крайних членов равно произведению средних членов.
1 , 4 * 1 , 7 = 0 , 7 * 3 , 4 ; 2 , 38 = 2 , 38 .
Вывод: пропорция верна.
Примеры уравнений с решением для 6 класса
Решите уравнение: 8 , 8 4 2 5 = n 0 , 12 .
Чтобы найти неизвестный член пропорции, используем основное свойство пропорции. Находим произведение крайних и средних членов. Выражаем неизвестный компонент.
8 , 8 4 2 5 = n 0 , 12 ; 8 , 8 * 0 , 12 = 4 2 5 * n . Из равенства выражаем n : n = 8 , 8 * 0 , 12 4 2 5 Представим смешанное число 4 2 5 в виде десятичной дроби. Для этого приведем дробную часть смешанного числа к дроби со знаменателем 10 : домножим числитель и знаменатель 2 . 4 2 5 = 4 2 * 2 н а 5 * 2 = 4 4 10 . Такое смешанное число записываем в виде десятичной дроби, отделяя целую часть запятой: 4 4 10 = 4 , 4 . Тогда n = 8 , 8 * 0 , 12 4 , 4 . Сокращаем получившуюся дробь: 0 , 12 и 4 , 4 делятся на 4 . n = 8 , 8 * 0 , 03 1 , 1 ; 8 , 8 и 1 , 1 делятся на 1 , 1 . n = 8 * 0 , 03 1 ; n = 0 , 24 .
Найдите неизвестный член пропорции: 1 1 2 : 2 1 4 = 6 : m .
Используем основное свойство пропорций. Записываем равенства произведений крайних и средних членов.
1 1 2 * m = 2 1 4 * 6 . И выражаем m : m = 2 1 4 * 6 : 1 1 2 . Переводим смешанные числа в неправильные дроби: m = 2 * 4 + 1 4 * 6 : 1 * 2 + 1 2 ; m = 9 4 * 6 : 3 2 . Натуральное число переводим в обыкновенную дробь со знаменателем 1 и умножаем на первую дробь: m = 9 4 * 6 1 : 3 2 ; m = 9 * 6 4 * 1 : 3 2 . Чтобы разделить обыкновенные дроби, нужно домножить дробь на взаимно обратную данной: m = 9 * 6 4 * 1 * 2 3 ; m = 9 * 6 * 2 4 * 1 * 3 . Сокращаем получившееся выражение. 4 и 2 делятся нацело на 2 . 9 и 3 делятся нацело на 3 . m = 3 * 6 * 1 2 * 1 * 1 . Для чисел 6 и 2 общий делитель 2 : m = 3 * 3 * 1 1 * 1 * 1 ; m = 9 .
Решите уравнение: 0,25:x=3,75:3.
По основному свойству пропорции получим: 0 , 25 * 3 = x * 3 , 75 .
x = 0 , 25 * 3 : 3 , 75 ; x = 0 , 75 : 3 , 75 . Делить на десятичную дробь нельзя. Преобразуем ее в натуральное число.
После запятой в дроби 3 , 75 два знака, значит, нужно домножить ее на единицу с таким оличеством нулей. Это сто.
Но чтобы выражение осталось неизменным, нужно домножить на сто и делимое.
x = 0 , 75 * 100 : 3 , 75 * 100 ; x = 75 : 375 ; x = 0 , 2 .
Найдите неизвестное: k : 3 1 2 = 0 , 4 : 2 4 5
Чтобы найти неизвестный компонент пропорции, нужно воспользоваться основным свойством дроби.
По основному свойству дроби произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Получим: k * 2 4 5 = 3 1 2 * 0 , 4 .
Выразим k : k = 3 1 2 * 0 , 4 : 2 4 5 .
Переведем 0,4 в обыкновенную дробь: 0 , 4 = 4 10 . Эта дробь сократима: числитель и знаменатель делятся на 2 нацело: 4 10 = 4 : 2 10 : 2 = 2 5 .
Записываем полученное выражение:
k = 3 1 2 * 2 5 : 2 4 5 .
1 действие — умножение.
Переводим смешанное число в неправильную дробь и умножаем на вторую: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.
3 1 2 * 2 5 = 3 * 2 + 1 2 * 2 5 = 7 2 * 2 5 = 7 * 2 2 * 5 .
Сокращаем дробь: есть одинаковые числа в числителе и знаменателе.
2 действие — деление.
Теперь делим полученное число на 2 4 5 .
Смешанное число переводим в неправильную дробь.
Умножаем 7 5 на взаимно обратную дробь.
7 5 : 2 4 5 = 7 5 : 2 * 5 + 4 5 = 7 5 : 14 5 = 7 5 * 5 14 = 7 * 5 5 * 14 = 7 * 5 5 * 14 = 7 14 = 1 2 = 0 , 5 .
Урок 22 Бесплатно Пропорции
Чтобы узнать название темы урока, обратите внимание на картинку.
Попробуйте отгадать ребус.
На этом уроке вы узнаете, что называют пропорцией, выведете основное свойство пропорции и с помощью него научитесь решать задачи и уравнения.
Слово «пропорция» (proportio) в переводе с латинского — соразмерность, отношение частей (соотношение).
Пропорция
В IV веке до н.э. древнегреческий математик Евдокс Книдский дал определение пропорции, состоящей из величин любой природы, а не только из натуральных величин.
Пропорции применяли с древности при решении различных задач.
Древние греки использовали пропорцию и ее свойство для строительства сооружений, при создании произведений искусства (скульптуры, статуи), в ремесленническом деле и др.
Соблюдение пропорций, определенных соотношений, активно используется и в настоящее время в архитектуре, искусстве, музыке, при решении физических задач.
В географии и моделировании пропорциональные зависимости применяют при создании уменьшенной копии реального объекта.
В швейных технологиях — для изменения размеров выкройки изделия до нужного размера.
В химии для проведения успешной реакции рассчитывают пропорциональное отношение химических веществ.
В медицине и фармацевтике используют пропорции при изготовлении лекарственных препаратов.
В кулинарии, например, с помощью пропорции можно рассчитать рецепт одного и того же блюда для разного количества гостей.
Разберем, что же такое пропорция в математическом понимании.
Возьмем два отношения: \(\mathbf<\frac<36><9>>\) и \(\mathbf<\frac<12><3>>\) и эти отношения равны, так как \(\mathbf<36\div9=4>\) и \(\mathbf<12\div3=4>\), значит \(\mathbf<\frac<36><9>= \frac<12><3>>\)
Равенство двух отношений называют пропорцией.
С помощью букв запишем пропорцию из двух отношений так: \(\mathbf\) или \(\mathbf<\frac= \frac
Эту математическую запись читают так: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a так относится к b, как c относится к d».
Все члены пропорции не равны нулю: \(\mathbf\).
Числа a и d называют крайними членами пропорции.
Числа b и c называют средними членами пропорции.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
В мире существует «золотая пропорция», которую называют «золотым сечением». Это пропорциональное деление отрезка на различные по размеру части, но в таком соотношении к друг другу, что меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всей величине.
Приблизительное значение «золотого сечения» равно 1,618… Число это продолжается бесконечно после запятой, и оно не периодично.
В процентном выражении целая часть относится к большей, как большая к меньшей, примерно так: 62% и 38% соответственно.
Обозначают число «золотого сечения» математической буквой \(\mathbf<\varphi>\) (фи).
Мир живой и неживой природы, мир творений человека полон красоты, симметрии и гармонии. Этот мир описывается законом «золотого сечения».
Рассмотрим только несколько примеров, где присутствует и используется правило «золотого сечения».
Считается, что длина фаланг пальцев и длина кисти руки, средний палец и мизинец, или высота лица и расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ у пропорционального человека находятся в определенных отношениях, соответствуя правилу «золотого сечения».
Форма тела ящериц, стрекоз, бабочек соответствует закону «золотого сечения»: отношение грудной и брюшной части тела приближенно равны значению «золотого сечения».
Спиралевидная форма ракушек тоже описывается числом \(\mathbf<\varphi>\) (фи).
«Золотая пропорция» была обнаружена в египетских пирамидах, произведениях искусства, архитектуре и применяется до сих пор в разных областях жизни человека
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Решение пропорций
Рассмотрим решение пропорций на конкретных примерах.
Решить уравнения с пропорцией:
1) 25 : x = 10 : 18
Здесь x — неизвестный средний член пропорции. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции , произведение крайних членов разделим на известный средний член:
25 и 10 сокращаем на 5. Затем 18 и 2 сокращаем на 2.
Здесь y — неизвестный крайний член пропорции. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член:
При решении пропорций с десятичными дробями удобно для упрощения вычислений использовать основное свойство дроби.
Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов делим на известный средний член пропорции:
В числителе после запятой в общей сложности два знака, в знаменателе — один. Поэтому, умножив и числитель, и знаменатель на 100, мы получим дробь, равную данной. В числителе умножение на 100 распределим так: каждый из множителей умножим на 10. В знаменателе 0,6 умножим на 10 и результат умножим на 10:
Сокращаем 24 и 6 на 6, 10 и 45 — на 5:
Еще раз сокращаем 4 и 2 на 2:
Решение пропорций с обыкновенными дробями и смешанными числами удобнее записывать в строчку.
Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов разделим на известный крайний член:
При решении более сложных пропорций удобно использовать непосредственно основное свойство пропорции.
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов:
Здесь удобно упростить уравнение, разделив обе части на 5:
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:
Для упрощения вычислений удобно умножить каждую часть уравнения на 10:
Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:
Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:
http://ladle.ru/education/matematika/6class/proporcii
http://www.for6cl.uznateshe.ru/reshenie-proporcij/