Решение уравнений содержащих целую часть числа

Решение уравнений, содержащих целую часть числа стр. 1-2

Главная > Решение

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Министерство образования Российской Федерации

Целая и дробная части числа

Выполнил: Остащенко О. Г.

г. Братск, 10 класс, МОУ »СОШ №38»

Научный руководитель: Попугаева Г. Н.

Решение уравнений, содержащих целую часть числа—————стр. 1-2

Решение уравнений, содержащих дробную часть числа ———-стр. 3-4

Решение неравенства, содержащего целую и дробную части числа-стр. 5

Преобразование графиков в системе координат ———————стр. 9-10

Графики, содержащие целую и дробную части——————— стр. 11-12

Графическое решение уравнений, содержащих целую и дробную части числа—————————————————————————стр. 13

В данной работе даются определения таких понятий, как »дробная» и »целая» части числа, решения задач на данную тему, не входящую в программу для общеобразовательных школ, но предлагаемых на вступительных экзаменах по математике и олимпиадах.

Участвуя в олимпиадах по математике, я столкнулся с трудностями при использовании таких понятий, как »целая» и »дробная» части числа, эти понятия представляют наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане. Так как данной темы нет в программе для общеобразовательных школ, то я поставил перед собой следующие цели:

познакомиться с понятиями »целая» и »дробная» части числа

уметь применять эти понятия при решении уравнений и неравенств

рассмотреть функции вида: y=[ x ] и y= < x >их графики и свойства

Целая часть числа — 1 —

Целой частью числа x называется наибольшее целое число n, не превышающее x. Целая часть числа x обозначается символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier «антье» — целый).

Примеры: [2,6] = 2; [- 2,6] = -3.

Свойство целой части числа:

Если x принадлежит интервалу [n; n +1), где n — целое число, то [x]=n, т.е. x находится в интервале [ [x]; [x]+1). Значит [x] x Решение уравнений, содержащих целую часть числа

Решение системы неравенств:

Дробная часть числа — 3 —

Дробной частью числа называют разность между самим числом x и его целой частью.

Свойство дробной части числа:

Дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, т.е.

Решение уравнений, содержащих дробную часть числа

Решение неравенства, содержащего дробную и целую части числа

Функция y=[ x ], ее свойства и график

1. Функция имеет смысл для всех значений переменной x , что следует из определения целой части числа и свойств числовых множеств. Следовательно, ее областью определения является все множество действительных чисел:

2. Функция ни четная, ни нечетная, т.е. не выполняется ни условие четности ( f (- x ) = f ( x ) ), ни условие нечетности ( f (- x ) = — f ( x ) ).

3. Функция y = [ x ] не периодическая.

4. Множество значений функции y = [ x ], это множество целых чисел (по определению целой части числа)

5. Функция неограничена, так как множество значений функции — все целые числа, множество целых чисел неограничено.

6. Функция разрывная. Все целые значения x — точки разрыва первого рода с конечным скачком равным 1. В каждой точке разрыва имеется непрерывность справа.

7. Функция принимает значение 0 для всех x , принадлежащих интервалу [0;1), что следует из определения целой части числа. Следовательно, нулями функции будут все значения этого интервала.

8. Учитывая свойства целой части числа функция y = [ x ] принимает отрицательные значения при x меньших нуля, и положительные значения при x больших 1.

9. Функция y = [ x ] кусочно — постоянная и неубывающая.

10. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Так как функция y = [ x ] постоянна на каждом интервале [ n ; n +1), она не принимает наибольшего и наименьшего значений на области определения.

12. График функции.

Функция y=< x >, ее свойства и график

1. Функция имеет смысл для всех значений переменной x , что следует из определения дробной части числа. Таким образом, область определения этой функции все действительные числа:

2. Функция ни четная, ни нечетная, не выполняется ни условие четности ( f (- x ) = f ( x ) ), ни условие нечетности ( f (- x ) = — f ( x ) ).

3. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом T = 1.

4. Функция y = < x >принимает значения на интервале [0 ; 1), что следует из определения дробной части числа, т.е.

5. Из предыдущего свойства следует, что функция y = < x >ограничена.

6. Функция y = < x >непрерывна на каждом интервале [ n ; n +1), где n — целое, в каждой точке n функция терпит разрыв первого рода. Скачок равен 1.

7. Функция y = < x >обращается в 0 при всех целых значениях x , что следует из определения функции. То есть нулями функции будут все целочисленные значения аргумента.

8. Функция y = < x >на всей области определения принимает только положительные значения.

9. Функция, строго монотонно возрастающая на каждом интервале [ n ; n +1), где n — целое число.

10. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Учитывая свойства 6 и 9, на каждом интервале [ n ; n +1) функция y = < x >принимает минимальное значение в точке n .

12. График функции.

Преобразование графиков в системе координат

вдоль оси OX в 2 раза

y =

вдоль оси OX в 2 раза

растяжение

вдоль оси OY в 2 раза

y = 2

вдоль оси OY в 2 раза

Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию

Построить график функции

Графическое решение уравнений содержащих целую и дробную части числа

y=1-x

Ответ:

y=[x]

y=2

Ответ:

0,5[x] =

y=0,5[x]

Ответ: Решений нет.

В ходе своего исследования я пришёл к выводу, что данный материал можно использовать на факультативах, элективных уроках, при подготовке к олимпиадам и вступительным экзаменам в ВУЗ.

В.А. Кирзимов, Центр образования «Царицыно» № 548, М. 2000 г.

Милованова Л.Н. Функции и их исследование.- М.: Академия педагогических наук РСФСР, 1958 г.

Глаголева Е.Г. Серебринкова Л.Г. Метод координат

Евсюк С.Л. Математика. Решение задач повышенной сложности. Минск «Мисанта» 2003 г.

Абрамов А. М. Ивлев Б.М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа «Просвещение» 1990 г.

Урок-семинар по теме: «Решение уравнений, содержащих целую часть числа»

Разделы: Математика

Цель урока.

Углубление знаний по теме урока.
Развитие самостоятельной учебно-познавательной деятельности.
Развитие навыков групповой работы.
Оценка реальности и красоты каждого из предложенных способов решения уравнения.

Тип урока: комбинированный.

Метод: проблемный и частично поисковый.

Оборудование:

Кодоскоп.
Плёнки с графиками функций ;
“Информация к размышлению”- подборка задач по теме “целая и дробная части числа” для учащихся 8-11-х классов с указанием литературы.

Предварительная подготовка к уроку-семинару.

Класс разбивается на 4 группы (по числу способов решения уравнения), для каждой группы указывается способ решения и литература, где этот способ можно найти. Затем для каждой группы производится консультация, на которой проверяется готовность каждой группы и выясняются все возникающие вопросы. Каждая группа выдвигает своего докладчика, который будет на уроке решать задачу указанным способом.

План урока:

Организационный момент.
Вступительное слово учителя.
Повторение.
Проверка домашнего задания.
Семинар.
Итог урока.

Вступительное слово учителя.

В последние годы задачи на решение уравнений с целой частью числа постоянно встречаются на олимпиадах и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения. Такие задачи для учеников являются непривычными и сложными.

Впервые знакомство с целой и дробной частью числа встречается в 8-м классе, когда вводится определение целой и дробной части числа и строятся графики y=[x]; y=;

Но в учебниках нет методов решения уравнений, содержащих целую часть числа.

Поэтому сегодня мы повторим то, что знаем и рассмотрим различные способы решения ещё одного вида уравнений, содержащих целую часть числа.

Повторение.

Вызываю 2 человека к доске решать домашнее задание.

Устно с помощью кодоскопа:

Определение целой части числа. Найти [25,8]; [0.75]; [-1]; [-2,74]; [-3,8].

Свойства: если, то [x]=x; если то [x] 3.

При m=4 значит, промежуток [5;6) не входит в решение уравнения.

в) Получим, что данному уравнению из интервала (2;6) не удовлетворяют числа 2

2) график y=[x-1] берётся из домашнего задания;

3)обе плёнки совмещаем на экране.

Графики и совпадают при 3x 26.11.2003

Учебное пособие «Задачи, содержащие целую и дробную часть числа»
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Изучая алгебру 10 класса по учебнику А.Г.Мордковича и П.В. Семёнова, ученики впервые встретились с функцией целой части числа у = [х]. Некоторых она заинтересовала, но теоретических сведений, да и заданий, содержащих целую часть числа, оказалось очень мало. Чтобы поддержать интерес детей к предмету и возникла идея создания данного пособия.

Реализация программы курса рассчитана на 1 полугодие 10 класса для обучающихся физико – математического профиля.

Цель курса: расширить знания обучающихся о математических функциях и формировать умение использовать знания о функциях при решении уравнений и неравенств разной степени сложности. В представленном учебном пособии содержатся теоретические сведения справочного характера. Это сведения о функции целой части числа у = [х] и функции дробной части числа у = <х>, их графиках. Объясняются преобразования графиков, содержащих целую часть числа. Рассмотрены решения простейших уравнений и неравенств, содержащих целую или дробную частъ числа. А также методы решения квадратных, дробно – рациональных уравнений и неравенств, систем уравнений, содержащих целую или дробную часть числа.

В пособии приведены задания для самостоятельного решения.

Пособие включает в себя следующие пункты:

§1. Знакомство с функциями у = [х] и у =<х>.

§2. Уравнения, содержащие дробную или целую часть числа.

2.1 Простейшие уравнения.

2.2 Решение уравнений вида [f (х)] = g (х).

2.3 Графический способ решения уравнений.

2.4 Решение уравнений введением новой переменной.

2.5 Системы уравнений.

§3. Преобразование графиков функций, содержащих целую часть числа.

3.1 Построение графиков функций вида у = [f (х)]

3.2 Построение графиков функций вида у = f ([х]).

§4. Неравенства, содержащие целую или дробную часть числа.

§5. Целая и дробная часть числа в олимпиадных заданиях.

Ответы на задания для самостоятельного решения.

Пособие обеспечивает развитие представлений о функции и формирование прикладных навыков.

Адресовано учителям, решающим задачи профильного обучения.

Скачать:

Вложение	Размер
uchebnoe_posobie_zadachisoderzhashchie_celuyu_ili_drobnuyu_chast_chisla.doc	822.5 КБ

Предварительный просмотр:

Задачи, содержащие целую

или дробную часть числа

Вы приступаете к углубленному изучению темы «Целая и дробная части числа». Данное пособие позволит вам расширить свои знания о математических функциях при решении уравнений и неравенств разной степени сложности. В представленном пособии содержатся теоретические сведения справочного характера, объясняются преобразования графиков, содержащих целую или дробную часть числа, рассмотрены решения простейших уравнений. А также методы решения квадратных, дробно – рациональных уравнений и неравенств, систем уравнений. В пособии приведены задания для самостоятельного решения. Учебное пособие поможет вам систематизировать и обобщить полученные знания по теме «Целая и дробная части числа».

§1. Знакомство с функциями у = [х] и у=<х>………………………4

§2. Уравнения, содержащие целую или дробную часть числа…. 7

2.3 Графический способ решения уравнений………………10

Решение уравнений введением новой переменной……11

§3. Преобразования графиков функций, содержащих целую

3.1 Построение графиков функций вида у = [f(х)]……………13
3.2 Построение графиков функций вида у = f([х])……………15

§4. Неравенства, содержащие целую или дробную часть числа. 17

§5. Целая или дробная часть числа в олимпиадных заданиях…. 20

Ответы на задания для самостоятельного решения……………. 23

§1. Знакомство с функциями у = [x]

История и определение целой и дробной части числа

Понятие целой части числа было введено немецким математиком Иоганном Карлом Фридрихом Гауссом(1771-1855), автором «Трудов по теории чисел». Также Гаусс продвинул теорию специальных функций, рядов, численные методы, решение задач математической физики, создал математическую теорию потенциала.

Обозначается целая часть действительного числа x символом [x] или E(x).

Символ [x] был введён К.Гауссом в 1808 г.

Функция же целой части числа была введена Адриеном Мари Лежандром ( 1752-1833). — французским математиком. Его работа «Опыт теории чисел», которая вышла в свет в 1798 году, является фундаментальным трудом, итогом арифметических достижений XVIII века. Именно в честь него функцию y = [x] называют французским словом «Антье» (фр. «entier» -целый) обозначают E(x).

Определение: целой частью числа х называется наибольшее целое число с, не превышающее х, т.е. если [х] = с, c ≤ x

По некоторым значениям функции можно построить её график. Он выглядит следующим образом:

Свойства функции y = [x]:

1. Область определения функции y = [x] есть множество всех действительных чисел R.

2. Область значений функции y = [x] есть множество всех целых чисел Z.

3. Функция y = [x] кусочно-постоянная, неубывающая.

4. Функция общего вида.

5. Функция не периодична.

6. Функция не ограничена.

7. Функция имеет точку разрыва.

9. y 0, при х 0,при х>0.

10.Функция не имеет точек экстремума.

11. У наиб. и У наим. не существует.

Возникает вопрос: «Если есть функция целой части числа, может, есть и функция дробной части числа?»

Определение: дробная часть числа (обозначается <х>) есть разность х — [х].

Построим график функции у = <х>. Он выглядит следующим образом:

Простейшие свойства функции y = :

1. Область определения функции y = есть множество всех действительных чисел R.

2. Область значений функции y = есть полуинтервал [0;1)

3.Функция общего вида.

5.Функция не прерывна.

6.у=0, при всех целых х.

7.у>0, при всех действительных х.

8.Функция монотонно возрастает на [n; n+1)

9. Функция не имеет точек экстемума.

Представление о том, как выглядят графики функций у = [х] и у = <х>поможет выполнить и некоторые задания.

ЗАДАНИЯДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1) Построить графики функций:

2) Какими могут быть числа х и у, если:

3) Что можно сказать о величине разности х — у , если:

4) Что больше: [а] или <а>?

§2. Уравнения, содержащие целую или дробную часть числа

2.1. Простейшие уравнения

К простейшим уравнениям относятся уравнения вида [х] = а.

Уравнения такого вида решаются по определению:

Если а — дробное число, то такое уравнение не будет иметь корней.

Рассмотрим пример решения одного из таких уравнений:

[х + 1,3] = — 5. По определению такое уравнение преобразуется в неравенство:

Это и будет являться решением уравнения.

Рассмотрим ещё одно уравнение, относящееся к разряду простейших:

Для решения уравнений такого вида необходимо использовать свойство функции целого числа: Если р — целое число, то справедливо равенство

Доказательство: х = [х] +

х = k + а, где k = [х], а =

[ k + a ± p ] = [ k + a ] ± p = [х] ±p.

Решим предложенное уравнение, используя доказанное свойство: Получим [х] + 1 + [х] — 2 — [х] — 3 = 2. Приведём подобные слагаемые и получим простейшее уравнение [х] = 6. Его решением является полуинтервал х[6;7), который и будет решением данного уравнения.

Рассмотрим более сложное уравнение:

Преобразуем уравнение в неравенство: 1 ≤ х 2 -5х+6

х 2 — 5х + 6 ≥ 1 и решим её;

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

3) [x + 4] – [x + 1] = 2

2.2 Решение уравнений вида [f(x)]=g(x)

Уравнение вида [f(x)]=g(x) можно решить путем сведения их к уравнению

Рассмотрим пример 1 .

Заменим правую часть уравнения на новою переменную a и выразим отсюда x

11a = 16x + 16, 16x = 11a – 16,

Теперь решим уравнение относительно переменной а .

Раскроем знак целой части по определению и запишем с помощью системы неравенств:

Из промежутка выберем все целые значения a: 3;4;5;6;7 и проведем обратную замену:

Разделим каждое слагаемое числителя в скобке на знаменатель:

Из определения целой части числа следует, что (а+1) должно быть целым, значит и а – целое. Числа а, (а+1), (а+2) — три последовательных числа, значит одно из них обязательно делится на 2, а одно — на 3. Следовательно, произведение чисел делится нацело на 6.

То есть целое число. Значит

Решим это уравнение.

а + 1 = 0 или а 2 + 2а – 6 = 0

a = -1 ± (не являются целыми).

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:

2.3. Графический способ решения уравнений

Решение. Решим это уравнение графически. Построим графики функций у = [х] и у = 2<х>. Найдём абсциссы точек их пересечения.

Ответ: х = 0; х = 1,5.

В некоторых случаях удобнее по графику найти ординаты точек пересечения графиков. Затем подставить полученное значение в одно из уравнений и найти искомые значения х.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Решите уравнения графически:

10) Сколько решений имеет уравнение 2 <х>= 1 — .

2.4. Решение уравнений введением новой переменной.

Рассмотрим первый пример:

Заменим <х>на а, 0 а

а 2 — 8а + 7 = 0, которое решим по теореме, обратной теореме Виета: Полученные корни а = 7 и а = 1 . Проведем обратную замену и получим два новых уравнения: <х>= 7 и <х>= 1. Оба эти уравнения не имеют корней. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим ещё один случай решения уравнения введением новой

3[х] 3 + 2[х] 2 + 5[х]-10 = 0

Проведём замену [х] = а, аz. и получим новое кубическое уравнение За 3 +2а 2 +5а-10=0. Первый корень этого уравнения найдём путём подбора: а=1 — корень уравнения. Делим наше уравнение на (а-1). Получаем квадратное уравнение 3а 2 + 5а +10=0. Это уравнение имеет отрицательный дискриминант, а значит, не имеет решений. То есть, а=1 — единственный корень уравнения. Проводим обратную замену: [х]=а=1. Полученное уравнение решаем по определению целой части числа: х[1 ;2).

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:

10) 10[х] 3 -11[х] 2 -31[х]-10 = 0

2.5. Системы уравнений.

Рассмотрим систему уравнений:

Ее можно решить либо методом сложения, либо подстановкой. Остановимся на первом способе.

После сложения двух уравнений получаем 11[x] = 11. Отсюда

[x] = 1. Подставим это значение в первое уравнение системы и получаем

[x] = 1 и [y] = 2 – решения системы. То есть x [1;2), y [2;3).

Ответ: ( x [1;2), y [2;3)).

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ:

§3. Преобразования графиков функций, содержащих целую часть числа

3.1. Построение графиков функции вида y = [f(x)]

Пусть имеется график функции у = f(х). Чтобы построить график функции у = [f(x)], поступаем следующим образом:

Проводим прямые у = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; … и рассматриваем одну из полос, образованных прямыми у = n, у = n + 1.
Отмечаем точки пересечения прямых у = n, у = n + 1 с графиком функции у = f(х). Эти точки принадлежат графику функции у = [f(x)], так как их ординаты целые числа (на рисунке это точки А, В, С, D).

Для получения остальных точек графика функции у = [f(x)] в указанной полосе часть графика у = f(х), попавшую в полосу, проектируем параллельно оси Оу на прямую у = n. Поскольку любая точка М этой части графика функции у = f(х) имеет такую ординату , что n ≤ ] = n.
В каждой другой полосе, где имеются точки графика функции у = f(х), построение проводится аналогично.

Построим график функции у = [х]. Для этого

Проводим прямые у = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; … и рассматриваем одну из полос, образованных прямыми у = n, у = n + 1.
Отмечаем точки пересечения прямых у = n, у = n + 1 с графиком

функции у = [х]. Эти точки принадлежат графику функции у = [х],

так как их координаты целые числа.

Для получения остальных точек графика функции у = [х] в указанной полосе часть графика у = х, попавшую в полосу, проецируем параллельно оси О у на прямую у = n, у = n + 1. Поскольку любая точка М этой части графика функции y = x, имеет такую ординату y 0 , что n 0 0 ] = n
В каждой другой полосе, где имеются точки графика функции у = х, построение проводится аналогично.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Постройте графики функций:

у = ;
у = 2[sinx];
y = [3 — 1] + 3;
у = -[cosx] + 1;
y = [|x|];
y = [tgx];
y = 2[|cosx|] – 4;
y = 1,5[cosx] – 2;
y = [ctgx + 2] -1

3.2. Построение графиков функции вида y = f([x])

Пусть дан график некоторой функции у = f(х). Построение графика функции у = f([х]) осуществляется следующим образом:

Проводим прямые х = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; …
Рассмотрим одну из полос, образованных прямыми у = n и у = n + 1. Точки А и В пересечения графика функции у = f(х) с этими прямыми принадлежат графику функции у = f([х]), так как их абсциссы – целые числа.

Для получения остальных точек графика функции у = f([х]) в указанной полосе часть графика функции у = f(х), попавшую в эту полосу, проектируем параллельно оси О у на прямую у = f(n).
В каждой другой полосе, где имеются точки графика функции у = f(х), построение ведётся аналогично.

Рассмотрим построение графика функции у = . Для этого пунктиром построим график функции у = . Далее

Проводим прямые х = n, n = 0; -1; +1; -2; +2; …
Рассмотрим одну из полос, образованных прямыми у = n и у = n + 1. Точки пересечения графика функции у = с этими прямыми принадлежат графику функции у = , так как их абсциссы – целые

3. В каждой другой полосе, где имеются точки графика функции у = , построение ведётся аналогично.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Постройте графики функций:

§4. Неравенства, содержащие целую или дробную части числа

Назовём основными неравенствами с [х] и <х>следующие соотношения: [х] > b и <х>> b. Удобным методом их решения является графический метод. Поясним его на двух примерах.

Решение. Введём в рассмотрение две функции у = [х] и у = b и начертим их графики на одном и том же чертеже. Ясно, что тогда следует различать два случая: b – целое и b – нецелое.

Случай 1. b – целое

Из рисунка видно, что графики совпадают на [b; b + 1].

Следовательно, решением неравенства [х] ≥ b будет луч х ≥ b.

Случай 2. b – нецелое.

В этом случае графики функций у = [х] и у = b не пересекаются. Но часть графика у = [х], лежащая выше прямой, начинается в точке с координатами ([b] + 1; [b] + 1). Таким образом, решением неравенства [х] ≥ b будет луч х ≥ [b] + 1.

Остальные виды основных неравенств исследуются точно так же. Результаты этих исследований сведены ниже в таблицу.

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/101940

http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2012/12/29/uchebnoe-posobie-zadachi-soderzhashchie-tseluyu-i-drobnuyu-chast

Решение уравнений содержащих целую часть числа