Решение уравнений способом группировки 7 класс

Способ группировки в более сложных задачах и уравнениях

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы решим много различных достаточно сложных задач с применением метода группировки. Мы решим много уравнений и научимся геометрически их моделировать.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Разложение многочлена способом группировки

О чем эта статья:

Основные понятия

Мы знаем, что слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число 12. Чтобы разложить его на множители, нужно написать его по-другому, а именно в виде «произведения» множителей.

Число 12 можно получить, если умножить 2 на 6. А 6 можно представить, как произведение 2 и 3. Вот так:

Так выглядит пошаговое разложение на множители. Числа, которые обведены в кружок на картинке — это множители, которые дальше разложить уже нельзя.

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.

5 способов разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки.
2. Формулы сокращенного умножения.
3. Метод группировки.
4. Выделение полного квадрата.
5. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Способ группировки множителей

Разложение на множители методом группировки возможно, когда многочлены не имеют общего множителя для всех членов многочлена.

Этот способ применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку. И тогда исходный многочлен будет представлен в виде произведения, что значительно облегчает задачу.

Разложить на множители методом группировки можно в три этапа:

1. Объединить слагаемые многочлена в группы, которые содержат общий множитель. Для наглядности их можно подчеркнуть.
2. Вынести общий множитель за скобки.
3. Полученные произведения имеют общий множитель в виде многочлена, который нужно вынести за скобки.

Объединить члены многочлена в группы можно по-разному. И не всегда группировка может быть удачной для последующего разложения на множители. В таком случае нужно продолжить эксперимент и попробовать объединить в группы другие члены многочлена.

Чтобы понять эти сложные выражения, применим правило группировки множителей при решении примеров. Рассмотрим два способа.

Пример 1. Разложить на множители методом группировки: up — bp + ud — bd.

up — bp + ud — bd = (up — bp) + (ud — bd)

Заметим, что в первой группе повторяется p, а во второй — d.

Вынесем в первой группе общий множитель p, а во второй общий множитель d.

Получим: p(u — b) + d(u — b).

Заметим, что общий множитель (u — b).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

up — bp + ud — bd = (up + ud) — (bp + bd)

Заметим, что в первой группе повторяется u, а во второй — b.

Вынесем в первой группе общий множитель u, а во второй общий множитель b.

Получим: u(p + d) — b(p + d).

Заметим, что общий множитель (p + d).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

От перестановки мест множителей произведение не меняется, поэтому оба ответа верны:

(u — b)(p + d) = (p + d)(u — b).

Вот так работает алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки. Продолжим практиковаться на примерах.

Пример 2. Разложить на множители выражение: c(m — n) + d(m — n).

1. Найдем общий множитель: (m — n)
2. Вынесем общий множитель за скобки: (m — n)(c + d).

Ответ: c(m — n) + d(m — n) = (m — n)(c + d).

Пример 3. Разложить на множители с помощью группировки: 5x — 12z (x — y) — 5y.

5x — 12z (x — y) — 5y = 5x — 5y — 12z (x — y) = 5(x — y) — 12z (x — y) = (x — y) (5 — 12z)

Ответ: 5x — 12z (x — y) — 5y = (x — y) (5 — 12z).

Иногда для вынесения общего многочлена нужно заменить все знаки одночленов в скобках на противоположные. Для этого за скобки выносится знак минус, а в скобках у всех одночленов меняем знаки на противоположные.

Проверим как это на следующем примере.

Пример 4. Произвести разложение многочлена на множители способом группировки: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b.

1. Сгруппируем слагаемые по два и вынесем в каждой паре общий множитель за скобку:

ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (ax 2 — bx 2 ) + (bx — ax) + (a — b) = x 2 (a — b) — x(a — b) + (a — b)

Получили три слагаемых, в каждом из которых есть общий множитель (a — b).

1. Теперь вынесем за скобку (a — b), используя распределительный закон умножения:

x 2 (a — b) + x(b — a) + (a — b) = (a — b)(x 2 + x + 1)

Ответ: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (a — b)(x 2 + x + 1)

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Конспект урока «Способ группировки» 7 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Учитель: Самигуллина З. Р.

Тема: Разложение многочлена на множители. Метод группировки.

1) выработать у учащихся умения выполнять разложение многочленов на множители способом группировки,

2) выработать у учащихся умения применять полученные знания для рационализации вычислений, решения уравнений, доказательства тождеств.

1) формирование алгоритмического мышления;

2) формирование у учащихся навыков умственного труда — планирование своей работы, поиск рациональных путей ее выполнения, критическую оценку результатов;

1) эстетическое воспитание учащихся;

2) формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры.

Тип урока: изучение нового материала, проблемный.

Методы обучения: проблемный, частично-поисковый.

Форма организации учебной деятельности : групповая, фронтальная, индивидуальная.

Оборудование: персональный компьютер, мультимедийный проектор, экран, Презентация Power Point (Приложение 1) .

Актуализация знаний. Проверка домашнего задания.

Мотивация. Постановка учебной задачи.

Изучение нового материала.

Закрепление изученного материала.

Организация класса. Здравствуйте! Присаживайтесь. Как ваши дела? Как настроение? Рада видеть вас на уроке. Надеюсь, вы готовы к получению новых знаний? Итак, давайте начнем.

Актуализация знаний. Проверка домашнего задания.

Чтобы проверить, как вы усвоили прошлую тему и выполнили домашнее задание, я предлагаю вам ответить на несколько вопросов.. (слайд__)

Что значит разложить многочлен на множители ? (Представить в виде произведения)

Какие способы разложения многочлена на множители вы знаете?(вынесение общего множителя за скобки)

Сформулируйте алгоритм разложения многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки . Что необходимо сделать, чтобы многочлен представить в виде произвдения?

Молодцы! А теперь посмотрим на экран и устно решим примеры. (слайд__)

Вынесите за скобки общий множитель:

Молодцы! Вспомнили алгоритм, и правильно его применили.

Я вам раздам небольшие листочки. Подпишите их, и сделаем небольшой письменный тест. Можете сразу, не записывая пример, писать ответы. Первый вариант выполняет задания в левом столбце. Второй вариант выполняет задания в правом столбце.

15х + 10 y ; 9 n + 6 m ;

a 2 – ab ; b ² — ab ;

n (7- m ) + k (7– m ); b ( a +5) – c ( a +5);

8 m 2 n – 4 mn 3 ; 20 x ³ y ² + 4 x ² y ³;

a ( b — c )+3( c — b ). 6( m — n )+ s ( n — m ).

Делаем проверку. За 5 правильных примеров ставим оценку «5», за 4 – «4», и за 3 – «3». Все ли довольны своими оценками? Поняли ли вы свои ошибки, необходимо ли разобрать примеры еще раз?

Мотивация. Постановка учебной задачи. (слайд__)

А теперь, я предлагаю вам решить несколько уравнений. Кто объяснит, как нужно решить первое уравнение? Умеем ли мы решать такие?

3) x 2 + 3x + 6 + 2x = 0.

(В первом уравнении приравниваем каждый множитель к нулю, и решаем два линейных уравнения).

(Для решения второго уравнения необходимо разложить на множители многочлен. Для этого общий множитель выносим на скобки. И решаем по аналогии с первым уравнением).

С решением третьего уравнения у нас появились трудности. Задача знакома на первый взгляд, но не решается. Мы знаем, что удобно решать уравнение, в правой части которого 0, раскладывая его левую часть на множители.

— Есть ли общий множитель у всех слагаемых? (Нет)

— Значит, этот способ разложения на множители нам не подходит? (Да)

— Как вы думаете чему мы должны сегодня научиться?

Постановка учебной задачи: Мы должны научиться раскладывать многочлен на множители другим способом.

Изучение нового материала. (слайд__)

Давайте пристально посмотрим на левую часть уравнения. Что-нибудь вы видите?

Я предлагаю объединить в группы по 2 слагаемых. Иначе говоря — сгруппировать:

(x 2 + 3x) + (6 + 2x) = 0; (применяем сочетательный закон сложения)

Теперь у одночленов в скобках появились общие множители. В первой скобке это Х. его мы можем вынести за скобки, т.е. разложить на множители первую сумму. То же самое делаем со второй скобкой. Тут уже выносим за скобки 2. в итоге, мы получаем сумму одночленов, которые имеют общий множитель (х+3).

Т.к. в скобках стоит знак +, то мы можем поменять местами х и 3. данный множитель, мы также выносим за скобки.

Что мы получили? (Произведение).

Значит, каким способом мы многочлен представили в виде произведения? (Объединяя слагаемые в группы)

Поэтому этот способ называется способом группировки.

Данный способ применяют к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена.

Сформулируем алгоритм: Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

1) выполнить группировку слагаемых, имеющих общий множитель;

2) отдельно в каждой группе найти общий множитель и вынести его за скобки;

3) в получившемся выражении найти общий множитель и вынести его за скобки.

Закрепление изученного материала .

Рассмотрим пример (слайд__), в котром н еобходимо разложить на множители многочлен:

Первый способ группировки:

xy -6+3х-2 y =( xy -6)+(3 x -2 y ). Объединяем в группу первые два члена и третий и четвертый члены многочлена. Есть ли в каждой скобке общий множитель? нет. значит наша группировка неудачна.

Второй способ группировки:

Объединяем первый и третий член, второй и четвертый. Есть ли у них общие множители? Выносим за скобки. Продолжаем раскладывать.

Третий способ группировки:

Объединяем первый и четвертый члены, второй и третий. Выносим за скобки общие множители. Раскладываем на множители.

= y ( x -2)+3( x -2)=( x -2)( y +3). Группировка также выбрана удачно, мы получаем ответ. Давайте сравним ответ второго и третьего способов.

Ответ: xy -6+3х-2 y =( x -2)( y +3).

Как видите, не всегда с первого раза группировка оказывается удачной.

Если группировка оказалась неудачной, откажитесь от нее и ищите иной способ .

Рассмотрим еще несколько примеров на разложение множители, применяя метод группировки (слайд__) Для этого я предлагаю в парах разложить на множители примеры несколькими способами. Первый ряд выполняет первый пример. Второй ряд – второй, и третий ряд – третий пример.

а b — 8а – b х + 8х;

x 2 m — x 2 n + y 2 m — y 2 n.

А теперь, на тех же листочках, каждому предлагаю выбрать один из трех групп заданий.

А. Задания легкого уровня.

1) 7а — 7в + аn – bn

2) xy + 2 y + 2 x + 4

3) y 2 a — y 2 b + x 2 a — x 2 b

Б. Задания среднего уровня

1) xy + 2y — 2x — 4

2) 2сх – су – 6х + 3у

3) х 2 + xy + xy 2 + y 3

С. Задания сложного уровня

1) x 4 + x 3 y — xy 3 — y 4

2) ху 2 – ву 2 – ах + ав + у 2 — а

Выполняете задания и сдаете мне. Я их проверю, и на следующем уроке, по вашему желанию, выставлю оценки. Также разберем все ошибки и недочеты.

Домашнее задание (слайд__): №______________ Посмотрите, все ли понятно по домашнему заданию. У кого есть вопросы?

Итог урока (слайд__). Подведем итоги урока.

а) С каким новым способом разложения многочлена на множители вы познакомились сегодня?

б) В чем он заключается?

в) К каким многочленам обычно применяют способ группировки?

8. Рефлексия (слайд__)

Я предлагаю вам ответить на вопросы:

Комфортно ли вам было на уроке?

Поняли ли вы материал урока?

С какими трудностями столкнулись?

Требовалась ли вам помощь:

в) соседа по парте?

Что необходимо повторить для успешной работы на следующем уроке?

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 589 983 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

§ 13. Разложение многочленов на множители. Метод группировки

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 08.01.2020
• 260
• 3

• 07.01.2020
• 125
• 0

• 06.01.2020
• 876
• 33

• 02.01.2020
• 120
• 1

• 30.12.2019
• 318
• 9

• 29.12.2019
• 1208
• 22

• 29.12.2019
• 229
• 2

• 27.12.2019
• 658
• 8

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 09.01.2020 3419
• DOCX 30.9 кбайт
• 301 скачивание
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Самигуллина Зульфия Ринатовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 2 года и 5 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 4742
• Всего материалов: 6

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки