Решение уравнений свободных затухающих механических колебаний

Электронная библиотека

Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний задается в виде:

где – сила сопротивления; s – колеблющаяся величина; d = const – коэффициент затухания; w₀ – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, при d = 0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.

Решением уравнения (3.4) в случае малых затуханий является:

где – закон изменения амплитуды со временем; А₀ – начальная амплитуда (при t = 0).

Промежуток времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Но, если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся величины.

Период затухающих колебаний равен:

Если A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания:

где N_e – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности (Q), которая при малых значениях логарифмического декремента равна:

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Лекция №8. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

5.6. Затухающие гармонические колебания.

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать. Затухающие колебания − это колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае, сила сопротивления, вызывающая затухание, зависит от скорости колебательного движения, т. е. ее можно считать прямо пропорциональной скорости

где μ − постоянная, называемая коэффициентом сопротивления.

Знак «минус» обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления. Тогда второй закон Ньютона для гармонических колебаний при наличии сил сопротивления имеет вид

Учитывая , что a= $$d^2x\over dt^2$$ , а υ= $$dx\over dt$$ и разделив на массу m , получим

Применив обозначения $$ = ω_0<^2>$$ , $$ <μ\over m>= 2β$$ и $$ = f_0$$ получим

дифференциальное уравнение затухающих колебаний . Отметим, что ω₀ представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды. Эта частота называется собственной частотой .

Для решения уравнения (5.6.4) сделаем подстановку

Проведем замену переменных

Подставим (5.6.5 и 5.6.6) в выражение (5.6.4)

Преобразуем , сократив на e -βt

Рассмотрим случай, когда сопротивление среды настолько мало, что ω₀ 2 -β 2 >0 есть величина положи мы можем ввести тельная, и обозначение ω₀ 2 -β 2 =ω 2 , после чего уравнение (5.6.8) примает вид

В случае большого сопротивления среды ω₀ 2 -β 2 , движение становится непериодическим.

Решение уравнения (5.6.8) можно записать в виде

Окончательно, подставляя последнее уравнение в выражение (5.6.5), получаем общее решение дифференциального уравнения затухающих колебаний (5.6.4)

В соответствии с видом полученной функции движение можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой

и амплитудой, изменяющейся по закону

На рисунке показан график данной функции. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Верхняя из пунктирных кривых дает график функции A(t) , причем величина A₀ представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение зависит от A₀ и также от начальной фазы φ , т.е. x₀=A₀cosφ .

5.7. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

и называется декрементом затухания .

Для характеристики системы обычно используется колебательной логарифмический декремент затухания , т.е. логарифм декремента затухания

Скорость затухания колебаний определяется величиной называем коэффициентом затухания $$β=<μ\over 2m>$$ .

Найдем время, называемое временем релаксации τ , за которое амплитуда уменьшается в e раз

т. е. коэффициент затухания обратен по величине промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

За время релаксации τ система успевает совершить $$N_e=<τ\over T>$$ колебаний

Следовательно, $$δ=<1\over N_e>$$ логарифмический декремент затухания обратно пропорционален по величине числу колебаний, за которые амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Для характеристики колебательной системы используется величина

которая называется добротностью колебательной системы.

Величина Q , пропорциональная числу колебаний, совершаемых системой за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

5.8. Вынужденные колебания.

До сих пор мы рассматривали свободные колебания, когда выведенная из положения равновесия система совершает колебания будучи предоставленной самой себе. Рассмотрим колебательную систему, которая подвергается действию внешней силы, изменяющейся по гармоническому закону F=F₀cosωt . Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными колебаниями . В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид

Учитывая , что a= $$d^2x\over dt^2$$ , а υ= $$dx\over dt$$ и разделив на массу m , получим

Применив обозначения $$ = ω_0<^2>$$ , $$ <μ\over m>= 2β$$ и $$ = f_0$$ получим

дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Будем искать решение уравнения (5.8.3) в виде

предполагая, что результирующее колебание будет совершаться с частотой внешней вынуждающей силы.

Подставим (5.8.4) и (5.8.5) в уравнение (5.8.3)

Чтобы уравнение (69) обратилось в тождество необходимо, чтобы коэффициенты при cosωt и sinωt были равны нулю.

Из выражения (71) получаем

Возведем в квадрат уравнения (70) и сложим

Подставив полученные выражения (71) и (73) в выражение (64) получим уравнение вынужденных колебаний

5.9. Резонанс.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы называется резонансом , а соответствующая частота − резонансной частотой.

Найдем резонансную частоту. Амплитуда вынужденных колебаний будет max, когда выражение $$(ω_0<^2>-ω^2)^2 + 4β^2ω^2$$ в уравнении $$A=-ω^2)^2 + 4β^2ω^2>>$$ (5.8.13) будет минимальным.

Продифференцируем это выражение по ω и приравняем к нулю

Полученное уравнение имеет три решения: ω=0 и ω=± $$\sqrt <ω_0<^2>-2β^2>$$ . 2 . Первое решение соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное не имеет физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, резонансная циклическая частота

Подставив это значение в выражение для амплитуды (5.8.13), получим выражение для амплитуды при резонансе

Из последнего уравнения (5.9.3) следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность, а резонансная частота, согласно (5.9.2), при тех же условиях (при β=0 ), совпадала бы с собственной частотой колебаний системы ω₀

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы показана графически на рис. 5.9.1. В соответствии с (5.9.2) и (5.9.3), чем меньше параметр β , тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Изображенная на рис. 5.9.1 совокупность графиков функций (5.8.13), соответствующих различным значениям параметра β , называется резонансными кривыми .

При стремлении ω к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному f₀ω₀ 2 . Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины F₀

При стремлении ω к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

Наконец, отметим, что чем меньше β , тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» получается максимум. При малом затухании (т. е. β ) амплитуда при резонансе приближенно равна A_pes≈f₀/2βω₀ . Разделим это выражение на смещение x₀ из положения равновесия под действием постоянной силы F₀ , равное x₀=f₀/ω_p 2 . В результате получим

где δ = βТ – логарифмический декремент затухания (5.7.2); Q – добротность колебательной системы (5.7.6).

Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы. Следует отметить, что это справедливо лишь при небольшом затухании.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение. Автоколебания

Рассмотрим свободные затухающие коле­бания— колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебатель­ной системой с течением времени умень­шается. Простейшим механизмом умень­шения энергии колебаний является ее пре­вращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах,

а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электриче­ских колебательных системах.

Закон затухающих колебаний опреде­ляется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные систе­мы— идеализированные реальные систе­мы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе про­цесса не изменяются. Линейными система­ми являются, например, пружинный маят­ник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колеба­тельный контур, индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различ­ные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями, что по­зволяет подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моде­лирование, в том числе и на ЭВМ.

Дифференциальное уравнение свобод­ных затухающих колебанийлинейной системы задается в виде

где s — колеблющаяся величина, описы­вающая тот или иной физический про­цесс, d=const — коэффициент затухания,w₀ — циклическая частота свободных не­затухающих колебаний той же колебатель­ной системы, т. е. при d=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотойколебательной системы.

Решение уравнения (146.1) рассмот­рим в виде

где u=u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и подстановки их в (146.1) получим

Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомой вели­чиной. Рассмотрим случай, когда этот ко­эффициент положителен:

w 2 =w 2 ₀-d 2 (146.4)

(если (w 2 -d 2 )>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим урав­нение типа (142.1)

решением которого является функция и=А₀cos(wt+j)

Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий (d 2 2 ₀)

— амплитуда затухающих колебаний,а

a₀— начальная амплитуда. Зависимость (146.5) показана на рис.208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штри­ховыми линиями. Промежуток времени t=1/d, в течение которого амплитуда за­тухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колеба­ния не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие перио­да или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться по­нятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимума­ми (или минимумами) колеблющейся фи­зической величины (рис. 208). Тогда пери­од затухающих колебаний с учетом формулы

Если A(t) и A(t+T)— амплитуды двух последовательных колебаний, соответству­ющих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его

— логарифмическим декрементом затуха­ния;N_e — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротно­стиQ, которая при малых значениях лога­рифмического декремента равна

(так как затухание невелико (d 2 2 ₀), то Т принято равным Т₀).

Из формулы (146.8) следует, что до­бротность пропорциональна числу колеба­ний N_e, совершаемых системой за время релаксации.

Применим выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линей­ных систем, для колебаний различной фи­зической природы — механических (в ка­честве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический коле­бательный контур).

1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника.Для пружинного маятника (см. § 142) массой т, совершаю­щего малые колебания под действием уп­ругой силы F=-kx, сила трения про­порциональна скорости, т. е.

где r — коэффициент сопротивления;знак минус указывает на противоположные на­правления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

Используя формулу w₀=Ök/m (см. (142.2)) и принимая, что коэффици­ент затухания

получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих колебаний, маятника:

Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что маятник колеблется по закону

х=A₀е — d t cos(wt+j) с частотой w=Ö(w 2 ₀-r2/4m 2 ) (см. (146.4)).

Добротность пружинного маятника,

согласно (146.8) и (146.10), Q=1/rÖkm.