Решение уравнений третьей степени проект

Презентация по теме: «Решение уравнений третьей степени»

НОУ. Презентация выступления ученика 11 класса Корнева Алексея по теме: «Решение уравнений третьей степени». Включает разработанную учеником компьютерную программу, для решения указанных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Выполнил: ученик 11 «а» класса Корнев Алексей Владимирович научный руководитель: Пузанова Наталья Анатольевна, учитель математики «Решение уравнений третьей степени» МБОУ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №68 г. Нижний Новгород 2014 год

ЦелЬ работы: Освоить решение кубических уравнений различными способами задачи: найти исторические сведения об открытии формул для решения кубических уравнений узнать новые способы решения создать несклько компьютерных программ для решения данных уравнений

Исторические сведения Николо Тарталья (1499-1557) Джироламо Кардано (1501-1576)

Понятие кубического уравнения Кубическое уравнение — алгебраическое уравнение третьей степени, ax 3 + bx 2 +cx-d=0 где a , b,c , d — коэффициенты, а х — переменная. Число x , обращающее уравнение в тождество , называется корнем или решением уравнения График кубического уравнения Любое кубическое уравнение можно привести к более простому виду -каноническому : y 3 +py+q=0

Способы решения Кубических уравнений: с помощью вынесения общего множителя; с помощью деления на многочлен; с помощью формулы Кардано ; с помощью теоремы Виета; с помощью схемы Горнера; решение возвратных уравнений; г рафический способ. с помощью компьютерных программ

Алгоритм решения: 1. Перегруппировать члены данного уравнения 2. Вынести общий множитель за скобки 3. Получить произведение равное нулю 4. Решить полученные уравнения. Решение кубических уравнений с помощью вынесение общего множителя за скобки

Алгоритм решения: 1. Подобрать один корень из делителей свободного члена 2. Поделить многочлен на многочлен 3.Найти корни в получившемся квадратном уравнении Решение кубических уравнений с помощью д еления многочлен на многочлен

Алгоритм решения: 1. Свести уравнение к каноническому виду ( добавить кононич . вид ) 2. Расчет корней по специальной формуле (добавить формулу) Решение кубических уравнений с помощью формулы Кардано

Алгоритм решения: 1. Подобрать корни, удовлетворяющие системе a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 x 1 +x 2 +x 3 =-b/a x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 3 x 1 =c/a x 1 x 2 x 3 =-d/a Решение кубических уравнений с помощью теоремы Виета ,где x 1 , x 2 , x 3 – корни уравнения

Не очень хорошо стоят индексы 1,2,3

Алгоритм решения: 1. По схеме Горнера найти корень уравнения 2. Решить получившееся квадратное уравнение Решение кубических уравнений с помощью схемы Горнера

Алгоритм решения: 1. Корнем уравнения является x=-1 2. Поделить многочлен на многочлен 3. Найти корни в получившемся квадратном уравнении Решение возвратных кубических уравнений

Алгоритм решения: 1. Разбить кубическое уравнение на два уравнения 2. Построить графики функций стоящих в левой и правой частях уравнения 3. Абсциссы точек пересечения графиков – корни заданного уравнения Графический способоб решения кубических уравнений

Старинные задачи, связанные с кубическими уравнениями

Решение кубических уравнений С помощью компьютерной программы Ознакомившись с кубическими уравнениями, я написал ещё программу для быстрого их решения. Метод , который будет использоваться в программе — перебор. Программа находит целочисленные корни находящиеся в промежутки от -100 до 100. Язык программирования: Pascal .

Итог моих исследований Просмотрев множество способов решения кубических уравнений, я остался верен двум на мой взгляд самым надёжным и практичным способам — это теорема Виета и схема Горнера, они позволяют быть уверенным в своем ответе. Теперь, выбирая между ними, мне стоит лишь посмотреть на сложность коэффициента уравнения.

Исследовательская работа по математике » Кубическое уравнение и методы его решения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МБОУ « Мордовско-Паевская средняя общеобразовательная школа»

Районная научно — практическая конференция

Секция «Точные науки. Математика»

Выполнил : ученик 11 класса МБОУ

Кубическое уравнение и корни кубического уравнения …………………3

2.1.Простейшие кубические уравнения……………………………………….4

2.2. Способ разложения левой части уравнения на множители…………… 5

2.3. Способ понижения степени уравнения…………………………………..5

2.4.Теорема Виета для кубического уравнения………………………………6

2.6. Метод неопределенных коэффициентов…………………………………..12

2.7. Использование монотонности функции……………… ………………….13

Решение кубических уравнений и некоторые выводы о рациональности

Увлечение математикой начинается с размышления над какой-то интересной задачей или проблемой. Любому завороженному математическими тайнами человеку интересно знать историю математических открытий, разные способы решения задач, уметь использовать математические теоремы для решения сложных задач. Заинтересовался методами решения уравнений третьей степени c произвольными действительными коэффициентами. Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решил искать частные примеры, подтверждающие ли опровергающие мою мысль. Рассмотрев немало практических примеров, мне удалось в результате исследования сделать выводы о рациональных способах решения кубических уравнений. В моей работе я рассмотрел кубические уравнения и способы их решения, которые не изучаются в школьной программе.

Однако моей главной задачей в ходе работы было нахождение более рационального способа для решения уравнений третьей степени.

Цель работы : узнать о кубических уравнениях больше, чем позволяет школьная программа, найти наиболее простой и наглядный способ решения кубического уравнения, выявить наиболее рациональные способы решения .

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить задачи :

Подобрать необходимую литературу.

Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.

Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Найти различные методы и приёмы решений уравнений третьей степени.

Создать электронную презентацию работы.

Актуальность: Практически все, что окружает современного человека – все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, в том числе и кубических, которые необходимо научиться решать.

Объект : кубическое уравнение и способы его решения.

Предмет исследования — различные способы решения кубических уравнений.

Гипотеза — предположение о том, что существует связь между коэффициентами кубического уравнения и его корнями, при решении таких уравнений можно применять разнообразные способы.

В процессе выполнения работы применялись такие методы исследования : — сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

I . Кубическое уравне́ние — алгебраическое уравнение третьей степени, общий вид которого следующий: ax 3 + b x 2 + cx + d =0, аǂ (1) где x-переменная, a,b,c,d, — некоторые числа. Если а=1,то уравнение называют приведенным кубическим уравнением: х 3 +bх 2 +cx+d=0 (2).

Корни уравнения Согласно основной теореме алгебры, кубическое уравнение может иметь три корня (с учетом кратности). Из справочной литературы я узнал, что для кубических уравнений тоже существует дискриминант, как и для квадратных уравнений, с помощью которого различаются три случая существования корней кубического уравнения (1), о котором речь пойдёт ниже.

Пока я не нашёл ответ на вопрос, существуют ли общие формулы для корней кубических уравнений, рассмотрим частные случаи.

I I . Методы решения

2.1.Начнем с простейшего случая, когда свободный член d =0, в этом случае, то есть уравнение имеет вид. Решается вынесением х за скобки. В скобках останется квадратный трехчлен, корни которого легко найти через дискриминант.

Пример. Найти действительные корни уравнения.

Решение. , x=0 или. меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.

Если в кубическом уравнении(1) b=c=0, то оно имеет достаточно простой вид: ax 3 + d =0. В этом случае . Пример. Найти действительные корни кубического уравнения

Решение:

2.2. Способ разложения левой части уравнения на множители

Симметрические или возвратные уравнения.

Уравнение вида ах 3 + bx 2 + bх + a = 0 называется возвратным или симметрическими , если его коэффициенты , стоящие на симметричных относительно середины позициях, равны.

Левую часть уравнения можно разложить на множители:

Такое уравнение обязательно имеет корень х = -1, корни квадратного уравнения легко находятся через дискриминант

Пример:, — корень уравнения, , , D =36-4=32,

Ответ: ,

Пример: Решить уравнение: х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = 0.

У исходного уравнения обязательно есть корень х = -1, поэтому разделим х 3 + 2x 2 + 2х + 1 на (х + 1) по схеме Горнера:

х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = (х + 1)(x 2 + х + 1) = 0. Квадратное уравнение x 2 + х + 1 = 0 не имеет корней.

Пример. Решить кубическое уравнение .

Решение. Это уравнение возвратное. Проведем группировку:

Очевидно, x = -1 является корнем уравнения. Находим корни квадратного трехчлена .

Ответ:

Уравнение вида называется кососимметрическим кубическим уравнением. Такое уравнение обязательно имеет корень и сводится к квадратному.

Например: .

Используя корень , сводим уравнение к квадратному , которое не имеет действительных корней.

Ответ: .

Рассмотрим решение уравнения в комплексных числах

или , D = 1 – 36 = — 35, D

,

Ответ: ,

Для разложения многочлена на множители можно использовать различные способы: вынесение за скобки общего множителя, способ группировки, деление многочлена на многочлен, метод неопределенных коэффициентов, разложение по формулам сокращенного умножения и т.д.

2.3. Способ понижения степени уравнения.

Способ основан на теореме Безу и делении многочленов. Алгоритм его выполнения сводится к нижеследующему:

Первоначально подберем один из корней уравнения, использовав свойство, что у кубического уравнения неизменно присутствует, по крайней мере, один действительный корень , причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами будет делителем свободного члена d .

И, соответственно, требуется обнаружить корень среди этих чисел и проверить его путём подстановки в уравнение. Примем данный корень за x ₁ .

На следующем этапе разделим многочлен ax 3 + b x 2 + cx + d на двучлен x – x ₁ .

Применим теореме Безу (деление многочлена на линейный двучлен), согласно которой это деление без остатка возможно, и по итогу вычислений получаем многочлен второй степени , который равен нулю. Решая полученное квадратное уравнение , мы найдём (или нет!) два других корня.

Делители свободного члена: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Получаем, что 1 является корнем . Далее разделим левую часть этого уравнения на двучлен x- 1 , и получим: x 2 – 2 x – 15. Корни квадратного уравнения : x 2 – 2 x – 15 = 0. x ₁ = – 3 и x ₂ = 5.

Также кубическое уравнение можно решить, используя схему Горнера.

Далее в своей работе подробно остановлюсь на методах, на которых применил элементы своего исследования. Начну с метода неопределённых коэффициентов, основывающийся на утверждениях, которые помогут при выводе формул Виета и Кардано для нахождения корней кубического уравнения.

2.4. Метод неопределенных коэффициентов.

Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей – многочленов, на которые разлагается данный многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения:

-два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х; — любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.

Пример: Будем искать многочлены и такие, что справедливо тождественное равенство , выполняя умножение и группируя слагаемые, получаем .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, получаем систему условий: после решения системы получаем: , т. е. после разложения на множители и после решения квадратного уравнения Ответ:

2.5. Теорема Виета для кубического уравнения.

Для приведенного квадратного уравнения

т.е. х ₁ +х ₂ = -р, х ₁ · х ₂ =q. Это верно, так как два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях переменной.

Рассуждая аналогичным образом, я убедился, что теорема Виета верна и для кубического уравнения (2).

Пусть х ₁ , х ₂ , х ₃ – корни этого уравнения, тогда справедливо равенство х 3 +bх 2 +сх+d = (х-х ₁ ) · (х-х ₂ ) · (х-х ₃ ). Преобразуем его правую часть: (х-х ₁ ) · (х-х ₁ ·)(х-х ₃ )=х 3 -(х ₁ +х ₂ +х ₃ ) · х 2 +(х ₁ х ₂ +х ₁ х ₃ +х ₂ х ₃ ) · х- х ₁ ·х ₂ ·х ₃ ;

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему равенств:

Формулы Виета для уравнения ax 3 + b x 2 + cx + d=0

По теореме Виета корни кубического уравнения связаны с коэффициентами следующими соотношениями:

Делением указанных тождеств друг на друга можно получить ещё несколько справедливых соотношений:

Пример. Решить уравнение х 3 -3х 2 -х+3=0 с помощью формул Виета:

Подбором найдем, что х ₁ = -1, х ₂ =1, х ₃ =3.

Известно, что формула изначально была открыта Тартальей и передана Кардано уже в готовом виде, однако сам Кардано отрицал этот факт, хотя и не отрицал причастность Тартальи к созданию формулы. За формулой прочно укоренилось название «формула Кардано», в честь ученого, который фактически объяснил и представил её публике.

Так как от уравнения ax 3 + b x 2 + cx + d=0 всегда можно перейти к уравнению х 3 +bх 2 +cx+d=0, то рассмотрим уравнение вида: х 3 +bx 2 +сх+d=0. Снова обратимся за аналогией к квадратным уравнениям. При решении квадратных уравнений применено выделение полного квадрата. Стоит попытаться в кубическом уравнении выделить полный куб, используя формулу (а+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab·(a+b). (3)

Чтобы избежать громоздких выкладок в буквенном виде, я взял уравнение x 3 +4x 2 +x-6=0.

Выделим полный куб , после раскрытия скобок и группировки, получим уравнение:

Сделаем подстановку: , отсюда .

Имеем:,,

т.е. удалось получить кубическое уравнение, не содержащее слагаемое с квадратом переменной. Значит, любое кубическое уравнение можно привести к уравнению вида x 3 +px+q=0 . (4)

Общий подход к решению уравнений вида (4) разработал Джероламо Кардано (1501-1576гг.).

Приведенное кубическое уравнение с помощью замены

Если ввести обозначения

дает неполное кубическое уравнение вида

Найдём корни этого уравнения.

В формуле (а+b) 3 =a 3 +b 3 +3ab·(a+b) пусть , тогда получим , откуда . Значит, откуда .

Пусть

По теореме, обратной теореме Виета а 3 = t ₁ и b 3 = t ₂ являются корнями приведённого квадратного уравнения ,

. Значит,

, Решение кубического уравнения — сумма этих корней:

Обозначим— дискриминант , тогда , после деления трёхчлена у 3 +pу +q на (у-у ₁ ) рассмотреть квадратное уравнение, найти у ₂ и у _3, и вычислить х из .

Эта формула очень громоздкая и сложная, так как содержит несколько радикалов. Применяется она крайне редко.

Пример: Решить уравнение :

Замена ,

,

т.е.

По схеме Горнера разделим на, получим ,

Квадратное уравнение имеет 2 комплексных корня: , тогда при ;

при при .

Исходное уравнение имеет два комплексных корня и один действительный.

Ответ. , , .

Формула Кардано — методика определения корней кубического уравнения в поле комплексных чисел . Неполное кубическое уравнение всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Пусть,

1) если D > 0, то y ₂ и у ₃ сопряженные комплексные числа;

2) если D = 0, p ≠0 , q ≠0 , то уравнение имеет три действительных корня, два из которых совпадают; при p = q = 0 получаем 3 совпадающих корня у _1;2;3 = 0.

Рассмотрим использование формул Кардано подробнее на примерах:

1),

p = 15, q = 124, ,

,

D > 0 , тогда есть один действительный корень х ₁ = А + В, х ₁ =1 – 5 = — 4, и два комплексно- сопряженных .

Ответ: .

2),

p = — 12, q = 16 ,

D = 0, тогда уравнение имеет три действительных корня, два из которых совпадают

,

3) ,

p = -21, q = 20 ,

Получилось, что для вычисления корня моего уравнения по формуле надо извлечь корень квадратный из отрицательного числа. А может быть по аналогии с квадратным уравнением предположить, что в этом случае нет корней, поскольку . Ведь корни у этого уравнения есть: они легко находятся. Эти корни можно найти, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано изучается в высшей математике.

Итак, я понял, что не всё так просто и легко от того, что имеем формулу Кардано.

Конечно, мне это показалось удивительным: все коэффициенты действительные, все корни действительные, а промежуточные вычисления приводят к несуществующим числам. Из справочной литературы я узнал, что это и есть тот «неприводимый случай», который заинтересовал многих математиков в XVI веке и привел к расширению множества действительных чисел. Значит, причина непопулярности формулы нахождения корней кубического уравнения не только в её громоздкости, а в её ненадежности. Его способ во всём уступает теореме Виета и схеме Горнера. Тогда зачем же она нужна? Во-первых, что формула дает ответ на вопрос о «разрешимости уравнений третьей степени в радикалах».

Во-вторых, применяется при решении уравнений с параметрами.

Пример1. При каком наименьшем натуральном а уравнение х 3 -3х +4-а=0 имеет одно действительное решение?

Так как по условию найти одно решение, то это возможно , если D >0.

; ;;

,

Решая методом интервалов, получаем . Наименьшее натуральное число из этих промежутков –число 1. Ответ: 1

Пример2 . В зависимости от параметра а найти число корней уравнения х 3 -3х-а=0.

p = –3; q =- a , ;

Решив методом интервалов, получаем: D >0 при -1 решение

D =0 при а =2 и при а=-2- 2 решения

2.7. Использование монотонности функции .

Этот способ основан на следующих утверждениях: 1) строго монотонная функция принимает каждое свое значение ровно один раз; 2)если одна функция возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке, то графики их либо только один раз пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это означает, что уравнение f(х)=g(х) имеет не более одного решения; 3)если на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает), а другая принимает постоянные значения, то уравнение f(х)=g(х) либо имеет единственный корень, либо не имеет корней. Этот способ можно использовать для решения следующих типов уравнений: уравнения, в обеих частях которых стоят функции разного вида; уравнения, в одной части которых убывающая, а в другой – возрастающая на данном промежутке функции; уравнения, одна часть которых – возрастающая или убывающая функция, а вторая – число.

Пример . Решить уравнение : . Решение: рассмотрим функцию у = и представим в виде суммы двух функций у = х 3 и у = 3х – 4.Обе функции определены на множестве R и являются возрастающими. Следовательно, их сумма – возрастающая функция. А так как всякая монотонная функция каждое своё значение может принимать лишь при одном значении аргумента, то и значение, равное нулю, она может принимать лишь при одном значении х. Значит, такое уравнение если имеет действительный корень, то только один. Испытывая делители свободного члена, находим, что х = 1. Ответ: х = 1.

Пример 2. Решить уравнение: х 3 +х-2=0. Решение. Запишем уравнение в виде: x 3 =2-x. Рассмотрим функции у=x 3 и у =2-x.Функция у=x 3 возрастает на всей области определения, а функция у =2-x убывает на области определения. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что х=1.Проверкой убеждаемся, что х=1 действительно корень уравнения. Ответ: 1

2.8. Графический способ.

Для решения уравнения запишем его в виде . Построим в одной системе координат графики функций и . Графики пересекаются в точке, с абсцисс0й

С помощью графического метода можно приближенно находить корни уравнения или решать вопрос о количестве рациональных корней уравнения.

I I I . Решение кубических уравнений и некоторые выводы о рациональности способов решения.

Решить уравнение: x 3 – 3 x 2 – 13 x + 15 = 0 .

Р е ш е н и е . 1 способ: метод понижения степени Из делителей свободного члена находим, что 1 является корнем. Делим левую часть этого уравнения на двучлен x – 1, и получаем: x 2 – 2 x – 15 Решая квадратное уравнение: x 2 – 2 x – 15 = 0, находим корни: x ₁ = – 3 и x ₂ = 5 . Ответ : 1; -3; 5.
2 способ: T еорема Виета: Методом подбора:х=1; х=-3; х-5

3 способ: Формула Кардано:

Ввести замену х=у+1( ), получим , откуда у=0,у=4,у=-4. Подставив значения у в замену, получим значения х: х=1, х=5, х=-3.

4 способ: Метод неопределенных коэффициентов.

Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы назад, к решению исходного уравнения. Но целые корни, если они существуют, нетрудно найти и подбором.

Так как а·d =15 , то будем искать решения среди вариантов:

Из равенства с-а=-3 получаем , что а=-5;с=2, а из d-10=-13 , d=-3, т.е. после разложения корнями будут числа х=1, х=5, х=-3.

Решая уравнения различными способами, я показал универсальность каждого метода, его оригинальность и рациональность. Сравнения различные способы решения кубических уравнений, можно сделать вывод : В каждом из методов решения есть свои плюсы и минусы, во многом они дополняют друг друга, например если у кубического уравнения слишком большие коэффициенты, его можно решить с помощью схемы Горнера и проверить теоремой Виета и каждый способ нужен для решения своих задач в математике. Ясно одно, что формулу Кардано нужно применить лишь в самом крайнем случае, когда все остальные способы не дадут точного ответа.

Просмотрев множество способов решения кубических уравнений я остался верен двум, на мой взгляд, самым надёжным и практичным способам — это теорема Виета и схема Горнера, они позволяют быть уверенным в своем ответе.

Я выдвинул гипотезу о существовании связи между коэффициентами кубического уравнения и его корнями и убедился, что такая формула существует.

В данной работе достигнуты цель и выполнены основные задачи: показаны и изучены новые, ранее неизвестные формулы. Я рассмотрел много примеров. Были исследованы различные методы решения уравнений третьей степени.

Предлагаемая работа рассчитана на учеников 9 – 11 классов, желающих повысить уровень математической подготовки, узнать больше о кубических уравнениях и способах их решения

Алгебра и начала анализа, 10-11классы. Алимов Ш.А. Колягин Ю.М.Москва. Просвещение, 2014г.

Глейзер Г.И. История математики в школе 9-11кл.

Математический энциклопедический словарь/гл. ред. Ю.В. Прохорова.— М. Современная энциклопедия, 1988.

Решение уравнений третьей степени — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемРоза Карпычева

Похожие презентации

Презентация 11 класса по предмету «Математика» на тему: «Решение уравнений третьей степени». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1 Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 24» Исследовательская работа Работу выполнила ученица 11 класса А Огородникова Лариса Руководитель работы учитель математики Паршева Валентина Васильевна г.Северодвинск учебный год

2 2 Пример: х 3 – 5 х х – 4 = 0 х 3 – 2 х 2 –3 х 2 + 8х – 4 = 0 х 2 (х – 2) – (3 х 2 – 8х + 4) = 0 3 х 2 – 8х + 4 = 0 х = 2 х = 2/3 х 2 (х – 2) – (3 (х –2) (х – 2/3)) = 0 х 2 (х – 2) – ((х – 2) (3х – 2)) = 0 (х – 2)(х 2 – 3х + 2) = 0 х – 2 = 0 х 2 – 3х + 2 = 0 х = 2х = 2 х = 1 Ответ: х = 2; х = 1.

3 3 Цель работы: Выявить способы решения уравнения третьей степени. Задачи работы: 1) Познакомиться с историческими фактами, связанными с данным вопросом. 2) Описать технологии различных существующих способов решения уравнений третьей степени. 3) Провести анализ этих способов, сравнить их. 4) Привести примеры практического применения различных способов решения практических уравнений. Объект исследования: уравнения третьей степени. Предмет исследования: способы решения уравнений третьей степени.

4 4 На рубеже XV и XVI веков был подытожен опыт решения уравнений третьей степени в одной из первых печатных книг по математике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности», напечатанной в Венеции в 1494 году. Ее автор- монах Лука Пачоли, друг великого Леонардо да Винчи. х 3 + ах = b (1)х 3 = ах + b (2) В конце 1534 года ученик Ферро Антонио Марио Фиоре, знавший это решение, вызвал на поединок математика из Венеции Никколо Тарталью. Тарталья прилагает титанические усилия, и за 8 дней до назначенного срока (срок истекал 12 февраля 1535 года) счастье улыбается ему: искомый способ найден. После этого Тарталья за 2 часа решил все задачи противника, в то время как Фиоре не решил к сроку не одной задачи Тартальи.

5 5 К 1539 году Кардано заканчивает свою первую книгу целиком посвященную математике « Практика общей арифметики ». По его замыслу, она должна была заменить книгу Пачоли. Кардано родился 24 сентября 1501 года в Павии, в семье юриста. В январе 1539 года Кардано обращается к Тарталье с просьбой передать ему правила решения уравнения (1) или для опубликования в своей книге, или под обещание держать сообщенное в секрете. Тарталья отказывается. 12 февраля Кардано повторяет свою просьбу. Тарталья неумолим. 13 марта Кардано преглашает Тарталью к себе в Милан, обещая представить его губернатору Ломбардии. По-видимому, эта перспектива прельстила Тарталью: он принимает приглашение. 25 марта в доме Кардано состоялась решающая беседа.Итак, Тарталья дал уговорить себя.

6 6 В 1543 году Кардано и Феррари поехали в Болонью, где дела Наве позволил им познакомиться с бумагами покойного дель Ферро. Там они убедились, что последнему уже было известно правило Тартальи. К 1543 году Кардано научился решать не только уравнения (1) и (2), но и уравнения х 3 + b = ax (3), а также «полное» кубическое уравнение, т.е. уравнение, содержащие член с х 2. К тому же времени Феррари придумал, как решать уравнения четвертой степени.

7 7 «Великое искусство» х 3 = ах + b (2) х 3 + b = ax (3) Кардано решил уравнение (3), дав очень смелое по тем временам рассуждение, обыгрывающее отрицательность корня. Уравнение (2) можно решить при помощи подстановки х = +

8 8 Кардано полностью разобрался и с общим кубическим уравнением х 3 + ах 2 + bх +с = 0, заметив, что подстановка х = у – а/3 уничтожает член с х 2. В 1545 году Кардано все известное ему о кубических уравнениях включил в вышедшую книгу « Великое искусство или о правилах алгебры». Если уравнение х 3 + ах 2 + bх +с = 0 имеет три вещественных корня, то их сумма равна –a.

9 9 х 3 + рх + q = 0 (1) (2)

10 10 Первый пример: Здесь р = 6 и q = -2. Наша формула дает: В школе нас приучили, что все корни должны извлекаться, и полученный ответ может показаться нам недостаточно красивым. Но согласитесь, что никакой подбор не помог бы нам узнать, что эта разность двух кубических корней является решением такого простого уравнения. Так что этот результат можно записать нашей формуле в актив. Здесь р = 6 и q =-2.Наша формула дает:. Первый пример:

11 11 Второй пример:. Формула (3) дает: Ответ более громоздок. Это число можно найти приближенно с помощью таблиц, и чем точнее будут таблицы, тем ближе будет результат к единице. Причина проста: это число равно единице. Но из формулы этого не видно, и это, пожалуй, недостаток формулы: ведь при решении квадратного уравнения с целыми коэффициентами, мы сразу видим, является ли оно рациональным.

12 12 Третий пример: (х + 1)(х + 2)(х — 3) = 0. Сразу видно, что это уравнение имеет три решения: -1, -2, 3. Но попробуем решить его по формуле. Раскрываем скобки и применяем формулу (3):.

13 13 Экстремумы многочлена третьей степени у = ах 2 + bх + с (1)( ). у = Рассмотрим, как находятся точки максимума и минимума функции ах 3 + bx 2 + сх + d. ууу у 0000 x xxx В первом и втором случаях говорят, что функция монотонна в точке х = (в первом случае она возрастает, во втором – убывает). В третьем и четвертом случаях говорят, что функция имеет экстремум в точке х = (в третьем случае – минимум, в четвертом – максимум).

14 14 Корень квадратного трехчлена является его точкой экстремума тогда и только тогда, когда этот корень – двукратный.

15 15 Теорема 1. Для того, чтобы точка х= была точкой экстремума функции у = ах 2 +bх +с, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число m, при котором многочлен ах 2 + bх + с– m имеет двукратный корень х =.

16 16 Лемма. Пусть дан многочлен третьей степени у = ах 3 + bx 2 + сх + d. ( ), и пусть х = — его действительный корень. Тогда у = ах 3 + bx 2 + сх + d = =а(х — )(, (3) где p и q – некоторые действительные числа.

17 17 Теорема 2. Для того чтобы точка х = была точкой экстремума функции у = ах 3 + bx 2 + сх + d, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число m, при котором многочлен P(x) = ах 3 + bx 2 + сх + d – m имеет двукратный корень х =, то есть P(x)= a (4) где.

0, то х = — » title=»18 Теорема 3.(достаточные условия максимума и минимума). Пусть функция у = ах 3 + bx 2 + сх + d имеет экстремум в точке х = и m – значение функции в точке х =. Представим многочлен P(x) = ах 3 + bx 2 + сх + d – m в виде (4). Тогда, если >0, то х = — » > 18 18 Теорема 3.(достаточные условия максимума и минимума). Пусть функция у = ах 3 + bx 2 + сх + d имеет экстремум в точке х = и m – значение функции в точке х =. Представим многочлен P(x) = ах 3 + bx 2 + сх + d – m в виде (4). Тогда, если >0, то х = — точка максимума; если 0, то х = — «> 0, то х = — точка максимума; если «> 0, то х = — » title=»18 Теорема 3.(достаточные условия максимума и минимума). Пусть функция у = ах 3 + bx 2 + сх + d имеет экстремум в точке х = и m – значение функции в точке х =. Представим многочлен P(x) = ах 3 + bx 2 + сх + d – m в виде (4). Тогда, если >0, то х = — «>

19 19 y=P(x)y=P(x) y=Q(x)y=Q(x) у х 0 m Исследовать на экстремумы функцию у = х 3 — 3x 2 — 9х + 5 (5) и построить ее график. Попробуем подобрать числа m, так, чтобы выполнялось тождество (причем х 3 — 3x 2 — 9х + 5 – m = (+2 ) x 2 + (2+ 2 )х — 2 Для отыскания значения m,, мы получим систему уравнений Эта система имеет следующие решения:, m 1 = 10, m 2 = -22. х3 — 3×2 — 9х + 5 – m = ). Отсюда х х у

20 20 Выводы В процессе работы мы познакомились с историей развития проблемы решения уравнения третьей степени. Теоретическая значимость полученных результатов заключается в том, что осознано место формулы Кардано в решении некоторых уравнений третьей степени. Мы убедились в том, что формула решения уравнений третьей степени существует, но она не популярна из-за ее громоздкости и не очень надежна, т.к. не всегда достигает конечного результата. Т.к. очень часто приходиться исследовать на экстремумы функции в правой части которой многочлен третьей степени, то большое практическое значение имеет алгоритм нахождения экстремумов многочлена третьей степени, который рассмотрен в работе.

21 21 Направления дальнейшего исследования В дальнейшем можно рассматривать такие вопросы: как узнать заранее, какие корни имеет уравнение третьей степени, можно ли кубическое уравнение решить графическим способом, если можно, то как; как оценить приближенно корни кубического уравнения; как построить график кубического четырехчленна.