Целая и дробная части числа

Разделы: Математика

Цели урока: познакомить учащихся с понятием целой и дробной части числа; сформулировать и доказать некоторые свойства целой части числа; познакомить учащихся с широким спектром применения целой и дробной части числа; совершенствовать умение решать уравнения и системы уравнений, содержащих целую и дробную части числа.

Оборудование: плакат “Кто смолоду делает и думает сам, тот и становится потом надёжнее, крепче, умнее” (В. Шукшин).
Проектор, магнитная доска, справочник по алгебре.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Изучение нового материала.
4. Решение задач по теме.
5. Итоги урока.
6. Домашнее задание.

I. Организационный момент: сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока.

II. Проверка домашнего задания.

Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию. Решить задачи, вызвавшие затруднения при выполнении домашней работы.

III. Изучение нового материала.

Во многих задачах алгебры приходится рассматривать наибольшее целое число, не превосходящее данного числа. Такое целое число получило специальное название “целая часть числа”.

Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Целая часть числа х обозначается символом [x] или Е(х) (от французского Entier “антье” ─ “целый”). Например, [5] = 5, [ π ] = 3,

Из определения следует, что [x] ≤ х, так как целая часть не превосходит х.

С другой стороны, т.к. [x] – наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, то [x] +1>х. Таким образом, [x] есть целое число, определяющееся неравенствами [x] ≤ х α = υ ─ [x] называют дробной частью числа х и обозначают <х>. Тогда имеем: 0 ≤ <х>0 ≤ α о [x+у] = [x] + [у].

Если 1≤ α т.е. α = 1 + α` , где 0 ≤ α` α` и

Это свойство распространяется на любое конечное число слагаемых:

Умение находить целую часть величины очень важно в приближенных вычислениях. В самом деле, если мы умеем находить целую часть величины х, то, приняв [x] или [x]+1 за приближенное значение величины х, мы сделаем погрешность, величина которой не больше единицы, так как

≤ х – [x] ≥ 0 , а во-вторых, в сумме, стоящей в середине полученного двойного неравенства, все слагаемые, начиная с третьего, равны 0, так что x .

Поскольку х – целое число, то остается проверить значения от 0 до 6. Решениями уравнения оказываются числа 0,4 и 5.

Задача 7. Решить систему уравнение

(Провести проверку с помощью проектора.)

Найти число корней уравнения

Преобразуем, неравенство к виду , откуда получим, что искомое количество целых чисел равно 5. Значит, число корней данного уравнения равно 5.

Задача 9. (Соросовская олимпиада).

а) провести проверку самостоятельных работ с помощью проектора;

б) ответить на вопросы:

1. “Дайте определение целой и дробной части числа”;
2. “При решении, каких задач используется целая и дробная часть числа?”;

в) выставление отметок.

VI. Домашнее задание.

Дополнительная задача (по желанию).

Некто измерил длину и ширину прямоугольника. Он умножил целую часть длины на целую часть ширины и получил 48; умножил целую часть длины на дробную часть ширины и получил 3,2; умножил дробную часть длины на целую часть ширины и получил 1,5. Определите площадь прямоугольника.

Решение уравнений, содержащих целую часть числа стр. 1-2

Главная > Решение

Министерство образования Российской Федерации

Целая и дробная части числа

Выполнил: Остащенко О. Г.

г. Братск, 10 класс, МОУ »СОШ №38»

Научный руководитель: Попугаева Г. Н.

Решение уравнений, содержащих целую часть числа—————стр. 1-2

Решение уравнений, содержащих дробную часть числа ———-стр. 3-4

Решение неравенства, содержащего целую и дробную части числа-стр. 5

Преобразование графиков в системе координат ———————стр. 9-10

Графики, содержащие целую и дробную части——————— стр. 11-12

Графическое решение уравнений, содержащих целую и дробную части числа—————————————————————————стр. 13

В данной работе даются определения таких понятий, как »дробная» и »целая» части числа, решения задач на данную тему, не входящую в программу для общеобразовательных школ, но предлагаемых на вступительных экзаменах по математике и олимпиадах.

Участвуя в олимпиадах по математике, я столкнулся с трудностями при использовании таких понятий, как »целая» и »дробная» части числа, эти понятия представляют наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане. Так как данной темы нет в программе для общеобразовательных школ, то я поставил перед собой следующие цели:

познакомиться с понятиями »целая» и »дробная» части числа

уметь применять эти понятия при решении уравнений и неравенств

рассмотреть функции вида: y=[ x ] и y= < x >их графики и свойства

Целая часть числа — 1 —

Целой частью числа x называется наибольшее целое число n, не превышающее x. Целая часть числа x обозначается символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier «антье» — целый).

Примеры: [2,6] = 2; [- 2,6] = -3.

Свойство целой части числа:

Если x принадлежит интервалу [n; n +1), где n — целое число, то [x]=n, т.е. x находится в интервале [ [x]; [x]+1). Значит [x] x Решение уравнений, содержащих целую часть числа

Решение системы неравенств:

Дробная часть числа — 3 —

Дробной частью числа называют разность между самим числом x и его целой частью.

Свойство дробной части числа:

Дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, т.е.

Решение уравнений, содержащих дробную часть числа

Решение неравенства, содержащего дробную и целую части числа

Функция y=[ x ], ее свойства и график

1. Функция имеет смысл для всех значений переменной x , что следует из определения целой части числа и свойств числовых множеств. Следовательно, ее областью определения является все множество действительных чисел:

2. Функция ни четная, ни нечетная, т.е. не выполняется ни условие четности ( f (- x ) = f ( x ) ), ни условие нечетности ( f (- x ) = — f ( x ) ).

3. Функция y = [ x ] не периодическая.

4. Множество значений функции y = [ x ], это множество целых чисел (по определению целой части числа)

5. Функция неограничена, так как множество значений функции — все целые числа, множество целых чисел неограничено.

6. Функция разрывная. Все целые значения x — точки разрыва первого рода с конечным скачком равным 1. В каждой точке разрыва имеется непрерывность справа.

7. Функция принимает значение 0 для всех x , принадлежащих интервалу [0;1), что следует из определения целой части числа. Следовательно, нулями функции будут все значения этого интервала.

8. Учитывая свойства целой части числа функция y = [ x ] принимает отрицательные значения при x меньших нуля, и положительные значения при x больших 1.

9. Функция y = [ x ] кусочно — постоянная и неубывающая.

10. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Так как функция y = [ x ] постоянна на каждом интервале [ n ; n +1), она не принимает наибольшего и наименьшего значений на области определения.

12. График функции.

Функция y=< x >, ее свойства и график

1. Функция имеет смысл для всех значений переменной x , что следует из определения дробной части числа. Таким образом, область определения этой функции все действительные числа:

2. Функция ни четная, ни нечетная, не выполняется ни условие четности ( f (- x ) = f ( x ) ), ни условие нечетности ( f (- x ) = — f ( x ) ).

3. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом T = 1.

4. Функция y = < x >принимает значения на интервале [0 ; 1), что следует из определения дробной части числа, т.е.

5. Из предыдущего свойства следует, что функция y = < x >ограничена.

6. Функция y = < x >непрерывна на каждом интервале [ n ; n +1), где n — целое, в каждой точке n функция терпит разрыв первого рода. Скачок равен 1.

7. Функция y = < x >обращается в 0 при всех целых значениях x , что следует из определения функции. То есть нулями функции будут все целочисленные значения аргумента.

8. Функция y = < x >на всей области определения принимает только положительные значения.

9. Функция, строго монотонно возрастающая на каждом интервале [ n ; n +1), где n — целое число.

10. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Учитывая свойства 6 и 9, на каждом интервале [ n ; n +1) функция y = < x >принимает минимальное значение в точке n .

12. График функции.

Преобразование графиков в системе координат

вдоль оси OX в 2 раза

y =

вдоль оси OX в 2 раза

растяжение

вдоль оси OY в 2 раза

y = 2

вдоль оси OY в 2 раза

Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию

Построить график функции

Графическое решение уравнений содержащих целую и дробную части числа

y=1-x

y=

Ответ:

y=[x]

y=2

Ответ:

0,5[x] =

y=

y=0,5[x]

Ответ: Решений нет.

В ходе своего исследования я пришёл к выводу, что данный материал можно использовать на факультативах, элективных уроках, при подготовке к олимпиадам и вступительным экзаменам в ВУЗ.

В.А. Кирзимов, Центр образования «Царицыно» № 548, М. 2000 г.

Милованова Л.Н. Функции и их исследование.- М.: Академия педагогических наук РСФСР, 1958 г.

Глаголева Е.Г. Серебринкова Л.Г. Метод координат

Евсюк С.Л. Математика. Решение задач повышенной сложности. Минск «Мисанта» 2003 г.

Абрамов А. М. Ивлев Б.М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа «Просвещение» 1990 г.

Если бы мы всегда подражали в технологии Западу, Гагарин никогда бы не стал первым. —>

Нас посетило 38 млн. человек | —> Чем занимались русские 4000 лет назад?

Владимир Александрович Кирзимов

Решение уравнений и неравенств, содержащих целую и дробную часть числа.

Определение1 : целой частью числа х ([x]) называется ближайшее целое число,

не превышающее х, т.е. [3,27] = 3; [-3,27] = — 4.

Из данного определения следует, что [x]

Примеры решения уравнений и неравенств:

3. [3x-5,2] = . Ответ: решений нет.

4. [ ] =1 1 1

Ответ: 1

5. [ ] = 0 x Ответ : x

6. [ ] = 2 2 100 .

Ответ: .

7. [2sinx] =1 , .

Ответ: , .

8. — 5[x] — 3 = 0 [x] = + 1 ,

, .

Первый промежуток корней не содержит. Второй промежуток содержит два корня

х = , x = . Ответ : < ; >

10. [x] x Ответ : x

11. [x] > 2 x >=3. Ответ : x >= 3.

12. [x] >= 2 x >= 2. Ответ : x >= 2.

13. [log(x)] log(x) 0 Ответ : 0

14. [ ] = [ ].

Если два числа имеют одинаковую целую часть, то модуль их разности меньше 1,

-1 — -1

следовательно, выражения и должны одновременно принадлежать

промежуткам [-1;0), [0;1), [1;2), [2;3). Решая соответствующие системы неравенств

получаем решение данного уравнения: 1

15. Сколько решений имеет уравнение?

[x + ] + [x] = .

Пусть х = n + a, где n — целое и 0

к виду [a + ] + [a] = (т.к. [x + n] = [x] + n). При a , = 0,

n = 2-7a и при 0 получаем —

Соответственно при , т.е. два решения.

Таким образом, всего 7 решений. Ответ : 7.

16. [ ] + [ ] = .

= t, где t — целое число. Исходное уравнение принимает вид

[ ] + [ ] = t. Разность выражений, заключенных в скобках, равна 0,5,

следовательно, целые части их либо равны, либо отличаются на 1. Легко убедится,

что t может принимать значения из множества <-2; -1; 0; 1; 2>. При этих значениях t

получаем множество решений уравнения <-0,4; 0,2; 0,8; 1,4; 2>.

Примеры для самостоятельного решения.

7. [ ] = 2.

8. [ ] = 3.

9. .

10. .

17. [sinx + cosx] = 1.

18. [sinx + cosx] = 0.

19. [sinx + cosx] = -1.

20. [sinx + cosx] = -2.

21. [ ] = 4.

22. = 4.

23.

24. > 1000.

25. > 7.

27. [x + ] + [x] = .

28. .

Решить системы уравнений:

29. 2[x] + 3[y] = 8, 3[x] — [y] = 1.

30. [x + y + 4] = 18 — y, [x+1] + [y-1] = 18 — x — y.

31. [x] + [y — 2] = 5 — x, [x + 3] = -x — y + 6.

Построить графики функций:

39. y = [ ].

40. y = .

43. 0,5[x] = .

45. [x + 0,25] + [x] = [2x].

46. [cosx] = — 1.

47. [ ] = .

Определение 2: дробная часть числа х (<х>) определяется равенством

Примеры решения уравнений и неравенств:

48. . Ответ: .

49. . Ответ: .

50. . Ответ: решений нет.

51. \/ \/ .

Ответ: , .

52. . Ответ: .

53. = 0,8. Ответ: решений нет.

55. > 0,2 0,2 + n Ответ: [0,2 + n; 1 + n).

56. .

Ответ: ( ; ).

57. n .

Ответ: [ ; ).

58. lg n + n. Ответ: [n; + n).

Примеры для самостоятельного решения.

59. .

60. .

61. .

62. .

63. .

64. .

65. .

66.

69. .

70. .

73. Решить систему уравнений:

.