Решение уравнений уравнение равно 0

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение показательных уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите показательное уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Показательная функция, её свойства и график

Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m — любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m

4) (ab) n = a n b n

7) a n > 1, если a > 1, n > 0

8) a n m , если a > 1, n n > a m , если 0 x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней, если \( b \leqslant 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 x при a > 0 и при 0 x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a x при 0 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \( a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 2 3x • 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3 ) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 x • 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х + 1 — 2 • 3 x — 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 (3 3 — 2) = 25, 3 х — 2 • 25 = 25,
откуда 3 х — 2 = 1, x — 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как \( 7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \( \frac<3^x> <7^x>= 1 \), откуда \( \left( \frac<3> <7>\right) ^x = 1 \), х = 0
Ответ х = 0

Решить уравнение 9 х — 4 • 3 х — 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 — 4t — 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t₁ = 9, t₂ = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5 x — 2 = 5 х + 2 х — 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2 х + 1 — 2 x — 2 = 5 х — 2 • 5 х — 2 , откуда
2 х — 2 (3 • 2 3 — 1) = 5 х — 2 ( 5 2 — 2 )
2 х — 2 • 23 = 5 х — 2 • 23
\( \left( \frac<2> <5>\right) ^ = 1 \)
x — 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, \( 3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1

Уравнения равные нулю

Что такое «уравнения равные нулю»?

Если в левой части уравнения стоит сумма или разность одночленов или многочленов, а в правой части — нуль, то это может быть обычное линейное уравнение.

Если левая часть уравнения представляет собой произведения двух или нескольких множителей, а правая часть — нуль, то это — уравнение типа «произведение равно нулю».

В общем виде простейшие равные нулю уравнения можно записать как

(множителей может быть больше).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:

и решаем каждое из полученных уравнений отдельно.

Это — уравнение типа «произведение равно нулю».

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Если в уравнении, равном 0, левую часть можно разложить на множители, то такое уравнение также можно решить как уравнение типа «произведение равно 0».

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а четвёртое — со вторым:

Из первых скобок вынесем за скобки общий множитель x², из вторых — 4:

Общий множитель (x-3) вынесем за скобки:

Получили уравнение типа «произведение равно 0». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

Корень первого уравнения —

Второе уравнение не имеет корней (сумма положительных чисел не может равняться нулю).

В алгебре многие уравнения сводятся к уравнениям типа «произведение равно нулю» с помощью разложения на множители.

Множители могут линейными, квадратными, логарифмическими, тригонометрическими и т.д. уравнениями.

Еще один важный частный случай уравнений, равных нулю, рассмотрим позже.

13 комментариев

Показательное уравнение:
3^((x+2)/(3x-4))-2*3^((5x-10)/(3x-4))-7=0
Корень известен: x=2.
Подскажите, пожалуйста, как найти решение. Преобразовать в квадратное уравнение что-то не получается.

Решение уравнений «дробь равна нулю», описание метода, примеры

Отдельного внимания заслуживают уравнения «дробь равна нулю», то есть, уравнения f(x)/g(x)=0 , где f(x) и g(x) – произвольные выражения с переменной x . В этой статье мы, во-первых, разберем, в чем состоит метод решения таких уравнений, на чем он базируется и как обосновывается. А во-вторых, запишем алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю» и решим несколько характерных примеров.

В чем состоит метод решения и на чем он базируется?

Метод решения уравнений «дробь равна нулю», то есть уравнений, имеющих вид f(x)/g(x)=0 , состоит в нахождении решения через решение уравнения «числитель равен нулю», то есть, через решение уравнения f(x)=0 . Пример для наглядности: решение уравнения можно найти через решения уравнения (x−1)·(x 2 −4)=0 .

Базируется метод на следующем утверждении:

Множество решений уравнения f(x)/g(x)=0 совпадает с множеством решений уравнения f(x)=0 на ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 . В частности, решением уравнения 0/g(x)=0 является любое число из ОДЗ для этого уравнения, а уравнение C/g(x)=0 , где С – отличное от нуля число, не имеет решений.

Докажем это утверждение в следующем пункте.

Обоснование метода

В основе доказательства утверждения из предыдущего пункта лежит хорошо известный факт: дробь a/b , b≠0 равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль. Этот факт вытекает из определения дроби (дробь a/b , b≠0 есть такое число c , что b·c=a ) и из того, что произведение двух чисел тогда и только тогда равно нулю, когда одно из чисел есть нуль.

Начнем с доказательства частных случаев.

Докажем, что решение уравнения 0/g(x)=0 есть ОДЗ для него. В силу того, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, равенство 0/g(x₀)=0 является верным для любого числа x₀ , при котором оно имеет смысл. Очевидно, что равенство 0/g(x₀)=0 имеет смысл тогда и только тогда, когда x₀ принадлежит ОДЗ для уравнения 0/g(x)=0 . Значит, решение уравнения 0/g(x)=0 есть ОДЗ для этого уравнения.

Докажем, что уравнение C/g(x)=0 , где С – отличное от нуля число, не имеет решений. Так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, то равенство C/g(x₀)=0 , C≠0 не может быть верным ни для какого числа x₀ . Следовательно, уравнение C/g(x)=0 , C≠0 не имеет решений.

Теперь будем считать, что числитель дроби f(x)/g(x) есть выражение с переменной, а не число, и докажем, что множество решений уравнения f(x)/g(x)=0 совпадает с множеством решений уравнения f(x)=0 на ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 . Для этого достаточно доказать два момента: первый — что любой корень уравнения f(x)/g(x)=0 является корнем уравнения f(x)=0 , второй — что любой корень уравнения f(x)=0 , принадлежащий ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 , является корнем уравнения f(x)/g(x)=0 .

Приступаем к доказательству первой части. Пусть x₀ – корень уравнения f(x)/g(x)=0 . Тогда f(x₀)/g(x₀)=0 – верное числовое равенство. Из этого неравенства и из того факта, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, следует, что f(x₀)=0 . А это равенство означает, что x₀ – корень уравнения f(x)=0 .

Первая часть доказана. Приступаем к доказательству второй части.

Пусть x₀ принадлежит ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 и при этом x₀ — корень уравнения f(x)=0 . Так как x₀ принадлежит ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 , то дробь f(x₀)/g(x₀) имеет смысл. Так как x₀ – корень уравнения f(x)=0 , то f(x₀)=0 – верное числовое равенство. Из этих результатов, а также из того факта, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, следует, что дробь f(x₀)/g(x₀) равна нулю, то есть, f(x₀)/g(x₀)=0 . А это равенство означает, что x₀ – корень уравнения f(x)/g(x)=0 .

Так доказана вторая часть и все утверждение в целом.

Алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю»

Доказанное утверждение позволяет записать алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю»:

• Если уравнение имеет вид 0/g(x)=0 , то надо найти область допустимых значений для этого уравнения – она и есть искомое решение уравнения.
• Если уравнение имеет вид C/g(x)=0 , C – отличное от нуля число, то сразу записываем ответ – нет решений.
• Если уравнение имеет вид f(x)/g(x)=0 , где f(x) – выражение с переменной, а не число, то
  • приравниваем числитель к нулю и решаем полученное уравнение f(x)=0 ,
  • отсеиваем посторонние корни (отбрасываем все корни, не принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения, как посторонние).

Заметим, что записанный алгоритм находится в полном согласии с принципами решения дробно-рациональных уравнений, имеющих вид «дробь равна нулю». Принципы решения таких уравнений раскрываются на уроках алгебры в 8 классе. Оттуда нам известно, что для решения дробно-рационального уравнения, имеющего вид f(x)/g(x)=0 нужно приравнять к нулю числитель, решить полученное уравнение и отбросить те корни, при которых обращается в нуль знаменатель [1, с.26-30]. По сути, отбрасывание значений, при которых обращается в нуль знаменатель решаемого дробно-рационального уравнения f(x)/g(x)=0 , есть отсеивание посторонних корней по ОДЗ, так как в этом случае ОДЗ определяется условием g(x)≠0 .

Решение примеров

Рассмотрим решения трех характерных уравнений «дробь равна нулю»: с нулем в числителе, с отличным от нуля числом в числителе, и с выражением с переменной в числителе. Ими мы закроем все три типичные ситуации.

Сначала решим уравнение с нулем в числителе: .

Решите уравнение

Теперь решим уравнение , в числителе которого отличное от нуля число.

Решите уравнение

Осталось рассмотреть решение уравнения «дробь равна нулю» в случае, когда в числителе находится выражение с переменной, а не число. В этом случае, согласно алгоритму, нужно приравнять к нулю числитель, решить полученное уравнение и отсеять посторонние корни.

Решите уравнение