Решение уравнений урок 4 задание 4

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Линейные уравнения

Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = − 5

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

1. 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

1. 2 x − 4 = 2 ( x − 2 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 2 x = − 4 + 4

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
3. Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
4. Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
5. Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
6. Если D 0, решений нет: x ∈ ∅

Примеры решения квадратного уравнения:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – будет два различных корня:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

D = 0 – будет один корень:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D 0 – решений нет.

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )

где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x – переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )

• b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Дробно рациональные уравнения

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
2. Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
3. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 – будет два различных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

Системы уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
3. Решить уравнение с одной неизвестной.
4. Найти оставшуюся неизвестную.

Решить систему уравнений методом подстановки

Решение:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

1. Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

1. Найти оставшуюся неизвестную.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Решить систему уравнений методом сложения

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

Ответ можно записать одним из трех способов:

Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Урок математики в 4-м классе по теме «Решение уравнений» (учебник И.И. Аргинской)

Цели урока: знакомство с решением уравнений, требующих выполнения нескольких преобразований.

• научиться узнавать и отличать уравнения нового вида от ранее изученных.
• расширять и уточнять определение понятия – решить уравнение.
• продолжать формирование умения обобщать, анализировать, сравнивать, рассуждать по аналогии.

Ход урока.

— расположите карточки так, чтобы произведение возрастало.

У вас получились слова удача и успех, так пусть весь урок вам сопутствует удача и успех.

2. Подготовительное задание для определения темы урока и введения новой темы.

На какие группы можно разбить эти записи ?

Прочитайте только уравнения.

Самые внимательные уже догадались, что будет сегодня на уроке объектом нашего изучения.

1. Что такое уравнение? – равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.

2. Что значит решить уравнение? – найти его корень.

Найти корень уравнения х * v * v = 100. Кто догадался о зависимости?

3. Что такое корень уравнения? — найти значение неизвестного числа.

1). В каких уравнениях можно найти неизвестное число, не выполняя действий?

( х + 31 ) – 31 = 19
( е * 3 ) : 3 = 7
у + у + у + = 115 * 3
( а + 8 ) – 47 = 12
12 * 7 = х * 7

2). Не решая, определите уравнения с одинаковым корнем:

5а + 3а = 32
32 – 5а = 3а
5а – 3а = 32

3). Найдите уравнения, где надо найти неизвестное уменьшаемое:

3х — 20 = 55
9х – 2х – 10 = 11
40 – 3х =34

4). Какими способами мы умеем находить корень? — способом подбора;

• на основе взаимосвязи между компонентами действий;
• при помощи использования основных свойств равенств

Я задумала число, вычла из него сумму чисел 587 и 396 и получила разность 980 и 64.

Х – ( 587 + 396 ) = 960 – 64

Если неизвестное число находится сложением — приседайте;

.- вычитанием — руки вверх;

— делением — руки вперед.

6. Работа по учебнику:

№89 Найди среди уравнений самое сложное:

Запишите свой вариант его упрощения.

1) 55а-46а+495=1116
(55-46)*а+495=1116
9а+495=111

2) 55а-46а+495=1116
55а-46а=1116-495
6 9а=621

Учащиеся решают самостоятельно, а 2 ученика у доски.

Решите уравнения тем способом, который тебе больше нравится.

8. Решение задачи:

Как называется раздел математики, который изучает уравнения?-алгебра

Дома вы в справочниках нашли определения:

Алгебра- наука, которая изучает вопросы уравнений и неравенств.

Арифметика- наука о числах и операциях над ними.

Какой способ решения задач называется алгебраическим?

Какой способ решения задач называется арифметическим?

В трех коробках 3900 карандашей. Сколько их в каждой коробке, если в первой на 100 карандашей больше, чем в третьей, а во второй на 100 карандашей больше, чем в первой?

Как ее можно решить?- уравнением.

9. Теперь я предлагаю вам оценить свою работу сегодня на уроке. В тетрадях у вас есть оценочный лист:

вопрос

Знаю ли я, что такое уравнение?

Умею ли я решать задачи алгебраическим способом?

Умею ли я решать простые уравнения?

Умею ли я решать сложные уравнения?

Смогу ли я решить самостоятельно такого типа уравнения?

1. В какой строчке записано уравнение?
   а) 46-20=26
   б) в: 7=2
   в) 16+а > 30
   г) к ? m = n
2. В каком уравнении неизвестное число равно 4 ?
   а) в+9=17
   б) 27:с=3
   в) 36:х=9
   г) z ? 2 =4
3. В каком уравнении неизвестно слагаемое?
   а) а-52=43
   б) 26+х=96
   в) 84-к=48
   г) в : 6=9
4. Решите уравнение: 560:х=10 ?
   а) х=56
   б) х=550
   в) х=5600
   г) другой ответ, какой?
5. Какое уравнение решить нельзя?
   а) в-14=0
   б) 6 ? п=0
   в) 8:а=0
   г) 9+к=0

Подводя итог всей работе на уроке, я прошу вас ответить на следующие вопросы:

1. О чем я могу рассказать своему другу?
2. Я знаю, что…
3. Мне еще нужно отработать…
4. Для меня самым трудным было…
5. Для меня самым интересным было…

12. Домашнее задание:

• составить задачу, которую можно решить уравнением;
• придумать свое уравнение по теме урока.

Урок 4. Решение уравнений. Математика. 6 класс.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Математика. 6-й класс Решение уравнений

Устная работа 1. Упростите: 1) 2х + 3х; 2) -2х + 3х; 3) 2х — 3х; 4) -2х — 3х; 2. Решите уравнение: 1) (х — 7)(х + 4) = 0; 2) |х + 4| = 0; 3) |х — 7| = 1; 4) х — 7 = 1; 5) 7х = 1; 6) 7х = 0. 3. При решении уравнения ax = b, где х — неизвестное число, коэффициент а оказался стертым. Восстановите его. 1) . х = —12; х = —4. 2) . х = 18; х = 9. 3) . х = —25; х = 5. 4) . х = 24; х = —4. 4. С одной яблони собрали 12 кг яблок, с другой в 2 раза больше. Яблоки разложили поровну в 6 корзин. Сколько килограммов яблок в каждой корзине?

Устная работа 5. Мама купила торт «Птичье молоко» весом 600 г. Как разрезать торт на части, чтобы его можно было разделить поровну и на троих, и на четверых человек? Постарайтесь сделать как можно больше кусков. Решение: Разрежем сначала торт на четыре части по 150 г. Затем одну четвертую часть разрежем на три части по 50 г. Имеем: 600 = 150 + 150 + 150 + 150 + 50 + 50 + 50, т. е. торт можно разделить поровну и на троих по 200 г, и на четверых по 150 г. (Ответ: на троих по 200 г и на четверых по 150 г.)

Работа над задачей № 1330 стр. 233 Прочитайте задачу. Каким способом будем ее решать? (Алгебраическим.) Как перевести проценты в десятичную дробь? Что примем за х? (Первоначальную массу соли в растворе.) Зная, что в растворе содержится 40% соли, что можно узнать? (Массу всего раствора.) Что значит, соли в растворе будет содержаться 70%? Решение: Пусть х (г) — соли первоначально было в растворе. 40% = 0,4, х : 0,4 = 2,5х (г) — первоначальная масса раствора, х + 120 (г) — соли после того, как ее добавили в раствор, 2,5х + 120 (г) — масса раствора после того, как добавили соль. 70% = 0,7; 0,7(2,5х + 120) (г) — соли после того, как ее добавили в раствор. Составим и решим уравнение: 0,7(2,5х + 120) = х + 120 1,75х + 84 = х + 120 0,75х = 36 х = 48; 48 г — соли первоначально было в растворе. (Ответ:48 г.)

Закрепление изученного материала №1316 (ж,з), с.231 4k + 7 = -3 + 5k 4k – 5k = -3 – 7 -k = -10 k = 10 6 – 2c = 8 – 3c -2c + 3c = 8 – 6 c = 2

Самостоятельная работа Выполните работу по ссылке https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScHkkPcbK9mIPuYsvgMkavogJCKiwj8sAfwUdl3nApcjGB3_w/viewform?usp=sf_link

Домашнее задание № 1342 (к-м), 1341 (в, е) стр. 234, № 1345 стр. 235.