Решение уравнений в древней греции проект

Учебно-исследовательский проект «Геометрическая алгебра древней Греции», 7 класс

Знание истории науки , её связей с различными современными задачами очень важно, так как позволяет выяснить происхождение понятий, узнать развитие их с течением времени, познакомиться с различными нестандартными методами решения современных задач.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

гимназия №19 им. Н.З. Поповичевой г. Липецка

Выполнила: Александрова Анастасия Ильинична,

Черных Дарина Алексеевна

учащиеся 7а класса

Руководитель проекта: Алябьева Елена Анатольевна

1. Введение. 2
2. Историческая справка

1. Школа Пифагора.…………………. 3
2. «Начала» Евклида….……. 4
3. Основные положения геометрической алгебры…….…. 5

1. Основные задачи геометрической алгебры……………………………….7

1. Формулы сокращённого умножения…………………………………..8
2. Решение линейных и квадратных уравнений…………….. ………….9

1. Выводы……………………………………………………………………..10
2. Заключение……………………………………………. …………. …….11
3. Библиографический список. 12

«Не зная прошлого, невозможно понять подлинный смысл настоящего и цели будущего»

Максим Горький.

Актуальность темы. История математических идей интересна для всех, кто изучает математику. Знание истории науки , её связей с различными современными задачами очень важно, так как позволяет выяснить происхождение понятий, узнать развитие их с течением времени, познакомиться с различными нестандартными методами решения задач.

При изучении некоторых тем на уроках алгебры («Умножение многочлена на многочлен», «Формулы сокращённого умножения») и при решении некоторых задач мы познакомились с геометрическим способом исследования и доказательства формул. Оказалось, что этот способ, очень простой и наглядный (как нам показалось), пришёл к нам из Древней Греции. Оказалось, что древние греки при решении числовых задач применяли не арифметические, а геометрические понятия для выражения отношений между величинами. Такой подход получил название «геометрическая алгебра». Нас заинтересовал такой метод доказательства формул и решения задач, потому что он наглядно и просто иллюстрировал довольно сложные понятия и теоремы алгебры. Поэтому мы выдвинули предположение о том, что этот метод древних греков можно с успехом использовать и в сегодняшней школе при изучении некоторых тем алгебры, что, как нам кажется, сделает этот предмет проще и интересней.

Гипотеза. Г еометрическая алгебра древних греков применима на уроках математики в современной школе и её можно использовать для доказательства теорем и решения задач.

Цель. И зучить возможность применения методов геометрической алгебры на уроках математики.

1. Изучить историю развития чисел и отношений между величинами в Древней Греции.
2. Познакомиться с основными положениями геометрической алгебры.
3. Рассмотреть способы решения некоторых современных задач методом геометрической алгебры.
4. Проанализировать область применения методов геометрической алгебры для современных задач математики.

Греческие математики, столь много внесшие в современную науку, занимались, в основном, геометрическими проблемами. При этом — как известно многие греческие ученые находились под влиянием философии Платона, считавшего геометрию наукой, которой достойны заниматься только представители умственной элиты греческого общества. В этих условиях, геометрия превратилась в своеобразную гимнастику ума, в искусство, а ее практическое применение считалось унизительным, являлось профанацией этого искусства.

По этой причине развитие арифметики и алгебры как дисциплин связанных с практическими нуждами, встречалось с серьезными препятствиями. Конечно, грекам приходилось заниматься вопросами этих дисциплин, но проблемам алгебры и арифметики в этом случае придавались геометрические формы. Что же побудило греков избрать геометрический путь развития математики?

“Все вещи суть числа”

Первой научной школой, предложившей свой вариант математического плана строения Вселенной, были пифагорейцы. Школа пифагорейцев существовала в Древней Греции около 585–500 годов до нашей эры и возглавлялась Пифагором Самосским. Пифагорейцы видели сущность явлений в числе и числовых отношениях.

Привычное нам понятие числа возникло в результате абстрагирования. Ранним пифагорейцам такая абстракция была чужда. Для них числа были точками или частицами, расположенными на плоскости (поверхности Земли). Рассматривая треугольные, квадратные и т.д. числа, называемые фигурными, пифагорейцы имели в виду наборы точек, камешков или других мелких предметов, расположенных в форме треугольников, квадратов и других фигур (рис.1, 2).

Рисунок 1. Треугольные числа: 1, 3, 6.

Рисунок 2. Квадратные числа: 1, 4, 9.

Однако примерно в V веке до н.э. были открыты так называемые “несоизмеримые отрезки” — такие отрезки, у которых отношение длин не выражается никаким отношением целых чисел (рациональным числом). Примером является диагональ квадрата единичной стороны (в те времена не было иррациональных чисел, и придуманы они будут гораздо позднее).

Это открытие потрясло основы пифагорейской философии. Получалось, что число не всемогуще, так как существуют отрезки, отношение которых не выражается отношением целых чисел (а других чисел пифагорейцы не знали).

Пифагорейцы предприняли интенсивные попытки выхода из этого тупика, и здесь, естественно, просматривалось два пути:

• расширить понятие числа так, чтобы новыми числами стало возможным характеризовать отношение любых двух геометрических отрезков;
• строить математику не на основе арифметики целых чисел и их отношений, а на основе геометрии, определив для геометрических величин все алгебраические операции.

Первый путь на столь ранней ступени развития математики представлял огромные трудности, которые, были окончательно преодолены лишь в конце XIX в. И пифагорейцы пошли по второму пути — по пути построения алгебры на основе геометрии. Не решаясь изменить свою трактовку числа, пифагорейцы перешли из области чисел в область геометрических величин, построив соответствующее исчисление. Для построения такого исчисления пифагорейская математика располагала всем необходимым. Нужно было только изменить взгляд на роль чертежей, превратив их из средства наглядности в основной элемент алгебры, и логически расположить весь имеющийся материал. Такой подход и зародил так называемую “Геометрическую алгебру”.

Итак, пифагорейцы пришли к мысли, что поскольку геометрические величины имеют более общую природу, чем числа, то в основу математики надо положить не арифметику, а геометрию. Переход к геометрической алгебре был настоящей революцией , которая на первых порах принесла богатые плоды.

«Геометрическая алгебра» очень хорошо известна из книги Евклида «Начала», так как она изложена в 1 и 2 книгах «Начал».

Евклид в своей книге «Начала» пишет о числовой величине как о геометрической протяженности. То есть греки считали, что величины можно представить в виде отрезков. Число 5 – это отрезок, длина которого 5 единиц. Величина а – это отрезок, длина которого а единиц. При таком подходе арифметические операции над числовыми величинами также приобретали геометрический смысл.

1). Сумма a + b представлялась как отрезок длины (a + b).

2). Разность a – b – отрезок длины (a – b).

3). Произведение двух величин a ∙ b – прямоугольник со сторонами a и b, площадь которого равна a ∙ b .

4). Произведение прямоугольника и отрезка – прямоугольный параллелепипед, объем которого V=abc.

Операция деления при таком подходе оказывалась возможной только, если размерность делимого была выше размерности делителя: прямоугольник можно делить на отрезок, но отрезок на отрезок – нельзя.

Деление определялось как задача «приложения площадей»: «приложить» к данному отрезку c прямоугольник, равновеликий данному прямоугольнику ab , т. е. найти вторую сторону x прямоугольника так, чтобы cx=ab .

Евклид, используя метод геометрической алгебры доказал распределительное свойство умножения относительно сложения, дал способ решения квадратных уравнений (задачи на «приложение площадей»), доказал формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и квадрат разности).

2.3 Основные положения геометрической алгебры

«Геометрической алгеброй» мы сегодня называем ту часть античной математики, в которой было построено прямое исчисление отрезков и площадей. Сложение отрезков осуществлялось геометрически – путём приставления одного к другому, вычитание — путём выкидывания из большего отрезка части, равной меньшему. Операция вычитания была возможна лишь тогда, когда вычитаемое не превосходило уменьшемого. Произведением двух отрезков назывался построенный на них прямоугольник. Говорить о сложении прямоугольника и отрезка не имело смысла. Таким образом исчисление , определённое в геометрической алгебре было «ступенатым» — первую ступень составляли отрезки, вторую — площади, которые задавались обычно в виде треугольников или прямоугольников, а третью — объёмы.

Основные положения геометрической алгебры сводятся к следующему:
1) алгебраические переменные, как и произвольные числа, представляются отрезкам;
2) сумма чисел или алгебраических переменных представляется в виде отрезка, составленного из слагаемых (рис. 3);
3) произведение двух чисел или алгебраических переменных представляется в виде прямоугольника со сторонами, которые представляют собой отрезки, соответствующие сомножителям (рис. 4). Произведение трёх переменных a, b и c есть прямоугольный параллелепипед со сторонами, соответствующими сомножителям a, b и c (рис.5).

Рисунок 3. Сложение а и b.

Поскольку, греческая геометрия, как и в целом представления греков о природе и мироздании ограничивались тремя измерениями, произведение более чем трёх переменных в геометрической алгебре не рассматривались, как лишённые смысла.

Рисунок 4. Произведение чисел а и b есть площадь прямоугольника со сторонами а и b.

Рисунок 5. Произведение трёх чисел a, b и c есть объём параллелепипеда со сторонами a, b и c .

Вычисления, производимые в геометрической алгебре, носили пошаговый характер. Не рассматривались произведения прямоугольников или сложение прямоугольников с отрезками или параллелепипедами.

1. Основные задачи геометрической алгебры

Геометрическая алгебра основывалась на античной планиметрии, представляя собой геометрию циркуля и линейки. Поэтому она была максимально приспособлена для исследования тождеств, обе части которых являлись квадратичными формами, и для решения квадратных уравнений. Геометрическая наглядность позволила легко обосновать свойства основных операций над числами: сложения и умножения. Например, переместительное свойство сложения легко следует из того факта, что длина составного отрезка, одна и та же с какой стороны на него не посмотри, то есть a + b = b + a.

Переместительное свойство умножения обосновывается так же наглядно, поворотом соответствующего прямоугольника, то есть a · b = b · a.

Сочетательное свойство сложения наглядно следует из того факта, что в каком порядке не прикладывай отрезки друг к другу, длина составного отрезка будет одинаковой, то есть ( a + b ) + с = a + ( b + c ).

Сочетательное свойство умножения наглядно следует из поворота прямоугольного параллелепипеда, то есть ( a · b ) · с = a · ( b · c ).

Распределительное свойство умножения относительно сложения также легко увидеть на чертеже:

Как видно из этих примеров, наглядность является серьёзным преимуществом геометрической алгебры. Но гораздо более важным преимуществом использования геометрических методов в алгебре явилось то, что обоснования и доказательства тождеств не зависят от того, являются ли используемые величины соизмеримыми или несоизмеримыми и независимы от конкретных величин. Методы геометрической алгебры позволили доказать многие алгебраические тождества. При этом общее доказательство было сделано впервые в истории.

1. Формулы сокращённого умножения

1. (a + b)(a – b) = a 2 – b 2

AE = AD = a; BE = MD = b

AB = a + b; AM = a – b

S ABNM = AB·AM= (a + b)(a –b)

S ABNM = S AEGM + S EBNG

S AEGM =S AEFD – S MGFD = a 2 –ab

S EBNG =S EBCF –S GNCF = ab –b 2

S ABNM =a 2 –ab+ab–b 2 = a 2 –b 2

2. ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 · a · b.

S=S 1 +S 2 +2S 3 => S=a 2 +2ab+b 2 =>

( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 · a · b.

1. Решение квадратных уравнений

Чтобы решить уравнение х 2 = а древние математики поступали так:

х 2 – квадрат со стороной, равной х. Решить уравнение х 2 = а – значит найти такой отрезок х, что площадь квадрата, построенного на этом отрезке, была бы равной а. При таком подходе к решению уравнение могло иметь только один положительный корень, а уравнение х 2 = 0 вообще не имело корней. В записи квадратных уравнений древние греки никогда в правой части уравнения не писали число 0, т. к. они считали, что 0 – ничто, а сумма величин не может быть равна «ничему». Поэтому, например, квадратное уравнение х 2 + 10х – 39 = 0 древние греки записывали в виде: х 2 + 10х =39 .

Пример1. Решить квадратное уравнение х 2 + 10х =39.

S= (x+5) 2 , S 1 = x 2 , S 2 =5x, S 3 =25

S 1 + 2S 2 = 39 (данное уравнение)

S 1 + 2S 2 = S-S 3 (по свойству площадей)

х 2 + 10х = (х+ 5) 2 – 25 = 39;

Современное решение такого уравнения дало бы нам ещё один корень х = -13.

Пример 2. Решить квадратное уравнение x 2 +8x-48=0

S= (x+4) 2 , S 1 = x 2 , S 2 =4x, S 3 =16

S 1 + 2S 2 = 48 (данное уравнение)

S 1 + 2S 2 = S-S 3 (по свойству площадей)

x 2 +8x=(x+4) 2 -16=48;

Современное решение такого уравнения дало бы нам ещё один корень х = -12.

Таким образом, во время написания работы мы изучили теорию «геометрической алгебры» и научились применять её для решения некоторых задач школьной алгебры – для доказательства тождеств и решения квадратных уравнений. Мы также проанализировали учебники математики начальной школы и алгебры 7 класса, чтобы ответить на вопрос – можно ли применять теорию «геометрической алгебры» на уроках математики. Чтобы ответить на этот вопрос необходимо понять все достоинства и недостатки «геометрической алгебры» с точки зрения применимости её в современной школе.

Плюсы «геометрической алгебры»

Минусы «геометрической алгебры»

– Наглядно и доступно иллюстрирует доказательство тождеств и решение уравнений

– Упрощает решение задач и делает его более простым для понимания

– Показывает связь между алгеброй и геометрией

– Все преобразования выполняются на множестве положительных чисел

– Невозможно решать уравнения 3-й и выше степени

– Отрицательные корни и ноль будут потеряны

Мы считаем, что теория «геометрической алгебры» может быть применена на уроках математики в начальной школе для иллюстрации решения задач и свойств арифметических действий, в более старших классах эти исторические сведения могут упростить изложение, сделать его более доступным для понимания, обеспечить наглядность изложения, показать преимущества выбранного метода перед другими. Например, изучая формулы сокращенного умножения, можно вспомнить, что в Древней Греции эти формулы доказывались геометрически. Но использовать методы «геометрической алгебры» для доказательства теорем алгебры и решения квадратных уравнений нельзя, так как при этом придётся рассматривать лишь положительные величины, а значит будут найдены не все корни уравнений или придётся накладывать ограничения на переменные в тождествах.

Таким образом, гипотеза о том, что геометрическая алгебра древних греков применима на уроках математики в современной школе и её можно использовать для доказательства теорем и решения задач подтвердилась частично.

В ходе написания работы мы познакомились с историей математики в Древней Греции, рассмотрели понятие «геометрическая алгебра» как геометрический способ выражения отношений между величинами, познакомились с двумя основными задачами, которые можно решить методом «геометрической алгебры» — доказательство тождеств и решение квадратных уравнений, проанализировали возможность применения данной теории на уроках математики.

Работа над данным проектом была для нас интересна и полезна, так как во время написания проекта мы расширили свой кругозор, научились собирать нужную информацию, анализировать её, делать выводы, составлять и решать квадратные уравнения таким необычным способом.

Таким образом, мы реализовала все поставленные задачи и достигли цели проекта.

Презентация «Решение уравнений в Древней Индии, Греции, Китае»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Колобова Татьяна Евгеньевна, учащаяся 8 > класса Руководитель: Рыбакова Наталья Александровна г. Арзамас 2017

Математика – древний, важный и сложный компонент культуры человека. Она появилась из необходимости практической деятельности человека. Изучая историю математики, мы знакомимся с благородными идеями многих поколений. Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно. А. Эйнштейн

Математика древних греков удивляет в первую очередь богатством своего содержания Древняя Греция

Диофантовы уравнения Диофант Александрийский Математик Древней Греции. Некоторые называют его «отцом алгебры ». Создатель «Арифметики», которая состоит из 13 книг. Пример: 1) 5x + 35y=40 Решение: Наибольший общий делитель (5, 35) = 5, 40 можно поделить на 5, значит, у этого уравнения есть корни, Например: x=1, y=1

Решение квадратных уравнений с помощью геометрии x 2 В древние времена, когда геометрия была более изучаема, чем алгебра, математики Древней Греции решали уравнение вот так: x² + 4x — 21 = 0 x² + 4x = 21, или x² + 4x +4=21+4 Решение: Выражения x² + 4x +4 и 21+4 геометрически представляют тот же самый квадрат, а исходное уравнение x² +4x –21 +4 –4 = 0 – одинаковые уравнения. Получается, что x + 2 = ±5, или х1 = 3 х2 = -7

Творчество математиков Индии значительно повлияло на развитие арифметики, алгебры и тригонометрии Индийские математики Брахмагупта Ариабхата Древняя Индия

Математики Индии в отличие от греческих математиков вывели более простую формулу решения квадратных уравнений. Она встречается в школьных учебниках. Но, не все индийские математики решали именно по этой формуле. Например, Бхаскара решал квадратные уравнения вот так: x2 — 44х + 484 = -684 + 1008, (х — 22)2 = 324, х — 22= ±18, x1 = 4, x2 = 40. Формула корней квадратного уравнения

Магавира при решении систем линейных уравнений использовал метод, который не отличается от метода уравнивания коэффициентов. Например: 6x -3y =3 5x +4y =22 1) НОК (3;4) =12, 6x -3y =3 *4 24x -12y =12 5x +4y =22 *3 15x +12y =66 2) + 24x -12y =12 15x +12y =66 39x =78 3) 6*2 -3y =3 x= 2 y=3 Ответ: x=2, y=3 Линейные уравнения

Самые заметные научные открытия китайских учёных: метод численного решения уравнений n -степени (метод Руффини – Горнера); теоретико-числовые задачи на системы сравнений первой степени с одним неизвестным (сравнения Гаусса); метод решения систем линейных уравнений (метод Гаусса); вычисление числа π (пи) Древний Китай

Пример: (y +4)2=y2 +202 Решение китайских учёных предположительно такое: (y +4)2=y2 +202 , y2+8y+16= y2 +400, 8y=384, y=48, Ответ: y=48 Решение уравнений

В ходе работы я узнала много нового и полезного из области математики. Познакомилась с биографией великих математиков. Узнала, каким методом решали уравнения древнегреческие, индийские и китайские математики. Составила и решила уравнения новыми для меня способами. Литература БерезкинаЭ. И. Математика древнего Китая. М.: Наука, 1980 Депман И.Я. История арифметики. — М.: Просвещение, 1965. — 415 с. Панов В. Ф. Математика древняя и юная/ Под ред. В. С. Зарубина. — 2-е изд. —М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. —648 с. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. — М.: Изд-во «Просвещение», 1987. — 159 с. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. Пер. с нем.—5- изд., испр.— М.: Наука. Гл. ред. физ.мат. лит., 1990.— 256 с

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 578 986 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 15.04.2018
• 963
• 1

• 15.04.2018
• 566
• 7

• 15.04.2018
• 2497
• 52

• 15.04.2018
• 585
• 3

• 15.04.2018
• 366
• 5

• 15.04.2018
• 1006
• 11

• 15.04.2018
• 360
• 1

• 15.04.2018
• 295
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 15.04.2018 7799
• PPTX 3.8 мбайт
• 63 скачивания
• Рейтинг: 1 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Рыбакова Наталья Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 10 месяцев
• Подписчики: 2
• Всего просмотров: 17791
• Всего материалов: 11

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Реферат: Методы решения уравнений в странах древнего мира

История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.

В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения (“фальфивое правило”)

Уравнение первой степени с одним неизвестным мо­жно привести всегда к виду ах + Ь == с, в котором а, Ь, с — целые числа. По правилам арифметических дейст­вий ах = с — b,

Если Ь > с, то с — b число отрицательное. Отрицатель­ные числа были египтянам и многим другим более позд­ним народам неизвестны (равноправно с положитель­ными числами их стали употреблять в математике толь­ко в семнадцатом веке).

Для решения задач, которые мы теперь решаем урав­нениями первой степени, был изобретен метод лож­ного положения.

В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой из них позволяет понять, как рассуждал автор.

Египтяне имели особый знак для обозначения неиз­вестного числа, который до недавнего прошлого читали “хау” и переводили словом “куча” (“куча” или “неизве­стное количество” единиц). Теперь читают немного ме­нее неточно: “ага”.

bqt задача № 24 сборника Ахмеса:

“Куча. Ее седьмая часть (‘подразумевается: “дают в сумме”) 19. Найти кучу”.

Запись задачи нашими знаками:

Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих четырех столбцах:

Во многих задачах в начале или в конце встречаются слова: “Делай как делается”, другими словами: “Делай, как люди делают”.

Смысл решения Ахмеса легко понять.

Делается предположение, что. куча есть 7; тогда ее часть есть 1. Это записано в первом столбце.

Во втором столбце записано, что при предположении х=7 куча и ее часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение предположения дает 16. Автор, в уме очевидно, прики­дывает, что дальше удваивать предположение нельзя, так как тогда получится больше 19. Он записывает 16, ставит перед числом две точки для обозначения удвое­ния первоначального предположения и отмечает значком (у нас — звездочкой) результат; для получения в сумме 19 первоначальное предположение надо умножить -на 2 с некоторым добавлением, так как для получения точ­ного результата, 19, не хватает еще 19—16=3. Ахмес находит от 8, получает 4. Так как это больше нехватки 3, то на предположение умножить нельзя. Но от 8 есть 2, от восьми 1. Ахмес видит, что и первона­чального результата дают точно те 3 единицы, которых не хватало. Отметив и значками, Ахмес убедился, что первоначальное предположение для кучи (7) надо помножить на

Умножение числа 7 на смешанное число Ахмес заменяет умножением смешанного числа на 7. В третьем столбце выписаны: часть искомой кучи есть , удвоенное это число: и учетверенное: . Сумма этих трех чисел, равная числу , есть произведение первоначального предположения 7 на .

Итак, куча равна .

В последнем столбце Ахмес делает проверку, склады­вая полученное значение для кучи и его части . В сумме получается 19, и решение за­канчивается обычным для автора заключением: “Будет хорошо”.

Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного положения. При помощи этого метода решаются уравнения вида ах == b . Его применяли как египтяне, так и вавилоняне.

У разных народов применялся метод двух лож­ных положений. Арабами этот метод был механи­зирован и получил ту форму, в которой он перешел в учебники европейских народов, в том числе в “Арифме­тику” Магницкого. Магницкий называет способ решения “фальшивым правилом” и пишет о части своей книги, излагающей этот метод:

Зело бо хитра есть сия часть,

Яко можеши ею все класть (вычислить. — И . Д.)

Не токмо что есть во гражданстве,

Но и высших наук в пространстве,

Яже числятся в сфере неба,

Якоже мудрым есть потреба.

Содержание стихов Магницкого можно вкратце пе­редать так: эта часть арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то, что понадо­бится в житейской практике, но она решает и вопросы “высшие”, которые встают перед “мудрыми”.

Магницкий пользуется “фальшивым правилом” в форме, какую ему придали арабы, называя его “арифме­тикой двух ошибок” или “методой весов”.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и вто­рой степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только за­дачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, • в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения ,

В “Арифметике” Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд за­дач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи со­ставления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

“Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96”.

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким об­разом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = —2 для Диофанта не существует, так как греческая матема­тика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность ис­комых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести за­дачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на уравнения встречаются уже в астрономическом трактате “Ариабхаттаим”, составленном в 449 г. индийским математиком и астрономом Арибхаттой. Но это уже раннее средневековье.

В Алгебраическом трактате ал-Хорезми даётся классификация линейных и квадратных уравнений.

Индий учёные знали решения неопределённых уравнений в целых числах (в том числе и в отрицательных, чего сам Диофант избегал).

Формула решений квадратного уравнения.

Греческий математик Герон (I или II век нашего летоисчисления) вывел формулу для решения квадратного равнения ax 2 + bx = c умножением всех членов на а и

прибавлением к обеим половинам уравнения :

В индии пришли к более простому способу вывода, который встречается в школьных учебниках: они умножали на 4a и к обеим половинам по b 2 . Это даёт:

Индийские математики часто давали задачи в стихах.

Задача о лотосе.

Над озером тихим, с полмеры над водой,

Был виден лотоса цвет.

Он рос одиноко, и ветер волной

Нагнул его в сторону – и уж нет

Цветка над водой.

Нашёл его глаз рыбака

В двух мерах от места, где рос.

Сколько озера здесь вода глубока?

Тебе предложу я вопрос.

Ответ:

Из истории решения системы уравнений, содержащей одно уравнение второй степени и одно линейное

В древневавилонских текстах, написанных в III—II тысячеле­тиях до н. э., содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые входят и уравнения вто­рой степени. Вот одна из них.

. “Площади двух своих квадратов я сложил: .Сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5”.

Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид:

Для решения системы (1) вавилонский автор возводит во втором уравнении у в квадрат и согласно формуле квадрата суммы, ко­торая ему, видимо, была известна, получает:

Подставляя это значение у в первое из системы уравнений (1), автор приходит к квадратному уравнению:

Решая это уравнение по правилу, применяемому нами в настоя­щее время, автор находит х, после чего определяет у. Итак, хотя вавилоняне и не имели алгебраической символики, они решали задачи алгебраическим методом.

Диофант, который не имел обозначений для многих неизвест­ных, прилагал немало усилий для выбора неизвестного таким об­разом, чтобы свести решение системы к решению одного уравнения. Вот один пример из его “Арифметики”.

Задача 21. “Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а сумма их квадратов — 208”.

Эту задачу мы решили бы путем составления системы уравнений:

Диофант же, выбирая в качестве неизвестного половину раз­ности искомых чисел, получает (в современных обозначениях):

Складывая эти уравнения, а затем вычитая одно из другого (все это Диофант производит устно), получаем

x = 2 + 10; у = 10 —2.

х 2 + у 2 = (г + lO) 2 + (10 — г) 2 == 2z 2 + 200.

z = 2; х = 2 + 10 = 12; у = 10 — 2 = 8.

Задача Диофанта №80 (Из II книги его “Арифметики”)

Найти 2 таких числа, чтобы сумма квадрата каждого из них с другим искомым числом дала полный квадрат,

Пусть первое число (I) будет s. Чтобы квадрат его •при прибавлении второго числа дал квадрат, второе число должно быть 2s + 1, так как в таком случае вы­полняется требование задачи: квадрат первого числа. сложенный со вторым, дает

s 2 + 2s + 1, то есть полный квадрат (s + 1) 2 .

Квадрат второго числа, сложенный с первым, должен также дать квадрат, то есть число (2s + I) 2 + s, равное

4s 2 + 5s + 1 == t 2

Положим, что t = 2s — 2; тогда t 2 = 4s 2 — 8s + 4. Это выражение должно равняться 4s 2 + 5s + 1. Итак, должно быть:

4s 2 — 8s + 4 == 4s 2 + 5s + l откуда s=

Значит, задаче удовлетворяют числа:

.

Почему Диофант делает предположение, что t==2s—2, он не объясняет. Во всех своих задачах (в дошедших до нас шести книгах его их 189) он делает то или другое предположение, не давая никакого обоснования.

Вообще содержание 6 книг таково:

В “Арифметике” 189 задач, каждая снабжена одним или несколькими решениями. Задачи ставятся в общем виде, затем берутся конкретные значения входящих в нее ве­личин и даются решения.

Задачи книги I в большинстве определенные. В ней имеются и такие, которые решаются с помощью систем двух уравнений с двумя неизвестными, эквивалентных квадратному уравнению. Для его разрешимости Диофант выдвигает условие, чтобы дискриминант был полным квадратом. Так, задача 30— найти таких два числа, чтобы их разность и произведение были заданными числами,— приводится к системе

Диофант выдвигает “условие формирования”: требуется, чтобы учетверенное произведение чисел, сложенное с квад­ратом разности их, было квадратом, т. е. 4b + а 2 = с 2 .

В книге II решаются задачи, связанные с неопределен­ными уравнениями и системами таких уравнений с 2, 3, 4, 5, 6 неизвестными степени не выше второй.

Диофант применяет различные приемы. Пусть необхо­димо решить неопределенное уравнение второй степени с двумя неизвестными f₂ (х, у) ==0. Если у него есть ра­циональное решение (x₀ , y₀ ), то Диофант вводит подста­новку

в которой k рационально. После этого основное уравнение преобразуется в квадратное относительно t, у которого свободный член f₂ ( x₀ , у ₀ ) = 0. Из уравнения получается t₁ == 0 (это значение Диофант отбрасывает), t₂ — рацио­нальное число. Тогда подстановка дает рациональные х и у.

В случае, когда задача приводилась к уравнению у 2 = ax 2 + bx + с, очевидно рациональное решение x₀ = О,y₀ =±C . Подстановка Диофанта выглядит так:

Другим методом при решении задач книги II Диофант пользовался, когда они приводили к уравнению у 2 == = a 2 x 2 + bx + с. Он делал подстановку

после чего х и у выражались рационально через параметр k:

Диофант, по существу, применял теорему, состоящую в том,; что если неопределенное уравнение имеет хотя бы одно рациональное решение, то таких решений будет бес­численное множество, причем значения х и у могут быть представлены в виде рациональных функций некоторого параметра”

В книге II есть задачи, решаемые с помощью “двойного неравенства”, т. е. системы

Диофант рассматривает случай а = с, но впоследствии пишет, что метод можно применить и при а : с = т 2 , Когда а == с, Диофант почленным вычитанием одного ра­венства из другого получает и 2 —и 2 = b — d. Затем раз­ность b — d раскладывается на множители b — d = п1 и приравнивает и + v = I, и — v = п, после чего нахо­дит

Если задача сводится к системе из двух или трех урав­нений второй степени, то Диофант находит такие рацио­нальные выражения неизвестных через одно неизвестное и параметры, при которых все уравнения, кроме одного, обращаются в тождества. Из оставшегося уравнения он выражает основное неизвестное через параметры, а затем находит и другие неизвестные.

Методы, разработанные в книге II, Диофант применяет к более трудным задачам книги III, связанным с системами трех, четырех и большего числа уравнений степени не выше второй. Он, кроме того, до формального решения задач проводит исследования и находит условия, которым должны удовлетворять параметры, чтобы решения сущест­вовали.

В книге IV встречаются определенные и неопределен­ные уравнения третьей и более высоких степеней. Здесь дело обстоит значительно сложнее, потому что, вообще говоря, неизвестные невозможно выразить как рациональ­ные функции одного параметра. Но, как и раньше, если известны одна или две рациональные точки кубической кривой fз (х, у) == 0, то можно найти и другие точки. Диофант при решении задач книги IV применяет новые методы”

Книга V содержит наиболее сложные задачи; некоторые из них решаются с помощью уравнений третьей и четвер­той степеней от трех и более неизвестных. Есть и такие, в которых требуется разложить данное целое число на сум­му двух, трех или четырех квадратов, причем эти квадра­ты должны удовлетворить определенным неравенствам.,

При решении задач Диофант дважды рассматривает урав­нение Пелля ax 2 + 1 = у 2 .

Задачи книги VI касаются прямоугольных треуголь­ников с рациональными сторонами. К условию х 2 + у 2 == z 2 в них добавляются еще условия относительно площа­дей, периметров, сторон треугольников.

В книге VI доказывается, что если уравнение ax 2 + b == у 2 имеет хотя бы одно рациональное решение, то их будет бесчисленное множество. Для решения задач книги VI Диофант применяет все употребляемые им спо­собы.

Кстати, в одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраиче-юй загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей—и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:

откуда х = 84 = вот сколько лет жил Диофант.

Неопределённое уравнение x 2 + y 2 = z 2

Такое неопределённое уравнение исследовали пиффагорийцы, целые решения которого поэтому называют “пифагоровыми тройками”, они нашли бесконечно много таких троек, имеющих вид:

Более систематическое исследование задач, эквивалентных кубическим уравнениям, относится только к эпохе эллинизма. Архимед в сочи­нении “О шаре и цилиндре” (книга II, предложение 4) свел задачу о рас­сечении шара плоскостью на два сегмента, объемы которых имели бы за­данное отношение т : п (т > п), к нахождению высоты х большего сегмен­та из пропорции

(1)

где а — радиус шара.

Архимед обобщает задачу: рассечь заданный отрезок а на две части х и а —х так, чтобы

(а — х) : с = S : х 2 , (2)

где с и S — заданные отрезок и площадь.

Заметив, что при такой общей постановке задача не всегда разрешима (имеются в виду только положительные действительные решения), Архи­мед приступает к ее исследованию с тем, чтобы наложить ограничения на с и S. Он говорит, что изложит полное решение задачи “в конце”, однако соответствующее место не сохранилось. Жившие на столетие позже Архи­меда греческие геометры Диокл и Дионисодор уже не знали его. Они предложили собственные, гораздо более сложные решения, но никто из них не сумел провести анализ общего случая.

Только в VI в. н. э. комментатор Архимеда Евтокий нашел утраченное место. Архимед решает задачу с помощью двух конических сечений:

(3)

(4)

(здесь положено S = pb). Оба уравнения легко получить из пропорции (2). Для выяснения необходимых условий Архимед переходит от пропорции (2) к кубическому уравнению

которое он выражает словесно как соотношение между объемами. Ясно, что уравнение (5) может иметь положительные корни, если

Итак, проблема сводится к нахождению экстремума х 2 (а — х).

Оставим пока в стороне вопрос о методе экстремумов Архимеда, мы вер­немся к этому, когда будем говорить об инфинитезимальных методах древ­них. Скажем только, что Архимед полностью исследовал условия сущест­вования положительных вещественных корней уравнения (5), а именно:

1) если Sc 3 /27, то на участке (0, а) имеются два таких корня;

2) если Sc = 4a з /27, то имеется один корень (как сказали бы мы,— двукратный);

3) если Sc > 4a з /27, то корня нет.

Здесь 4а 3 /27 есть максимум х 2 (а — х), достигаемый при х = 2а/3. В конце письма, предпосланного книге “О коноидах и сфероидах” (греки называли сфероидами эллипсоиды вращения, прямоугольными ко­ноидами — параболоиды вращения, а тупоугольными коноидами — по­лости двуполостных гиперболоидов вращения), Архимед пишет, что с по­мощью доказанных в книге теорем можно решить ряд задач, как, напри­мер: от данного сфероида или коноида отсечь сегмент плоскостью, прове­денной параллельно заданной, так, чтобы отсеченный сегмент был равен данному конусу, цилиндру или шару. Перечисленные задачи, так же как и задачи о делении шара, сводятся к кубическим уравнениям, причем в случае тупоугольного коноида уравнение будет иметь вид

Из текста Архимеда можно заключить, что он проанализировал и решил это уравнение. Таким образом, Архимед рассмотрел кубические уравне­ния вида х 3 + ax + b = 0 при различных значениях a и b и дал метод их решения. Однако исследование кубических уравнений оставалось для греков трудной задачей, с которой, в ее общем виде никто, кроме Архи­меда, не мог справиться. Решение отдельных задач, эквивалентных ку­бическим уравнениям, греческие математики получали с помощью нового геометрического аппарата конических сечений. Этот метод впоследствии восприняли математики стран ислама, которые сделали попытку прове­сти полный анализ всех уравнений третьей степени.

Но еще до этого, и притом греческими математиками, был сделан но­вый решительный шаг в развитии алгебры: геометрическая оболочка была сброшена, и началось построение буквенной алгебры на основе арифмети­ки. Это произошло в первые века нашей эры.

1. “История математики в древности” Э. Кольман.

2. “Решение уравнений в целых числах” Гельфонд.

3. “В мире уравнений” В.А.Никифоровский.

4. “История математики в школе” Г.И.Глейзер.

5. “Рассказы о старой и новой алгебре” И.Депман.

6. “Пифагор: рассказы о математике” Чистаков.

7. “Краткий очерк истории математики” Стройк Д.Я.

8. “Очерки по истории математики” Болгарский Б.В.

9. “История математики” (энциклопедия) под редакцией Юшкевича.

10. “Энциклопедический словарь юного математика” под редакцией Гнеденко.