Группа подстановок, подстановка п числа, композиция, группа симметрии фигуры
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:
Взаимно однозначное отображение на себя (или преобразование) конечного множества N = < 1, 2, 3, п>первых п натуральных чисел называют подстановкой п чисел (или подстановкой n-d степени). Подстановку принято записывать в виде заключенных в круглые скобки двух строк чисел. Например, взаимно однозначное соответствие натуральных чисел 1, 2 и 3, заданное множеством <(2, 3), (1, 2), (3, 1)>упорядоченных пар) записывают в виде подстановки р третьей степени ( 2 1 3 \ Р=13 2 1 J’ в которой 2 переходит в 3, 1 — в 2 и 3 — в 1.
Поскольку отображение не изменится при изменении порядка расположения упорядоченных пар, одну и ту же подстановку можно представить в нескольких формах: Предпочтительнее запись, при которой числа в верхней строке расположены в естественном порядке. Тогда подста- новка 71-и степени принимает вид (4.19) где t’i, t’2, in —расположенные в некотором определенном порядке первые п натуральных чисел.
Каждое изменение их расположения будет задавать новую подстановку, а общее число подстановок n-й степени совпадет с числом п! перестановок первых п элементов множества N в нижней строке (4.19). Тождественная подстановка n-й степени переводит каждое число в себя и может быть записана в виде (4.20) Композицией p2°Pi подстановок п-й степени pi и Рз называют подстановку n-й степени p = pipi> которая является результатом последовательного выполнения отображения, сперва задаваемого рi, а затем задаваемого />2.
Композицию подстановок записывают в виде их произведения, но взятых в обратном порядке, причем pip? фрър\. Например, для подстановок Ясно, что если р — подстановка n-й степени, то т.е. еп выполняет роль нейтрального элемента относительно закона композиции отображений. Если строки подстановки р в (4.19) поменять местами, то получим подстановку обратную к подстановке р и обладающую свойством т.е. р»1 выполняет роль симметричного для р элемента относительно закона композиции отображений.
Таким образом, множество Р из п! подстановок n-й степени образует мультипликативную группу (см. табл. 4.1) относительно этого закона, который в данном случае играет роль мультипликативного закона (ассоциативного, но не коммутативного). Множество Р называют группой подстановок n-й степени. Поскольку при записи в виде (4.19) первая строка неизменна, подстановку n-й степени можно задать лишь второй строкой:
Группа подстановок подстановка п числа композиция группа симметрии фигуры т.е. перестановкой первых п элементов множества N. Бели в такой перестановке поменять местами любые два числа (не обязательно стоящие рядом), а остальные оставить на своих местах, то получим новую перестановку. Это преобразовал ние называют транспозицией перестановки. Два числа образуют инверсию в перестановке, когда меньшее из них расположено правее большего (или, как говорят, большее число в перестановке встречается раньше меньшего).
Перестановку наг зывают четной, если общее число инверсий в ее строке четное, и нечетной — в противном случае. Для подсчета общего числа инверсий в некоторой перестаг новке из п элементов последовательно сравнивают каждый элемент, начиная с первого слева, со всеми, следующими за ним, g определяют количество стоящих правее его меньших чисел. Это дает число инверсий данного элемента.
Полученные таким образом п-1 чисел складывают. Пример 4.12. а. Перестановка (1, 2, . п) четная при любом п, так как число инверсий в ней равно нулю. б. Перестановка () содержит 14 инверсий и поэтому четная. в. Перестановка () содержит 17 инверсий и поэтому нечетная. Теорема 4.7. Любая транспозиция меняет четность перестановки. Рассмотрим сначала случай, когда переставляемые числа г и j стоят рядом, т.е. перестановка исходная и перестановка, полученная транспозицией, имеют вид где многоточия заменяют те числа, которые не затрагивает данная транспозиция.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
В обеих перестановках каждое из чисел t, j составляет одни и те же инверсии с числами, которые остаются на своих местах. Если числа г и в исходной перестановке не образовывали инверсии, то после транспозиции возникнет одна новая инверсия. Бели же эти числа в исходной перестановке образовывали инверсию, то после транспозиции она исчезнет, т.е. общее количество инверсий станет на одну меньше. В обоих случаях четность перестановки меняется.
Пусть теперь между переставляемыми числами г и j расположены т чисел (т 6 N), т.е. исходная перестановка имеет вид Переставить местами «ела i и j можно в результате последовательной смены мест соседних чисел, выполнив 2т +1 шагов (переставим t с klf затем t, стоящее уже на месте A?i, с и т.д., пока г за т шагов не займет место кт и не станет рядом с j; затем поменяем местами i и У, и, наконец, еще m шагов уйдет на то, чтобы последовательно j переставить с кт-1 и т.д., после чего j займет место i, а числа к кт сохранят свои места). При зтом четность перестановки меняется нечетное число (2т+ 1) раз.
Поэтому перестановки (4.21) и имеют противоположные четности. Рассмотрим запись подстановки (4.19). Перестановки, составляющие ее верхнюю и нижнюю строки, могут иметь или одинаковые, или противоположные четности. Переход к любой другой записи можно осуществить путем последовательного выполнения нескольких транспозиций в верхней строке и соответствующих им транспозиций в нижней строке. Однако совершая одну транспозицию в верхней строке (4.19) и одну транспозицию соответствующих элементов в нижней строке, мы одновременно меняем четности обеих перестановок и поэтому сохраняем совпадение или противоположность их четностей.
Отсюда следует, что при любой записи подстановки четности верхней и нижней строк либо совпадают, либо противоположны.
Группа подстановок подстановка п числа композиция группа симметрии фигуры Определение 4.10. Подстановку называют четной, если перестановки в ее обеих строках имеют одинаковую четность, и нечетной — если противоположную. Ясно, что тождественная подстановка (4.20) является четной, а четность подстановки, задаваемой в виде (4.19), совпадает с четностью перестановки в ее нижней строке.
Сказанное выше можно обобщить применительно к взаимно однозначному отображению на себя (преобразованию) любого конечного множества Е—
Тождественная подстановка е, когда , оставляет треугольник на месте. При (четные подстановки а и 0) происходит поворот треугольника против часовой стрелки относительно точки О соответственно на углы а = =3 (см. рис. 4.5). При (нечетная подстановка q) треугольник поворачивается вокруг оси симметрии OA. Повороты вокруг осей симметрии ОВ и ОС задают нечетные подстановки г и з соответственно при 4 = 3, «2 = 2, «з = 1 и «1 = 2, «2=1, «З = 3.
Произведение pip? любых из этих подстановок также задает одну из операций совмещения треугольника (например, qr = /?). В левом столбце и верхней строке табл. 4.2 помещены обозначения подстановок р\ и р2 соответственно, а на остальных местах — произведения pip? этих подстановок. В каждой строке и в каждом столбце табл. 4.2 присутствует тождественная подстановка е, т.е. всякая операция имеет симметричную (или обратную), причем для операции поворота относительно любой оси симметрии (и, разумеется, для тождественной операции) обратной является сама эта операция.
Таблица несимметрична относительно своей главной диагонали (проходящей через верхний левый и правый нижний элементы), что еще раз показывает, что произведение подстановок некоммутативно. Рассмотренное множество Р подстановок называют также группой симметрии фигуры (в данном случае равностороннего треугольника).
Аналогично можно построить группу симметрий любого другого геометрического объекта как совокупность всех преобразований метрического пространства, совмещающих его с ним самим (например, группу симметрий квадрата, куба, тетраэдра и т.п.). Именно с таких позиций Е.С. Федоров в 1890 г. построил классификацию правильных пространственных систем точек применительно к кристаллографии. Это было исторически первое приложение теории групп непосредственно в естествознании.
Вопросы и задачи 4.1. Проверить, обладает ли закон композиции (операция) т свойствами ассоциативности и коммутативности на множестве Е: где НОД — наибольший общий делитель двух натуральных чисел. 4.2. Установить, какие алгебраические структуры образуются следующими числовыми множествами относительно указанных законов композиции: а) одно из множеств относительно сложения и относительно умножения;
б) множество всех четных чисел относительно сложения и умножения; в) множество степеней заданного действительного числа аф Ос целыми показателями относительно умножения; г) множество всех комплексных корней заданной степени п € N из единицы относительно умножения; д) множество комплексных корней всех степеней п € 14 из единицы относительно умножения; е) множества комплексных чисел с заданным модулем г € R относительно умножения;
ж) множество комплексных чисел с модулем, не превосходящим заданное число R ф 0, относительно сложения и относительно умножения; з) множество комплексных чисел с ненулевым модулем, расположенных на лучах, выходящих из начала координат и образующих с осью Ох углы y>2i •••» ¥>m относительно умножения. и) множество Р(Е) всех подмножеств некоторого множества Е относительно операций симметрической разности и пересечения и относительно каждой из них в отдельности. 4.3. На множестве Е = <о, 6, с>одной из таблиц задан закон композиции т. Для каждого из этих законов определить его свойства, указать нейтральный элемент и пары симметричных элементов (если они существуют), установить тип алгебраической структуры. 4.4.
| На множестве Е = <о, 6, с>при помощи |
таблиц заданы аддитивный (+) и мультипликативный (*) законы композиции. Для каждого из этих законов определить его свойства, указать нейтральный элемент и пары симметричных элементов (если они существуют). Какую алгебраическую структуру образует множество Е относительно каждого из заданных законов и какую — относительно обоих законов?
Какой смысл приобретают эти законы в числовом множестве, если положить а = 1, 6 = 2, с = 3 ? 4.5. На множестве Е= <0, 1, ру д>при помощи таблиц заданы аддитивный (+) и мультипликативный (*) законы композиции. Для каждого из этих законов определить его свойства, указать нейтральный элемент и пары симметричных элементов (если они существуют). Какую алгебраическую структуру образует множество Е относительно каждого из заданных законов и какую — относительно обоих законов? 4.6.
Доказать свойства операций сложения и умножения комплексных чисел. 4.7. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел: 4.8. Доказать равенства: Группа подстановок подстановка п числа композиция группа симметрии фигуры 4.9. Доказать, что | £ С. При каких условиях эти неравенства переходят в равенства? 4.10. Найти все комплексные числа, сопряженные к своему а) квадрату и б) кубу. 4.11. Пусть на комплексной плоскости заданы три точки zlf z3. 1.
Найти точку г, определяющую положение центра масс системы материальных точек с массами mi, т2) тз, расположенных в заданных трех точках. При каком условии центр масс будет в начале координат? 2. Заданные точки являются вершинами треугольника. Найти точку пересечения его медиан. При каком условии она будет в начале координат? 3. Заданные точки являются тремя вершинами А\% А2у параллелограмма. Найти его четвертую вершину Л4, Противолежащую А2. При каком условии она будет в начале координат? 4. При каком условии заданные точки лежат на одной прямой? 5.
Найти центр окружности, проходящей через заданные точки. При каком условии он будет в начале координат? 6. Как расположены заданные точки, если |zi| = \z2\ = = 1*з| ф 0 и zi + z2 + г3 = 0? 4.12. Найти множество точек комплексной плоскости, заданных условием: 4.13. Доказать равенства: а 4.14. Верно ли равенство (* 4.15. Найти произведение всех корней степени п € N из единицы. 4.16. Является ли число (2 + i)/(2-«) корнем некоторой степени из единицы? 4.17.
Найти комплексные числа, соответствующие противоположным вершинам квадрата, если двум другим вершинам соответствуют числа z\ и 23. 4.18. Найти комплексные числа, соответствующие верши-вам правильного n-угольника, если двум его соседним вершинам соответствуют числа z\ и 22 • 4.19. Доказать, что целые нули многочлена с целыми коэффициентами являются делителями его свободного члена (коэффициента ап), и найти целые нули многочленов: 4.20.
Доказать, что каждый многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный нуль. 4.21. Найти многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, нулями которого являются: а) 3 и 2-i; б) t (корень кратности 2) и -1-i; в) 0, 1, i. 4.22. Найти: а) многочлен с нулями х\ при условии, что числа a?i, Х2 и а?з являются нулями многочлена х3 -х2 -1;
б) значение а, при котором нули многочлена х3-1-х2 + 2а:+а образуют геометрическую прогрессию; в) сумму квадратов и сумму кубов нулей многочлена 8а:4 -— 5®2 + 2« + 1; г) сумму всех коэффициентов многочлена: 1) ; д) многочлен Р(х) наименьшей степени по условию: Найти четность подстановок: 4.24. Записать группу симметрий квадрата, найти четность каждой подстановки из этой группы, построить таблицу, аналогичную табл. 4.2, и проанализировать ее.
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки и сложения.
С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.
Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.
При вводе уравнений можно использовать скобки. При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2
В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.
Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p — 2&1/8q)
Решить систему уравнений
Немного теории.
Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin
Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\< \begin
Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
Пара (1;4) — решение системы
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.
Решение систем линейных уравнений способом сложения
Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin
В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\< \begin
Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \( x-3y=38 \) получим уравнение с переменной y: \( 11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\( -3y=27 \Rightarrow y=-9 \)
Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \( x=11; y=-9 \) или \( (11; -9) \)
Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Как решать систему уравнений
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Основные понятия
Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.
Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.
Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными
Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.
Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.
Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:
Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.
Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.
Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).
Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.
Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:
Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.
Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.
Можно записать систему иначе:
Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.
Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.
Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.
Метод подстановки
Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:
Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.
Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.
Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.
Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.
Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).
Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.
Пример 1
Решите систему уравнений:
x − y = 4
x + 2y = 10
Выразим x из первого уравнения:
x − y = 4
x = 4 + y
Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:
x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10
Решим второе уравнение относительно переменной y:
4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2
Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:
x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6
Ответ: (6; 2).
Пример 2
Решите систему линейных уравнений:
x + 5y = 7
3x = 4 + 2y
Сначала выразим переменную x из первого уравнения:
x + 5y = 7
x = 7 − 5y
Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:
3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y
Решим второе линейное уравнение в системе:
3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1
Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:
x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2
Ответ: (2; 1).
Пример 3
Решите систему линейных уравнений:
x − 2y = 3
5x + y = 4
Из первого уравнения выразим x:
x − 2y = 3
x = 3 + 2y
Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:
5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1
Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:
x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1
Ответ: (1; −1).
Метод сложения
Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:
При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.
Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
Находим соответствующие значения второй переменной.
Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).
Система линейных уравнений с тремя переменными
Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:
Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).
Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.
Решение задач
Разберем примеры решения систем уравнений.
Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y − 4x + 9y = 3
Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки
Выразить у из первого уравнения:
Подставить полученное выражение во второе уравнение:
Найти соответствующие значения у:
Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения
- Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
- Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
- Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
- Ответ: (1; 1), (1; -1).
Задание 4. Решить систему уравнений
Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.
Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными
При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:
http://www.math-solution.ru/math-task/sys-lin-eq
http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-sistem-uravnenij