Решение уравнений в каком классе начинается

Урок математики по теме «Знакомство с уравнениями» по программе «Школа России»

Цели:

1. Дать детям новое математическое понятие «уравнение». Формировать умение читать и записывать уравнение. Способствовать запоминанию, сознанию, пониманию, составления уравнений;
2. Способствовать развитию внимания, логического мышления, памяти, культуры математической речи.
3. Воспитывать самоконтроль, гигиенические навыки письма, аккуратное ведение записей в тетради.

Методы обучения: частично- поисковый, проблемного изложения материала.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, парная.

Средства обучения: М.И. Моро «Математика» 2 класс, 2 части, Москва, «Просвещение», 2006.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устные задания:

• Как называются числа при сложении?
• Как называются числа при вычитании?

• Первое слагаемое – 20, второе слагаемое – 40. Найти сумму?
• Найти сумму чисел 30 и 6.
• Уменьшаемое – 48, вычитаемое 5. Чему равна разность?
• Чему равна разность чисел 70 и 6?
• Увеличить на 4 числа : 15, 20, 61.
• Увеличить на 3 числа : 18, 30, 79.

• Состав числа 12?
• Состав числа 14, 16?

• На празднике было 12 девочек и 18 мальчиков. Сколько всего детей было на празднике?
• В холодильнике яблок на 6 больше, чем апельсинов. Апельсинов – 9. Сколько яблок в холодильнике?
• В кукольном театре 60 кукол. В утреннем спектакле занято 20 кукол. Сколько кукол не занято в спектакле?

• Как называется это выражение?
• Прочитать выражение.
• Найти значение выражения:
  

  14+d	c-40
  d=23	c=95

III. Изучение новой темы.

С новой темой познакомится класс
Сегодня узнаем без сомненья
Имя этого выражения: х+4 = 12

А для этого нужно расшифровать слово, решив примеры.

У.: Записать число и классная работа в тетрадях.

У.: Примеры решить в тетрадях.

У.: Вам знакома такая запись: + 4=12 ?

Д.: Это пример с окошечком.

У.: А такая: a +4 ?

Д.: Это буквенное выражение.

У.: Что вы делали в первом случае?

Д.: Подбирали число чтобы запись была верной.

У.: Какое это число?

Д.: 8.

У.: что делали во втором случае?

Д.: вместо буквы подставляли число и вычисляли.

У.: Посмотрите на запись х+4=12

У.: На что оно похожа?

Д.: На пример с окошечком, на буквенное выражение.

У.: Что нам говорит знак =?

Д.: Равенство.

У.: Какое равенство? Все числа в нем известны?

Д.: Нет.

У.: Что неизвестно?

Д.: Первое число.

У.: как оно обозначено?

Д.: Латинской буквой.

У.: Если оно неизвестно, перед нами какая встает задача?

Д.: Найти, узнать какое это число.

У.: Найдите это число, чтобы равенство было верным.

Д.: Это число 8 (8+4=12).

У.: Что мы с вами сейчас сделали?

Вы решили уравнение.

У.: Сделаем вывод:

Уравнение – это ……(показать знак =)

Д.: Равенство.

У.: Которое содержит что? (показать на х)

Д.: Неизвестное число.

У.: Что надо сделать с неизвестным числом?

Д.: Его найти.

У.: Как обозначается неизвестное число?

Д.: Латинской буквой.

У.: Кто сможет сказать, что такое уравнение?

Д.: Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число.

У.: Что значит решить уравнение?

Плакат на доске: Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число. Решить уравнение – найти такое число, чтобы равенство было верным.

У.: Число, которое мы находим в уравнении х – называется корнем уравнения.

У.: Решить уравнение можно с помощью подбора ( или зная взаимосвязь компонентов при сложении и вычитании)

IV. Физкультминутка (на дыхание).

Раз, два, три, четыре, пять!
Все умеем мы считать
Отдыхать умеем тоже –
Руки за спину положим
Голову поднимем выше
И легко-легко подышим.

V. Первичное закрепление нового материала.

а) У.: Среди данных выражений выбрать нужно уравнение и записать в тетрадь.

Уравнения в курсе математики средней школы»
методическая разработка по алгебре по теме

В работе рассматриваются различные виды уравнений, которые проходят в 5-6 класссах, 7-9 классах и 10-11 классах. /В помощь начинающему учителю/

Скачать:

Предварительный просмотр:

Департамент науки и образования Пермского края

Из опыта работы по теме:

«Уравнения в курсе математики средней школы»

(В помощь начинающему учителю)

Четина Таисия Филипповна

МОУ «СОШ № 64» города Перми

1. Уравнения в курсе математики (5-6 класс)…………. 5

1.1 Нахождение неизвестных компонентов……………………..…..5

1.2 Раскрытие скобок и приведение подобных……………………..8

1.3 Простейшие уравнения с модулем………………………….…. 9

1.4 Произведение множителей, равное нулю……………………….9

1.5 Решение задач на составление уравнения………………………9

2. Уравнения в курсе алгебры (7-9 класс)…………………12

2.1 Линейные уравнения с одной переменной……………………..12

2.2 Разложение на множители………………………………………14

2.3 Линейные уравнения с двумя переменными…………………. 15

2.4 Системы линейных уравнений………………………………….17

2.5 Квадратные уравнения…………………………………………..21

2.6 Дробно рациональные уравнения………………………………26

2.7 Биквадратные уравнения………………………………………..27

3. УРАВНЕНИЯ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА……….29

3.1 Тригонометрические уравнения ………………………………..29

3.2 Уравнения с модулем……………………………………………32

3.3 Показательные уравнения……………………………………….34

3.4 Логарифмические уравнения……………………………………35

3.5 Иррациональные уравнения……………………………………..38

3.6 Уравнения с параметром…………………………………………39

IV. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………….45

Уравнение – одно из важнейших понятий математики. В большинстве практических и научных задач, где какую-то величину нельзя непосредственно измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнения (или систему уравнений для определения неизвестной величины). Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, долгое время было основным предметом изучения алгебры. Привычная нам буквенная запись уравнений сложилась в XVI веке; традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита x, y, z и т.д., а известные величины (параметры) – первыми а, b, с и т.д. идет от французского ученого Р. Декарта.

Как научить детей решать уравнения? Этот вопрос волнует практически всех учителей-математиков и естественников в силу огромной значимости метода уравнений, как для самого курса математики, так и для его практических приложений. Умение решать уравнения настолько важно, что для его формирования нужно привлекать все средства, в том числе и правила, и примеры, и житейские образы. Вооруженные различными приемами, учащиеся всегда смогут помочь себе сами, с какими бы трудностями они ни встретились.

В течении более чем 30 лет педагогической работы, я убедилась в том, что к теме «Уравнения» нужен «особый» подход, исходя из возрастных и психологических особенностей учащихся; их уровня подготовленности.

Я преподаю математику во всех классах средней и старшей школы, в классах общеобразовательных и классах 7-вида. Поэтому я считаю возможным поделиться своим опытом преподавания темы «Уравнения» с учителями, испытывающими затруднения в методике преподавания этой темы и начинающими учителями.

В своей работе тему «Уравнения» я рассматриваю в развитии, от простейших до трансцендентных. Еще в начальной школе учащиеся знакомятся с компонентами арифметических действий и учатся находить неизвестные компоненты по известным. В основной школе вводятся основные понятия и термины; в центре внимания – овладение алгоритмами решения основных видов рациональных уравнений. На старшей ступени обучения расширяется класс изучаемых уравнений в связи с введением новых видов функций; развиваются представления об общих приемах решения уравнений.

Выделим следующие этапы процесса обобщения приемов решения уравнений:

-решение простейших уравнений данного вида;

-анализ действий, необходимых для их решения ;

-вывод алгоритма решения и запоминание его;

-решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;

-анализ действий, необходимых для их решения;

-формулировка частного приема решения;

-применение полученного частного приема по образцу

-работа по описанным этапам для следующих видов уравнений согласно программе.

Учитель руководит всем процессом обобщения, его деятельность направлена на создание ситуаций для реализации этой схемы в процессе поэтапного формирования приемов: подбор упражнений и вопросов для диагностики и контроля, помощь учащимся в осознании состава приема решения уравнения, его формулировки, отработки и применения.

Одной из основных целей, которые ставит перед собой учитель математики, является научить учащихся решать уравнения и впоследствии применять эти навыки при сдаче ЕГЭ и в дальнейшей учебе.

I I. Уравнения в курсе математики

Тема «Уравнение» проходит красной нитью в курсе математики с 1 класса по 11 класс. Именно поэтому данной теме уделяю особое внимание уже с 5 класса. Здесь акцентирую внимание на определении уравнения, корней уравнения, понятии «решить уравнение».

Уравнением называется равенство с переменной.

Корнем уравнения называется значение переменной, обращающее данное уравнение в верное числовое равенство.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

1.1 В 5 классе рассматриваются уравнения вида а+х=в, а-х=в, х-а=в, ах=в, а:х=в, х:а=в , где а и в – это некоторые числа, х – переменная.

При этом учащиеся решают уравнения, пользуясь правилами нахождения неизвестных компонентов : слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого, делителя, известных ученикам из курса математики начальной школы. Здесь учу детей делать неформальную проверку корней уравнения. Уместно сразу же научить детей решать задачи с помощью уравнения, правильно оформлять условие задачи, ее решение. Рассмотрим, например, такую задачу : « В вазе лежали сливы. Утром в нее добавили еще 20 слив, после чего в ней стало 38 слив. Сколько слив было в вазе?»

Добавили – 20 слив.

Записываем решение задачи:

Пусть было х слив, тогда после добавления 20 слив стало (х+20) слив. Известно, что стало 38 слив. Составим и решим уравнение:

х=18 ; 18 слив было.

При этом пользуемся правилом нахождения неизвестного слагаемого.

При решении аналогичных задач отрабатываю алгоритм решения : Пусть…., тогда….. Известно, что….

Составим и решим уравнение.

Дети легко запоминают этот алгоритм и, пользуясь им, быстрее, а главное, обдуманно, решают задачи.

Детям, которые забывают правила нахождения неизвестных компонентов, можно помочь вспомнить правило или, лучше сказать, изобрести нужное правило, если приучить их придумывать простой числовой пример в тех случаях, когда возникают сомнения в том, какое действие надо вспомнить для решения уравнения. Этот способ полезно рассказать подробно, оформив его в виде правила из трех пунктов.

Рассмотрим это для решения уравнения:

Придумав пример на такое же действие, как и в уравнении, но с числами, которые не больше 10 (6:2=3).

Запишите пример точно над уравнением так, чтобы знаки действий и знаки равенства располагались друг над другом.

Выделите в примере число, стоящее над неизвестным в уравнении, и определите действия, которыми можно найти это выделенное число, пользуясь другими числами примера. Тем же действием следует найти и неизвестное в уравнении.

После изучения распределительного закона умножения рассматриваем уравнения вида ах+вх+с=d, где а, в, с, d – некоторые числа, х – переменная, уравнение вида (ах  вх)∙с=d, (ах  вх):с=d и т.д., сводящиеся к рассмотренным ранее.

При решении уравнений вида (ах+в):с=d, часто пользуются образом клубочка, который необходимо размотать . Для этого надо сначала найти конец нити, то есть определить «последнее» действие в одной из частей уравнения, и потом, ухватившись за эту нить, сделать в другой части «все наоборот», подобно тому, как мы поступаем, перематывая нить с одной катушки на другую.

Например , дано уравнение вида (ах+b):с=d. В левой части сначала х умножаем на а, потом прибавляем в и делим на с. Значит «последнее» действие в левой части – деление на с. Тогда первым действием в правой части должно быть умножение на с. Имеем ах+b=d∙с. Разматываем клубочек дальше. Теперь «последним» действием в левой части должно быть вычитание: ах=dс – b. Осталось в левой части действие умножение, а в правой оно заменяется делением. Итак, х=(d∙с-b):а.

При изучении темы «Проценты » обращаю внимание на то, что процент – это сотая часть числа, а часть числа находится действием умножения. Здесь рассматривают 2 типа задач :

а) нахождение числа по его проценту:

Задача 1 . В соревнованиях по легкой атлетике приняло участие 20 девочек, что составило 40% всех участников. Сколько спортсменов участвовало в соревнованиях?

Всего – 100% — 7 чел. 40% =0,4

Девочек – 40% — 20 чел.

Пусть всего х спортсменов участвовало в соревнованиях, тогда 0,4х было девочек. Известно, что девочек было 20 человек. Составим уравнение:

х=50; 50 спортсменов было всего.

Ответ: 50 спортсменов.

б) нахождение процентов от числа:

Задача 2 . Туристы должны были пройти 220 км. В первый день надо пройти 33 км. Сколько процентов пути надо пройти туристам в первый день?

Всего : 100% — 220 км.

1 день: ? % — 33 км.

Пусть х% пройдено в 1 день. 1% составляет 220:100=2,2 (км), тогда х% составляют 2,2х км. Известно, что это равно 33 км.

х=15; 15% пройдено в первый день.

Эти задачи решаем и по действиям.

К концу 5 класса ученики достаточно быстро оформляют условие задачи, ее решение, грамотно записывают ответ, сводя при этом задачу к решению уравнения.

1.2 В 6 классе после введения отрицательных чисел уравнения решаются с использованием нескольких тем: раскрытием скобок , переносом слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, приведением подобных, а также делением или умножением обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля, число.

Нужно отметить, что не все уравнения имеют решения.

Ответ: нет корней. Ответ: х — любое число.

1.3 После изучения темы «Модуль » мы встречаемся с решением уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля.

Например: а) |х|=5 б) |х|=0 в) |х|=-10

х 1 =5, х 2 =-5 х=0 Ǿ

Ответ:  5 Ответ: 0 Ответ: Ǿ

Считаю, что здесь же уместно рассмотреть уравнения, содержащие под знаком модуля выражения с неизвестной.

а) |х-5|=3 б) |3х-7|=0 в) |4х+15|=-4

х-5=3 или х-5=-3 3х-7=0 Ǿ

х=8 х=2 3х=7 Ответ: Ǿ

1.4 Целесообразно уже с 6 класса научить учеников решать уравнения вида (ах  b)(сх  d)=0 , то есть когда произведение нескольких множителей равно нулю. При этом пользуемся правилом: «Произведение двух или более множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю». О том, что другие множители при этом не теряют смысла, еще не упоминаю, так как считаю, что это еще нецелесообразно.

у=0 или 15у-24=0 или 3у-0,9=0

1.5 В конце 6 класса встречаются задачи, решаемые с помощью уравнения , когда условие задачи удобно оформить в виде таблицы. Покажем это на примере следующей задачи: «В одной корзине было в 3 раза меньше яблок, чем в другой. Когда в первую корзину добавили еще 25 яблок, а из второй взяли 15 яблок, то в обеих корзинах стало поровну. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?

О методике работы репетитора по математике с темой «решение уравнений» в 5-6 классах

З накомство ребенка с уравнениями начинается почти с самого начала изучения математики, задолго до ЕГЭ и, как правило, задолго до обращения к репетитору. Еще в младшей школе решаются простейшие алгебраические уравнения, которые служат фундаментом для построения алгоритмов решения уравнений в 11 классе. Каких только разновидностей уравнений не встретишь в школе: алгебраические, иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические. Голова идет кругом. При этом, почти к каждому разделу учебника математики прикрепляются уравнения определенного вида с различной комбинацией изученных действий, функций и разным уровнем сложности. Репетитору по математике важно помнить о том, что методы обучения решению уравнений на разных этапах освоения предмета имеют много общего, так как по сути перед учеником ставится одна и та же задача — подбор числа или чисел, удовлетворяющих данному равенству.

Основы работы с уравнениями закладываются задолго до 11 класса и объясняются на простых математических объектах, пока предмет еще не разделен на алгебру и геометрию. Именно в этом возрасте ребенку отводится время на формирование представление о том, как изучаемый объект устроен и как он используется в реальных ситуациях. Исключение этого важного этапа математической подготовки в большинстве случаев оказывается в последствии невосполнимым. Даже опытный репетитор по математике, работая с учеником старших классов, не сможет в полной мере компенсировать недостаток внимания к уравнениям в младших. Можно только дать представление о методах решения или натаскать на заучивание определенных алгоритмов.

Наверное любой репетитор по математике, успевший плотно поработать с учениками 5-6 классов хотя бы пару лет, слышал жалобы от родителей, связанные со снижением успеваемости при переходе в 6 класс. Проблемы начинают возникать даже, казалось бы, с такой простой темой, как уравнения. К удивлению родителей она вдруг неожиданно переходит в категорию трудных. «Мой ребенок всегда хорошо решал уравнения и вдруг перестал их понимать», — часто жалуются родители репетитору математики. «Что нам делать? Я не могу ему донести то, что понимаю сама, а в школе преподаватель толком ничего не объясняет, а только требует», — обычная картина из практики репетитора: родители в панике. Однако, попытка найти спасение нанимая ребенку преподаваеля, не всегда приводит к желаемому результату. Почему?

Репетитор по математике в работе со слабым шестиклассником часто повторяет методологию учебников и опирается на определенные навыки работы с числами и действиями, которые должны быть у школьника сформированны к этому моменту. Но это относится только к способному ребенку. Реальность репетиторской работы такова, что эти навыки дети часто или не получают вовсе или не могут применить их работе с аналогичными, но более сложными конструкциями. И дело не только в том, что этому мало кто учит. Причина кроется еще и в возрастных особенностях работы памяти ребенка и его мышления, в способности рассмотреть простой объект внутри сложного. В большинстве случаев, с которыми репетитору приходится сталкиваться, ученику рано переходить к использованию алгоритмов в более сложных математических объектах.

Во-первых, понимание этих аналогий часто еще не успевает сформираться. Во-вторых, механизмы позволяющие переносить эти операции на более сложные объекты могут быть не отработаны на достаточном количестве заданий. В третьих, сами операции и правила, по которым они выполняются, часто забываются.

Глубоким заблуждением многих методистов, репетиторов по математике и школьных преподавателей является мнение о том, что правила нахождения компонентов алгебраических действий помогают ребенку принять решение о том том, сложить ли ему данные числа, или отнять, найти ли разность a-b или b-a. Вспомните себя, помогало ли вам на уроках математике такое правило: чтобы найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность? Приходится вспоминать названия участников действия, затем текст правила (каждое для своего случая). Пока будет вспоминать текст, — успеет забыть где у него в уравнении стоит уменьшаемое, а где вычитаемое. Начтет вспоминать названия — забудет правило. А еще нужно правильно записать и произвести вычисления. Куда тут до правильного ответа? Укротить бы термины.

Как действует ученик в простом случае и почему он промахивается с подбором действий в более сложных? Дело в том, что к моменту, когда ему необходимо решить уравнение 8-x=3 он, как правило, получает хорошую практику вычислений (если преподаватель по математике дал классу эту практику) и просто узнает знакомую картинку, в которой пропущено одно число. Он может и без правил догадаться, какое число ему поставить вместо икса. И если требуется записать действие для его нахождения, он переберет все возможные варианты с числами 8 и 3 (благо они перед глазами) и выпишет подходящее. Никакими правилами нахождения вычитаемого он в большинстве случаев не пользуется. Это слишком сложно для него.

С некоторым напряжением ученику даются уравнения, нагруженные несколькими действиями, например . Если числа в таких уравнених не очень большие, то в голове пятиклассника реализуется тот же самый алгоритм подбора неизвестного компонента 2x-8 в делении. Этот алгоритм, обычно, опережает подбор действия, с помощью которого получается ответ. Сложности возникают только с тем, что ребенку приходится находить не икс, а некотороый промежуточный результат. Практика моей работы репетитором по математике показывает, что с этим видом непонимния часто удается справиться сравнительно легко. Главная помощь репетитора здесь заключается в своевременном повторении понятия «корень уравнения» и «проверка корня». При этом репетитор должен уделить внимание практическому ходу этой проверки и выделить в ней определенные этапы:
1) Берем наугад число для проверки
2) Выполняем его умножение на 2, затем потом вычитаем 8 и получаем некоторый промежуточный результат
3) делим 42 на него и должно получиться 7.

При такой форме ребенок в 95 % случаев сам скажет репетитору математики, что нужно разделить 6. В этот момент грамотный репетитор обязательно укажет ученику на то, что подобранное число 6 должно получиться в результате вычитания. Останется понять как при вчитани числа 8 получить 6. Репетитору должен поставить новую цель: что вставить вместо икса, чтобы после умножения на 2 и вычитания восьми эта шестерка получилась. Тогда надо решить уравнение, в котором слева уже стоит не , а . Этот момент отдельно выделяется и репетитору обязательно нужно на нем остановиться отдельно. Решая такими путями уравнения ребенок запоминиает поведение чисел. Те взаимосвязи, которые предлагабются ему для заучивания запоминаются в естественном порядке, а именно в процессе деятельности.

Существуют простые, но важные правила работы с методикой:

1) Репетитор по математике должен исключить из текстов своих пояснений стандартные математические термины и шаблонные фразы («значение выражения», «переменная», «делитель», «значение переменной, при которой. »)

2) При подборе уравнения следует не дупустить проникновение в него повторяющихся действий и даже повторяющихся чисел (как начальной в записи самого уравнения, так и во всех дальнейших формах). Иначе ребенок запутается, о каком делении репетитор по математики говорит в конкретный момент и о каком числе 6 идет речь, если она используется дважды.

3) Каждая пара чисел в уравнении на каждом этапе решения должна быть удобной для подбора третьего числа.

В конце 5-го и в начале 6-ого класса понятие числа расширяется. Появляются уравнения с дробями (десятичными и обыкновенными) и вместе с ними приходят главные проблемы. Как теперь решить такое?

Подбор числа и действия затрудняется, так как операции с дробями делаются в несколько этапов. Если раньше ребенок мог распознать, что число а не делится на число b, то теперь уже можно делить друг на друга почти все числа. Сложнее узнать знакомое сочетание и подбирать для него соответствующее арифметическое действие. При достаточном количестве решенного ранее, способные дети дети запоминают алгоритмы и по аналогии применяют их в новой систуации. А что делать отстающим? У многих из них информация о правилах еще успела прочно отложиться в его долговременной памяти. Репетитор по математике истытывает в работе с такими детьми огромные трудности, а ведь решение проблемы лежит на поверхности.

Репетитору необходимо продлить время привычной деятельности ученика при решении уравнений. То есть подбирать действия прежним способом. Для этого преподавателю достаточно обязать (или разрешить) рядом с решаемым уравнением составить любой простенький пример на это же действие, но с натуральными числами. Допустим, надо решить уравнение:

Репетитор просит ученика определить последнее действие в левой части уравнения, составить с его участием любой простенький пример из программы 2-го класса и записать его где-нибудь рядом. В особых случаях можно рекомендовать использовать нижнюю строчку под самим уравнением. Ребенок смотрит, какой учасник последнего действия в исходном уравнении неизвестен, находит его аналог в придуманном примере и по нему подбирает арифметическое действие с соседними числами (благо они перед глазами). Затем просто переносит его на свое уравнение. И так с каждым исключением последнего действия. Полное оформление может выглядеть следующим образом:

Репетитор по математике должен договориться с учеником о том, чтобы в составленных примерах числа не повторялись. Не стоит cоставлять такие примеры:
и подобные им .

Для совсем слабых детей репетитор может заготовить отдельные карточки с уже подобранными примерами на все действия и класть их перед учеником в нужный момент.

Статья из цикла «методики для репетиторов».
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике. Москва, Строгино.