Решение уравнений в симметричной форме

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В СИММЕТРИЧНОЙ ФОРМЕ

МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ

Пример.

Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений:

Решение: Дифференцируя второе уравнение, имеем:

Чтобы исключить из полученного уравнения и заменим в нем и их значениями из данной системы. Получим: , откуда;

; запишем , то есть ( , откуда , тогда .

Для нахождения воспользуемся вторым из уравнений системы и найденным значением . Имеем:

откуда . Следовательно, общим решение данной системы будет:

Решим теперь поставленную задачу Коши. Подставляя в общее решение вместо их начальные значения , имеем:

откуда , так что искомым частным решение будет:

НАХОЖДЕНИЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ КОМБИНАЦИЙ

Интегрируемые комбинации – легко интегрируемые дифференциальные уравнения, полученные из данной системы, путём несложных преобразований. Построение интегрируемых комбинаций позволяет находить первые интегралы системы и понижать порядок этой системы. В целом, если для системы, состоящей из уравнений, найдено независимых первых интегралов, то тем самым найден общий интеграл этой системы, и её интегрирование окончено.

Пример. Решить СДУ:

Для нахождения интегрируемых комбинаций данной системы перепишем ее в симметричной форме:

Умножим все знаменатели на

Одной из интегрируемых комбинаций будет

Для получения второй интегрируемой комбинации вычтем в системе в симметричной форме из числителя и знаменателя первой дроби, соответственно числитель и знаменатель второй дроби. Эта операция в данном случае осмыслена, так как равносильно вычитанию из первого уравнения исходной системы её второго уравнения.

Отсюда находим второй первый интеграл:

Общее решение имеет вид

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Пример.

Решение: Первое уравнение решается независимо от второго. Разделяя в нём переменные и интегрируя, получим: . Подставляя найденное значение во второе уравнение, получим , откуда .

.

СВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ

Решение: Дифференцируя обе части первого из данных уравнений имеем:

Из второго уравнения находим , следовательно:

Общее решение этого уравнения есть

Из первого уравнения системы находим

Окончательно, общее решение системы уравнений:

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В СИММЕТРИЧНОЙ ФОРМЕ

Пример 1. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение: Из уравнения находим один из интегралов данной системы . Найдём ещё один интеграл, образовав интегрируемую комбинацию:

Имеем . Общее решение: .

Пример 2. Решить систему дифференциальных уравнений

с начальным условием =1, z(0)=2.

Решение. Имеем систему линейных дифференциальных уравнений. Вид её несимметричный, однако начальные условия дают основания проверить предположение, что искомые функции связаны соотношением . Проверим это предположение, исключая искомую функцию из системы подстановкой вместо неё функции . Оба уравнения системы при этом принимают вид , частное решение этого уравнения с учётом начального условия имеет вид . Одновременно найдена и другая искомая функция .

Симметрический способ решения уравнений

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям:
возвратные (симметричные) уравнения

Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:

	Трёхчленные уравнения
	Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
	Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
	Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
	Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Замечание . Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения» , относятся к типу «Трехчленные уравнения» .

Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени

Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

где a , b – заданные числа.

Решение уравнения (1) осуществляется при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:

Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение

Пример 1 . Решить уравнение

Решение . Разложим левую часть уравнения (2) на множители:

Ответ :.

Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени

Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида

а также уравнения вида

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (5):

В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид

Если теперь обозначить

(7)

то уравнение (6) станет квадратным уравнением:

Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (9):

В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид

Если теперь обозначить

(11)

то уравнение (10) станет квадратным уравнением:

Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (14):

В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид

Если теперь обозначить

(16)

то уравнение (15) станет квадратным уравнением:

(18)

В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:

которое решений не имеет.

Во втором случае из равенства (16) получаем:

Ответ :

Пример 3 . Решить уравнение

Решение . Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (20):

В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид

Если теперь обозначить

(22)

то уравнение (21) станет квадратным уравнением:

(24)

В первом случае из равенства (22) получаем:

Во втором случае из равенства (22) получаем:

Ответ :

Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида

где a , b , c, d – заданные числа.

Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (26):

В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид

Если теперь обозначить

(28)

то уравнение (27) станет квадратным уравнением:

(29)

Найдем корни уравнения (29), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (28), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.

Пример 4 . Решить уравнение

Решение . Введем для коэффициентов уравнения (30) следующие обозначения

и найдем значение выражения

то уравнение (30) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (31):

В результате этого преобразования уравнение (31) принимает вид

Если теперь обозначить

(33)

то уравнение (32) станет квадратным уравнением:

В первом случае из равенства (33) получаем:

Во втором случае из равенства (33) получаем:

Ответ :

Нахождение интегрируемых комбинаций.
Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений

Нахождение интегрируемых комбинаций

Этот метод интегрирования системы дифференциальных уравнений

состоит в следующем: с помощью проходящих арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) из уравнений системы (I) образуют так называемые интегрируемые комбинации, т.е. достаточно просто решаемые уравнения вида

где — некоторая функция от искомой функции . Каждая интегрируемая комбинация дает один первый интеграл . Если найдено независимых первых интегралов системы (1), то ее интегрирование закончено; если же найдено независимых первых интегралов, где , то система (1) сводится к системе с меньшим числом неизвестных функций.

Пример 1. Решить систему

Решение. Складывая почленно оба уравнения, получаем

Вычитая почленно оба уравнения, получаем

Итак, найдены два первых интеграла данной системы

которые являются независимыми, так как якобиан отличен от нуля:

Общий интеграл системы (2)

Разрешая систему (3) относительно неизвестных функций, получаем общее решение системы (2):

Пример 2. Решить систему

Решение. Вычитая почленно из первого уравнения второе, получаем , откуда первый интеграл системы (4)

Подставив (5) во второе и третье уравнения системы (4), получим систему с двумя неизвестными функциями

Из второго уравнения системы (6) находим

Подставляя (7) в первое уравнение системы (6), будем иметь

Отсюда находим общее решение системы (4):

Пример 3. Найти частное решение системы

Решение. Запишем данную систему в виде

Складывая почленно последние уравнения, получаем

Отсюда находим первый интеграл . Так как , то второе уравнение системы примет вид , откуда . Итак,

откуда получаем общее решение

Полагая в этих равенствах, найдем , т.е. , и искомым частным решением будет

Пример 4. (разложение вещества). Вещество разлагается на два вещества и со скоростью образования каждого из них, пропорциональной количеству неразложившегося вещества. Найти закон изменения количеств и веществ и в зависимости от времени , если при имеем , а через час , где — первоначальное количество вещества .

Решение. В момент времени количество неразложившегося вещества равно . В силу условия задачи будем иметь

Разделив почленно второе уравнение на первое, получим

При имеем , поэтому из последнего уравнения находим , а значит

Подставив (9) в первое уравнение системы, получим уравнение

Используя начальное условие , найдем , так что

Подставляя (10) в (9), будем иметь

Для определения коэффициентов и примем за единицу времени час. Учитывая, что при , из (10) и (10′) найдем

так что , и искомое решение системы (8)

Пример 5. (равновесие газов в сообщающихся сосудах). Пусть имеются для сосуда объемов и соответственно, наполненные газом. Давление газа в начальный момент времени равно в первом сосуде и — во втором. Сосуды соединены трубкой, по которой газ перетекает из одного сосуда в другой. Считая, что количество газа, перетекающего в одну секунду, пропорционально разности квадратов давлений, определить давления и в сосудах в момент времени .

Решение. Пусть — количество газа, перетекающего в единицу времени при разности давлений, равной единице. Тогда в течение времени из одного сосуда в другой протечет количество газа . Это количество равно убыли газа за время в одном сосуде и прибыли за то же время — в другом. Последнее выражается системой уравнений

где — постоянный коэффициент.

Вычитая почленно уравнения системы (II), получаем

Умножим обе части первого уравнения системы (11) на , а второго — на и сложим почленно:

Учитывая (12) и деля обе части (13) на , будем иметь