Решение уравнений в целых числах курсовая работа

Решение уравнений в целых числах — Курсовая работа

2. Решение уравнений в целых числах, как квадратных относительно какой-либо переменной…4

3. Метод остатков.….8

4. Способ перебора вариантов….13

5. Метод бесконечного спуска….….16

6. Метод разложения на множители….….19

7. Решение систем уравнений в целых числах….….22

8. Цепные дроби…25

9. Аликвотные дроби…28

10. Уравнение второй степени с тремя неизвестными…29

11. Неразрешимые уравнения в целых числах….….32

13. Список литературы….….….35

Выше названная тема посвящена способам решения уравнений в целых числах. Данная тема увлекательна и актуальна. К сожалению, она недостаточно рассматривается в школьной программе, хотя и введена в ЕГЭ, затрагивается в математических олимпиадах, а также используется при составлении вступительных экзаменов в ВУЗы.

В процессе написания работы мы изучили и проанализировали данные различных источников, а также самостоятельно решили уравнения в целых числах. Мы рассмотрели несколько способов решения уравнений в целых числах, доказали некоторые теоремы об уравнениях в целых числах, разобрали задачи по данной теме, а также познакомились с учеными, посвятившими свою жизнь их решению.

Целью нашей работы является узнать, как можно больше о решении уравнений в целых числах, выявить способы их решения, научиться их решать, узнать их значение в нашей жизни, и то, как они повлияли на развитие науки, рассмотрение наиболее ярких и известных задач о решении уравнений в целых числах. Также мы составим учебное пособие, представляющее собой задачник, для учеников нашей гимназии.

Итак, условно можно выделить несколько способов решения уравнений в целых числах:

1) способ перебора вариантов,

2) решение уравнений в целых числах, как квадратных относительно какой-либо переменной,

3) метод остатков,

4) метод бесконечного спуска,

5) метод разложения на множители,

6) решение систем уравнений в целых числах с помощью выделения области допустимых значений,

Решение уравнений в целых числах, как квадратных относительно какой-либо переменной

Задача: Решите уравнение в целых числах 5х2+5у2+8ху+2у-2х+2=0.

Решение: Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х:

Найдем дискриминант: D=b2-4ac=(8у-2)2-4*5*(5у2+2у+2)

Затем найдем корни уравнения: х=(2-8у±√(8у-2)2-20(5у2+2у+2))/10=(2(1-4у) ±√64у2-32у+4-100у2-40у-40)/10=2(1-4у±√-9(у2+2у+1))/5=(1-4у±√-9(у+1)2)/5

Так как выражение -9(у+1)2≥0, то (у+1)2≤0, а значит у+1=0, у=-1, х=1.

Этот способ решения уравнений намного проще, но не всегда возможен, так как под корнем может быть и положительное число, и продолжать решение будет невозможно.

Рассмотрим еще несколько уравнений, которые можно решить как квадратные относительно, например, х.

Задача: Решите уравнение в целых числах х2-4ху+5у2=169.

Решение: Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х, тогда а=0, b=-4у, с=5у2-169. Дискриминант в таком случае будет равен -4у2+676. Найти х можно по формуле х=(16у2±√-4у2+676)/2. Для того, чтобы можно было найти х,

-4у2+676 должно быть положительным или равно нулю, а следовательно, должно выполняться неравенство у2≤169. Это возможно, если у[-13;13], уN. Подставляя, вместо у все возможные значения, выясним, при каких корень из дискриминанта извлекается, и найдем х.

Задача: Решите уравнение в целых числах х2+2ху+2у2=4.

Решение: Решим уравнение относительно х. Тогда получим, а=1, b=2у, с=2у2-4. Значит, √D=√-4у2+16. Для того, чтобы извлекся корень, выражение -4у2+16 должно быть неотрицательным, то есть должно выполняться неравенство 16≥4у2, отсюда у<±2,±1,0>. При у=±1 корень из дискриминанта будет нецелым числом, при у=±2 D=0, при у=0 √D=±4. Получаем, корни х=-2, у=2; х=2, у=-2, х=±2, у=0.

Задача: Решите в целых числах уравнение: 1 + 2k + 22k+1 = n2.

Решение. Если k = 0, то уравнение примет вид 5 =n2 и не имеет решений.

Если k = -1, то уравнение примет вид 2 =n2 и тоже не имеет решений.

При написании нашей работы мы открыли для себя новый увлекательный раздел математики – решение уравнений в целых числах. Мы обнаружили, что существует множество способов решения таких уравнений, и все они по-своему красивы и интересны. Оказалось, что и сами уравнения, хотя и объединены одним названием, очень сильно различаются между собой. Возможно, именно это разнообразие и привлекало многих ученых, ведь в разное время множество математиков билось над доказательством теорем, связанных с решением уравнений в целых числах. Ведь не смотря на четкую и краткую формулировку, такие задачи часто очень сложно решаются, над нами думают годами, а решения часто оказываются совсем неожиданными. Многие теоремы, такие как Великая теорема Ферма, были доказаны совсем недавно, и некоторые общие методы решения уравнений в целых числах были сформулированы не так давно, а ведь осталось еще множество интереснейших нерешенных задач. Так что данная тема всегда остается актуальной и с каждым годом шире раскрывается перед нами.

Мы надеемся, что решение уравнений в целых числах включат в школьную программу, а пока это не произошло, мы планируем самостоятельно продолжать изучение этой темы.

1. Алгебра и математический анализ. 10кл. /Учеб.пособие/ Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашев-Мусатов, С.И.Шварцбурд, Москва: Мнемозина, 2001

2. Конкурсные задачи, основанные на теории чисел /Учеб.пособие/ В.Я.Галкин, Д.Ю.Сычугов, Е.В.Хорошилова, Москва: Факультет ВМиК МГУ, 2002

3. Решение уравнений в целых числах /Учеб.пособие/ А.О.Гельфонд, Москва: Либроком, 2010

4. Диофант и Диофантовы уравнения /Учеб.пособие/ И.Г.Башмакова, Москва, 1974

5. Internet-ресурс: h**t://ru.wikipedia.org/

6. Изучение уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Основная школа /Справочное пособие/ Л.А.Сергеева, Е.А.Зайцева, Т.Г.Ищенко, Железноводск, 2008

7. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ /Учеб.пособие/ И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И.Захаров, Москва: Астрель, 2010

Учебно – исследовательская работа «Решение уравнений в целых числах»

XII конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся

«Школьники города — науке XXI века»

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №8» г. о. Саранск

Учебно – исследовательская работа

«Решение уравнений в целых числах»

Выполнил: учащийся 10А класса руководитель: ,

I. Биография Диофанта. 10-я проблема Гильберта…………………..стр.3

II. Решение уравнений в целых числах

1. Применение теории делимости к решению неопределенных

уравнений в целых числах. стр.5

2.Метод полного перебора всех возможных значений переменных,

3. Решение уравнений методом разложения на множители………. стр.8

4. Выражение одной переменной через другую и выделение

5. Методы, основанные на выделении полного квадрата………. стр.9

6. Решение уравнений с двумя переменными как квадратных

относительно одной из переменных…………………………………..стр.9

7. Оценка выражений, входящих в уравнение………………………..стр.10

8. Примеры уравнений второй степени с тремя неизвестными……..стр.10

III. Решение уравнений в целых числах из Межрегиональной

Заочной математической олимпиады для школьников

(Всероссийская школа математики и физики «Авангард»)…………стр.11

IV. Решение уравнений в целых числах из математических олимпиад

V. Решение уравнений в целых числах из Единого государственного

VI. Заключение. стр.19

VII. Литература. стр.20

В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами много занимались самые выдающиеся математики древности, например, греческий математик Пифагор (VI век до н. э.), александрийский математик Диофант (III век н. э.), П. Ферма(XVII в.), Л. Эйлер(XVIII век), (XVIII век), П. Дирихле(XIX век), К. Гаусс(XIX век), П. Чебышев(XIX в.) и многие другие.

Решение уравнений в целых числах является важной задачей и для современной математики. Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел, что и определило актуальность нашей работы «Решение уравнений в целых числах» Ещё в начальной школе на уроках математики перед нами часто ставили задачу выяснить, при каких допустимых значениях буквы обе части того или иного равенства принимают одинаковые числовые значения. На равенство в этом случае мы смотрели как на уравнение относительно указанной неизвестной величины. В восьмом классе мы познакомились с решением квадратных уравнений с одной переменной. Но, готовясь к олимпиадам, рассматривая контрольно — измерительные материалы Единого государственного экзамена встречаемся с заданиями, в которых предлагали уравнения с двумя переменными. Появилось желание узнать решаемы ли такие уравнения, и какие способы используются для их решения, все ли они имеют алгоритм решения и где применяются. Отсюда определена

Гипотеза исследования — общего способа быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения.

Цели учебно — исследовательской работы:

– показать разнообразные способы решения диофантовых уравнений;

— повысить уровень математической культуры, прививая навыки самостоятельной исследовательской работы в математике.

— разобрать основные приемы и методы решения уравнений в целых числах;

— выполнить сопоставительно – аналитическую работу с контрольно – измерительными материалами ЕГЭ и заданий олимпиад разных лет.

Этот материал может быть интересен и полезен учащимся, материал данной работы можно использовать для изучения на элективных занятиях, при подготовке к олимпиадам и к централизованному тестированию, а также для самостоятельного изучения.

Диофант (Dióphantos) представляет одну из занимательных загадок в истории математики. Мы не знаем, кем был Диофант, точные года его жизни, нам не известны его предшественники, которые работали бы в той же области, что и он.

На могиле Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта мы можем судить по работам французского исследователя науки Поля Таннри, и это, вероятно, середина III в. н.э.

Наиболее интересным представляется творчество Диофанта. «Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы». [Стройк] До нас дошло 7 книг из, возможно, 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, многие из которых остались нам неизвестны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.

«Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением и необходимым пояснением. В собрание входят весьма разнообразные задачи, а их решение часто в высшей степени остроумно. Диофант практиковался в нахождении решений неопределенных уравнений вида , или систем таких уравнений. Типично для Диофанта, что его интересуют только положительные целые и рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получились искомые положительные, рациональные решения.

Поэтому, обычно, произвольное неопределенное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул «диофантово», если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах.

Неопределенные уравнения 1-й степени начали рассматриваться индусскими математиками позднее, примерно с V века. Некоторые такие уравнения с двумя и тремя неизвестными появились в связи с проблемами, возникшими в астрономии, например, при рассмотрении вопросов, связанных с определением периодического повторения небесных явлений.

Первое общее решение уравнения первой степени , где — целые числа, встречается у индийского мудреца Брахмагупты (ок. 625 г). Поэтому, строго говоря, нет оснований называть линейные неопределенные уравнения диофантовыми. Однако, исторически все же сложилось применять термин «диофантово», к любому уравнению, решаемому в целых числах.

В 1624 г. в публикуется книга французского математика Баше де Мезирьяка «Problẻmes plaisans et delectables que se font par les nombres». Баше де Мезирьяк для решения уравнения фактически применяет процесс, сводящийся к последовательному вычислению неполных частных и рассмотрению подходящих дробей.

После Баше де Мезирьяка в XVII и XVIII веках различные правила для решения неопределенного уравнения 1-й степени с двумя неизвестными давали Роль, Эйлер, Саундерсон и другие математики.

Цепные дроби к решению таких уравнений были применены Лагранжем, который, однако, замечает, что фактически это тот же способ, который был дан Баше де Мезирьяком и другими математиками, рассматривавшими неопределенные уравнения до него. Неопределенные уравнения 1-й степени стали записываться и решаться в форме сравнения значительно позже, начиная с Гаусса.

В августе 1900 г. в Париже состоялся II Международный конгресс математиков. 8 августа Д. Гильберт прочитал на нем доклад «Математические проблемы». Среди 23 проблем, решение которых (по мнению Д. Гильберта) совершенно необходимо было получить в наступающем XX в., десятую проблему он определил следующим образом:

«Пусть задано диофантово уравнение с произвольным числом неизвестных и рациональными числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых числах».

Гипотезу, что такого способа нет, первым выдвинул (с достаточным на то основанием) американский математик М. Дэвис в 1949 г. Доказательство этой гипотезы растянулось на 20 лет — последний шаг был сделан только в 1970 г. ленинградским математиком Юрием Владимировичем Матиясеевичем, на первом году аспирантуры он показал алгоритмическую неразрешимость 10 проблемы Гильберта. Он доказал, что общего способа быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения. Поэтому мы должны для каждого уравнения выбирать собственный метод решения и более чем 10 методов, в основе которых лежат определения и свойства делимости чисел.

Однако, если про произвольное диофантово уравнения нельзя сказать, имеет ли оно целые корни, или нет, то проблема существования целых корней линейных диофантовых уравнений решена.

II. Решение уравнений в целых числах.

1. Применение теории делимости к решению неопределенных уравнений в целых числах.

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Для решения в целых числах уравнения вида ах + by = c, где а, b, c – целые числа, отличные от нуля, приведем ряд теоретических положений, которые позволят установить правило решения. Эти положения основаны также на уже известных фактах теории делимости.

(Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением наибольшего общего делителя двух чисел через сами эти числа.)

Доказательство теоремы основано на использовании равенства алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (наибольший общий делитель выражается через неполные частные и остатки, начиная с последнего равенства в алгоритме Евклида).

Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел 1232 и 1672.

1. Составим равенства алгоритма Евклида:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, т. е. (1672,352) = 88.

2) Выразим 88 последовательно через неполные частные и остатки, используя полученные выше равенства, начиная с конца:

88 = ∙1 = (1∙2 + 1232∙2) = 1672∙∙4, т. е. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Теорема 2. Если уравнение ах + bу = 1, если НОД(а, b) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.

Справедливость этой теоремы следует из теоремы 1. Таким образом, чтобы найти одно целое решение уравнения ах + bу = 1, если НОД (а, в) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и в.

Найти целое решение уравнения 15х + 37у = 1.

2. 1 =∙2 =∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

т. е. х= 5, у= -2 — решение данного уравнения.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Найти целое решение уравнения 16х — 34у = 7.

(16,34)=2; 7 не делится на 2, уравнение целых решений не имеет.

Теорема 4. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = d>1 и с d, то оно равносильно уравнению ах + b у = с, в котором НОД(а, b ) = 1.

При доказательстве теоремы следует показать, что произвольное целое решение первого уравнения является также решением второго уравнения и обратно.

Теорема 5. Если в уравнении ах + bу = с НОД(а, b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

х = хс + bt, у = yc—at, где х, y — целое решение уравнения ах + bу = 1,

t – любое целое число.

При доказательстве теоремы следует показать, во-первых, что приведенные формулы действительно дают решения данного уравнения и, во-вторых, что произвольное целое решение этого уравнения заключено в приведенных формулах.

Приведенные теоремы позволяют установить следующее правило решения в целых числах уравнения ах+ bу = с НОД(а, b) = 1:

1) Находится целое решение уравнения ах + bу = 1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел а и b (существуют и другие способы отыскания целых решений этого уравнения, например при использовании цепных дробей);

2) Составляется общая формула целых решений данного уравнения х = хс + bt, у = yc — at, где х, y — целое решение уравнения ах + bу = 1, t – любое целое число.

Придавая t определенные целые значения, можно получить частные решения данного уравнения: наименьшие по абсолютной величине, наименьшие положительные (если можно) и т. д.

Найти целые решения уравнения 407х — 2816у = 33.

1. Упрощаем данное уравнение, приводя его к виду 37х — 256у = 3.

2.Решаем уравнение 37х — 256у = 1.

1 =∙11 = ∙– 256 + 37∙6) = 256∙12 — 37∙83 =

т. е. х= -83, y= -12.

3. Общий вид всех целых решений данного уравнения:

Положив t = -1, получим х= 7, у= 1 и общие формулы решений примут вид: х = t, у = 1-37t.

Нами были решены нижеприведенные уравнения в целых числах, используя возможность представления наибольшего общего делителя двух чисел в виде их линейной комбинации:

Решение уравнений в целых числах курсовая работа

Объектом исследования является один из наиболее интересных разделов теории чисел – решение уравнений в целых числах.

Существует множество математических задач, ответами к которым служат одно или несколько целых чисел. Однако наиболее часто можно встретить задачи, в которых предлагается решить уравнение в целых (или в натуральных) числах. Некоторые из таких уравнений довольно легко решаются методом подбора, но при этом возникает серьёзная проблема – необходимо доказать, что других решений не существует. Для этого могут потребоваться самые разнообразные приёмы, как стандартные, так и искусственные.

Предметом исследования данной работы являются методы решения уравнений в целых числах. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского. В данной работе представлен достаточно полный анализ уравнений в целых числах, классификация данных уравнений по способам их решения, описание алгоритмов их решения, а также практические примеры применения каждого способа для решения уравнений в целых числах.

Гипотеза: не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решить в целых числах произвольное диофантово уравнение, но изучив типы, классифицировав диофантовы уравнения по методам решения можно успешно справиться с решением задач данного типа.

Цель работы: выделить основные методы решения уравнений в целых числах.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

изучить учебную и справочную литературу, проанализировать олимпиадные материалы, а также материалы профильного ЕГЭ по математике;

собрать теоретический материал по способам решения уравнений;

разобрать алгоритмы решения уравнений данного вида;

рассмотреть примеры решения уравнений с применением данных способов;

составить тренировочные задания.

Данная работа весьма актуальна, так как в школьной программе эта тема затрагивается вскользь. Задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, часто встречаются на вступительных экзаменах, на олимпиадах по математике в старших классах и являются задачами повышенной сложности.

Теоретический анализ и обобщение сведений научной литературы об уравнениях в целых числах.

Классификация уравнений в целых числах по методам их решения.

Анализ и обобщение методов решения уравнений в целых числах.

Глава 1. Знакомство с уравнениями в целых числах и их классификация по методам решения

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Примером диофантового уравнения является уравнение вида

Подобные уравнения называются однородными линейными уравнениями. Они имеют бесконечно много решений в целых числах. Эти решения описываются формулами, , , .

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

Для решения уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить множество методов, наиболее часто используемые – следующие методы:

метод, основанный на алгоритме Евклида;

цепной (непрерывной) дроби;

разложения на множители;

метод, основанный на выражении одной переменной через другую и выделении целой части дроби;

решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

метод, основанный на выделении полного квадрата.

Глава 2. Линейные уравнения

2.1. Метод перебора вариантов

В способе перебора вариантов необходимо учитывать признаки делимости чисел, рассмотреть все возможные варианты равенства конечного перебора.

Перебор вариантов при нахождении натуральных решений уравнения с двумя переменными оказывается весьма трудоемким. Кроме того, если уравнение имеет целые решения, то перебрать их не всегда возможно, так как таких решений может быть бесконечное множество.

Задача 1. У нескольких велосипедов 26 колес. Сколько из этих велосипедов трёхколесных и сколько двухколёсных?

Решение: составляем уравнение , в котором х – число трёхколесных, у – число двухколёсных велосипедов.

х и у – целые неотрицательные числа, значит 27 – 3х должно делиться на 2 без остатка.