Решение уравнений в целых числах самостоятельная работа

Организация учащихся к учебно-исследовательской деятельности по теме «Решение уравнений в целых числах»
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Актуальность исследования:

В школьном курсе математики диофантовы уравнения практически не изучаются, эта тема затрагивается вскользь в восьмом классе, хотя задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, имеются в заданиях группы С6 в ЕГЭ и математических олимпиадах. Учащимся эта тема интересна тем, что имеется практическая направленность области этой темы, позволяет успешно сдать Единый Государственный Экзамен и принимать участие в олимпиадах и конкурсах. Этот материал может быть интересен и полезен учащимся, материал данной работы можно использовать для изучения на элективных занятиях, при подготовке к олимпиадам и к ЕГЭ, а также для самостоятельного изучения.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ГБОУ СОШ с Новодевичье м.р. Шигонский Самарская область

Организация учащихся к учебно-исследовательской деятельности

по теме «Решение уравнений в целых числах»

Копытина Елена Алексеевна,

учитель физики и математики ГБОУ СОШ с. Новодевичье

В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами много занимались самые выдающиеся математики древности, например, греческий математик Пифагор (VI век до н.э.), александрийский математик Диофант (III век н.э.), П.Ферма(XVII в.), Л.Эйлер(XVIII век), Ж.Л.Лагранж(XVIII век), П.Дирихле(XIX век), К.Гаусс(XIX век), П.Чебышев(XIX в.) и многие другие.

Решение уравнений в целых числах является важной задачей и для современной математики. Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел, что и определило актуальность нашей работы «Решение уравнений в целых числах» Ещё в начальной школе на уроках математики перед нами часто ставили задачу выяснить, при каких допустимых значениях буквы обе части того или иного равенства принимают одинаковые числовые значения. На равенство в этом случае мы смотрели как на уравнение относительно указанной неизвестной величины. В восьмом классе мы познакомились с решением квадратных уравнений с одной переменной. Но, готовясь к олимпиадам, рассматривая контрольно- измерительные материалы Единого государственного экзамена встречаемся с заданиями, в которых предлагали уравнения с двумя переменными. Появилось желание узнать решаемы ли такие уравнения, и какие способы используются для их решения, все ли они имеют алгоритм решения и где применяются. Отсюда определена

Гипотеза исследования — общего способа быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, но изучив типы, классифицировав диофантовы уравнения по способам решения можно успешно справиться с решением текстовых задач, задач с практическим содержанием и с частью заданий С6 ЕГЭ.

В школьном курсе математики диофантовы уравнения практически не изучаются, эта тема затрагивается вскользь в восьмом классе, хотя задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, имеются в заданиях группы С6 в ЕГЭ и математических олимпиадах. Учащимся эта тема интересна тем, что имеется практическая направленность области этой темы, позволяет успешно сдать Единый Государственный Экзамен и принимать участие в олимпиадах и конкурсах. Этот материал может быть интересен и полезен учащимся, материал данной работы можно использовать для изучения на элективных занятиях, при подготовке к олимпиадам и к ЕГЭ, а также для самостоятельного изучения.

Предметная областью этого исследования является математика.

Объект работы- диофантовы уравнения,типы и способы их решения.

1. Повышение уровня математической культуры;
2. Развитие навыков исследовательской деятельности в области математики;
3. Формирование умений и навыков решать диофантовы уравнения эффективными методами;
4. Применение этих методов решения к задачам из повседневной жизни человека, а также к задачам, предлагаемым на вступительных экзаменах в ВУЗы и в олимпиадных заданиях;
5. Умение классифицировать методы решений дифференциальных уравнений;

1. изучить исторические корни;
2. научиться пользоваться научной литературой, быстро и грамотно находить информацию в интернете;
3. разобрать основные приёмы и методы решения уравнений в целых числах, приводимых к уравнениям первой степени с двумя переменными, выбрав самые удобные и простые;
4. выполнить сопоставительно – аналитическую работу с контрольно – измерительными материалами ЕГЭ и заданий олимпиад разных лет,
5. научиться решать уравнения в целых числах, применив изученные ранее методы;
6. Составить презентацию «Методы решения уравнений в целых числах» и сборник задач с решениями в помощь ученикам нашей школы.

Методы исследования : анализ, синтез, сравнение, противопоставление, ранжирование, прогнозирование, наблюдение.

1. Изучение истории появления диофантовых уравнений, основной литературы по этой теме;
2. Изучение способов и методов решения диофантовых уравнений;
3. Попытка их классификации;
4. Поиск практической значимости данной темы.

Деятельность педагога и учащихся на каждом этапе исследовательской работы можно представить в виде таблицы:

Этапы исследовательской работы

Формулирование проблемы, обоснование актуальности выбранной темы

Анализируют проблему. Выявляют, что известно. Вживаются в ситуацию.

Подбор и изучение информации

Предлагаю организовать группы, распределить в группах роли, спланировать деятельность.

Разбиваются на группы, распределяют роли, планируют работу. Составляют список изданий. Собирают, изучают, анализируют, сопоставляют информацию. «добывают» недостающие знания.

Помогаю сформулировать гипотезу.

Выдвигают и формулируют гипотезу.

Постановка цели и конкретных задач исследования.

Помогаю сформулировать цель и задачи.

Формулируют цель и задачи, осуществляют корректировку цели и задач.

Составление плана исследовательской работы

Консультирую, помогаю выбрать оптимальный вариант плана исследовательской работы.

Работают самостоятельно, в группах и сообща. Выбирают оптимальный план исследовательской работы.

Выбор методов проведения исследования.

Консультирую, помогаю выбрать оптимальные методы, необходимые для проведения исследования.

Изучают, анализируют, сопоставляют информацию. «добывают» недостающие знания.

Написание текста исследовательской работы

Консультирую, ненавязчиво контролирую.

Работают самостоятельно в группах и сообща.

Оформление приложений к исследовательской работе

Консультирую, ненавязчиво контролирую.

Работают самостоятельно в группах и сообща.

Обсуждение результатов исследования

Консультирую, обобщаю результаты.

Обсуждают результаты исследования.

Формулирование выводов и оценка полученных результатов

Консультирую, обобщаю результаты.

Обобщают и делают выводы. Оценивают полученный результат.

Подготовка и защита презентации и выпуск сборника задач с решениями в помощь учащимся нашей школы

Консультирую, обобщаю результаты, подвожу итоги, оцениваю умения обосновывать свое мнение, работать в группе на общий результат.

Консультируются, защищают исследовательскую работу, представляют готовый продукт, проводят рефлексию деятельности, дают оценку ее результативности.

Данная учебно-исследовательская работа раскрывает творческий потенциал учащихся, способствует формированию их исследовательских умений, повышает учебную мотивацию, создает условия каждому участнику для саморазвития и самореализации через сознательное и активное присвоение нового социального опыта. Таким образом, учебно-исследовательская деятельность учащихся работает на реализацию современных целей образования, а именно способствует формированию универсальных учебных действий учащихся.

— осуществление расширенного поиска информации с использованием ресурсов Интернета, библиотек, собственного опыта;

— потребность в самовыражении и самореализации, социальном признании;

— умение вести диалог на основе равноправных отношений уважения и принятия;

— целеполагание, включая постановку новых целей

— установление и сравнение различных точек зрения перед принятием решения, формулировка вывода.

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах является важной задачей и для современной математики. Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел, что и определило актуальность нашей работы «Решение уравнений в целых числах»

Просмотр содержимого документа
«Решение уравнений в целых числах»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение г.Стерлитамак

Республики Башкортостан МАОУ «Гимназия№6»

«Решение уравнений в целых числах»

Чигинцева Виктория, 10 класс

Кузнецова Л.В. , учитель математики

Глава I. Историческая справка………………………………………………….

Глава II. Общие сведения о решении уравнений в целых числах…………

2.1 Применение теории делимости к решению неопределенных

2.2 Алгоритм решения уравнения в целых числах……………………

Глава III. Применение способов решения уравнений……………………

Способ перебора вариантов…………………………………………………

3.3. Метод разложения на множители…………………………………………

3.5. Задачи экзаменационного уровня …………………………………………

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами много занимались самые выдающиеся математики древности, например, греческий математик Пифагор (VI век до н.э.), александрийский математик Диофант (III век н.э.), П.Ферма(XVII в.), Л.Эйлер(XVIII век), Ж.Л.Лагранж(XVIII век), П.Дирихле(XIX век), К.Гаусс(XIX век), П.Чебышев(XIX в.) и многие другие.

Решение уравнений в целых числах является важной задачей и для современной математики. Теоретический интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел, что и определило актуальность нашей работы «Решение уравнений в целых числах»

Мы обратились к этой теме, так как она недостаточно полно изложена в действующих учебниках математики, а задачи по этой теме предлагаются как на олимпиадах, так и на вступительных экзаменах в ВУЗы. Кроме того решение уравнений, неравенств, задач, сводящихся к решению уравнений в целых числах с помощью оценок для переменных, встречается в различных математических сборниках и сборниках ЕГЭ.

Безусловно, тема решения уравнений в целых числах была, есть и будет актуальна. Это и без слов понятно. Недаром ей занимались с самого за­рождения математики.

Теория решения подобных уравнений является классическим разделом элементарной математики. В ней не приходится писать сложные и громозд­кие формулы, а необходимо проводить аккуратные рассуждения, базирую­щиеся на определенных понятиях теории чисел и связанные в стройную логическую конструкцию. В рамках это теории можно дать исчерпывающее решение рассматриваемого класса задач с четко описанным алгоритмом по­лучения ответа.

Проблема: Решая примерные варианты заданий ЕГЭ, мы заметили, что чаще всего встречаются в С6 задания на решение уравнений первой и второй степени в целых числах. Но мы не знаем способы решения таких уравнений. В связи с этим возникла необходимость изучить теорию таких уравнений и алгоритм их решения.

Цель: Освоить способ решения уравнений с двумя неизвестными пер­вой и второй степени в целых числах.

Изучить учебную и справочную литературу;

Собрать теоретический материал по способам решения уравнений;

Разобрать алгоритм решения уравнений данного вид;

Описать способ решения.

Рассмотреть ряд примеров с применением данного приема.

Решить уравнения с двумя переменными в целых числах из мате­риалов ЕГЭ С6.

Объект исследования: Решение уравнений

Предмет исследования: Уравнения с двумя переменными в целых числах.

Гипотеза: Данная тема имеет большое прикладное значение. В школь­ном курсе математики подробно изучаются уравнения с одной переменной и различные способы их решения. Потребности учебного процесса требуют, чтобы ученики знали и умели решать простейшие уравнения с двумя пере­менными. Поэтому повышенное внимание к этой теме не только оправдано, но и является актуальной в школьном курсе математики.

Данная работа может быть использована для изучения данной темы на факультативных занятиях учениками, при подготовке к выпускным и всту­пительным экзаменам. Мы надеемся, что наш материал поможет старшеклассникам научится решать уравнения такого вида.

Глава I. Историческая справка

Диофант Александрийский — древнегреческий математик, живший предположительно в III веке нашей эры.

О подробностях его жизни практически ничего неизвестно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до н. э.); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года н. э.), — откуда мож­но сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Воз­можное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его «Арифметика» посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий — не кто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III в. н. э.

В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача, из которой можно сделать вывод, что Диофант прожил 84 года:

Прах Диофанта гробница покоит, дивись ей и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругой он обручился.

С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Используя современные методы решения уравнений, можно сосчитать, сколько лет прожил Диофант. Составим и решим уравнение:

Решением этого уравнения является число 84. Таким образом, Диофант прожил 84 года. Однако достоверность сведений не может быть подтвержде­на.

Основное произведение Диофанта — Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13.

Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны ис пользуемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» (ápιθμός) и обозначает буквой ς, квадрат неизвестной символом (сокращение от δύναμις — «степень»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо- кубом, и для противоположных им степеней. Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффици­ент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнуто буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами ϊσ (сокращение от ϊσος -«равный»). Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у ал-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: минус на минус даёт плюс; это правило использует­ся при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям.

Большая часть труда — это сборник задач с решениями (в сохранив­шихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации об­щих методов. Главная проблематика Арифметики нахождение положи­тельных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.

Сначала Диофант исследует системы уравнений 2-го порядка от 2 неизвестных; он указывает метод нахождения других решении, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней.

В X веке Арифметика была переведена на арабский язык, после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследо­вания Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Ра­фаэль Бомбелли обнаружил это сочинение в Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (1572). В 1621 году появилася классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметиуи, выполненный Баше де Мезириаком.

В XX веке под именем Диофанта обнаружен арабский текст еще 4 книг Арифметики. И. Г. Башмакова и Е. И. Славутин, проанализировав этот текст, выдвинули гипотезу, что их автором был не Диофант, а хорошо разбирав­шийся в методах Диофанта комментатор, вероятнее всего — Гипатия.

Самостоятельная работа по теме «Решение простейших уравнений и уравнений с целыми числами»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Решить уравнения и выполнить проверку:

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 871 материал в базе

Материал подходит для УМК

«Математика», Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.

8.5. Что такое уравнение

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 16.10.2020
• 989
• 107

• 16.10.2020
• 234
• 5

• 16.10.2020
• 209
• 5

• 16.10.2020
• 103
• 0

• 16.10.2020
• 125
• 3

• 12.10.2020
• 91
• 4

• 12.10.2020
• 117
• 8

• 10.10.2020
• 294
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 16.10.2020 328
• DOCX 23.4 кбайт
• 31 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Заж Анатолий Ханненович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года
• Подписчики: 6
• Всего просмотров: 3280
• Всего материалов: 10

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов

Время чтения: 3 минуты

Новые курсы: функциональная грамотность, ФГОС НОО, инклюзивное обучение и другие

Время чтения: 15 минут

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.