Решение уравнений вида asinx bcosx c

Урок+презентация по теме: «Решение тригонометрических уравнений вида a sin x + b cos x = c «

Урок и презентация по теме: «Решение тригонометрических уравнений вида a sin x + b cos x = c» (10-11 классы).

Целевая аудитория: для 10 класса

Автор: Мишурова Любовь Александровна
Место работы: МОУ СОШ № 2 г. Радужный ХМАО-ЮГРА
Добавил: elenaropot1

Физкультминутки обеспечивают кратковременный отдых детей на уроке, а также способствуют переключению внимания с одного вида деятельности на другой.

Уважаемые коллеги! Добавьте свою презентацию на Учительский портал и получите бесплатное свидетельство о публикации методического материала в международном СМИ.

Диплом и справка о публикации каждому участнику!

© 2007 — 2022 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель: Никитенко Евгений Игоревич

Сайт является информационным посредником и предоставляет возможность пользователям размещать свои материалы на его страницах.
Публикуя материалы на сайте, пользователи берут на себя всю ответственность за содержание материалов и разрешение любых спорных вопросов с третьими лицами.
При этом администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.
Если вы обнаружили, что на сайте незаконно используются материалы, сообщите администратору через форму обратной связи — материалы будут удалены.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы пользователями сайта и представлены исключительно в ознакомительных целях. Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Фотографии предоставлены

Семинар-практикум «Решение тригонометрических уравнений»

Разделы: Математика

Тема тригонометрических уравнений начинается со школьной лекции, которая строится в виде эвристической беседы. На лекции рассматривается теоретический материал и образцы решения всех типовых задач по плану:

Простейшие тригонометрические уравнения.
Основные методы решения тригонометрических уравнений.
Однородные уравнения.

На следующих уроках начинается самостоятельная отработка навыков, основанная на применении принципа совместной деятельности учителя и ученика. Сначала устанавливаются цели для учащихся, т.е. определяется, кто хочет знать не более того, что требуется государственным стандартом, а кто готов заниматься больше.

Итоговая диагностика создается с учетом уровневой дифференциации, что позволяет учащимся осознанно определять тот минимум знаний, который необходим для получения оценки “3”. Исходя из этого, отбираются разноуровневые материалы для диагностики знаний учащихся. Такая работа позволяет осуществить индивидуальный подход к учащимся, включить каждого в осознанную учебную деятельность, формировать навыки самоорганизованности и самообучения, обеспечивать переход к активному, самостоятельному мышлению.

Семинар проводится после отработки основных навыков решения тригонометрических уравнений. За несколько уроков до семинара ученикам даются вопросы, которые будут рассматриваться на нем.

Семинар состоит из трех частей.

1. Во вводной части рассматривается весь теоретический материал, включая знакомство с проблемами, которые возникнут при решении сложных уравнений.

2. Во второй части рассматриваются решение уравнений вида:

а cosx + bsinx = c.
a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
уравнения, решаемые через понижение степени.

В этих уравнениях применяются универсальная подстановка, формулы понижения степени, метод вспомогательного аргумента.

3. В третьей части рассматриваются проблемы потери корней и приобретение посторонних корней. Показывается, как надо отбирать корни.

Ученики работают в группах. Для решения примеров вызываются хорошо подготовленные ребята, которые могут показать и объяснить материал.

Семинар рассчитан на хорошо подготовленного ученика, т.к. на нем рассматриваются вопросы несколько выходящие за рамки программного материала. В него включены уравнения более сложного вида, и особо рассматриваются проблемы, возникающие при решении сложных тригонометрических уравнений.

Семинар проводился для учеников 10 – 11 классов. Каждый ученик получил возможность расширить и углубить свои знания по этой теме, сравнить уровень своих знаний не только с требованиями, предъявляемыми к выпускнику школы, но и с требованиями предъявляемыми поступающим в В.У.З.

СЕМИНАР

Тема: «Решение тригонометрических уравнений»

Цели:

Обобщить знания по решению тригонометрических уравнений всех типов.
Заострить внимание на проблемах: потеря корней; посторонние корни; отбор корней.

I. Вводная часть

1. Основные методы решения тригонометрических уравнений

Разложение на множители.
Введение новой переменной.
Функционально-графический метод.

2. Некоторые типы тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям, относительно cos х = t, sin х = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Вsinx + C = 0.

Решаются методом введения новой переменной.

Однородные уравнения первой и второй степени

Уравнение первой степени: Asinx + Bcosx = 0 разделим на cos x, получим Atg x + B = 0

Уравнение второй степени: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 разделим на cos 2 x, получим Atg 2 x + Btgx + C = 0

Решаются методом разложения на множители и методом введения новой переменной.

Уравнение вида: Аsinx + Bcosx = C. А, В, С 0

Понижение степени:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Решаются методом разложения на множители.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

Сводятся к однородным: С = С(sin 2 х + cos 2 х).
Сводятся к уравнению: Аsin2x + Bcos2x = C.

Уравнение вида: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Сводятся к квадратным относительно t = sinx + cosx; sin2x = t 2 – 1.

3. Формулы.

Универсальная подстановка:

х + 2 n; Проверка обязательна!

Понижение степени: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
Метод вспомогательного аргумента.

Acosx + Bsinx заменим на Csin (x + ), где sin = а/С; cos= в/С;

– вспомогательный аргумент.

4. Правила.

Увидел квадрат – понижай степень.
Увидел произведение – делай сумму.
Увидел сумму – делай произведение.

5. Потеря корней, лишние корни.

Потеря корней: делим на g(х); опасные формулы (универсальная подстановка). Этими операциями сужаем область определения.

Лишние корни: возводим в четную степень; умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя). Этими операциями расширяем область определения.

II. Примеры тригонометрических уравнений

1. Уравнения вида Asinx + Bcosx = C

1)Универсальная подстановка.О.Д.З. х – любое.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. х /2 + n;

u = – 1/3.

tg x = –1/3, x = arctg (–1/3) + k, k Z.

Проверка: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

х = /2 + n, n э Z. Является корнем уравнения.

Ответ: х = arctg(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2)Функционально-графический метод. О.Д.З. х – любое.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Построим графики функций: y = sinx, y = cosx + 1.

Ответ: х = /2 + 2 n, Z ; x = + 2k, k Z.

3) Введение вспомогательного аргумента. О.Д.З.: х – любое.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, т.к. (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, то существует такое , что sin = 8/17,

cos = 15/17, значит sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

sin (x + ) = 1.

Ответ: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Понижение порядка: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. О.Д.З.: х – любое.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Ответ: х = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

При

k = 1 и m = 0
k = 4 и m = 1.

серии совпадают.

3. Сведение к однородному. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ОДЗ: х – любое.
5 sin 2 х + 3 sinx cosx + 6cos 2 х – 5 sin 2 х – 5 cos 2 х = 0
3 sinxcosx + cos 2 х = 0 (1) делить на cos 2 х нельзя, так как теряем корни.
cos 2 х = 0 удовлетворяет уравнению.
cosx ( 3 sinx + cosx ) = 0
cosx = 0, 3 sinx + cosx = 0.
х = /2 + k, k Z. tgx = –1/3 , x = –/6 + n, n Z.

Ответ: х = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Уравнение вида: А(sinx + cosx) + В sin2x + С = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. О.Д.З.: х – любое.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | 2 – 5t + 2 = 0. t₁ = 2, t₂ = Ѕ.
sinx + cosx = Ѕ. cosx = sin(x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin( 1/2 O 2 ) + k, k Z.

Ответ: х = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Разложение на множители.

1) cos 2 х – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) сosx = 2, корней нет.
2) сosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Ответ: x = arctg(1/2) + n, n Z.

III. Проблемы возникающие при решении тригонометрических уравнений

1. Потеря корней: делим на g(х); применяем опасные формулы.

1) Найдите ошибку.

1 – сosx = sinx *sinx/2,
1 – сosx = 2sin 2 х/2 формула.
2 sin 2 х/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx /2 разделим на 2 sin 2 х/2,
1 = сosx/2
х/2 = 2 n, x = 4n, n ‘ Z.
Потеряли корни sinx/2 = 0, х = 2k, k Z.

Правильное решение: 2sin 2 х/2(1 – сosx /2) = 0.

sin 2 х/2 = 0
x = 2

k, k

1 – сosx /2 = 0
x = 4p n, n

2. Посторонние корни: освобождаемся от знаменателя; возводим в четную степень.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3 ) = 0. О.Д.З.: sin2x 3 / 2.

2сos3х sinx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(сos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0
х =

/3 + 2

n/3, n

2). 2sinx – 1 = 0
x = (–1) k

/6 +

k, k

I. х =

/3 + 2

n/3
1. n = 0
sin 2

/3 =

3 / 2
не удовлетворяют. О.Д.З.

2. n = 1
sin 2= 0
удовлетворяют О.Д.З.

3. n = 2
sin 2/ 3 = –3 / 2
удовлетворяют О.Д.З.

II. x = (–1) k

/6 +

k, k

Z
1. k = 0
sin 2

/6 =

3 / 2
не удовлетворяют О.Д.З.
2. k = 1
sin 2*5

/6 = –

3 / 2
удовлетворяют О.Д.З.

Ответ: х = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z.

2). введем подстановку t = 2x,
, cos t > 0.
1 – sin t = 2 cos 2 t

1). sin t = –1,
t = –

/2 + 2

k, k

2). sin t = 1/2,
t = (–1) n

/6 +

n, n

I. t = – /2 + 2 k, k Z; 1. k = 0 t = – /2 удовлетворяют О.Д.З.	II. t = (–1) n /6 + n, n Z; 1. n = 0 t = /6 удовлетворяют О.Д.З. 2. n = 1 t = 5 /6 не удовлетворяют О.Д.З.
Ответ: t = – /2 + 2 k, x = – /4 + k, k Z,	t = /6 + 2 n, x = /12 + n, n Z.

3. Отбор корней.

1). tgx + tg2x = tg3x О.Д.З.: х /2+ k, x /4 + k, x /6 + k, k Z.

sin3x sinx sin2x = 0
sin3x = 0
x =

n/3, n

n = 0, x = 0 уд.
n = 1, x = /3 уд.
n = 2, x = 2 /3 уд.
n = 3, x = уд.
n = 4, x = 4 /3 уд.
n = 5, x = 5 /3 уд.

sinx = 0
x =

h, h

h = 0, x = 0 уд.
h = 1, x = уд.
h = 2, x = 2 уд.

sin2x = 0
x =

m/2, m

m = 0, x = 0 уд.
m = 1, x = /2 не уд.
m = 2, x = уд.
m = 3, x = 3 /2 не уд.

Ответ: x = n/3, n Z.

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение sinx = a, x- неизвестная переменная, a – некоторое постоянное число.

а) Если a>1 или a n arcsina+πn, n .

Например, решение уравнения sinx = 0,3 записывается в виде:

x = (-1) n arcsin0,3+πn, n .

Уравнение соsx = a, x- неизвестная переменная, a – некоторое постоянное число.

а) Если a>1 или a 1, то решений нет. Ответ: решений нет.

б) x =(-1) k arcsin(- )+ x =(-1) k +

x =(-1) k +1 + Ответ: (-1) k +1 +

в) Так как -2,3>1, то решений нет; Ответ: решений нет.

г) x= , x= ;

Ответ: ;

д) tgx = , x = arctg + x = + Ответ: +

3.Виды тригонометрических уравнений:

1.Уравнения, в которых можно выполнить замену переменной

Такие тригонометрические уравнения можно привести, например, к виду

где a,b,c – некоторые действительные числа,a ≠0, f(x)- одна из тригонометрических функций.

Например, 4sin 2 x +5 sinx+1 = 0.

Обозначим sinx = t, (1)тогда данное уравнение можно записать в виде:

4t 2 +5t +1 = 0, это квадратное уравнение относительно t, найдем его корни.

Подставим найденные значения t₁ и t₂ в равенство (1).

Получим простейшие тригонометричкские уравнения sinx =-1,sinx =- 0,25.

Решение первого уравнения x= — Решение второго уравнения

x =(-1) k+1 arcsin0,25+

Ответ: — ; (-1) k+1 arcsin0,25+

Решить уравнение sin 2 x + cosx +1= 0.

sin 2 x + cosx +1= 0, заменяя sin 2 x = 1- cos 2 x, получим 1- cos 2 x+ cosx +1= 0,

cos 2 x — cosx -2= 0.

Обозначим cosx = t, (1)тогда данное уравнение можно записать в виде:

t 2 -t -2 = 0, это квадратное уравнение относительно t найдем его корни.

Подставим найденные значения t₁ и t₂ в равенство (1).

Получим простейшие тригонометричкские уравнения cosx = -1, cosx = 2.

Решение первого уравнения x=

Второе уравнение решений не имеет, т.к. 2>1.

Ответ: ,

2.Однородные тригонометрические уравнения.

Такие уравнения можно привести к виду a∙sin 2 x+bsinxcosx+ k∙cos 2 x= 0,

a,b,k – некоторые действительные числа, a≠0, k≠0.

Например, 4sin 2 x +5sinx cosx+cos 2 x = 0.Такие уравнения – однородные уравнения второй степени

Чтобы решить такое уравнение, надо:

1. Разделить почленно обе части уравнения на cos 2 x ≠ 0,т.е.

4 ;

2.Выполнить преобразования: 4 4tg 2 x +5tgx+1=0.

3.Решить квадратное уравнение относительно tgx, tgx =t.

tgx = -1, tgx = — 0,25.

x = arctg(-1)+πk, или x = arctg(-0,25)+πn, ,

x = — +πk, или x = — arctg 0,25+πn, .

Ответ: — +πk, ; — arctg0,25+πn,

Решить уравнение 4sin 2 x +sin2x -3 = 0.

Заменим в данном уравнении sin2x по формуле двойного аргумента на 2sinxcosx, а 3- на 3sin 2 x +3сos 2 x , т.к. sin 2 x +сos 2 x =1, получим:

4sin 2 x +2sinxcosx-3sin 2 x -3сos 2 x =0, sin 2 x +2sinxcosx-3сos 2 x =0.

Последнее уравнение – однородное. Решим его:

1. ;

2. tg2x +2tgx — 3= 0.

3. tgx =t, t 2 +2t — 3= 0. D=16, t1= 1;t2= -2 .

x = arctg1+πk, или x = arctg(-3)+πn, ,

x = +πk, или x = — arctg 3+πn, .

Ответ: +πk, ; — arctg3+πn,

Для решения однородных уравнений можно использовать следующую таблицу:

1. Привести уравнение к виду

2. Решить уравнение

3.Уравнение вида asinx+bcosx=c

Чтобы решить уравнение такого вида (например,3sinx+4cosx=2), можно 1.Записать его в виде sin(x +t) = ( в нашем случае sin(x +t) = ,

sin(x +t) = ).

2.Решить простейшее тригонометрическое уравнение: sin(x +t) =

( в нашем случае sin(x +t) = , x+t =(-1) k arcsin0,4 +πk, ;

x = (-1) k arcsin0,4 – t +πk, ;

3. Определить t, t = arctgb/a ( в нашем случае t = arctg4/3);

4. Записать ответ: x = (-1) k arcsin0,4 – arctg4/3+πk, .

Решите уравнение 2sinx +cosx = 1.

1. sin(x +t) = , sin(x +t) = ;

2. x+t = (-1) k arcsin +πk, , x = (-1)k arcsin -t+πk, ;

4. , x = (-1) k arcsin -arctg0,5 +πk, /

Для решения уравнения вида , где можно использовать следующую таблицу:

Уравнение	Равносильное уравнение	Дополнительное условие
		, , .

Если левая часть тригонометрического уравнения содержит лишь одно из выражений или и функцию (или произведение ), то, вводя новую переменную или и учитывая, что , , приходим к уравнению относительно .