Решение уравнений вида синус х равно а

Арксинус. Решение уравнения sin x = a

п.1. Понятие арксинуса

В записи \(y=sinx\) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – синус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному синусy найти угол. Но одному значению синусa соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(sinx=1\), то \(x=\frac\pi2+2\pi k,\ k\in\mathbb\); если \(sinx=0\), то \(x=\pi k,\ k\in\mathbb\) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором синус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: \(-\frac\pi2 \leq x\leq \frac\pi2\) (правая половина числовой окружности).

\(arcsin\frac12=\frac\pi6,\ \ arcsin\left(-\frac<\sqrt<3>><2>\right)=-\frac<\pi><3>\)
\(arcsin2\) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arcsinx

1. Область определения \(-1\leq x\leq1\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу \(-\frac\pi2\leq arcsinx\leq \frac\pi2\) . Область значений \(y\in[-\frac\pi2; \frac\pi2]\)
3. Максимальное значение \(y_=\frac\pi2\) достигается в точке x=1
Минимальное значение \(y_=-\frac\pi2\) достигается в точке x =-1
4. Функция возрастает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.
6. Функция нечётная: \(arcsin(-x)=-arcsin(x)\) .

п.3. Уравнение sin⁡x=a

Значениями арксинуса могут быть только углы от \(-\frac\pi2\) до \(\frac\pi2\) (от -90° до 90°). А как выразить другие углы через арксинус?

Углы в левой части числовой окружности записывают как разность π и арксинуса (угла справа). А остальные углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арксинуса и величин, которые «не помещаются» в область значений арксинуса.

1) Решим уравнение \(sinx=\frac12\).
Найдем точку \(\frac12\) в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через через эту точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам \(\frac\pi6\) и \(\frac<5\pi><6>\) — это базовые корни.
Если взять корень справа \(\frac\pi6\) и прибавить к нему полный оборот \(\frac\pi6+2\pi=\frac<13\pi><6>\), синус полученного угла \(sin\frac<13\pi><6>=\frac12\), т.е. \(\frac<13\pi><6>\) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида \(\frac\pi6+2\pi k\) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида \(\frac<5\pi><6>+2\pi k\).
Получаем ответ: \(x_1=\frac\pi6+2\pi k\) и \(x_2=\frac<5\pi><6>+2\pi k\)
Заметим, что \(arcsin\frac12=\frac\pi6\). Полученный ответ является записью вида
\(x_1=arcsin\frac12+2\pi k\) и \(x_2=\pi-arcsin\frac12+2\pi k\)
А т.к. арксинус для \(\frac12\) точно известен и равен \(\frac\pi6\), то мы его просто подставляем и пишем ответ. Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение \(sinx=0,8\)

Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению правая точка – это угол, равный arcsin0,8. Тогда левая точка – это разность развернутого угла и арксинуса, т.е. (π–arcsin⁡0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: \(x_1=arcsin0,8+2\pi k,\) \(x_2=\pi-arcsin0,8+2\pi k\)

Докажем, что семейства решений для корней справа и слева можно записать одним выражением \(x=(-1)^k arcsina+\pi k\).
Действительно, для чётных \(k=2n\) получаем: $$ x=(-1)^ <2n>arcsina+\pi \cdot 2n=arcsina+2\pi n $$ это семейство решений для корня справа (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Для нечётных \(k=2n+1\):
$$ x=(-1)^ <2n+1>arcsina+\pi \cdot (2n+1)=-arcsina+2\pi n +\pi=\pi-arcsina+2\pi n $$ это семейство решений для корня слева (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Обратное преобразование двух семейств решений в общую запись аналогично.
Следовательно: $$ x=(-1)^k arcsina+\pi k\Leftrightarrow \left[ \begin x=arcsina+2\pi n\\ x=\pi-arcsina+2\pi n \end \right. $$ Что и требовалось доказать.

Для примеров, решённых выше, можем записать: $$ 1) \left[ \begin x_1=\frac\pi6+2\pi k\\ x_2=\frac<5\pi><6>+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^k\frac\pi6 +\pi k $$
$$ 2) \left[ \begin x_1=arcsin0,8+2\pi k\\ x_2=\pi-arcsin0,8+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^karcsin0,8 +\pi k $$ Выбор общей или раздельной записи решения зависит от задачи.
Как правило, если ответ еще не найден, и нужны дальнейшие преобразования, решение записывают как два раздельных семейства.
Если же просто нужно записать ответ, то пишут общее выражение.

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арксинусу. Постройте графики арксинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для \(y=arcsinx\) область определения \(-1\leq x\leq 1\), область значений \(-\frac\pi2\leq y\leq \frac\pi2\).
Обратная функция \(y=sinx\) должна иметь ограниченную область определения \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\) и область значений \(-1\leq y\leq 1\).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) \(sin x=-1\) \(x=-\frac\pi2+2\pi k\)	б) \(sin x=\frac<\sqrt<2>><2>\) $$ \left[ \begin x_1=\frac\pi4+2\pi k\\ x_2=\frac<3\pi><4>+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^\frac<\pi> <4>+\pi k $$
в) \(sin x=0\) \(x=\pi k\)	г) \(sin x=\sqrt<2>\) \(\sqrt<2>\gt 1,\ \ x\in\varnothing\) Решений нет
д) \(sin x=0,7\) \begin \left[ \begin x_1=arcsin(0,7)+2\pi k\\ x_2=\pi-arcsin(0,7)+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\ x=(-1)^k arcsin(0,7) +\pi k \end	e) \(sin x=-0,2\) Арксинус нечетный, поэтому: $$ srcsin(-0,2)=-arcsin(0,2) $$ Получаем: \begin \left[ \begin x_1=-arcsin(0,2)+2\pi k\\ x_2=\pi+arcsin(0,7)+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow x=(-1)^arcsin(0,2) +\pi k \end

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arcsin0,2;\ \ arcsin(-0,7);\ \ arcsin\frac\pi4 $$

Способ 1. Решение с помощью числовой окружности

Отмечаем на оси синусов (ось OY) точки с абсциссами 0,2; -0,7; \(\frac\pi4\approx 0,79\)
Значения синусов (углы) считываются на правой половине окружности: чем больше синус (от -1 до 1), тем больше угол (от \(-\frac\pi2\) до \(\frac\pi2\)).
Получаем: $$ arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4 $$Способ 2. Решение с помощью графика \(y=arcsinx\)

Отмечаем на оси OY аргументы 0,2; -0,7; \(\frac\pi4\approx 0,79\). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арксинусов по возрастанию: $$ arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4 $$Способ 3. Аналитический
Арксинус – функция возрастающая: чем больше аргумент, тем больше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по возрастанию: -0,7; 0,2; \(\frac\pi4\).
И записываем арксинусы по возрастанию: \(arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4\)

Пример 4*. Решите уравнения:
\(a)\ arcsin(x^2-3x+3)=\frac\pi2\) \begin x^2-3x+3=sin\frac\pi2=1\\ x^2-3x+2=0\\ (x-2)(x-1)=0\\ x_1=1,\ x_2=2 \end Ответ:

\(б)\ arcsin^2x-arcsinx-2=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arcsin x,\ -\frac\pi2\leq t\leq \frac\pi2\)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-2=0\Rightarrow (t-2)(t+1)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=2\gt \frac\pi2 — \text<не подходит>\\ t_2=-1 \end \right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: \begin arcsinx=-1\\ x=sin(-1)=-sin1 \end Ответ: -sin1

\(в)\ arcsin^2x-\pi arcsinx+\frac<2\pi^2><9>=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arcsin x,\ -\frac\pi2\leq t\leq \frac\pi2\)
Решаем квадратное уравнение: \begin t^2-\pi t+\frac<2\pi^2><9>=0\\ D=(-\pi)^2-4\cdot \frac<2\pi^2><9>=\frac<\pi^2><9>,\ \ \sqrt=\frac\pi3 \Rightarrow \left[ \begin t_1=\frac<\pi-\frac\pi3><2>=\frac\pi3\\ t_2=\frac<\pi+\frac\pi3><2>=\frac<2\pi><3>\gt \frac\pi2 — \text <не подходит>\end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной:
\begin arcsinx=\frac\pi3\\ x=sin\frac\pi3=\frac<\sqrt<3>> <2>\end Ответ: \(\frac<\sqrt<3>><2>\)

Уравнение. Простейшее тригонометрическое уравнение sin х = а.

Существует возможность отобразить всякий корень уравнения sin х = а, как абсциссу некой точки пересечения синусоиды у =sinх и прямой у = а, и, соответственно верно обратное, абсцисса всякой такой точки пересечения выступает одним из корней уравнения.

При | а| >1 синусоида у = sin х не пересечется с прямой у = а. В данном случае у уравнения нет корней.

При а = 0 у уравнение sin x = а будут корни:

где m изменяется по всем целым числам (m = 0, ±1, ±2, ±3, . ).

Несомненно, arcsin0 = 0 и соответственно получаем (-1) m arcsin 0 + mπ = mπ.

При а = 1, корни уравнения определяются по формуле:

где k изменяется по всем целым числам (k = 0, ±1, ±2, ±3, . ).

Для обоснования формулы выполним подстановку: а = 1 в формулу:

(-1) m arcsin0+ mπ = mπ и принимая к сведению, что arcsin 1= π /₂, имеем: (- 1) m arcsin 1 + mπ= (- 1) mπ /₂ + mπ.

где k изменяется по всем целым числам (k = 0, ±1, ±2, ±3, . . .).

Необходимо учитывать, что все вышеуказанные формулы можно применять в том случае, когда искомый угол х представлен в радианах. Когда х представлен в градусах, то эти формулы нужно преобразовать.

К примеру, вместо формулы (-1) m arcsin 0 + mπ = mπ необходимо применять формулу х= (-1) m arcsinа + 180m, вместо формулы х = mπ — формулу х= 180 m и т. д.

План-конспект урока в 10-м классе по теме «Арксинус. Решение уравнения sin x = a»

Разделы: Математика

Цели урока:

• вывести общую формулу решений уравнения ;
• сформировать навык решения уравнения
• дать определение арксинуса.

Задачи урока:

• формирование умения решать данные уравнения;
• создание условий, способствующих воспитанию у учащихся внимательности и аккуратности в решении уравнения.

Тип урока: модульный урок.

Формы контроля: самопроверка самостоятельно решённых задач, проверка самостоятельной работы учителем на оценку.

Оборудование: ноутбук, мультимедийный проектор, экран.

План урока:

1. мотивационная беседа, завершающаяся постановкой интегрирующей цели урока;
2. входной контроль (повторение изученного ранее материала);
3. работа с новым материалом;
4. закрепление изученного материала;
5. завершающий контроль (проверка усвоенного на уроке материала);
6. рефлексия.

Ход урока

В тригонометрии важное место уделено решению тригонометрических уравнений. Методов решения тригонометрических уравнений несколько, но невозможно будет их решить, не умея решать простейшие. Уравнения с косинусом учащиеся уже умеют решать, на данном уроке познакомить их с уравнениями, содержащими синус. Для решения простейших тригонометрических уравнений используется трёхшаговый алгоритм:

1. составить общую формулу;
2. вычислить значение арксинуса (арккосинуса);
3. подставить найденное значение в общую формулу.

Вспомнить формулу для решения уравнения с косинусом и предложить учащимся выполнить самостоятельную работу (7-8 минут).

На экран, с помощью ноутбука, выводится задание:

I вариант	II вариант
Решите уравнения:
1. 2. 3. 4. 5.	1. 2. 3. 4. 5.

После выполнения данной работы на экран вывести решение, учащиеся сверяют своё решение с решением на экране. При необходимости провести необходимую коррекцию, учителю ответить на вопросы, которые возможно возникнут у учащихся по решению уравнений. Учащиеся выставляют себе оценку (по количеству верно решённых уравнений).

Рассмотрим простейшее тригонометрическое уравнение: где -1

Определение: Если то arcsin a (арксинус а) – это такое число из отрезка синус которого равен а. Итак:

если то
arcsin a = х

Теперь сделаем общий вывод о решении уравнения

Если то уравнение имеет две серии решений: х₁=

В трёх случаях предпочитают пользоваться не полученной общей формулой, а более простыми соотношениями:

=1 , x =
= 0 , x =
= -1, x = —

Объяснить учащимся, что означает в формуле запись (+ 2, почему в одном случае 2.

Есть формула в сокращённом виде, она выглядит так х = (-1) k arcsin a + Но об этом мы поговорим позже, когда научимся пользоваться основной формулой, т.к. сейчас в задании С₁ в тестах ЕГЭ предпочтительнее пользоваться не этой сокращённой формулой, а формулой записанной в виде двух.

Рассмотрим решение простейших уравнений:

(оформление решений на доске, 1, 6, 8 – объяснение учителя, остальные – учащиеся)

1. Sin x =
2. Sin x =
3. Sin x = 1
4. Sin x =
5. Sin x =
6. Sin 2x =
7. Sin
8. 2Sin (3x —
9. 2Sin (

Для решения уравнений учащиеся (особенно слабоуспевающие учащиеся) пользуются таблицей тригонометрических значений (таблица на демонстрационном стенде и на столах учащихся).

Но лучше при нахождении корней уравнения пользоваться единичной окружностью:

(научить учащихся находить значения по числовой окружности).

Проконтролировать умения учащихся решать простейшие тригонометрические уравнения можно с помощью предложенной ниже самостоятельной работы:

(Задание выводится на экран, заранее текст набрать на ноутбуке и вывести на экран):

I вариант	II вариант
1	Вычислите: arcsin	1	Вычислите: arcsin
2	Решите уравнения: sin x = 0	2	Решите уравнения: sin x = -1
3	Sin x =	3	Sin x = 0,5
4	Sin x = —	4	Sin x =
5	2sin x =	5	2 sin x = —
6	Sin (2x —	6	Sin (

Учащиеся сдают тетради с выполненной самостоятельной работой учителю на проверку. Учитель объявляет, что за любые пять заданий выставляется отметка «5», за четыре – «4», за три «3», отметка «2» выставляться не будет, нужна будет дополнительная работа с учащимися, не справившимся с работой (если такие будут). И далее повторное выполнение работы, идентичной данной.

После этого учитель показывает на экране решение самостоятельной работы.

Провести рефлексию. Дать учащимся возможность проанализировать свои ошибки (а такие учащиеся найдутся, т.к. в общеобразовательной школе на базовом уровне математику изучают все учащиеся и слабоуспевающие в том числе).

Подвести итоги урока.

Учащимся записать домашнее задание: выучить формулу, изученную на уроке; прочитать теоретический материал по учебнику и выполнить упражнения из учебника по данной теме (с указанием №№).

Провести анализ урока:

Урок проведён в 10 «б» классе.

Количество учащихся – 26. Данный материал оказался доступным и интересным для учащихся. В самостоятельной работе учащиеся показали уровень сформированности навыков решения простейших тригонометрических уравнений (приведён в таблице). Тема урока актуальна тем, что в ЕГЭ (часть В, задание С₁) включены в основном простейшие уравнения и у учащихся по данной теме должны быть сформированы устойчивые знания и умения.

Результаты самостоятельных работ:

Из таблицы видно, что в основном все учащиеся справились с уравнениями, хотя есть над, чем поработать ещё на следующем уроке. В уравнениях с косинусом нужна коррекция знаний учащихся, с синусом – выполнять тренировочные упражнения для ликвидации пробелов. В основном учащиеся допускают ошибки при нахождении корней уравнения по единичной окружности или таблице. Минус работы с таблицей – слабые учащиеся не смогут её выучить, а значит на ЕГЭ, возможно, не смогут правильно записать ответ. На первых этапах изучения темы ею можно пользоваться, но на последующих уроках нужно развивать навык работы с единичной окружностью до автоматизма. Тема эта была изучена до решения уравнений, с применением методов.