Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень
Продолжаем изучать методы решения уравнений. Сейчас мы в деталях разберем метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Начнем с теории: рассмотрим, для решения каких уравнений применяется метод, опишем, в чем он состоит, приведем теоретическое обоснование метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, запишем соответствующие алгоритмы решения уравнений. После этого сосредоточимся на практике и рассмотрим разнообразные примеры решения уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
Для решения каких уравнений применяется
Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень в первую очередь применяется для решения иррациональных уравнений. Это объясняется тем, что возведение в натуральную и большую единицы степень позволяет избавляться от корней. Например, возведение в степень позволяет избавляться от корней при решении следующих уравнений:
- , C≥0 , в частности, , и т.п. Возведение в квадрат обеих частей первого уравнения позволяет перейти к уравнению , и дальше – к сравнительно простому уравнению без знаков корней x 2 −5=4 . Аналогично, возведение обеих частей второго уравнения в шестую степень приводит к уравнению и дальше — к элементарному уравнению 4−5·x=0 .
- , например, , и др. В первом случае избавиться от корня позволяет возведение обеих частей уравнения в квадрат, а во втором случае – в куб.
- и , таких как , и подобные им. Для первого уравнения напрашивается возведение его обеих частей в квадрат, для второго – в шестую степень.
- уравнений с двумя, тремя корнями в записи, например, и . В таких случаях для избавления от знаков радикалов к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же степень приходится обращаться дважды: первый раз в самом начале, второй раз – после преобразований и уединения радикала.
- уравнений, в которых под знаком корня находятся другие корни, к примеру, . Здесь также к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же степень приходится прибегать два раза.
- и это не весь список.
Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень используется и для решения некоторых уравнений, в которых переменная находится в основаниях степеней с дробными показателями. Например, уравнение можно решить методом возведения его обеих частей в дробную степень 6/11 .
Также метод возведения частей уравнения в степень применяется при решении некоторых степенных уравнений, в которых фигурируют иррациональные показатели. В пример приведем два уравнения и . Возведение их обеих частей в одну и ту же степень (в первом случае в степень , во втором – в степень ) позволяет избавиться от степеней с иррациональными показателями и перейти к сравнительно простым уравнениям.
В чем состоит метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень
Метод состоит в переходе к уравнению, которое получается из исходного путем возведения его обеих частей в одну и ту же степень, и нахождении решения исходного уравнения по решению полученного уравнения.
На практике наиболее часто прибегают к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень, большую единицы, то есть, в квадрат, куб и т.д. Делается это на базе следующего утверждения:
Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень дает уравнение-следствие, а возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень, большую единицы, дает равносильное уравнение (см. равносильные уравнения и уравнения-следствия).
Реже приходится обращаться к возведению обеих частей уравнения в другие степени, в частности, в дробные рациональные и иррациональные. В этих случаях отталкиваются от такого утверждения:
Уравнение A(x)=B(x) , на области допустимых значений переменной x для которого A(x)>0 или A(x)≥0 , B(x)>0 или B(x)≥0 , равносильно уравнению A r (x)=B r (x) , где r – положительное действительное число.
Обоснование метода
Обоснованием метода возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень является доказательство утверждений из предыдущего пункта. Приведем эти доказательства.
Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень дает уравнение-следствие, а возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.
Докажем его для уравнений с одной переменной. Для уравнений с несколькими переменными принципы доказательства те же.
Пусть A(x)=B(x) – исходное уравнение и x0 – его корень. Так как x0 является корнем этого уравнения, то A(x0)=B(x0) – верное числовое равенство. Мы знаем такое свойство числовых равенств: почленное умножение верных числовых равенств дает верное числовое равенство. Умножим почленно 2·k , где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x0)=B(x0) , это нам даст верное числовое равенство A 2·k (x0)=B 2·k (x0) . А полученное равенство означает, что x0 является корнем уравнения A 2·k (x)=B 2·k (x) , которое получено из исходного уравнения путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную натуральную степень 2·k .
Для обоснования возможности существования корня уравнения A 2·k (x)=B 2·k (x) , который не является корнем исходного уравнения A(x)=B(x) , достаточно привести пример. Рассмотрим иррациональное уравнение , и уравнение , которое получено из исходного путем возведением его обеих частей в квадрат. Несложно проверить, что нуль является корнем уравнения , действительно, , что то же самое 4=4 — верное равенство. Но при этом нуль является посторонним корнем для уравнения , так как после подстановки нуля получаем равенство , что то же самое 2=−2 , которое неверное. Этим доказано, что уравнение, полученное из исходного путем возведения его обеих частей в одну и ту же четную степень, может иметь корни, посторонние для исходного уравнения.
Так доказано, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную натуральную степень приводит к уравнению-следствию.
Остается доказать, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень дает равносильное уравнение.
Покажем, что каждый корень уравнения является корнем уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, и обратно, что каждый корень уравнения, полученного из исходного путем возведения его обеих частей в нечетную степень, является корнем исходного уравнения.
Пусть перед нами уравнение A(x)=B(x) . Пусть x0 – его корень. Тогда является верным числовое равенство A(x0)=B(x0) . Изучая свойства верных числовых равенств, мы узнали, что верные числовые равенства можно почленно умножать. Почленно умножив 2·k+1 , где k – натуральное число, верных числовых равенств A(x0)=B(x0) получим верное числовое равенство A 2·k+1 (x0)=B 2·k+1 (x0) , которое означает, что x0 является корнем уравнения A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Теперь обратно. Пусть x0 – корень уравнения A 2·k+1 (x)=B 2·k+1 (x) . Значит числовое равенство A 2·k+1 (x0)=B 2·k+1 (x0) — верное. В силу существования корня нечетной степени из любого действительного числа и его единственности будет верным и равенство . Оно в свою очередь в силу тождества , где a – любое действительное число, которое следует из свойств корней и степеней, может быть переписано как A(x0)=B(x0) . А это означает, что x0 является корнем уравнения A(x)=B(x) .
Так доказано, что возведение обеих частей иррационального уравнения в нечетную степень дает равносильное уравнение.
Доказанное утверждение пополняет известный нам арсенал, использующийся для решения уравнений, еще одним преобразованием уравнений – возведением обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Возведение в одну и ту же четную степень обеих частей уравнения является преобразованием, приводящим к уравнению-следствию, а возведение в нечетную степень – равносильным преобразованием. На этом преобразовании базируется метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
Утверждение, касающееся возведения обеих частей уравнения в одну и ту же положительную действительную степень, доказывается аналогично с опорой на единственность степени положительного числа с действительным показателем.
Алгоритмы решения уравнений методом возведения частей в одну и ту же степень
Есть смысл записать три алгоритма решения уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень: первый – для возведения в нечетную степень, второй – для возведения в четную степень, третий – для возведения в ненатуральную положительную степень.
Алгоритм решения уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же нечетную степень:
- Обе части уравнения возводятся в одну и ту же нечетную степень 2·k+1 .
- Решается полученное уравнение. Его решение есть решение исходного уравнения.
Алгоритм решения уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же четную степень:
- Обе части уравнения возводятся в одну и ту же четную степень 2·k .
- Решается полученное уравнение.
- Если полученное уравнение не имеет корней, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения.
- Если полученное уравнение имеет корни, то проводится отсеивание посторонних корней любым методом, не завязанным на области допустимых значений, например, через проверку подстановкой.
Обратите внимание: этот алгоритм, в отличие от предыдущего, содержит пункт, касающийся отсеивания посторонних корней. Это связано с тем, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень приводит к равносильному уравнению, а возведение обеих частей уравнения в четную степень в общем случае приводит к уравнению-следствию. Поэтому, в результате возведения в нечетную степень посторонние корни не возникают, а при возведении в четную степень посторонние корни могут появиться. Таким образом, при возведении частей уравнения в четную степень возникает необходимость в отсеивании посторонних корней. Почему отсеивание посторонних корней в этом случае нужно проводить методом, не использующим ОДЗ? Потому что возведение обеих частей уравнения в четную степень может приводить к появлению посторонних корней в пределах ОДЗ, и отсеять их по ОДЗ или по условиям ОДЗ невозможно.
Наконец, запишем алгоритм решения уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же положительную дробную рациональную или иррациональную степень:
- Убеждаемся, что выражения в левой и правой части уравнения не принимают отрицательных значений на ОДЗ для решаемого уравнения.
- Возводим обе части уравнения в одну и ту же положительную степень.
- Решаем полученное уравнение. Его решение дает искомое решение исходного уравнения.
Примеры решения уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень
Большое количество попадающих под разбираемую тему примеров с подробными решениями приведено в статье решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей в одну и ту же степень. В добавление к этим примерам стоит разобрать решение уравнения через возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, не являющуюся натуральным числом.
Решите уравнение
Решать заданное уравнение можно несколькими разными методами. Например, можно провести решение методом логарифмирования. Также можно преобразовать уравнение к виду и перейти к уравнению на основании метода освобождения от внешней функции, или, сославшись на единственность степени с данным основанием и данным показателем. Но в рамках текущей статьи нас интересует решение уравнения методом возведения его обеих частей в одну и ту же степень, поэтому, проведем решение именно этим методом.
Учитывая свойство степени в степени (см. свойства степеней), несложно догадаться, что избавиться от иррациональных показателей позволяет возведение обеих частей уравнения в степень . Здесь мимоходом заметим, что — положительное число (при необходимости смотрите сравнение чисел), и при этом не натуральное. Мы вправе осуществить задуманное возведение частей уравнения в положительную ненатуральную степень, так как степени, находящиеся в левой и правой части исходного уравнения, на ОДЗ для исходного уравнения не принимают отрицательных значений. При этом мы получим равносильное уравнение, что было обосновано в одном из предыдущих пунктов текущей статьи.
Итак, проводим возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень . Имеем . Это уравнение равносильно исходному, значит, решив его, мы будем иметь интересующее нас решение.
Решаем полученное уравнение:
Так мы пришли к кубическому уравнению x 3 −x 2 +2=0 . Один его корень x=−1 легко подбирается. Разделив многочлен x 3 −x 2 +2 на двучлен x+1 , получаем возможность представить кубическое уравнение в виде (x+1)·(x 2 −2·x+2)=0 . Квадратное уравнение x 2 −2·x+2=0 не имеет решений, так как его дискриминант отрицательный. Из этого заключаем, что уравнение x 3 −x 2 +2=0 имеет единственный корень x=−1 .
В процессе решения мы дважды отмечали, что нам будет необходимо сделать проверку найденных корней. Сейчас пришло это время. Проверку выполним через подстановку найденного корня x=−1 в исходное уравнение , имеем
Метод возведения в степень иррациональных уравнений
Метод возведения в степень
Метод возведения в степень является одним из наиболее распространённых методов решения задач с иррациональностями. Как уже отмечалось выше, при его использовании следует помнить, что любое уравнение и неравенство всегда можно возвести в нечётную степень, это преобразование является равносильным. Другое дело, если уравнение необходимо возвести в чётную степень. В общем случае это переход к следствию, чреватый появлением посторонних корней. Это допустимо, если возможно сделать проверку корней. Если же проверка по какой-либо причине затруднена или невозможна (например, когда при решении неравенств и некоторых уравнений получается бесконечно много решений), то следует сохранять равносильность выполняемых преобразований. Для этого перед очередным возведением в чётную степень следует не забывать выписывать условие неотрицательности обеих частей уравнения.
Если уравнение содержит несколько радикалов, то для последовательного избавления от них уравнение приходится возводить в степень несколько раз. В этом случае перед очередным возведением в степень часто используют приём уединения корня.
Пример №220.
Решение:
ОДЗ :
Далее метод возведения в степень (в данном случае в квадрат, так как в уравнение входят квадратные корни) можно применить двумя способами.
1-й способ. Приведём уравнение к виду
Обе части уравнения неотрицательны, поэтому, возведя его в квадрат, получим равносильное (на ОДЗ) уравнение:
2-й способ. Сразу возведём уравнение в квадрат
(переход к следствию) и, упростив, запишем в виде
Разложим полученное уравнение на множители
и сведём к совокупности
Так как в процессе решения задачи был переход к следствию, то необходимо сделать проверку полученных значений x подстановкой в ОДЗ или исходное уравнение (или в любое уравнение, равносильное исходному). Число (посторонний корень, образовавшийся из-за возведения в квадрат без учёта совпадения знаков обеих частей уравнения). Получаем тот же ответ. Ответ:
Пример №221.
Решение:
1-й способ. Возведём неравенство в куб, используя формулу
Заменяя, в силу исходного уравнения, выражение единицей и упрощая, получаем, как следствие, уравнение
Проверка показывает, что оба значения удовлетворяют исходному уравнению.
2-й способ. Приведём уравнение к виду
и после этого возведём его в куб:
Решая это уравнение как квадратное относительно , находим:
откуда получаем те же значения x .
Следует отметить, что второй способ в данном случае предпочтительней, так как полученное в конце квадратное уравнение имеет более простые коэффициенты (и не надо делать проверку). Ответ:
Пример №222.
Решение:
Возведём обе части уравнения в куб (равносильное преобразование):
Заменяя выражение выражением , получим уравнение, являющееся следствием исходного:
Это уравнение сводится к совокупности двух уравнений:
Решения первого уравнения есть . Второе уравнение имеет одно решение . Проверка показывает, что все четыре значения являются корнями исходного уравнения. Ответ:
Пример №223.
Решение:
Выпишем ОДЗ: но не будем сразу решать эту систему. Приступим к решению неравенства, переписав его в виде
добившись того, чтобы обе части неравенства стали неотрицательны (иначе неравенство возводить в квадрат нельзя). Только после этого возведём в квадрат, перейдя к равносильному (на ОДЗ) неравенству
После упрощения получим
Пример №224.
Решение:
Проверка подстановкой в исходное уравнение показывает, что все три числа являются решениями уравнения.
Замечание. Иногда при решении этой задачи записывают ОДЗ так:
Хочется предостеречь читателя от таких попыток, поскольку первые два условия в системе неверны, что подтверждается наличием среди корней уравнения числа На самом деле ОДЗ выглядит следующим образом:
Пример №225.
Решение:
Заметим, что x = -2 и x = 0 являются решениями уравнения (а числа x = — 4 и x = -3 — не являются). Найдём корни этого уравнения, отличные от x = -2 и x = 0 . Для них, согласно ОДЗ,
Возведём уравнение в квадрат, получив равносильное (на ОДЗ) уравнение:
Обе части последнего равенства положительны при — 2
Сократив на x+ 2(> 0) и х(
обе части которого отрицательны при -2
корни которого
Ответ:
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Уравнения-следствия: возведение уравнения в четную степень. 11-й класс
Разделы: Математика
Класс: 11
Продолжительность: 2 урока.
Цель урока:
- (для учителя) формирование у учащихся целостного представления о методах решения иррациональных уравнений.
- (для учащихся) Развитие умения наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать математические ситуации (слайд 2). Подготовка к ЕГЭ.
План первого урока (слайд 3)
- Актуализация знаний
- Разбор теории: Возведение уравнения в чётную степень
- Практикум по решению уравнений
План второго урока
- Дифференцированная самостоятельная работа по группам «Иррациональные уравнения на ЕГЭ»
- Итог уроков
- Домашнее задание
Ход уроков
I. Актуализация знаний
Цель: повторить понятия, необходимые для успешного освоения темы урока.
– Какие два уравнения называются равносильными?
– Какие преобразования уравнения называют равносильными?
– Данное уравнение заменить равносильным с пояснением применённого преобразования: (слайд 4)
а) х+ 2х +1; б) 5 = 5; в) 12х = -3; г) х = 32; д) = -4.
– Какое уравнение называют уравнением-следствием исходного уравнения?
– Может ли уравнение-следствие иметь корень, не являющийся корнем исходного уравнения? Как называются эти корни?
– Какие преобразования уравнения приводят к уравнениям-следствиям?
– Что называется арифметическим квадратным корнем?
Остановимся сегодня более подробно на преобразовании «Возведение уравнения в чётную степень».
II. Разбор теории: Возведение уравнения в чётную степень
Объяснение учителя при активном участии учащихся:
Пусть 2m (mN) – фиксированное чётное натуральное число. Тогда следствием уравнения f(x) = g(x) является уравнение (f(x)) = (g(x)).
Очень часто это утверждение применяется при решении иррациональных уравнений.
Определение. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня, называется иррациональным.
При решении иррациональных уравнений используют следующие методы: (слайд 5)
Переход к равносильной системе:
а) = или
Из двух систем решают ту, которая проще.
б) = а, аR
если а ≥ 0, то = а f(x) = а;
если а 19.06.2011
http://lfirmal.com/metod-vozvedeniya-v-stepen-irratsionalnyih-uravnenij/
http://urok.1sept.ru/articles/593149