Решение уравнений второй степени графически

Технологическая карта урока алгебры в 9 классе по теме: «Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными. Графический способ решения систем уравнений»
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

1. Разработка технологической карты урока алгебры в 9 классе по теме: » Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными. Графический способ решения систем уравнений.

2. Технологическая карта урока алгебры в 9 кл. по теме: Решение систем уравнений второй степени. Способ подстановкисистем уравнений второй степени с двумя переменными. Графический способ решения систем уравнений»

3. Технологическая карта урока алгебры в 9 классе по теме:: Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Технологическая карта урока алгебры в 9 классе

Тема: Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными. Графический способ решения систем уравнений.

• систематизировать понятие системы уравнений с двумя переменными, ее решения;
• рассмотреть графический способ решения системы уравнений;
• закрепить навыки построения графиков функций;

• развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки;
• развивать умение применять полученные знания к решению прикладных задач;
• расширение кругозора;

• воспитание познавательного интереса к предмету.

• уметь ориентироваться в своей системе знаний
• добывать новые знания.

• уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;
• проговаривать последовательность действий на уроке;
• работать по составленному плану;
• планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей;
• высказывать свое предположение.

• уметь выражать свои мысли в устной форме;
• слушать и понимать речь других.

• систематизация и оценивание новой информации

1. Орг. момент, мотивация урока.

Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя.

2. Математический диктант.

1. Зависимость переменной у от переменной х называется …

2. Все значения независимой переменной образуют…

3. Неравенство вида > или

4. В каких скобках записывается ответ при решении строгого неравенства?

5. Какие значения может принимать подкоренное выражение?

После того, как диктант закончен, учащиеся обмениваются листочками и самостоятельно проверяют, сверяя свои ответ с правильными ответами, записанными на доске. После чего каждый учащийся выставляет оценку по количеству набранных правильных ответов (за каждый правильный ответ – 1 балл).

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Какие функции нам знакомы из курса алгебры 7-9 классов?

Линейная. Прямая и обратная пропорциональность. Квадратичная функция. Уравнение окружности.

Рассмотрите графики следующих функций.

Назовите функции, графики которых здесь не представлены.

Для каждого графика выберите формулу, которой задается соответствующая функция

А. у =3х+1. Б. у= — 8/х В. у= х 2 Г. у= 0,5х 3

График уравнения с двумя переменными.

Вы знаете, что иллюстрацией уравнений служат их графики на координатной плоскости. Работа с таблицей.

Выражаем у через х

Данной формулой задается …функция

Графики уравнений с 2 переменными весьма разнообразны.

Обратите внимание на таблицу:

1. Если уравнение — первой степени, график всегда — прямая.
2. Если второй степени, то получается гипербола или парабола.
3. А если обе переменные входят в уравнение во второй степени, то какую линию имеем? Ответ учащихся: уравнение окружности.

3. Изучение нового материала.

Что такое система уравнений?

Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой.

— Что является решением системы уравнений с двумя переменными? (пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство).

— Является ли пара чисел (2;3) решением системы

х+2у=8

Какие способы решения систем уравнений вы знаете?

Какой способ решения изображен на рисунке? (Графический)

Вспомним алгоритм решения систем уравнений графическим способом:

1)Выразить в каждом уравнении у через переменную х,

2)Построить в одной системе координат графики полученных функций,

3)Рассмотреть взаимное расположение графиков.

Сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя переменными?

• одно, если прямые пересекаются;
• если прямые параллельны, то нет решения;
• если прямые совпадают, то бесконечное множество решений.

План решения системы уравнений графическим способом

1. Выразить переменную у в первом уравнении.
2. Выразить переменную у во втором уравнении.
3. В одной системе построить графики данных функций.
4. Координаты точки пересечения графиков и является решением системы уравнений.

Графический способ не всегда обеспечивает высокую точность результата, не всегда решения являются точными. В основном этот метод применяется для:

— нахождения приближенных решений;

— с помощью этого метода легко выяснить, сколько решений может иметь система уравнений.

Чтобы проверить точность полученных решений, их нужно подставить в уравнения системы!

— Ребята, как определяется степень целого уравнения с одной переменной? (Если уравнение с одной переменной записано в виде Р(х) = 0, где Р(х) — многочлен стандартного вида, то степень этого многочлена называют степенью уравнения ).

Степень целого уравнения с двумя переменными определяется аналогично. Чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого — многочлен стандартного вида, а правая — нуль.

1. На рисунке изображены графики функций

и .

Используя график, решите систему уравнений

2) Решить систему уравнений графическим способом по алгоритму:

— окружность, сначала по часовой стрелке, затем против часовой

— парабола с коэффициентом, а= 5

— парабола с коэффициентом, а= -0,5

5. Закрепление нового материала.

Решить №444(1-3), 448(3, 4).

6. Самостоятельная работа.

1. Определить уравнения второй степени:

а) ху – 2у = 5; б) х 3 – у = 3; в) х 2 + 3у 2 =0

Ответы: 1) а; 2) б, в; 3) в; 4) а, в

2. Пара чисел (1; 0) является решением уравнения:

а) х 2 + у = 1; б) ху + 3 = х; в) у(х + 2 ) =0

Ответы: 1) а; 2) б, в; 3) в; 4) а, в

3. Уравнение окружности:

а) х 2 + у 2 = 4; б) (х –у) 2 + (у + 3) 2 = 9; в) х 2 + (3 –у) 2 =4

Ответы: 1) а, б; 2) б, в; 3) в; 4) а, в,

4.Решением системы уравнений ху + 4 = 0; у = (х – 1) 2 , является:

Ответы: 1) (1;4); 2) (1; — 4); 3) (-1; -4); 4) (-1;4)

Ответы к тесту:1) 4; 2) 4; 3) 4; 4) 4.)

7. Подведение итогов урока. Рефлексия. Д/з. Выучить п.18. Решить №421

• Составление кластера. Ребята, давайте повторим алгоритм решения систем уравнений второй степени с двумя переменными.
• Сравните 2 темы: решение систем линейных уравнений с двумя переменными и решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными.
• Что общего? (алгоритм решения).
• Есть различие? (число решений)

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными . Графический способ решения систем уравнений . Учитель математики первой квалификационной категории МБОУ «Рочегодская средняя школа» М.Д.Мамонова

«Величие человека в его способности мыслить » Блез Паскаль Цели урока: систематизировать понятие системы уравнений с двумя переменными, ее решения; рассмотреть графический способ решения системы уравнений; закрепить навыки построения графиков функций; развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки; развивать умение применять полученные знания к решению прикладных задач; расширение кругозора; воспитание познавательного интереса к предмету.

Математический диктант. 1. Зависимость переменной у от переменной х называется … 2. Все значения независимой переменной образуют … В каких скобках записывается ответ при решении строгого неравенства? Какие значения может принимать подкоренное выражение? Неравенство вида > или Технологическая карта урока алгебры в 9 классе

Тема: Решение систем уравнений второй степени . Способ подстановки.

• закрепить способ подстановки решения системы уравнений;
• закрепить навыки построения графиков функций;

• развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки;
• развивать умение применять полученные знания к решению прикладных задач;
• расширение кругозора;

• воспитание познавательного интереса к предмету.

• Личностные – самореализация учащихся на уроке;
• Метапредметные — закрепление коммуникативных и регулятивных навыков; умение работать индивидуально и в парах.
• Предметные — усвоение учебного материала.

1. Орг. момент, мотивация урока.

«Три пути ведут к знанию:

путь размышления – это путь самый благородный,

путь подражания – это путь самый легкий

и путь опыта – это путь самый горький».

2. Математический диктант.

1. Функция вида называется…

2. Все значения зависимой переменной образуют…

3. Неравенство вида > или

4. В каких скобках записывается ответ при решении не строгого неравенства?

5. Какие значения не должен принимать знаменатель дроби?

После того, как диктант закончен, учащиеся обмениваются листочками и самостоятельно проверяют, сверяя свои ответ с правильными ответами, записанными на доске. После чего каждый учащийся выставляет оценку по количеству набранных правильных ответов (за каждый правильный ответ – 1 балл).

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

(повторение необходимых теоретических сведений по теме, развитие умений говорить и слушать, работа проходит устно).

1. Что называется решением системы двух уравнений с двумя

2. Что значит решить систему уравнений?

3. Сколько решений может иметь система двух уравнений с двумя

переменными, если она содержит уравнение второй степени?

4. Какие существуют способы решения систем уравнений.

5. Повторите план решения системы графическим способом.

1. Является ли пара чисел (1;0) решением уравнения:

а) x² + y = 1, б) xy +3 = x, в) y(x + 2) = 0.

2. Выразите переменную y через x

а) 5x + y = 7, б) x – y = 2, в) 2x – 2y = 8.

3. Что является графиком уравнения?

4. Имеет ли решения система уравнений?

а) x² + у² = -5,

б) x + y = 2,

4. Изучение нового материала.

Алгоритм решения методом подстановки.

1. Выразить у через х (х через у) из первого уравнения системы.
2. Подставить полученное на первом шаге выражение вместо у во второе уравнение системы.
3. Решить полученное на втором шаге уравнение относительно х.
4. Подставить найденное на третьем шаге значение х в выражение у через х , полученное на первом шаге.
5. Записать ответ в виде пары значений (х;у) , которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шагах.)
6. Решить систему уравнений способом подстановки по алгоритму:

.

1. Выразим в уравнении первой степени х-5у=-2 одну переменную через другую х=-2+5у.
2. Подставим полученное выражение (-2+5у) в уравнение второй степени (-2+5у)-у 2 =16.
3. Приведем уравнение к уравнению с одной переменной

-2+5у-у 2 =-16, -у 2 +5у-2+16=0, -у 2 +5у+14=0 ·(-1), у 2 -5у-14=0.

1. Решим квадратное уравнение

у 2 -5у-14=0, а=1; в=-5; с=-14, D=в 2 -4ас=(-5) 2 -4·1·(-14)=25+56=81=9 2 0 – два корня.

У 1;2 = У 1 = У 2 =

1. Найдем значение второй переменной

Если У 1 =7, то х 1 =-2+5·7=33;

Если У 2 = -2, то х 2 =-2+5·(-2)=-2-10=-12.

(33;7); (-12; -2) – решения системы

x² + 2у = 6,

Упражнения для глаз с использованием геометрических фигур, расположенных на доске.

6. Закрепление нового материала.

7. Самостоятельная работа.

Решить в парах № 431

8. Подведение итогов урока. Рефлексия. Д/з. №433

• Сегодня на уроке я научился…
• Сегодня на уроке мне понравилось…
• Сегодня на уроке я повторил…
• Сегодня на уроке я закрепил…
• Сегодня на уроке я поставил себе оценку …
• Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения…
• В каких знаниях уверен…
• Помог ли урок продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету…
• Кому, над, чем следовало бы ещё поработать…
• Насколько результативным был урок сегодня…

Деятельность за урок

Предварительный просмотр:

Технологическая карта урока алгебры в 9 классе

Тема: Решение систем уравнений второй степени . Способ подстановки.

• закрепить способ подстановки решения системы уравнений;
• закрепить навыки построения графиков функций;

• развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки;
• развивать умение применять полученные знания к решению прикладных задач;
• расширение кругозора;

• воспитание познавательного интереса к предмету.

• Личностные – самореализация учащихся на уроке;
• Метапредметные — закрепление коммуникативных и регулятивных навыков; умение работать индивидуально и в парах.
• Предметные — усвоение учебного материала.

1. Орг. момент, мотивация урока.

«Три пути ведут к знанию:

путь размышления – это путь самый благородный,

путь подражания – это путь самый легкий

и путь опыта – это путь самый горький».

2. Математический диктант.

1. Функция вида называется…

2. Все значения зависимой переменной образуют…

3. Неравенство вида > или

4. В каких скобках записывается ответ при решении не строгого неравенства?

5. Какие значения не должен принимать знаменатель дроби?

После того, как диктант закончен, учащиеся обмениваются листочками и самостоятельно проверяют, сверяя свои ответ с правильными ответами, записанными на доске. После чего каждый учащийся выставляет оценку по количеству набранных правильных ответов (за каждый правильный ответ – 1 балл).

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

(повторение необходимых теоретических сведений по теме, развитие умений говорить и слушать, работа проходит устно).

1. Что называется решением системы двух уравнений с двумя

2. Что значит решить систему уравнений?

3. Сколько решений может иметь система двух уравнений с двумя

переменными, если она содержит уравнение второй степени?

4. Какие существуют способы решения систем уравнений.

5. Повторите план решения системы графическим способом.

1. Является ли пара чисел (1;0) решением уравнения:

а) x² + y = 1, б) xy +3 = x, в) y(x + 2) = 0.

2. Выразите переменную y через x

а) 5x + y = 7, б) x – y = 2, в) 2x – 2y = 8.

3. Что является графиком уравнения?

4. Имеет ли решения система уравнений?

а) x² + у² = -5,

б) x + y = 2,

4. Изучение нового материала.

Алгоритм решения методом подстановки.

1. Выразить у через х (х через у) из первого уравнения системы.
2. Подставить полученное на первом шаге выражение вместо у во второе уравнение системы.
3. Решить полученное на втором шаге уравнение относительно х.
4. Подставить найденное на третьем шаге значение х в выражение у через х , полученное на первом шаге.
5. Записать ответ в виде пары значений (х;у) , которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шагах.)
6. Решить систему уравнений способом подстановки по алгоритму:

.

1. Выразим в уравнении первой степени х-5у=-2 одну переменную через другую х=-2+5у.
2. Подставим полученное выражение (-2+5у) в уравнение второй степени (-2+5у)-у 2 =16.
3. Приведем уравнение к уравнению с одной переменной

-2+5у-у 2 =-16, -у 2 +5у-2+16=0, -у 2 +5у+14=0 ·(-1), у 2 -5у-14=0.

1. Решим квадратное уравнение

у 2 -5у-14=0, а=1; в=-5; с=-14, D=в 2 -4ас=(-5) 2 -4·1·(-14)=25+56=81=9 2 0 – два корня.

У 1;2 = У 1 = У 2 =

1. Найдем значение второй переменной

Если У 1 =7, то х 1 =-2+5·7=33;

Если У 2 = -2, то х 2 =-2+5·(-2)=-2-10=-12.

(33;7); (-12; -2) – решения системы

x² + 2у = 6,

Упражнения для глаз с использованием геометрических фигур, расположенных на доске.

6. Закрепление нового материала.

7. Самостоятельная работа.

Решить в парах № 431

8. Подведение итогов урока. Рефлексия. Д/з. №433

• Сегодня на уроке я научился…
• Сегодня на уроке мне понравилось…
• Сегодня на уроке я повторил…
• Сегодня на уроке я закрепил…
• Сегодня на уроке я поставил себе оценку …
• Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения…
• В каких знаниях уверен…
• Помог ли урок продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету…
• Кому, над, чем следовало бы ещё поработать…
• Насколько результативным был урок сегодня…

Деятельность за урок

Предварительный просмотр:

Технологическая карта урока алгебры в 9 классе

Тема: Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.

• познакомить учащихся с применением систем уравнений второй степени при решении задач; обеспечить овладение основными алгоритмическими приемами применения систем уравнений при решении задач; формирование умения переносить знания в новую ситуацию;
• развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки;
• формирование умения работать в группе.

Личностные: осознание математической составляющей окружающего мира.

Регулятивные: осознание возникшей проблемы, определение последовательности и составление плана и последовательности действий для решения возникшей проблемы, внесение необходимых дополнений и коррективов в план и способ действий в случае расхождения эталона.

Познавательные: моделирование ситуации из жизни, постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера, выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий, рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; владение монологической и диалогической формами речи, умение работать индивидуально.

1. Орг. момент, мотивация урока.

Математике должны учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни.

2. Математический диктант.

Составьте уравнение с двумя переменными, если:

1. Сумма двух натуральных чисел равна 16.
2. Периметр прямоугольника равен 12 см.
3. Одна сторона прямоугольника на 8 см больше другой.
4. Произведение двух натуральных чисел равно 28.
5. Диагональ прямоугольника равна 5 см.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Сформулируйте теорему Пифагора

Назовите формулы площади и периметра прямоугольника со сторонам a и b.

Назовите формулы площади и периметра квадрата со стороной а

Какие способы решения систем уравнений вам известны?

4. Изучение нового материала.

-Где же применяются системы уравнений? Сегодня мы начнем рассматривать задачи, решить которые можно с помощью систем уравнений второй степени с двумя переменными.

Этапы решения задач:

1. Составление математической модели (система уравнений).

2. Работа с составленной моделью.

3. Ответ на вопрос задачи.

Диагональ прямоугольника равна 10см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Что нам неизвестно?

Как обозначим эти неизвестные величины?

Как найти периметр нашего прямоугольника?

Составьте 1 уравнение системы: 2(х+у)=28

Как нам связать стороны с диагональю?

По теореме Пифагора получаем х 2 +у 2 =10 2 это второе уравнение системы

х+у=14

Алгоритм решения задач

— Выделения двух ситуаций

— Установление зависимости между данными задачи и неизвестными

— Решение системы уравнений

5 . Закрепление нового материала.

— «Волна»: пальцы сцеплены в замок, поочередно открывая и закрывая ладони, учащиеся имитируют движения волн.

— «Встреча с братом»: поочередно касаемся подушечками 2-5 пальцев руки с большим пальцем.

— «Кулачки»: сжимаем и разжимаем кулачки.

7. Самостоятельная работа.

1. Вариант

1. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.
2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого.

1. вариант

1. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.
2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 4 см меньше другого.

Задания для повторения

Выполни тест и угадай слово.

М) 576; К) 57, 6; А) 5,76; Т) свой ответ.

2. Произведение чисел 3,8 и 15 равно:

О) 57; М) 570; Н) 5,70; А) свой ответ.

3. Произведение чисел 0,735 и 1 равно:

О) 1; Д) 0; Л) 0,735; Ц) свой ответ.

4 . Если первый множитель 1,9, а второй множитель 2,1, то произведение равно:

М) 399; Д) 39,9 О) 3,99; Ц) свой ответ.

5 . Произведение чисел 2,5 и 0,4 равно:

М) 10; Н) 0,1; Д) 1; Ц) свой ответ.

6. Корень уравнения х : 0,04=2,4 равен:

М) 2,44; Д) 0,96 Е) 0,096; Ц) свой ответ.

7 .Если длина комнаты 7,6 м, а ширина 5,4 м, то ее площадь равна:

М) 41,04 м; Ц) 41,04 м²; О) 26 м²; Д) свой ответ.

Вот и получили слово: МОЛОДЕЦ!

8 . Подведение итогов урока. Д/з решить №465

Учащимся предлагается рисунок (у каждого на парте приготовлена заготовка), на котором нужно отметить свое местоположение для данного урока, т.е.:

• Если мало чего понятного и придется разбираться ещё раз с этим материалом, то вы у подножья горы;
• Если все предельно понятно, но вы не уверены в своих силах, то вы на пути к вершине;
• Если нет никаких вопросов и вы чувствуете власть над данной темой, то вы на пике.

Говорят, что математика – гимнастика ума, я надеюсь, что сегодняшний урок был для вас хорошей тренировкой, которая позволила стать более внимательными, собранными, сообразительными, заставила думать и творить что-то новое.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени Математике должны учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни. И.Л. Лобачевский Учитель математики первой квалификационной категории МБОУ «Рочегодская средняя школа» М.Д . Мамонова

Математический диктант Составьте уравнение с двумя переменными, если: Сумма двух натуральных чисел равна 16. Периметр прямоугольника равен 12 см. Одна сторона прямоугольника на 8 см больше другой. Произведение двух натуральных чисел равно 28. Диагональ прямоугольника равна 5 см. Сформулируйте теорему Пифагора Назовите формулы площади и периметра прямоугольника со сторонам a и b. Назовите формулы площади и периметра квадрата со стороной а Какие способы решения систем уравнений вам известны? Устный опрос:

Этапы решения задач: 1. Составление математической модели (система уравнений). 2. Работа с составленной моделью. 3. Ответ на вопрос задачи. Диагональ прямоугольника равна 10см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника. Что нам неизвестно? Как обозначим эти неизвестные величины? Как найти периметр нашего прямоугольника? Составьте 1 уравнение системы: 2( х+у )=28 Как нам связать стороны с диагональю? По теореме Пифагора получаем х 2 +у 2 =10 2 это второе уравнение системы х+у =14 х 2 +у 2 =100 Ответ: 6 и 8 см.

Алгоритм решения задач — Анализ условия — Выделения двух ситуаций — Введение неизвестных — Установление зависимости между данными задачи и неизвестными — Составление уравнений — Решение системы уравнений — Запись ответа Закрепление нового материала. Решить № 455,458 Физкультминутка . — «Волна»: пальцы сцеплены в замок, поочередно открывая и закрывая ладони, учащиеся имитируют движения волн. — «Встреча с братом»: поочередно касаемся подушечками 2-5 пальцев руки с большим пальцем. — «Кулачки»: сжимаем и разжимаем кулачки.

Самостоятельная работа. Вариант 1. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа. 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого. 2. Вариант 1 . Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа. 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 4 см меньше другого.

Задания для повторения Выполни тест и угадай слово. 1. 5, 76*100 =… М) 576; К) 57, 6; А) 5,76; Т) свой ответ. 2. Произведение чисел 3,8 и 15 равно: О) 57; М) 570; Н) 5,70; А) свой ответ. 3. Произведение чисел 0,735 и 1 равно: О) 1; Д) 0; Л) 0,735; Ц) свой ответ. 4 . Если первый множитель 1,9, а второй множитель 2,1, то произведение равно: М) 399; Д) 39,9 О) 3,99; Ц) свой ответ. 5 . Произведение чисел 2,5 и 0,4 равно: М) 10; Н) 0,1; Д) 1; Ц) свой ответ. 6. Корень уравнения х : 0,04=2,4 равен: М) 2,44; Д) 0,96 Е) 0,096; Ц) свой ответ. 7 .Если длина комнаты 7,6 м, а ширина 5,4 м, то ее площадь равна: М) 41,04 м; Ц) 41,04 м²; О) 26 м²; Д) свой ответ. Вот и получили слово: МОЛОДЕЦ!

Подведение итогов урока. Д/з решить №465 Рефлексия: отметьте свое местоположение для данного урока • Если мало чего понятного и придется разбираться ещё раз с этим материалом, то вы у подножья горы; •Если все предельно понятно, но вы не уверены в своих силах, то вы на пути к вершине; •Если нет никаких вопросов и вы чувствуете власть над данной темой, то вы на пике.

Методическая разработка урока по алгебре в 9-м классе на тему «Уравнения второй степени с двумя переменными и их графики. Решение систем уравнений второй степени»

Разделы: Математика

ОБОРУДОВАНИЕ.

На столах учащихся карточки с заданиями для самостоятельной работы, для работы в парах, оценочные листы.

На доске : высказывания великих людей о математике ( плакаты ), портреты Диофанта и Ферма, плакат с изображением кривых третьего и четвертого порядков: улитки Паскаля, строфоиды, лемнискаты, декартова листа.

Работа учащихся состоит из этапов. Итоги своей деятельности они фиксируют в оценочных листах, выставляя себе оценку за работу на каждом этапе урока, а также показывают свое эмоциональное состояние.

ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ УЧАЩЕГОСЯ. (Приложение №5)

по теме.(самостоятельная работа с последующей взаимопроверкой в парах )2.Графики уравнений.

Графическое решение систем двух уравнений с двумя неизвестными.3.Решение систем уравнений алгебраическими методами.4.Исследование систем уравнений.

ФОРМЫ РАБОТЫ НА УРОКЕ:

Фронтальный опрос, работа в парах, индивидуальная самостоятельная работа.

ХОД УРОКА.

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.

• Учитель сообщает учащимся тему и цель урока.
• Рассказывает о том, как будет построен урок.
• Знакомит с требованиями ведения оценочного листа.

2. ПЕРВЫЙ ЭТАП.

Выполните представленные на ней задания.

На работу отводится 5 минут. 6 человек, которые справятся с заданием первыми, поднимают руку и получают красную карточку. По истечении времени ученики меняются карточками №1и начинается взаимопроверка. По одному ученику с каждого варианта читают свои ответы. Остальные проверяют и ставят оценку за этот вид работы. Если в ходе взаимопроверки ученик обнаружил, что получил красную карточку при неверных ответах, он эту карточку возвращает учителю.

Обратитесь к своим оценочным листам. Поставьте в них заработанную оценку и изобразите свое эмоциональное состояние с помощью “смайлика” улыбающегося, безразличного или грустного.

3. ВТОРОЙ ЭТАП.

— А сейчас вы будете работать в парах. Возьмите карточку №2: (Приложение №2)

“Проанализируйте уравнения, их графики и заполните таблицу”. В таблице записаны уравнения с двумя переменными, а ниже приведены их графики. Ваша задача состоит в том, чтобы поставить в соответствие каждому уравнению его график. Графики обозначены буквами. Тогда в третьем столбце таблицы (если вы все сделаете правильно ) вы прочитаете имя одного из древнегреческих математиков. Так кто же это такой? Каждая пара должна организовать свою работу так, чтобы уложиться в 5 минут. 6 человек, которые справятся с заданием первыми, поднимают руку и получают красную карточку.

— Итак, вы получили имя ДИОФАНТ. Чем же знаменит он? Почему именно его имя я зашифровала в таблице?

Диофант Александрийский – один из самых своеобразных древнегреческих математиков. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в 3 веке нашей эры. Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней. В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. В пяти книгах содержатся методы решения неопределенных уравнений. Это и составляет основной вклад Диофанта в математику. Что же это за уравнения?

Рассмотрим задачу на старинный сюжет. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других. Как бы вы предложили решить эту задачу? ( Обсуждение с классом. ) Необходимо ввести две переменные: х – число кроликов, у – число фазанов, тогда получим уравнение 4х + 2у = 18 или 2х + у = 9. Выразим у через х: у = 9 – 2х и далее воспользуемся методом перебора: х = 1, у = 7; х = 2, у = 5; х = 3, у = 3; х = 4, у = 1. Т.о. задача имеет 4 решения.

Подобные уравнения встречаются часто, они — то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.

Но в целых числах решают не только линейные уравнения. Древнейшей задачей такого рода является задача о натуральных решениях уравнения х 2 + у 2 = z 2 . Что напоминает вам это уравнение? Эту задачу называют задачей о пифагоровых тройках.

Какие пифагоровы тройки вам известны? (3,4,5; 6,8,10; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41).

А вот о том, сколько же лет прожил Диофант вы мне ответите на следующем уроке, решив дома задачу текст которой у вас на парте,. Эта задача была найдена в одном из древних рукописных сборников задач в стихах, где жизнь Диофанта описывается в виде алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле.

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей – и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею 5 лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил ,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

— Теперь возьмите карточку №3. ( Приложение №3)

На ней изображены графики некоторых уравнений, а справа записаны системы уравнений. Но в этой системе одного уравнения не хватает. Ваша задача заключается в том, чтобы

1. в систему вписать уравнение линии, изображенной на чертеже
2. дополнить чертеж графиком, уравнение которого уже записано в системе
3. найти решения данной системы графически.

В правом столбце таблицы записаны буквы, а рядом пара чисел. Каждая пара соответствует решению системы . Из полученных букв составьте фамилию великого французского ученого. Работает каждый индивидуально. Время работы 10 минут. 6 человек, которые справятся с заданием первыми, поднимают руку и получают красную карточку.

Итак, какое же имя зашифровано в таблице?

Это имя выдающегося французского математика, жившего в 17 веке ( 1601 – 1665 ) Пьера Ферма. По профессии он был юристом и почти всю жизнь занимал должность советника парламента в городе Тулузе. Свободное от служебных обязанностей время Ферма посвящал математическим исследованиям, которые проложили новые пути почти во всех отраслях математики. Для исследований Ферма исходным пунктом нередко служила математика древних, в частности “Арифметика” Диофанта. На одной из страниц Диофант решает следующую задачу: “Найти два квадрата, сумма которых тоже является квадратом” Задача сводится к решению в целых числах неопределенного уравнения х 2 + у 2 = z 2 . Мы с вами уже говорили сегодня о таком уравнении. Диофант приводит формулы, по которым легко найти все решения данного уравнения в натуральных числах. На полях этой страницы Пьер Ферма записал: “Наоборот, невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата и, вообще, никакую степень, выше второй, нельзя разложить на сумму двух степеней с тем же показателем. Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля книги слишком узки, чтобы его изложить.”

Итак, речь идет о следующем: доказать, что уравнение

х n + y n = z n не имеет целых решений для n > 2.

Это предложение и было названо “Великой, или большой, теоремой Ферма” или “Последней теоремой Ферма”. Ни в произведениях, ни в бумагах или письмах Ферма не осталось следов доказательства, о котором Ферма писал на полях книги, начиная с 18 века предпринимались большие усилия для доказательства этой теоремы. Но доказательства касались лишь частных случаев. В 1907 году даже была объявлена премия в 100 000 немецких марок тому, кто докажет эту теорему для любого натурального n. Тот факт, что теорема Ферма ни могла быть ни доказана, ни опровергнута в течение нескольких веков, поставил перед многими учеными следующий вопрос: обладал ли действительно Ферма правильным доказательством теоремы? Но конец 20 века ознаменовался для математиков настоящей сенсацией: попытки доказать великую теорему Ферма наконец – то увенчались успехом! Летом 1995 г. в одном из ведущих американских журналов – “Анналы математики” — было опубликовано полное доказательство теоремы. Разбитое на две статьи, оно заняло весь номер – в общей сложности более 100 страниц. Основная часть доказательства принадлежала 42 – летнему английскому математику Эндрю Уайлсу, профессору Принстонского университета, штурмовавшему” знаменитую проблему почти 10 лет. На последнем этапе к работе подключился Ричард Тейлор, профессор Оксфордского университета.

Возьмите свои оценочные листы, поставьте себе оценку за работу на втором этапе урока и выразите свое эмоциональное состояние.

4. ТРЕТИЙ ЭТАП.

Мы с вами стоили графики для уравнений с двумя переменными 1, 2 степени и для простейших уравнений 3 степени. Однако, существуют и могут быть проиллюстрированы графиками уравнения с 2 переменными 3, 4 и выше степеней.

— А теперь возьмите листы со странными надписями “Улитка Паскаля”, “Лемниската”, “Строфоида”, “Декартов лист”. (Приложение №4)

Это названия кривых линий, которые заданы с помощью уравнений третьей и четвертой степени. Их изображения вы видите на плакате. ( На плакате только графики без подписей). А рядом с каждым изображением пары чисел – решения одной из систем уравнений, записанных на ваших карточках. Выполнив задание, вы узнаете, как называется каждая из кривых.

Время работы 10 минут. 6 человек, которые справятся с заданием первыми, поднимают руку и получают красную карточку.

Проверка. Первая система 1 варианта имеет решения: (-6; -9) и ( 8; 5). Эти ответы записаны рядом с кривой, которая называется “Улитка Паскаля”

Вторая система имеет решения (2; 0) и (4; 3). Эти ответы записаны радом с кривой, которая называется строфоида.

Второй вариант. Первая система имеет решения (1; 3) и (-2;0). – Декартов лист

Вторая система имеет решения (2; 3) и — лемниската Бернулли

— Возьмите свои оценочные листы, поставьте себе оценку за работу на третьем этапе урока и выразите свое эмоциональное состояние.

5. ЧЕТВЕРТЫЙ ЭТАП.

— На данном этапе урока нам предстоит с вами побывать в роли исследователей. Перед нами стоит задача: выяснить количество решений системы двух уравнений с двумя переменными в зависимости от параметра.

Рассмотрим систему:

— Выясним, при каких значениях а система не имеет решений, имеет одно решение, более одного решения. Рассмотрим два способа: аналитический и графический.

( Учитель объясняет решение, привлекая учеников.)

А теперь попробуйте провести аналогичную исследовательскую работу самостоятельно, выбрав любую из понравившихся вам систем.

(Системы записаны на доске)

— Возьмите свои оценочные листы, поставьте себе оценку за работу на четвертом этапе урока и выразите свое эмоциональное состояние.

6. ИТОГ УРОКА.

Итак, сегодня мы с вами

• закрепили знания, умения и навыки по теме “Уравнения с двумя переменными второй степени и их графики. Решение систем уравнений с двумя переменными”.
• познакомились с двумя великими учеными, внесшими огромный вклад в развитие математики.
• приобрели начальные навыки исследовательской деятельности
• Все ваши работы сложите в файл и сдайте. Те ученики, которые получили 3 – 4 карточки получают дополнительные оценки.

Задание на дом:

1. Решить задачу о том, сколько лет прожил Диофант.
2. Провести исследование одной из следующих систем графическим способом.

Презентация «Графический способ решения систем уравнений второй степени.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

«В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии». Н. Е.Жуковский

Графиком уравнений с двумя переменными может быть: Прямая Парабола Гипербола Окружность x x

Является ли пара чисел (2;3)решением системы: х+2у=8, 5х-2у=4

Графическое решение системы уравнений у=х+2 у= — х+1

Графический способ решения систем уравнений с двумя переменными

Алгоритм решения линейных уравнений графическим способом: 1)Выразить в каждом уравнении у через переменную х; 2)Построить в одной системе координат графики полученных функций; 3)Рассмотреть взаимное расположение графиков; 4)Определить координату точки пересечения.

Задача №2 Решить графически систему уравнений Графиком первого уравнения является окружность с центром в точке (3,2) и радиусом 2 Графиком второго уравнения является прямая проходящая через начало координат Построим графики для каждого из уравнений

Ответ: А(1,5;0,7), В(5,1;2,5), 1 1 0 Х У

Ответ: решений нет.

Задача 1: Сальводор Дали (-3;-2), (3;-2) Александр Дейнека (-2;-3), (2;-3), (3;2) Пабло Пикасо (-2;-3),(3;2),(2;-3),(-3;2)

Выразить у через х в каждом уравнении Построить в одной системе координат график каждого уравнения. Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у) Определить координаты точки пересечения графиков.

Домашнее задание № 235 № 237 Принести циркуль.

Рефлексия Предлагает учащимся устно продолжить фразы: На уроке мне было легко _________________________ На уроке мне было трудно ________________________ Мне понравилось на уроке ________________________ Мне не понравилось на уроке ______________________ Я научился на уроке _________

Спасибо за урок. Надо же, как все просто, Как научиться ходить. Потом ты начинаешь удивляться, Что в этом было такого сложного. Р.Бах.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 582 070 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 17.01.2016
• 1867
• 7

• 17.01.2016
• 401
• 0

• 17.01.2016
• 8007
• 7

• 17.01.2016
• 1479
• 3

• 17.01.2016
• 3108
• 9

• 17.01.2016
• 769
• 0

• 17.01.2016
• 697
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 17.01.2016 1393
• PPTX 1.1 мбайт
• 27 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Аболмасова Галина Вячеславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 32438
• Всего материалов: 39

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.