Решение уравнений второй степени методом сложения

Решение систем уравнений второй степени методом сложения
презентация к уроку по алгебре (9 класс) по теме

Алгебра 9 класс. Презентация «Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными методом сложения МБОУ «Школа № 19» Губарева Р.Н., учитель математики

Решим систему уравнений: 1) Сложим почленно уравнение (1) и уравнение (2) Метод сложения (1) (2)

2) Разделим обе части уравнения на 2 3) Решаем уравнение: Метод сложения

4 ) Подставим в уравнение (1) получившееся значение аргумента x , получим две системы уравнений. 5 ) Решаем обе системы уравнений: Метод сложения

Метод сложения 6) О твет можно записать также в виде пар: Ответ :

Метод сложения Решим систему уравнений : (1) (2) 1) Домножим уравнение (1) на число2 .

Метод сложения 2) Сложим почленно уравнение (1) и уравнение (2)

Метод сложения 3 ) Упростим 4 ) Решаем уравнение 5) С оответствующие значения х можно найти, подставив найденные значения у в (2)уравнение системы:

Метод сложения 6 ) Решаем систему Ответ:

1) Умножить почленно уравнения системы таким образом, чтобы коэффициенты при x или y были противоположными числами. 2) Сложить почленно левые и правые части уравнений системы. 3) Решить уравнение с одной переменной. 4) Найти соответствующее значение второй переменной. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СПОСОБОМ СЛОЖЕНИЯ

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка урока по теме «Графический способ решения систем уравнений второй степени»

Разработка урока содержит план урока и презентацию.

Решение систем уравнений второй степени. Алгебра 9 класс. Макарычев. Конспект.

Урок алгебры в 9 классе по учебнику Макарычева Ю.Н.

Урок алгебры в 9 классе по теме « Решение систем уравнений второй степени»

Тип урока — урок формирования новых умений.Цели: 1) Закрепить умение решать системы уравнений второй степени; Повторить алгоритм решения систем уравнений второй степени. 2).

графическое решение систем уравнений второй степени с двумя переменными

Разработка урока алгебры в 9 классе с применением ИКТ. частично-поисковым методом.

Использование способа сложения при решении систем уравнений второй степени

Использование способа сложенияпри решении систем уравнений второй степениЦели: формировать умений применять способ сложения при решении систем уравнений с двумя переменны.

Коспект урока по теме: «Решение систем уравнений второй степени способом сложения и способом введения новой переменной»

Учебный матeриал в раздел «Основная школа»Конспект урока алгебры в 9 классе с применением проблемно-модульной технологии.

Технологическая карта урока алгебры в 9 классе по теме: «Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными. Графический способ решения систем уравнений»

1. Разработка технологической карты урока алгебры в 9 классе по теме: «Решение систем уравнений второй степени с двумя переменными. Графический способ решения систем уравнений.2. Технологическая .

Конспект урока по теме «Решение систем уравнений второй степени способом сложения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок математики в 9 классе.

Тема урока: Решение систем уравнений второй степени способом сложения

Подготовил: Учитель математики, Емельянова Надежда Анатольевна

Учебник: Алгебра. 9класс. Ю.Н.Макарычев под ред. С.А. Теляковского – М.:Просвещение, 2014.

Тип: комбинированный урок

Формы работы: индивидуальная, фронтальная.

Показать решение систем уравнений второй степени способом сложения;

Закрепить навыки решения систем уравнений графическим способом и способом подстановки, и способом сложения;

учить выбирать наиболее рациональный способ решения данной системы;

Совершенствовать вычислительные навыки учащихся, логическое мышление.

Развивать культуру речи при произношении математических терминов.

Воспитывать внимательность и аккуратность при вычислениях, самостоятельность, умение адекватно оценивать свои знания.

Оборудование: класс, проектор, экран.

Актуализация опорных знаний . Сообщение темы урока.

Изучение нового материала.

Применение и закрепление изученного материала.

Подведение итогов учебной деятельности, домашнее задание.

План проведения урока

Компьютер; проектор; экран; доска; карточки с заданиями; учебник «Алгебра,9» (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова).

I . Организационный момент

Учитель. Здравствуйте, садитесь. Тема нашего урока «Решение систем уравнений второй степени способом сложения».

II. Актуализация опорных знаний. Проверка домашней работы.

Учитель. Прежде, чем мы будем знакомиться с темой урока, проверим правильность выполнения домашней работы (№ 288(а, в), 263(а, б), 260).

— Один учащийся вызывается к доске для решения № 260 из домашней работы;

— Двое учащихся выполняют задания индивидуально по карточкам;

1. Изобразив схематически графики уравнений, определить, сколько решений имеет система уравнений:

2. Решить неравенство:

1.Решить систему способом подстановки:

2. Решить неравенство:

— С остальными учащимися проводится устная работа.

Задания для устной работы:

1. Сколько решений имеет система:

Ответ. а) Нет решений; б) 2 решения.

2. Назвать уравнения системы, решение которой изображено на рисунке:

3. Решить систему:

Учитель . Откройте тетради, сверьте решение системы № 263 (а) из домашней работы с решением на доске и найдите ошибку.

y = 3,

Ответ. Произошла потеря корня при решении неполного квадратного уравнения.

Учитель . А теперь проверим решение № 260, выполненное учащимся на доске.

D = 9-32 = -23 нет корней => система не имеет решений => нет точек пересечения окружности и прямой.

III. Изучение нового материала

Учитель. Запишите в тетрадях число, тему урока и следующую систему уравнений второй степени

Решите ее разными способами, начните с графического.

Первый учащийся решает графическим способом, комментируя решение.

Учитель . На прошлых уроках мы говорили о достоинствах графического способа (графики элементарных функций легко построить, координаты точек пересечения являются решениями данной системы). Удобен ли для данной системы этот способ? Ответ обоснуйте.

Ответ. Нет, на построение потрачено много времени, так как функции получились неэлементарные. Нет однозначного ответа на вопрос о количестве решений.

Учитель . Решите систему способом подстановки.

Второй учащийся решает данную систему способом подстановки, комментируя решение.

Учитель. Этот способ дает точное решение, но решение громоздкое, в результате подстановки получилось дробное уравнение.

В 7-ом классе помимо графического способа и способа подстановки вы решали системы линейных уравнений способом сложения. Вспомним этапы решения систем способом сложения (на дом было дано задание: вспомнить этапы решения систем способом сложения).

Ответ. При необходимости умножить почленно уравнения системы на число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами; сложить почленно левые и правые части уравнений системы; решить полученное уравнение с одной переменной; найти соответствующее значение второй переменной. Попробуйте применить этот способ для данной системы.

Третий учащийся решает данную систему способом сложения, комментируя решение.

Учитель . Назовите достоинства этого способа.

Ответ. Дает точное решение, нет трудоемких преобразований, после сложения получается линейное уравнение, которое легко решить.

Учитель. Любую ли систему можно решить способом сложения?

Ответ. Нет, только в отдельных случаях, если уравнения системы однотипны и отличаются друг от друга коэффициентами.

Если учащиеся не назовут ответ на последний вопрос, то задать дополнительный вопрос: Всегда ли при почленном сложении уравнений системы исчезает одна из переменных?

Вывод: Для каждой системы необходимо выбирать свой рациональный способ.

IV. Закрепление изученного материала

Учитель. Решите из учебника № 262 (а).

Ребята решают систему.

Учитель. Иногда при решении систем приходится использовать два способа одновременно. Выполним из учебника № 262 (б).

Ребята решают систему.

Самостоятельная работа учащихся.

Решить системы способом сложения:

V. Подведение итогов урока. Домашнее задание

Учитель. Запишите задание на дом: выполнить № 263(в), 310(б), 302(д), 288(б, г).

Учитель. Еще раз вспомним, какие способы систем уравнений второй степени существуют; назовите этапы решения систем уравнений.

Решение уравнений второй степени методом сложения

Система уравнений второй степени. Способы решения

Система уравнений второй степени – это система уравнений, в которой есть хотя бы одно уравнение второй степени.

Систему из двух уравнений, в которой одно уравнение второй степени, а второе уравнение первой степени, решают следующим образом:

1) в уравнении первой степени одну переменную выражают через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, благодаря чему получается уравнение с одной переменной;

3) решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Пример : Решим систему уравнений

1) Второе уравнение является уравнением первой степени. В ней выражаем переменную x через y:

2) в первом уравнении вместо x подставляем полученное выражение 1 – 2y:

Раскрываем скобки и упрощаем:

Приравниваем уравнение к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

3) Решив квадратное уравнение, найдем его корни:

4) Осталось найти значения x. Для этого в одно из двух уравнений системы просто подставляем значение y. Второе уравнение проще, поэтому выберем его.
Итак, подставляем значения y в уравнение x + 2y = 1 и получаем:
1) х + 2(-0,125) = 1
х – 0,25 = 1
х = 1 + 0,25
х₁ = 1,25.

Способы решения системы уравнений с двумя уравнениями второй степени.

1. Замена системы уравнений равносильной совокупностью двух систем.

Пример : Решим систему уравнений

Здесь нет уравнений первой степени, поэтому решать их вроде бы сложнее. Но в первом уравнении многочлен можно разложить на линейные множители и применить метод группировки:

(Пояснение-напоминание: x – 3y встречается в выражении дважды и является общим множителем в многочлене (x – 3y)(x + 3y) – 1(x – 3y). По правилу группировки, мы умножили его на сумму вторых множителей и получили равносильное уравнение).

В результате наша система уравнений обретает иной вид:

Первое уравнение равно нулю только в том случае, если x – 3y = 0 или x + 3y – 1 = 0.

Значит, нашу систему уравнений мы можем записать в виде двух систем следующего вида:

Мы получили две системы, где первые уравнения являются уравнениями первой степени. Мы уже можем легко решить их. Понятно, что решив их и объединив затем множество решений этих двух систем, мы получим множество решений исходной системы. Говоря иначе, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений.

Итак, решаем эти две системы уравнений. Очевидно, что здесь мы применим метод подстановки, подробно изложенный в предыдущем разделе.

Обратимся сначала к первой системе.
В уравнении первой степени выразим х через у:

Подставим это значение во второе уравнение и преобразим его в квадратное уравнение:

Как решается квадратное – см.раздел «Квадратное уравнение». Здесь мы сразу напишем ответ:

Теперь подставим полученные значения у в первое уравнение первой системы и решим его:

Итак, у нас есть первые ответы:

Переходим ко второй системе. Не будем производить вычисления – их порядок точно такой же, что и в случае с уравнениями первой системы. Поэтому сразу напишем результаты вычислений:

Таким образом, исходная система уравнений решена.

1 1
(–3 — ; –1 — ), (3; 1), (2,5; –0,5), (–2; 1).
2 6

2. Решение способом сложения.

Пример 2 : Решим систему уравнений

Второе уравнение умножим на 3:

Зачем мы умножили уравнение на 3? Благодаря этому мы получили равносильное уравнение с числом -3y, которое встречается и в первом уравнении, но с противоположным знаком. Это поможет нам буквально при следующем шаге получить упрощенное уравнение (они будут взаимно сокращены).

Сложим почленно левые и правые части первого уравнения системы и нашего нового уравнения:

Сводим подобные члены и получаем уравнение следующего вида:

Упростим уравнение еще, для этого сокращаем обе части уравнения на 5 и получаем:

Приравняем уравнение к нулю:

Это уравнение можно представить в виде x(x – 2y) = 0.

Здесь мы получаем ситуацию, с которой уже сталкивались в предыдущем примере: уравнение верно только в том случае, если x = 0 или x – 2y = 0.

Значит, исходную систему опять-таки можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем:

Обратите внимание: во второй системе уравнение x – 2y = 0 мы преобразовали в x = 2y.

Итак, в первой системе мы уже знаем значение x. Это ноль. То есть x₁ = 0. Легко вычислить и значение y: это тоже ноль. Таким образом, первая система имеет единственное решение: (0; 0).

Решив вторую систему, мы увидим, что она имеет два решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Таким образом, исходная система имеет следующие решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

3. Решение методом подстановки.

Этот метод был применен в начале раздела. Здесь мы выделяем его в качестве одного из способов решения. Приведем еще один пример.

Пример . Решить систему уравнений

│х + у = 9
│у 2 + х = 29

Первое уравнение проще, поэтому выразим в нем х через у:

Теперь произведем подстановку. Подставим это значение х во второе уравнение, получим квадратное уравнение и решим его:

у 2 + 9 – у = 29
у 2 – у – 20 = 0

D = b 2 – 4ас = 1 – 4 · 1 · (–20) = 81

Осталось найти значения х. Первое уравнение проще, поэтому им и воспользуемся:

1) х + 5 = 9
х = 9 – 5
х₁ = 4

2) х – 4 = 9
х = 9 + 4
х₂ = 13