Решение уравнений второй степени видеоурок

Урок «Некоторые приемы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными»

Краткое описание документа:

Видеоурок «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными» создан как наглядное пособие для ведения уроков алгебры по данной теме. В материале содержится объяснение на примерах, каким образом применяются различные способы решения систем уравнений с двумя переменными.

Структурированный материал, четкое изображение, понятное объяснение голосовым сопровождением дают возможность представить данную тему в удобной форме, понятно для всех учеников. Для большей эффективности подачи материала используются анимационные эффекты, выделение цветом. Благодаря данным инструментам видеоурок может заменить объяснение учителя, освободить время учителя на уроке для улучшения качества индивидуальной работы.

В начале урока представляется его тема, а затем предлагается рассмотреть решение системы уравнений х 2 -4у 2 -х+2у=0 и х 2 -ху+у=0. Решение начинается с разложения уравнения на линейные множители. После применения формулы сокращенного умножения и вынесения общих множителей левая часть первого уравнения преобразуется в произведение (х-2у)(х+2у-1). Из него следует разбиение на два уравнения х-2у=0 и х+2у-1=0. Такое разбиение позволяет представить данную систему в виде совокупности уравнений, в которой каждое из этих уравнений составляет систему со вторым уравнением исходной системы. Очевидно, систему уравнений х-2у=0 и х 2 -ху+у=6 можно решить методом подстановки. Для этого из первого уравнения выражается х=2у, который подставляется во второе равнение. Второе уравнение преобразуется в квадратное уравнение с одной переменной. Решив квадратное уравнение, получаем результаты у₁=-2 и у₂=1,5. После подстановки их в выражение для вычисления х находим значения х₁=-4 и х₂=3. Таким же образом методом подстановки решается вторая система уравнений. После подстановки значения х из х+2у=0 во второе уравнение получаем квадратное уравнение с одной переменной. Решения данного уравнения у₁=(2+√34)/6 и у₂=(2-√34)/6. После подстановки значений у в выражение для вычисления х, получаем значения х₁=(1-√34)/3 и х₂=(1+√34)/3. Соответственно, после сделанных вычислений получаем четыре пары значений, которые являются корнями данной системы уравнений.

В решении следующей системы уравнений 3х 2 +4у=ху и х 2 -у=4ху предлагается использовать способ сложения. После сложения левых и правых частей обоих уравнений образуется суммарное уравнение 7х2=17ху. Данное уравнение после преобразования преобразуется в произведение х(7х-17у)=0, которое в свою очередь развивается на два уравнения х=0 и 7х-17у=0. Каждое из этих уравнений со вторым уравнением исходной системы образует новую систему. Решением первой системы будет пара значений х₁=0, у₁=0. При решении второй системы х выражается из первого уравнения через у. Выражение для х подставляется во второе уравнение. Из него определяется у, значение которого у₂=0 и у₃=-49/187. Соответствующие им х₂=0 и х₃=-119/187. Следовательно, решениями системы будут две пары значений: (0;0) и (-119/187;-49/187).

Следующей предлагается решить систему уравнений 2х 2 +3ху+у2=0 и х 2 -4ху-2у-6=0. Чтобы определить решения системы, можно разделить обе части первого уравнения на у2, учитывая, что у≠0. После деления полученное равносильное уравнение 2(х/у) 2 +3(х/у)+1=0. Очевидно, если ввести новую переменную t=х/у, то получим обычное квадратное уравнение 2t 2 +3t+1=0. Решив данное уравнение, получим корни t₁=-1 и t₂=-0,5. Соответственно, получаем два уравнения х/у=-1 и х/у=-0,5. Иначе данные уравнения можно представить х=-у и х=-0,5у. Вместе с уравнением х 2 -4ху-2у-6=0 каждое из этих уравнений составляет новую систему, а вместе совокупность равносильных систем. После подстановки значения х из второго уравнения в первое, а затем вычисления корней уравнения, получаем из двух систем четыре пары значений, которые являются решениями системы: (-1-√31)/5; 1+√31)/5), (-1+√31)/5; 1-√31)/5), (-1-√15)/4,5; 2+√60)/4,5), (√15-1)/4,5; 2-√60)/4,5).

Последний рассмотренный пример описывает решение симметрических систем. Предлагается решить систему уравнений х 2 +3ху+у2=9 и ху+х+у=3. Обращается внимание учеников на то, что уравнения данной системы содержат выражения х+у, ху, х 2 +у 2 . Еще одна особенность данной системы, что в ней можно произвести замену х на у и наоборот, при этом вид системы не изменится. Таким системы называются симметрическими. Данное понятие выделено на экране для запоминания. Отмечается, что такие системы лучше всего решать введением новой переменной. Для этого вводят новую переменную u= х+у и переменную v=ху. В результате такой замены получили систему уравнений u 2 -2v+3v=9 и v+u=3. После сокращения подобных слагаемых получаем первое уравнение в виде u2+v=9. Используя метод подстановки, получаем решение системы с новыми переменными: u₁=-2, v₁=5 и u₂=3, v₃=0. Используя данные пары решений, получаются две новые системы, которые необходимо решить. Первая система из уравнений х+у=-2 и ху=5, вторая система из уравнений х+у=3 и ху=0. После вычисления определяется, что решениями данных систем будут пары значений х₁=3, у₁=0 и х₂=0, у₂=3.

Видеоурок «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными» может быть полезен учителю на уроке в школе и при подаче материала в ходе дистанционного обучения. Также понятное наглядное объяснение может помочь ученику в самостоятельном изучении материала.

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цели урока:

1. Обучение составлению системы уравнений по условию задачи.
2. Повышение интереса к решению текстовых задач.

Ход урока

I. Устный счет (8 мин)

Является ли решением уравнения х+2у=5 пара чисел: а) (0;1) б) (3;-1) в) (-1;3)

1. Является ли решением системы уравнений ,

пара чисел: а) х=1, у=6 б)х=3, у=2

2. Решите систему уравнений:

3. Определите степень уравнения:

• А) х-у-1,2=0
• Б)
• В)
• Г)

II. Изучение нового материала (10 мин)

При решении задач можно вводить две переменные и составлять систему уравнений.

Решить задачу двумя способами: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого».

1 способ— с помощью одной переменной.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен х см, а второй катет – х+7 см. Используя теорему Пифагора, составим уравнение:

корень х=-12 не удовлетворяет условию х>0.

Один катет равен 5 см, второй 12 см

2 способ— с помощью введения двух переменных.

Пусть первый катет х см, второй катет у см (х>0, у>0)

,

,

,

у1=5, у2=-12 (не удовл. условию)

если у=5, то х=7+5=12

один катет равен 5 см, второй катет 12 см

Ответ: 12 см, 5 см

III. Закрепление нового материала (10 мин)

Решение задач:

1. Прямоугольный газон обнесён изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м². Найдите длины сторон газона?

Решение: пусть х м –длина газона, у-ширина газона.

,

,

Ответ: 7 см, 8 см

2. Двое рабочих совместно могут выполнить заданную работу за 12 дней. Если первый рабочий сделает половину работы, а затем второй – вторую половину, то вся работа будет закончена за 25 дней нужно каждому из рабочих в отдельности для выполнения работы?

Решение: пусть для выполнения всей работы первому рабочему потребуется х дней, а второму у дней, тогда за 1 день первый выполняет 1/х часть, а второй 1/у часть всей работы. Работая совместно, всю работу они выполняют за 12 дней.

Таким образом 12(1/х+1/у)=1.

Пусть теперь работа выполняется рабочими поочередно. Тогда для выполнения половины всей работы первому потребуется 1/2:1/х=х/2 дней, а второму 1/2: 1/у=у/2 дней.

,

,

,

,

,

Одному рабочему для выполнения всей работы требуется 20 дней, а другому 30 дней.

Ответ: 20 дней, 30 дней

Решаем по учебнику: №455, №457 (15 мин)

IV. Итог урока.

Домашнее задание: №456, №458, №460 (2 мин)

Решение задач и уравнений (продолжение)

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На уроке рассматривается методика решения однородных тригонометрических уравнений второй и первой степени, решаются уравнения с применением данной методики.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»