Решение уравнений высшей степени теорема

Уравнения высших степеней

Вы будете перенаправлены на Автор24

Уравнения высших степеней — это уравнения, в которых старшая степень при переменной больше либо равна трём. На данный момент не существует какой-либо единой схемы для решения уравнений высших степеней.

Наиболее известными схемами для решения являются:

• Формула Кардано, он подходит только для уравнений 3-ьей степени;
• Метод Феррари для уравнений 4-ой степени;
• Теорема Виета для степени больше двух;
• Теорема Безу;
• Схема Горнера.

Ниже рассмотрены основные методы решения уравнений высших степеней с целыми и рациональными коэффициентами, справедливые для разных степеней.

Теорема Виета

Рассмотрим уравнение вида $ax^3+bx^2+cx+d=0$.

Данное уравнение обладает тремя корнями и для того чтобы его решить в общем виде, необходимо решить следующую систему:

Иначе эти системы уравнений также называют формулами Виета.

Решите уравнение: $x^3+x^2-4x-4=0$.

Решение:

Составим систему уравнений:

$\begin x_1+ x_2+x_3=-\frac<1> <1>\\ x_1 \cdot x_2 + x_2 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_3=-\frac<4><1>=-4 \\ x_1 \cdot x_2 \cdot x_3= -\frac<4><1>\\ \end$

Решив её, получим следующие корни:

Теорема Безу

Суть этой теоремы в том, что если уравнение вида $a_0x^n + a_1x^+a_2x^+. +a_x+a_n=0$ с ненулевым свободным членом имеет некий корень $α$, принадлежащий к множеству целых чисел, то этот корень будет делителем свободного члена.

Алгоритм при решении уравнения с использованием теоремы Безу следующий:

1. Найти и выписать все делители свободного члена.
2. Проверять эти делители до тех пор, пока не будет найден хотя бы один, являющийся корнем уравнения.
3. Разделить всё уравнение на $(x-α)$ и записать само уравнение как произведение $(x-α)$ и результата выполненного деления.
4. Решить полученное после разложения уравнение.

Готовые работы на аналогичную тему

Решение:

Делители члена не при переменной: $±1;±2;±3;±6$

Подставим $1$ в корень уравнения и получим, что наше равенство выполняется:

Следовательно, $x_1=1$ — один из корней уравнения. Теперь необходимо выполнить деление многочлена столбиком:

Рисунок 1. Схема деления многочлена столбиком. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

После этого исходное уравнение можно записать разложив на множители:

Решаем полученное квадратное уравнение и получаем ещё 2 корня: $x_<2,3>=-3;-2$.

Схема Горнера

Схема Горнера состоит в том, чтобы также сначала найти какой-либо корень уравнения вида $a_0x^n + a_1x^+a_2x^+. +a_x+a_n=0$ через делители свободного члена.

После этого составляется специальная таблица с результатами деления на $(x-α)$, в которой каждый член зависим от предыдущего. Коэффициенты из данной таблицы используются как коэффициенты в полученном от деления частного многочлене, они вычисляются по формулам:

$b_0=a_0; b_1=αb_0+a_1; b_2=αb_1+a_2. b_= αb_+a_;b_n=αb_+a_n$.

Рисунок 2. Таблица для вычисления коэффициентов по схеме Горнера. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение:

Делители свободного члена — $±1;±2;±3;±6$

Запишем таблицу со коэффициентами:

Рисунок 3. Схема Горнера: пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Отсюда получаем, что многочлен, полученный от деления на $(x-α)$ при $α=1$, равен $x^2+5x+6$.Получается, что исходное уравнение принимает вид:

Корни же второго многочлена будут $x_<2,3>=-2;-3$.

Метод одновременного подбора по коэффициенту при старшей степени и при свободном члене

Данный метод основан на следующем условии:

Несократимая дробь $\frac

$ будет корнем уравнения, если числитель этой дроби является делителем свободного члена, а знаменатель — делителем коэффициента, стоящего при члене со старшей степенью.

Алгоритм этого метода:

1. Поиск делителей свободного члена.
2. Поиск делителей коэффициента, стоящего при члене со старшей степенью.
3. Составление дробей и подбор решения.

Решение:

Делители свободного члена: $±1; ±2; ±3; ±6$.

Делители коэффициента при старшем члене: $1; 2$.

Следовательно, как корни нужно проверить следующие значения: $1;-1;2;-2;3;-3;6;-6;\frac<1><2>; -\frac<1><2>; \frac<3><2>; -\frac<3><2>$.

Подставив эти числа в уравнения, получим, что корнями уравнения являются $x_1=1;x_2= \frac<1><2>$.

Это значит, что многочлен можно разделить на $2(x-1)(x-\frac<1><2>)=2x^2-3x+1$. При выполнении деления получаем частное $x^2+10x+6$.

Приравниваем этот многочлен к нулю и находим его корни через дискриминант, они равны $x_<3,4>=-5±\sqrt<19>$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 14 03 2021

Лекция по теме «Уравнения высших степеней. Методы их решения». 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

1. Закрепить понятие целого рационального уравнения -й степени.
2. Сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3).
3. Обучить основным методам решения уравнений высших степеней.
4. Научить по виду уравнения определять наиболее эффективный способ его решения.

Формы, методы и педагогические приемы, которые используются учителем на уроке:

• Лекционно-семинарская система обучения (лекции – объяснение нового материала, семинары – решение задач).
• Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная работа с классом).
• Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы.
• Использование исследовательского метода в обучении, направленного на развитие математического аппарата и мыслительных способностей каждого конкретного ученика.
• Печатный материал – индивидуальный краткий конспект урока (основные понятия, формулы, утверждения, материал лекций сжато в виде схем или таблиц).

1. Организационный момент.
   Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока.
2. Актуализация знаний учащихся.
   Цель этапа: актуализировать знания учащихся по изученным ранее смежным темам
3. Изучение новой темы (лекция). Цель этапа: сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3)
4. Подведение итогов.
   Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты в материале, изученном на уроке.
5. Домашнее задание.
   Цель этапа: сформулировать домашнее задание для учащихся.

1. Организационный момент.

Формулировка темы урока: “Уравнения высших степеней. Методы их решения”.

2. Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос – беседа. Повторение некоторых ранее изученных сведений из теории. Учащиеся формулируют основные определения и дают формулировки необходимых теорем. Приводят примеры, демонстрируя уровень полученных ранее знаний.

• Понятие уравнения с одной переменной.
• Понятие корня уравнения, решения уравнения.
• Понятие линейного уравнения с одной переменной, понятие квадратного уравнения с одной переменной.
• Понятие равносильности уравнений, уравнения-следствия (понятие посторонних корней), переход не по следствию (случай потери корней).
• Понятие целого рационального выражения с одной переменной.
• Понятие целого рационального уравнения n-й степени. Стандартный вид целого рационального уравнения. Приведенное целое рациональное уравнение.
• Переход к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
• Понятие многочлена n-й степени от x. Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу. Теоремы о корнях (Z-корни и Q-корни) целого рационального уравнения с целыми коэффициентами (соответственно приведенного и неприведенного).
• Схема Горнера.

3. Изучение новой темы.

Будем рассматривать целое рациональное уравнение n-й степени стандартного вида с одной неизвестной переменной x : P_n(x) = 0 , где P_n(x) = a_nx n + a_n-1x n-1 + a₁x + a₀ – многочлен n-й степени от x, a_n ≠ 0 . Если a_n = 1 то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением n-й степени. Рассмотрим такие уравнения при различных значениях n и перечислим основные методы их решения.

n = 1 – линейное уравнение.

n = 2 – квадратное уравнение. Формула дискриминанта. Формула для вычисления корней. Теорема Виета. Выделение полного квадрата.

n = 3 – кубическое уравнение.

Пример: x 3 – 4x 2 – x + 4 = 0 (x – 4)(x 2 – 1) = 0 x₁ = 4 , x₂ = 1, x₃ = -1.

Возвратное кубическое уравнение вида ax 3 + bx 2 + bx + a = 0. Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами.

Пример: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x₁ = -1, x₂ = 3 + 2, x₃ = 3 – 2.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный, и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Z-корнях приведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: x 3 – 9x 2 + 23x – 15 = 0. Уравнение приведенное. Выпишем делители свободного члена <+1; +3; +5; +15>. Применим схему Горнера:

Получаем (x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x₁ = 1, x₂ = 3, x₃ = 5.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Q-корнях неприведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: 9x 3 + 27x 2 – x – 3 = 0. Уравнение неприведенное. Выпишем делители свободного члена <+1; +3>. Выпишем делители коэффициента при старшей степени неизвестного. <+1; +3; +9> Следовательно, корни будем искать среди значений <+1; +; +; +3>. Применим схему Горнера:

x 3	x 2	x 1	x 0	вывод
9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 – 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 – не корень
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 – не корень
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	корень
x 2	x 1	x 0

Получаем (x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x₁ = , x₂ = — , x₃ = -3.

Для удобства подсчета при подборе Q-корней бывает удобно сделать замену переменной, перейти к приведенному уравнению и подбирать Z-корни.

• Если можно воспользоваться заменой вида y = kx.

Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических уравнений – это формула Кардано. Эту формулу связывают с именами итальянских математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталья (1500–1557), Сципиона дель Ферро (1465–1526). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n = 4 – уравнение четвертой степени.

Пример: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3 ) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12 ) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x – 6) = 0 (x + 2)(x – 1)(x 2 + x + 6) = 0 x₁ = -2, x₂ = 1.

Метод замены переменной.

• Возвратное уравнение четвертой степени вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.

Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами, путем замены вида

• Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.

• Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.

• Замена общего вида. Некоторые стандартные замены.

Пример 3. Замена общего вида (вытекает из вида конкретного уравнения).

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Формула общего вида. Существует универсальный метод решения уравнений четвертой степени. Эту формулу связывают с именем Людовико Феррари (1522–1565). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n > 5 – уравнения пятой и более высоких степеней.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Симметрические уравнения. Любое возвратное уравнение нечетной степени имеет корень x = -1 и после разложения его на множители получаем, что один сомножитель имеет вид (x + 1), а второй сомножитель – возвратное уравнение четной степени (его степень на единицу меньше, чем степень исходного уравнения). Любое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем вида x = φ содержит и корень вида . Используя эти утверждения, решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.

Метод замены переменной. Использование однородности.

Не существует формулы общего вида для решения целых уравнений пятой степени (это показали итальянский математик Паоло Руффини (1765–1822) и норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802–1829)) и более высоких степеней (это показал французский математик Эварист Галуа (1811–1832)).

• Напомним еще раз, что на практике возможно использование комбинации перечисленных выше методов. Удобно переходить к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
• За рамками нашего сегодняшнего обсуждения остались широко используемые на практике графические методы решения уравнений и методы приближенного решения уравнений высших степеней.
• Бывают ситуации, когда у уравнения нет R-корней. Тогда решение сводится к тому, чтобы показать, что уравнение корней не имеет. Для доказательства анализируем поведение рассматриваемых функций на промежутках монотонности. Пример: уравнение x 8 – x 3 + 1 = 0 не имеет корней.
• Использование свойства монотонности функций. Бывают ситуации, когда использование различных свойств функций позволяет упростить поставленную задачу.
  Пример 1: уравнение x 5 + 3x – 4 = 0 имеет один корень x = 1. По свойству монотонности анализируемых функций других корней нет.
  Пример 2: уравнение x 4 + (x – 1) 4 = 97 имеет корни x₁ = -2 и x₂ = 3. Проанализировав поведение соответствующих функций на промежутках монотонности, заключаем, что других корней нет.

4. Подведение итогов.

Резюме: Теперь мы овладели основными методами решения различных уравнений высших степеней (для n > 3). Наша задача научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы. В зависимости от вида уравнения мы должны будем научиться определять, какой способ решения в данном случае является наиболее эффективным, а также правильно применять выбранный метод.

5. Домашнее задание.

[1]: п.7, стр. 164–174, №№ 33–36, 39–44, 46,47.

[4]: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Возможные темы докладов или рефератов по данной тематике:

• Формула Кардано
• Графический метод решения уравнений. Примеры решения.
• Методы приближенного решения уравнений.

Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:

Опыт показывает, что интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность подбора Z-корней и Q-корней уравнений при помощи достаточно простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также учащиеся интересуются различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно упрощать вид задачи. Особый интерес обычно вызывают графические методы решения. В этом случае дополнительно можно разобрать задачи на графический метод решения уравнений; обсудить общий вид графика для многочлена 3, 4, 5 степени; проанализировать, как связано число корней уравнений 3, 4, 5 степени с видом соответствующего графика. Ниже приведен список книг, в которых можно найти дополнительную информацию по данной тематике.

1. Виленкин Н.Я. и др. “Алгебра. Учебник для учащихся 9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2007 – 367 с.
2. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. “За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс” – М., Просвещение, 2008 – 192 с.
3. Выгодский М.Я. “Справочник по математике” – М., АСТ, 2010 – 1055 с.
4. Галицкий М.Л. “Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2008 – 301 с.
5. Звавич Л.И. и др. “Алгебра и начала анализа. 8–11 кл. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики” – М., Дрофа, 1999 – 352 с.
6. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. “Задания по математике для подготовки к письменному экзамену в 9 классе” – М., Просвещение, 2007 – 112 с.
7. Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации знаний по математике” ч.1 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
8. Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации знаний по математике” ч.2 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
9. Иванов А.П. “Тесты и контрольные работы по математике. Учебное пособие”. – М., Физматкнига, 2008 – 304 с.
10. Лейбсон К.Л. “Сборник практических заданий по математике. Часть 2–9 класс” – М., МЦНМО, 2009 – 184 с.
11. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. “Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.” – М., Просвещение, 2006 – 224 с.
12. Мордкович А.Г. “Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Учебник” – М., Мнемозина, 2006 – 296 с.
13. Савин А.П. “Энциклопедический словарь юного математика” – М., Педагогика, 1985 – 352 с.
14. Сурвилло Г.С., Симонов А.С. “Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2006 – 95 с.
15. Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. Лекции 1–4” – М., Первое сентября, 2006 – 88 с.
16. Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. Лекции 5–8” – М., Первое сентября, 2009 – 84 с.

Об уравнениях высших степеней

Как правило в физике, информатике и экономике мы сталкиваемся с простейшими линейными, или дробно-рациональными уравнениями, реже с квадратными. А что до уравнений третьей и четвёртой степени? Если вам интересно, то прошу под кат.

Для начала рассмотрим понятие уравнения высшей степени. Уравнением высшей степени, называется уравнение вида:

В этой статье я рассмотрю:

1. Кубические уравнения.
2. Возвратные кубические.
3. Применение схемы Горнера и теоремы Безу.
4. Возвратные биквадратные уравнения.

Кубические уравнения

Кубические уравнения, это уравнения, в которых у неизвестной при старшем члене степень равна 3. Кубические уравнения имеют следующий вид:

Решать такие уравнения можно по разному, однако мы воспользуемся знаниями базовой школы, и решим кубическое уравнение методом группировки:

В данном примере используется метод группировки, группируем первые два и последние два члена, получая равные скобки, снова выносим, получая уравнение из двух скобок.

Произведение равно нулю тогда, и только тогда, если хотя бы один из множителей равен нулю, на основании этого мы каждый множитель (скобку) приравниваем к нулю, получая неполное квадратное и линейное уравнения.

Также стоит отметить, что максимальное количество корней уравнения, равно степени неизвестной при главном члене, так в кубическом уравнении может быть не более трёх корней, в биквадратном (4-ой степени) не более четырёх корней и. т. д.

Возвратные кубические уравнения

Возвратные кубические уравнения имеют вид:

Возвратными они называются потому что коэффициенты будут зеркально повторяться. Подобные уравнения тоже решаются школьными методами, но чуть хитрее:

Сначала производится группировка, потом при помощи формул сокращённого умножения мы раскладываем получаемое на множители. Снова получаем 2 равные скобки, «выносим их». Получаем два множителя (скобки) и решаем их как два различных уравнения.

Теорема Безу и схема Горнера

Теорема Безу была открыта, как ни удивительно, Этьеном Безу, французским математиком, занимавшимся в основном алгеброй. Теорему Безу, можно сформулировать следующим образом:

Давайте разберёмся. P(x) — это какой-либо многочлен от x, (x — a) — это двучлен в котором a — это один из целых корней уравнения, который мы находим среди делителей свободного члена.

Три точки, это оператор обозначающий что одно выражение делится на другое. Из этого следует что найдя хотя бы один корень данного уравнения, мы сможем применить к нему эту теорему. Но зачем нужна эта теорема, каково её действие? Теорема Безу — это универсальный инструмент, если вы хотите понизить степень многочлена. Например, при её помощи, кубическое уравнение, можно превратить в квадратное, биквадратное, в кубическое и т. д.

Но одно дело понять, а как поделить? Можно конечно, делить и в столбик, однако этот метод доступен далеко не всем, да и вероятность ошибиться очень высока. Поэтому есть и иной путь, это схема Горнера. Её работу я поясню на примере. Предположим:

И так, нам дан многочлен, и мы возможно заранее нашли один из корней. Теперь мы рисуем небольшую табличку из 6 столбцов и 2 строк, в каждый столбец первой строки (кроме первого), мы вносим коэффициенты уравнения. А в первый столбец 2 строки мы вносим значение a (найденный корень). Потом первый коэффициент, в нашем случае 5, мы просто сносим вниз. Значения последующих столбиков мы рассчитываем так:

(Картинка позаимствована здесь)
Далее поступаем точно так же и с остальными столбцами. Значение последнего столбца (2 строки) будет остатком от деления, в нашем случае 0, если получается число отличное от 0, значит надо избрать другой подход. Пример для кубического уравнения:

Возвратные биквадратные уравнения

Выше мы так же рассматривали возвратные кубические уравнения, а теперь разберём биквадратные. Их общий вид:

В отличие от кубического возвратного уравнения, в биквадратном пары, относительно коэффициентов, есть не у всех, однако в остальном они очень схожи. Вот алгоритм решения таких уравнений:

Как видно, решать такие уравнения совсем не просто. Но я всё равно разберу и этот случай. Начинается решение с деления всего уравнения на x^2. Далее мы группируем, здесь я специально ввёл дополнительную строку для ясности. После этого мы совершаем хитрость, и вводим в первую скобку 2, которую мы сначала прибавляем, а после вычитаем, сумма всё равно не изменится, зато теперь мы можем свернуть эту скобку в квадрат суммы.

Уберём -2 из скобки, предварительно домножив его на a, после чего вводим новую переменную, t и получаем квадратное уравнение.

А теперь перейдём к примеру:

Основная часть так же как и в обобщённом алгоритме, делим на x^2, группируем, сворачиваем в полный квадрат, выполняем подстановку переменной и решаем квадратное уравнение. После этого полученные корни подставляем обратно, и решаем ещё 2 квадратных уравнения (с умножением на x).

Область применения

В виду своей громоздкости и специфичности уравнения высших степеней редко находят себе применение. Однако примеры всё же есть, уравнение Пуассона для адиабатических процессов в Физике.