Решение уравнений высших степеней 10 класс презентация

Решение уравнений высших степеней
презентация к уроку по алгебре (10, 11 класс) на тему

В презентации рассматриваются основные способы решения уравнений высших степеней.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Решение уравнений высших степеней Желтова О. Н., учитель МАОУ «Лицей № 6» г. Тамбов

Уравнение Р( x)=0 , где Р(х) = а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n , Степенью уравнения Р( х ) = 0 называется степень многочлена Р( х ) стандартного вида, т.е. наибольшая из степеней его членов .

(х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 х 5 – 2х 3 + 3 = 0 х 3 =10 – х (х-2)(х+1)(х+4)(х+7) = 63 (х 2 -2х-1) 2 + 3(х-1) 2 = 16 2х 4 + х 3 – 6х 2 + х + 2 = 0

Способы решения уравнений высших степеней Разложение многочлена на множители Функционально-графический метод Метод замены переменн ой

Решить уравнение: x 3 -2x 2 -6x+4=0 Проблема: Возможно ли многочлен третьей степени x 3 -2x 2 -6x+4 разложить на множители ? №1

Как разложить на множители многочлен х 2 — 5х — 6? х 2 — 5х — 6 = (х – 6)(х + 1) ‏ ‏ Вывод: Корни трехчлена являются делителями свободного члена . .

. x 3 -2x 2 -6x+4 разделим на двучлен х + 2

Схема Горнера . x 3 -2x 2 -6x+4 разделим на двучлен х + 2 1 -2 -6 4 1 1 -4 2 0 -2 остаток умножить сложить x 3 — 2x 2 — 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2) ‏ x 3 — 2x 2 — 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2)=

Значения Схема многочлена Горнер а Р(х)=x 3 -2x 2 -6x+4 Гипотеза: Значение многочлена при х=а равно остатку от деления многочлена на х — а. х Р(х) ‏ 1 -3 -1 7 2 -8 -2 0 4 12 -4 -68 1 -2 -6 4 1 1 -1 -7 -3 -1 1 -3 -3 7 2 1 0 -6 -8 -2 1 -4 2 0 4 1 2 2 12 -4 1 -6 18 -68

Теорема Безу : Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (x — а) равен Р(а ). Следствие : Для того, чтобы многочлен Р(х) делился нацело на двучлен (х – а), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Р(а) = 0 . О Безу Этьенн БЕЗУ Этьенн Безу (1730 — 1783) ‏

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если Р(а) = 0, то Р(х)= (x — а)∙Q(x), и остается решить уравнение Q(x) = 0 . Иногда этим приемом — он называется понижением степени — можно найти все корни многочлена. В начало

Если уравнение с целыми коэффициентами а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n =0 имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена а n Теорема 1

х 4 – 4х 3 + 5х 2 -2х – 12 = 0, х = -1 — целый корень уравнения. По схеме Горнера: (х+1)(х 3 — 5х 2 + 10х — 12)=0 х 3 — 5х 2 + 10х – 12=0, х = 3 –целый корень уравнения По схеме Горнера: (х+1)(х – 3)(х 2 -2х + 4) = 0. уравнение х 2 -2х + 4 = 0 корней не имеет. 1 -5 10 -12 3 1 -2 4 0 1 -4 5 -2 -12 -1 1 -5 10 -12 0 Ответ: -1; 3. №2

РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ: х 4 — x 3 — 6x 2 — x + 3 = 0 . Ответ: -1; 3; №3

2 3 5 4 -1 Схема Горнера 2 1 4 0 Найти все значения параметра а, при каждом из которых число р является корнем уравнения. а= -2 а=1 Если а=-2 №4

При а=1 уравнение принимает вид: 1 -3 -5 -1 -1 1 -4 -1 0 Ответ: -1;

Для того, чтобы уравнение с целыми коэффициентами а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n =0 имело рациональный корень р/ q , необходимо и достаточно,чтобы p являлось делителем свободного члена а n , а q являлось делителем старшего коэффициента а 0 . Теорема 2

№5 12 х 5 — 44 x 4 +23 x 3 +4 x 2 — 3 x = 0 . Делители свободного члена: 1 ,-1,3,-3 Делители старшего коэффициента: 1,2,3,4,6,12 Ожидаемые корни: X=0 12 х 4 — 44 x 3 +23 x 2 +4 x – 3 = 0. Ответ: 0; ½, ½, -1/3, 3.

№6 12 х 4 — 44 x 3 +39 x 2 +8 x — 12 = 0 . Ответ:-1/2; 2/3; 1,5;2

№7 Метод неопределенных коэффициентов х 4 — 10 x 3 +27 x 2 -14 x + 2 = 0 . х 4 — 10 x 3 +27 x 2 -14 x + 2= = ( x 2 -4 x + 1) ( x 2 -6 x + 2)

6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0 . Самостоятельная работа Ответ: -2; 1/2; 1/3 2х 4 + х 3 – 6х 2 + х + 2 = 0 Ответ: 1,1,

Способы решения уравнений высших степеней Разложение на множители Введение новой переменной Фукционально-графический группировка формулы сокращённого умножения понижение степени вынесение за скобки деление «уголком» схема Горнера разложение квадратного трёхчлена на множители Метод неопределенных коэффициентов

Уравнения для меня важнее, потому что политика — для настоящего, а уравнения — для вечности. Альберт Эйнштейн

Домашнее задание: §2-6, №304,305,314, 316(1,3),317,319, 321,324(1)

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Способы решения уравнений высших степеней. 8 класс

Данную презентацию использую при решении уравнений высших степеней в 8 классе. Решать квадратные уравнения школьники научились по формулам, а если уравнение выше второй степени? Есть ли алгоритм.

Конспект урока. Тема: «Решение уравнений высших степеней» 8 класс

Полное описание урока. Как решать уравнения выше второго порядка? Есть ли алгоритм решения? На эти и другие вопросы отвечает данный материал.

Урок-защита проектов «Решение уравнений высших степеней» 9 класс

Конспект урока по алгебре в 9 классе «Решение уравнений высших степеней», на котором учащиеся защищали свои проекты.Презентации учащихся: Решение биквадратных уравнений, Решение возвратных уравнений, .

Методы решения уравнений высших степеней

Проект урока по алгебре в 11 классе.Составлен по УМК А.Г. Мордковича.

Методы решения уравнений высших степеней.Схема Горнера.

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера.

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера.

Урок математики в 9 классе на тему «Способы решения уравнений высших степеней»

Данная тема является актуальной и важной при изучении математики, так как уравнения высших степеней составляют часть выпускных экзаменов, встречаются на вступительных экзаменах в вузы и являются неотъ.

Урок алгебры в 10-м классе (занятие элективного курса) по теме «Методы решения уравнений высших степеней»

Презентация к уроку

На занятии изучается методика решения уравнений высших степеней. Рассматриваются два метода: разложение на множители и замена переменной. Понижение степени уравнений с помощью деления многочленов по схеме Горнера и приведение различных уравнений к замене переменной. Дана историческая справка исследования уравнений высших степеней. Представлена презентация урока.

Метод разложения на множители.

Этот метод основан на применении теоремы Безу. Если число α является корнем многочлена P(x) степени n, то его можно представить в виде P(x) = (x — α)Q(x), где Q(x) — многочлен степени (n-1).Теорема Безу: “Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (x — α) равен P(α), т.е. значению многочлена при x = α” Таким образом, если известен хотя бы один корень уравнения Р(х)=0 степени n, то с помощью теоремы Безу можно свести задачу к решению уравнения степени (n-1), понизить степень уравнения. Теорема. Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения a₀x n + a₁x n-1 + . + a_x-1x+ a_n = 0 с целыми коэффициентами, тогда число p – является делителем свободного члена a_n, а q – делителем старшего коэффициента a₀. У многочлена с целыми коэффициентами целые корни являются делителями свободного члена. Таким образом, зная корень многочлена, его легко разложить на множители, т.е. разделить P(x) на (x — α) “углом” или по схеме Горнера.

Презентация по математике «Примеры решения уравнений высших степеней»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Тема: Примеры решения уравнений высших степеней. Решение уравнений методом замены переменной. Решение уравнений методом разложения на множители автор: Рябцева Татьяна Анатольевна, учитель математики МКОУ «Нижнереутская ООШ», Курская область

Уравнением называют равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти. Корень уравнения – это такое значение переменной, при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство

Будем рассматривать целое рациональное уравнение n-й степени стандартного вида с одной неизвестной переменной x: Pn(x)=0 , где Pn(x)=anxn+an-1xn-1 +…+a1x+a0– многочлен n -й степени от x, an≠0. Если an=1, то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением n-й степени. Рассмотрим уравнения при различных значениях n и перечислим основные методы их решения.

Утверждения о корнях многочлена и его делителях: 1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n 2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень. 3. Для многочлена третьей степени Р3(х) = ах3 + bx2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов, Р3(x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р3(x) = а(х – α)(х2 + βх + γ). 4. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.

Будем называть уравнения третьей, четвёртой и т.д. степеней уравнениями высших степеней. Уравнения высоких степеней можно решить с помощью двух основных приёмов: -разложением многочлена на множители; — с использованием замены переменной.

Пример для самостоятельного решения: (x-1)(x2+6x+9)=5(x+3) Ответ: -4; -3; 2

Примеры для самостоятельного решения: 1) x3+2×2-x-2=0 Ответ: -2; -1; 1 2) x3+3×2-4x-12=0 Ответ: -3; -2; 2 3) x3+2×2=9x+18 Ответ: -3; -2; 3

Решение биквадратного уравнения Биквадратное уравнение—это уравнение вида ax2+bx+c=0 Биквадратное уравнение решают введением новой переменной x2=t Так как x²≥0, можем сразу ввести условие на t: t≥0. По следствию из теоремы Безу, многочлен степени n имеет не больше n разных корней. Следовательно, биквадратное уравнение может иметь 4, 3, 2 корня, 1 корень либо не иметь корней.

Рассмотрим решение биквадратных уравнений на конкретных примерах. 4×4-5×2+1=0 Пусть x2=t, t≥0, тогда 4t2-5t+1=0 Решив квадратное уравнение, получаем корни t1=1, t2=1/4 Решаем неполные квадратные уравнения t1=1, t2=1/4, и получаем корни x1=1; x2=-1; x3=1/2; x4 =-1/2 Ответ: -1; 1; -1/2; 1/2

Пример для самостоятельного решения: x4+x2-20=0 Ответ: -2; 2

Пример для самостоятельного решения: (x2-36)2+(x2+4x-12)2=0 Ответ: -6

Рассмотрим решение уравнений с применением формул сокращённого умножения: x4=(3x-10)2 Решение: x4-(3x-10)2=0 (x2)2-(3x-10)2=0 (x2-(3x-10)) (x2+(3x-10))=0 1. x2-3x+10=0 D=-36 0 x1=-5; x2=2 Ответ: -5; 2

Пример для самостоятельного решения: x4=(4x-5)2 Ответ: -5; 1

Решение уравнений с помощью условия равенства степеней: Решим уравнение (x−4)6+(x2−4x +2)3=0. Перепишем уравнение в виде (x −4)6=−(x2−4x +2)3. Далее, поскольку a6=(a2)3, −b3=(−b)3, получим ((x−4)2)3= (−x2+4x −2)3. В силу того что c3=d3, получаем c=d, и уравнение приводится к виду (x − 4)2=−x2+4x −2. Перенеся все члены уравнения в левую часть, раскрыв скобки, приведя подобные слагаемые и разделив обе части полученного уравнения на число 2, получим квадратное уравнение x2−6x+9=0, единственным корнем которого является 3. Ответ: 3

Пример для самостоятельного решения: x6+(6x -5)3=0. Ответ: 1; 5

Список использованной литературы и Интернет ресурсов 1.ФГБНУ «ФИПИ» https://fipi.ru/oge/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/173801626-2 2.Официальный информационный портал государственной итоговой аттестации http://gia.edu.ru/ru/ 3. Ященко И.В., Шестаков С.А. Подготовка к ОГЭ по математике в 2017 г. году. Методические указания.—Издательство МЦНМО, 2017 г 4. Ященко И. В., ОГЭ: 300 задач с ответами по математике. Все задания ч.1, Издательство «Экзамен», 2017 г.

Краткое описание документа:

В данной презентации приведены примеры решений уравнений высших степеней: квадратные уравнения, уравнения третьей и четвёртой степеней различными способами. Также даны задания для самостоятельного решения с ответами. Презентация будет полезна для самостоятельной подготовки к ГИА по математике для учащихся 9 класса и для учителей.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 593 880 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 23.04.2020
• 164
• 3

• 20.04.2020
• 156
• 1

• 18.04.2020
• 1380
• 161

• 17.04.2020
• 148
• 0

• 15.04.2020
• 248
• 3

• 12.04.2020
• 192
• 14

• 11.04.2020
• 120
• 1

• 09.04.2020
• 351
• 16

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 23.04.2020 443
• PPTX 397.7 кбайт
• 41 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Рябцева Татьяна Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 1 год и 10 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 619
• Всего материалов: 2

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

В приграничных пунктах Брянской области на день приостановили занятия в школах

Время чтения: 0 минут

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Курские власти перевели на дистант школьников в районах на границе с Украиной

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.