Решение уравнений высших степеней 11 класс профильный уровень

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) по теме

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера

Скачать:

Предварительный просмотр:

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера.

Подобные задания, содержащие уравнения высших степеней, в последние годы стали появляться в ЕГЭ, олимпиадных заданиях по математике, при вступительных экзаменах в ВУЗы. Большинство учащихся с трудом справляются с решением уравнений со степенью выше 3, поскольку в школьном курсе алгебры при непрофильном обучении отводится этой теме малое количество времени, но умение решать такие уравнения необходимо при написании экзамена в форме ЕГЭ, при решении части С, причем математика является обязательным для сдачи предметом.

1. Методы решения уравнений высших степеней различными способами.

1. Метод замены переменной.

Пример 1. Дано: (х 2 -9) 2 -8(х 2 -9) +7=0

Решение. Введем новую переменную, обозначив х 2 -9=t, тогда получаем:

t 2 -8t+7=0, D=b 2 -4ac=36, t 1 =7; t 2 =1.

Возвращаемся к “старой” переменной х 2 -9=1, х=± √ 10; х 2 -9=7, х=±4.

Ответ: х 1 =+ √ 10; х 2 =- √ 10; х 3 =-4; х 4 =4.

Пример 2. Дано: х(х + 1)(x + 2)(x + 3) = 24

Решение . Перемножим первый и четвертый множители, второй и третий. Получим:

(х 2 + 3х)(x 2 + 3x + 2) = 24

Вводим замену: x 2 + 3x = t, тогда t(t + 2) = 24, t 2 + 2t – 24 = 0, t 1 = -6; t 2 = 4. Возвращаемся к “старой” переменной, получим: x 2 + 3x = -6, x 2 + 3x + 6 = 0, D

Уравнение x 2 + 3x = 4 имеет корни х 1 = -4, х 2 = 1.

Ответ : х 1 = -4, х 2 = 1.

Пример 3. Дано: (х – 4)(х 2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х 2

Решение . Разложим на множители х 2 + 15 + 50.

х 2 + 15 + 50 = 0, х 1 = -5, х 2 = -10, тогда х 2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10).

Уравнение примет вид: (х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х 2

Так как (-4)•5 = -20, 10•(-2) = -20, то перемножая первую скобку со второй, третью с четвертой, будем иметь: (х 2 + х – 20)( х 2 + 8х – 20) = 18х 2

Поскольку х = 0 не корень, разделим обе части уравнения на х 2 . Получим:

Вводим замену: , тогда (t+1)(t+8)=18, т.е. t 2 +9t-10=0, t 1 = -10, t 2 = 1.

Вернемся к исходной переменной:

Решим первое уравнение х 2 + 10х – 20 = 0, D = 180, х 1 = ; х 2 =

Решим второе уравнение х 2 — х – 20 = 0, D =81, х 3 = — 4, х 4 = 5.

Ответ : х 1 = ; х 2 = ; х 3 = — 4, х 4 = 5.

Решение. Произведем преобразования в числителе дроби: х 4 +324=х 4 +18 2 ,

(х 2 +18) 2 =х 4 +36х 2 +324, тогда х 4 +324= х 4 +36х 2 +324-36х 2 . Получим:

Приведем левую и правую части к одному знаменателю:

Приравняем к нулю. Получим:

Решим уравнение в числителе методом группировки:

Разложим на множители , приравняв к нулю:

, введем новую переменную: х 2 =t, получаем:

х 2 -25=0, или х 2 +6х+18=0

Числитель равен нулю при х=5; -5, а знаменатель никогда не будет равен нулю.

Пример 5. Дано: (х-1) 4 -х 2 +2х-73

(х-1) 4 -(х 2 -2х+1)-72, (х-1) 4 -(х-1) 2 -72.

Введем новую переменную: (х-1) 2 =t, t 2 -t-72=0, D=1+288=289

Возвращаемся к «старой» переменной:

х 2 -2х+1-9=0, х 2 -2х+1+8=0 ,

х 2 -2х-8=0 х 2 -2х+9=0

D=4+32=36 D=4 — 36= -32, D

Пример 6. Дано: (х 2 -2х-1) 2 +3х 2 -6х-13=0

Решение. Выполним преобразования: (х 2 -2х-1) 2 +3(х 2 -2х-1)-10=0.

Введем новую переменную: х 2 -2х-1=t

Возвращаемся к «старой» переменной:

х 2 -2х-1+5=0, х 2 -2х-1-2=0 ,

х 2 -2х+4=0 х 2 -2х-3=0

— не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на (х-1) 2 , получим

Решение . В левой части выделим полный квадрат разности:

Сгруппируем первый, второй и четвертый члены:

Вводим замену: t 2 + 18t – 40 = 0; t 1 = -20, t 2 = 2.

Вернемся к “старой” переменной, получим:

Решение . х = 0 не является корнем уравнения, поэтому числитель и знаменатель каждой дроби делим на х:

Решим это уравнение:

Вернемся к “старой” переменной:

Решаем первое уравнение х 2 – 14х + 15 = 0

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Решение. Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

Введем новые переменные: (х-1) 2 =а; (х+1) 2 =b, получаем:

а 2 +9b 2 -10аb=0, поделим на а 2 , 1+9( 2 -10( ), вводим новую переменную и решаем квадратное уравнение:

9t 2 -10t+1=0, D=100-36=64, t 1,2 =

Возвращаемся к «старым» переменным: 1) (х+1) 2 =(х-1) 2 ; 2) (х-1) 2 =9(х+1) 2 .

1. х 2 +2х+1=х 2 -2х+1, 2) х 2 -2х+1=9х 2 +18х+9,

Решение. Сгруппируем слагаемые в левой части, но следует заметить, что х=0; х=-1; х=-3; х=-4 не могут быть решениями. Получим:

Проводим преобразования и получаем:

х 1 =-2. Введем замену: х 2 +4х=t, тогда

Решая уравнения, получаем:

Подставляем значение t, получаем уравнение:

х 2,3 = Ответ: х 1 =-2; х 2 =-2+ ; х 3 = -2- .

Пример 2. Дано: х 4 +2х 3 +2х+1=0

Решение. Поделим на уравнение на х 2 , получим:

х 2 +2х+ перегруппируем слагаемые таким образом:

вводим новую переменную: t= х+ , t 2 +2t-2=0, D=4+8=12,

x 2 + (1− )x +1 = 0, D=-1-2

x 2 + (1+ )x +1 = 0, D= ,

Пример 3. Дано: х 4 +х 3 -72х 2 +9х+81=0

Решение. Поделим уравнение на х 2 и сгруппируем:

(х 2 + +(х+ проведем некоторые преобразования до полного квадрата в одной из скобок, получим:

(х+ ) 2 +( х+ )-90=0, вводим новую переменную: t= х+ , решаем уравнение:

t 2 +t-90=0, D=1+360=361,

t 1,2 = Решаем уравнения, подставляя значения t:

х 2 +10х+9=0, D=100-36=64

х 2 -9х+9=0, D=81-36=45

Ответ: х 1 х 2 =-1; х 3,4 =

Определение. Уравнение р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n =0, где n – натуральное число, а — произвольные постоянные коэффициенты, называется целым рациональным уравнением n – й степени .

Теорема. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n на двучлен х-а равен Р(а).

Рассмотрим решение уравнений высших степеней, используя метод деления с помощью схемы Горнера:

Если р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n =(b 0 x n-1 +b 1 x n-2 +…+b n-2 x+b n-1 )(x-a)

Урок алгебры и начала анализа по теме «Методы решения уравнений высших степеней». 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

“Под методом же я разумею точные и простые правила, строгое соблюдение которых всегда препятствует принятию ложного за истинное и без излишней траты умственных сил, но постепенно и непрерывно увеличивая знания, это способствует тому, что ум достигает истинного познания всего, что доступно”.

Цель урока: обеспечение условий для усвоения каждым учащимся знаний об уравнениях высших степеней, способах их решений.

Образовательные задачи: обобщить, углубить знания обучающихся по изучаемой теме, закрепить умение узнавать и применять изученные приемы решения уравнений высших степеней.

Развивающие задачи:

Воспитательные задачи:

Форма урока – установочный практикум.

Обеспечение: 1) листы с заданиями (приложение 1); 2) типы уравнений высших степеней; 3) возможны презентации докладчиков; 4) презентация учителя (приложение 2).

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний (фронтальная работа с классом) (10 минут)

Учитель:

1. Объявляется тема урока, обращается внимание обучающихся на эпиграф урока.
2. Какие уравнения называются уравнениями высших степеней? Назовите виды таких уравнений.
3. Назовите общие методы решения уравнений высших степеней.
   Какой из перечисленных методов вам наиболее близок и понятен?
   Перечислите аналитические приёмы, с помощью которых можно решить уравнения высших степеней названным методом.
4. А теперь я предлагаю вам составить схему (кластер) методов решения уравнений высших степеней и провести классификацию уравнений по методам решений (обучающиеся работают с предложенными уравнениями на специальных листах).

1) х 3 – 6х 2 + 11х – 6 = 0; (разложение на множители)
2) 9х 4 – 9х 3 + 10х 2 – 3х + 1 = 0; (введение новой переменной, возвратное уравнение)
3) х 5 + 3х 3 = 11 – х; (функционально-графический)
4) (х 2 + 3х + 2)(х 2 + 9х + 20) = 4; (введение новой переменной)
5) х 3 – 5х 2 +3х +1 = 0; (разложение на множители)
6) 2х 4 – 5х 3 + 5х – 2 = 0; (разложение на множители)
7) х 7 + 3х + 2 = 0; (функционально-графический)
8) 4х 3 – 10х 2 + 14х – 5 = 0; (введение новой переменной)
9) х 4 – 8х + 63 =0; (разложение на множители, функционально-графический, применение производной функции)
10) х 6 + х 2 – 8х + 6 = 0. (функционально-графический с использованием уравнения касательной)

1. К доске приглашается один ученик, который представляет свою схему и классификацию. Учитель показывает свою схему, проверяется умение обучающихся определять способы решения уравнений на первый взгляд.

Разложение многочлена на множители

Метод замены переменной

Функционально-графический методСпособом группировкиБиквадратные уравненияТеорема о монотонности функцийПо формулам сокращенного умноженияВозвратные уравненияИспользование производной функцииПо теореме БезуУравнения, в которых выделяются одинаковые многочлены.Составление уравнения касательнойСхема ГорнераВведение неопределенных коэффициентовДеление многочлена на многочлен

1. Взаимопроверка в парах. (“5” – 9-10 уравнений; “4” – 7-8 уравнений; “3” – 5-6 уравнений; “2” – меньше 5 уравнений”), отложили на край парты.
2. Выявление проблемы: какие методы решения уравнений высших степеней вызывают затруднения (существуют ли другие методы решения ).
3. Сформулируйте задачи нашего урока.

II. Включение в систему знаний (проверка домашнего задания, восприятие и осознание учебного материала) (15 минут):

Востребованные докладчики объясняют:

• Идею метода.
• Показывают решение конкретного примера.

Остальные учащиеся слушают объяснения, задают вопросы докладчику, записывают решение.

III. Закрепление знаний (17 минут):

1. Решение предложенных уравнений различными методами по рядам:
   I ряд – решают введением новой переменной, II ряд –функционально-графическим, III ряд – разложением на множители.
2. В последнее время уравнения выше второй степени являются частью выпускных экзаменов, они встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы, а также являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Особое внимание уделяется уравнениям с параметром.

У доски ученик решает уравнение с параметром №3.4(г).

ах 3 – 3х 2 – 5х – а 2 = 0, р= -1 – корень уравнения.

а 2 + а – 2 = 0, а = -2 или а = 1.

При а = -2 уравнение принимает вид: 2х 3 + 3х 2 + 5х + 4 = 0.

При а=1 уравнение принимает вид: х 3 – 3х 2 – 5х – 1 = 0.

х 2 – 4х – 1 = 0, х = 25.

Ответ: – 1; 25.

1. На слайдах в презентации показывается историческая справка.

Из истории математики

Для уравнений третьей и четвертой степени есть формулы корней (формулы Кордано и Феррари), выведенные итальянскими математиками в 1545 году, но в силу своей громоздкости эти формулы не используют в школьной программе. После того, как были выведены формулы корней для уравнений третьей и четвёртой степени, на протяжении почти 300 лет, учёные-математики пытались вывести формулы для нахождения корней уравнений пятой степени и выше, но труды их оказались безуспешными.

Нильс Хенрик Абель (1802-1829)– норвежский математик. В 1826 году норвежский математик Абель доказал, что нельзя вывести формулы для решения уравнений пятой степени и выше.

1. Фронтальный опрос о приемах решения уравнений самостоятельно, ответы и решения сверяются с помощью презентации.
2. Самооценка. Проанализируйте свою работу, сделайте выводы о своих навыках и умении решать уравнения высших степеней различными методами.

IV. Домашнее задание (1 минута):

П. 3. №№ 3.20(б); 3.26(а); 3.29(г); 3.33(б).

Задание творческого характера: найти в различных источниках приемы решения уравнений высших степеней, о которых не упоминалось на уроке, привести примеры.

V. Итог урока (2 минуты):

1. Оценка работы отдельных учащихся на уроке.
2. Рефлексия:
   – Какой метод для вас оказался самым легким?
   – Какой метод для вас оказался самым трудным?
   – Какие приемы помогают вам в решении уравнений высших степеней?
   – Чей доклад вам больше понравился? Почему?
   – Как вы оцениваете работу класса? Как вы оцениваете собственную работу?

Литература:

1. А.Г. Мордкович, П. В. Семенов “Алгебра и начала анализа 11 (профильный уровень)”, Москва “Мнемозина”, 2012.
2. А.Г. Мордкович и др. “Алгебра и начала анализа 11 класс (профильный уровень)”, задачник. Москва “Мнемозина” 2012.
3. А.П. Карп “Сборник задач по алгебре и началам анализа, 10-11” (М: Просвещение, 1999).
4. Ф.М. Мурзабаева. Презентация “Методы решения уравнений высших степеней” 11 класс (профильный уровень), г. Баймака, 2013.

Тема урока «Решение уравнений высших степеней»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Предмет: Алгебра и начала анализа (профильный уровень)

Авторы учебника : А.Г. Мордкович и др. «Алгебра и начала анализа», 11 класс, (профильный уровень), М. «Мнемозина», 2019г

Тема урока «Решение уравнений высших степеней»

Цели: Обобщить и систематизировать теорию о многочленах от одной переменной, многочленах от нескольких переменных, приемы решения целых алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ситуациях.

• повторить деление многочлена на многочлен с остатком, теорему Безу и следствие, теорему о целом корне многочлена, схему Горнера;
• сформировать у учащихся умения и закрепить навыки решения алгебраических уравнений;
• научить применять ключевые задачи не только в знакомой, но в модифицированной и незнакомой ситуациях.

· развить умения самостоятельного решения уравнений и задач, связанных с преобразованием многочленов;

· содействовать развитию устойчивого интереса к математике с помощью математической строгости умозаключения;

· ознакомить с логическими приемами мышления.

• воспитать чувство ответственности, формировать навыки самооценки;
• содействовать желанию расширить и углубить знания, полученные на уроке,
• воздействовать на мотивацию к учению с помощью историко-математического материала;
• содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: плакат с заданиями “Устно”, “Разложить на множители”, “Решить уравнения”.

Форма организации учебной деятельности: Индивидуальная, фронтальная, групповая, самопроверка.

1. Организационный момент: вступительное слово учителя, в котором он подчеркивает значение материала изученной темы, сообщает цель и план урока (1 мин.)
2. Актуализация опорных знаний (8 мин.):

• повторение теории о многочленах: многочлены от одной переменной;
• многочлены от нескольких переменных (демонстрация слайдов);

3. Фронтальная работа “Устно” (3 мин.)
4. Решение задач (25 мин.):

I этап: алгебраические уравнения от одной переменной;
II этап: алгебраические уравнения от нескольких переменных;

а) работа в группах;
б) работа у доски;
в) работа с помощью интерактивной доски;

5. Самостоятельная работа учащихся (5 мин.)
6. Подведение итогов урока. Рефлексия (2 мин.)
7.Задание на дом, инструкция о его выполнении (1 мин.)

1.Организационный момент – ставятся цели и задачи урока.

Ребята ! Вам предстоит итоговая аттестация по математике в форме ЕГЭ. Чтобы успешно сдать ЕГЭ, вы должны знать математику не только на минимальном уровне, но и применить ваши знания в нестандартных ситуациях. В частях В и С ЕГЭ часто встречаются уравнения высших степеней. Наша задача: систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний по решению целых уравнений с одной переменной выше второй степени; подготовка к применению знаний в нестандартной ситуации, к ЕГЭ. (цели урока, слайд 1,2).Девиз нашего урока: чем больше я знаю, тем больше умею. (слайд 3)

Уравнение-это самая простая и распространенная математическая задача. Вы накопили некоторый опыт решения разнообразных уравнений и нам нужно привести свои знания в порядок, разобраться в приемах решения нестандартных уравнений.

У равнения сами по себе представляют интерес для изучения. Самые ранние рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приемы решения линейных уравнений. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет назад до н.э. вавилоняне.

Стандартные приемы и методы решения элементарных алгебраических уравнений являются составной частью решения всех типов уравнений..

В простейших случаях решение уравнения с одним неизвестным распадается на два шага: преобразование уравнения к стандартному и решение стандартного уравнения. Полностью алгоритмизировать процесс решения уравнений нельзя, однако полезно запомнить наиболее употребительные приемы, общие для всех типов уравнений. Многие уравнения при применении нестандартных приемов решаются гораздо короче и проще.

1. Вступительное слово учителя

(На доске тема, цели и задачи урока.)

умение делить “углом” многочлен на многочлен, теорема Безу, следствие теоремы Безу, использование схемы Горнера при решении уравнений высших степеней позволит вам справиться с наиболее сложными заданиями ЕГЭ за курс средней школы. Тему “Многочлены” (многочлены от одной переменной, многочлены от нескольких переменных) ученик формулируют сами.

Не надо боятся ошибиться, совет учиться на ошибках другого бесполезен, научиться чему-либо можно только на собственных ошибках. Как говорил Анатоль Франс (1844–1924) “Учиться можно только весело…. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”. Будьте активны, внимательны. Сегодня каждый из вас оценит свои знания сам. Получите оценочные листы.

2. Актуализация опорных знаний самими учащимися.

– Внимание на экран (слайд 1, слайд 2. См. Приложение 1 )

“Основные приемы решения уравнений”
“Основные определения и понятия курса “Многочлены”

Понятие многочлена от одной переменной возникло в связи с задачей решения алгебраических уравнений от одной переменной, которой занимались уже в глубокой древности.

Современная математика изучает и использует в общем случае многочлены от одной переменной, у которых коэффициенты а_0, ,а₁,…,а_n являются объектами произвольной природы, а не только числами.
На доске (лицевая и обратная сторона) заранее заготовлены задания:

а) разделить “углом” многочлен (х 3 – 2х 2 + 3х -5) на многочлен (х 2 -3х – 1);
б) разделить “углом” многочлен (х 3 – 3х 2 + 5х — 15) на многочлен (х 2 +5) и два ученика, не видя друг друга, представляют свой вариант решения с последующим комментарием решения.

Учащеся знакомят с биографией Этьена Безу и Уильяма Джорджа Горнера (слайд 8, 9) (одним из интереснейших фактов жизни Этьена Безу является то, что ему удалось расшифровать тайную переписку испанского короля, тем самым помочь французскому королю выиграть войну с Испанией). У экрана следующий ученик доказывает теорему Безу, приводит пример на применение теоремы Безу

3. Подготовка к работе в «лаборатории» (Устно)

3.1. Найдите степень суммы многочленов: х 3 + 3х 2 + 1 и х 5 + х 4 + 6х 2 — 1.

3.2. Найдите степень произведения многочленов: (х 2 — 1)(х 3 + 1)(х + 1) и (х — 1) 3 (х + 1) 2

3.3. Найдите остаток от деления многочлена f(x) = х 5 — 4х 4 + 5х 3 — 2х 2 + 7х — 1 на (х – 1)

3.4. Является ли число 2 корнем многочлена f (x) = х 4 — 2х 3 + 8 х 2 — х — 1?

3.5. Делится ли многочлен f (x) = х 5 — 7х 3 + х 2 + 13х + 6 на (х + 1) нацело?

Слайды 12, 13 “Схема Горнера”, комментирует ученик:

У доски учащийся демонстрирует применение схемы Горнера:

разделить (х 7 -2х 4 +27х+3) на (х+2), используя схему Горнера