Решение уравнения 9 класс по алгебре решать

Виды уравнений и способы их решения в 9-м классе

Разделы: Математика

Перед уроком были изучены темы “Уравнения с одной переменной”, “Целые рациональные уравнения и основные методы решения целых рациональных уравнений”, “Дробно-рациональные уравнения”, “Уравнения с модулем и параметрами”.

За две недели до обобщающего урока на стенде “Готовься к экзамену” было предложено:

1. Прорешать из экзаменационного сборника задания второго раздела (№ 71–101).
2. Вопросы по теоретическому материалу.
3. Примерное оформление экзаменационного задания.
4. Сроки индивидуальных и групповых консультаций.

Вопросы по теоретическому материалу

1. Определение уравнения с одним неизменным.
2. Корень уравнения.
3. Что значит решить уравнение?
4. Определение области допустимых значений.
5. Когда два уравнения являются равносильными?
6. Когда одно уравнение является следствием другого?
7. Какие тождественные преобразования приводят к равносильным уравнениям?
8. Особенность тождественного преобразования “деление на выражение, содержащее переменную”.
9. Виды уравнений, их стандартный вид, алгоритм решения.
10. Основные методы решения уравнений с одним неизвестным.

а) учебник А-9 под ред. Н.Я. Виленкина, глава X, с. 157–189;
б) конспекты.

№ 93(1)
№ 5.60(а)
Галицкий, с. 51

если D = 0, то x = –3 при a = –3, но x = –3 не удовлетворяет условию, так как (x – 4)(x + 3) 0;

Среди найденных значений может быть появление посторонних корней, так как уравнение x² + (3 – a)x – 3a = 0 следствие исходного уравнения.

Чтобы x₂ = a являлся корнем x 2 – 4 0, a – 4 0, a 4

x 2 + 3 0, то есть a – 3 0, a –3

Ответ: при a 4, a –3 корнем уравнения является x = a.

Задания к уроку подобраны с учетом подготовленности учащихся данного класса.

• привести в систему знаний учащихся по теме;
• повторить теорию решения уравнений;
• выработать умение определить вид уравнения;
• выразить наиболее рациональный способ решения данного уравнения;
• формировать наблюдательность учащихся.

I. Организационный момент

Сообщение темы урока и его целей.

II. Повторение теории по решению уравнений

1. Что называется уравнением?

Ответ: Любое равенство вида некоторые функции называются уравнением с одной переменной (или с одной неизвестной).

2. Что называется корнем уравнения?

Ответ: Число a называется корнем (или решением) данного уравнения с одной переменной, если при подстановке числа a вместо x в обе части уравнения, получаем верное числовое неравенство, то есть при подстановке x = a обе части уравнения определены и их значения совпадают:

3. Что значит решить уравнение?

Ответ: Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать что их нет.

4. Как определяется область определения допустимых значений уравнения?

Ответ: ОДЗ называется пересечение множеств областей определения функций

5. Какие уравнения называются равносильными (эквивалентными)?

Ответ: Два уравнения называются равносильными, если все корни уравнения первого являются корнями второго и наоборот, все корни второго уравнения являются корнями первого.

6. А как определить уравнение следствие?

Ответ: Если все корни одного уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

7. Какие тождественные преобразования приводят к равносильным уравнениям?

• к обеим частям уравнения прибавить любую функцию, которая определена при всех значениях из ОДЗ. Следствие. Члены уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую;
• обе части уравнения умножить на любую функцию, определенную и отличную от нуля при всех допустимых значениях неизвестного. Также можно делить и умножать на число, отличное от нуля;
• в обеих частях уравнения стоят функции, принимающие только неотрицательные значения, то при возведении в одну и ту же четную степень получаем уравнение, равносильное данному. Появлению “посторонних корней” приводят преобразования:
  а) приведение подобных членов – происходит расширение ОДЗ;
  б) сокращение дроби на выражение, содержащие неизвестное (тоже происходит расширение ОДЗ);
  в) умножение на выражение, содержащее неизвестное;
  г) освобождение дроби от знаменателя, содержащего неизвестное. Необходимо обязательно делить проверку или лучше перейти к смешанной системе.

8. Виды уравнений, их стандартный вид, алгоритм решения (в процессе решения).

Ответ:
а) Линейное;
б) квадратное;
в) уравнение высших порядков (биквадратным, возвратное, симметрическое);
г) уравнения содержащие модуль;
д) уравнение с параметром.]

9. Какие общие методы решения уравнений с одним неизвестным?

Ответ: Вынесение общего множителя (разложение на множители), замена переменной, использование ограниченности и монотонности функций, графически.

Понятие равносильности для нас понятие только вводится, и поэтому проведем тест, как же вы этим понятием владеете.

Тест рассчитан на 5–7 минут. Контрольные задания даются в двух вариантах. После окончания работы на доске вывешиваются контрольные ответы. За каждое правильно выполненное задание – 1 балл. После окончания работы ученик оценивает свою работу самостоятельно, затем разбираются неверные ответы (к заданиям предлагаются).

Корни всех приведенных уравнений находятся среди чисел –3, –2, 1, 2, 3. Укажите пары равносильных уравнений.

(x 2 – 6) 2 = x 2

(x – 1)(x 2 – 6) = (1 – x)x

(x – 2)(x 2 – 6) = –x(x – 2)

x 2 – 6 = x

(x 2 + x – 6)(x 2 – x – 6) = 0

x + 3 = 0

x – 2 = 0

(x – 1)(x – 2)(x + 3) = 0

Равносильные уравнения

Корни всех приведенных уравнений находятся среди чисел –2, –1, 1, 2. Укажите пары равносильных уравнений.

(x 2 – 2) 2 = x 2

(x – 1)(x 2 – 2) = x(x – 1)

(x – 2)(x 2 – 2) = x(x – 2)

x 2 – 2 = x

x + 1 = 0

(x 2 – 1)(x – 2) = 0

(x 2 – x – 2)(x 2 + x – 2) = 0

x – 2 = 0

Равносильные уравнения

VI. Решение задач

Ученик должен определить вид уравнения, алгоритм решения данного уравнения, обратить внимание на способы его решения, выбрать рациональный способ решения.

Задачи взяты из “Сборника задач по алгебре” для классов с углубленным изучением математики под редакцией М.Л. Галицкого.

1. Уравнение третьей степени, в стандартном виде. Метод решения – разложения на линейные множители (теорема Безу):

Так как это уравнение рациональное целое с целыми коэффициентами, то оно имеет целые корни, являющиеся делителями свободного члена: 21: 1; 3; 7; 21. x₁ = 1 является корнем (убеждаемся подстановкой), поэтому многочлен левой части уравнения делится на двучлен х – 1.

Решим уравнение x² + 10x + 21 = 0. По теореме Виета корни: x₂ = –3, x₃ = –7, x₁ = 1.

Как еще с помощью теоремы Безу можно было выполнить разложение на множители?

Ответ: Если множитель делится на x – 1 и на x + 3, то он делится и на их произведение.

Это уравнение четвертой степени. Метод решения – группировка. Если левая часть уравнения представлена в виде разложения на линейные множители, а в правой – число и выносящиеся: (x + a)(x + b)(x + b)(x + c) = A и a + b = c + d, в этом случае возможна группировка множителей.

Сделаем замену x² + x = t и получим уравнение

3. 5 – 12x³ + 14x² = 12x – 5, 5x² – 12x³ + 14x² – 12x + 5 = 0 – возвратное уравнение членов степени. Так как x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим почленно на x² и сгруппируем:

Сделаем замену:

4. – это дробно-рациональное уравнение, содержащее модуль.

Ответ: <0; 2; 4>

Алгоритм: а) находим нули модуля; б) дискриминант уравнения разбиваем на промежутки; в) раскрываем модуль на каждом из промежутков; г) выбираем ответ, учитывая данный промежуток; д) ответ – совокупность решений.

– это дробно-рациональное уравнение. Выделим квадрат разности:

Введем новую переменную и получим уравнение вида t² + 2t – 3 = 0. По теореме Виета корни этого уравнения t = 1 или t = –3.

6. ax² + 3ax – (a + 2) = 0 – это квадратное уравнение с параметром. При решении уравнения с параметрами необходимо выяснить, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их в зависимости от параметров при которых это выражение действительно определяет корни уравнения, то есть найти при каком значении параметра: г) x – единственный корень.

При D > 0 уравнение имеет два различных действительных корня, то есть при

При D 4 – 133х³ + 48х² – 133х + 78 = 0.

5. Для каждого значения параметра а решить уравнение ax² – (2a + 7)x + a + 3 = 0.

6. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение имеет ровно один корень.

7 * . Решить уравнение x 4 + 4х + 3 = 0.

2. Дается оценка работы учащихся на уроке, выставляются в журнал. Сообщается дата и время консультации перед итоговой контрольной работой по этой теме.

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Линейные уравнения

Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = − 5

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение , необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

1. 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

1. 2 x − 4 = 2 ( x − 2 )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 2 x = − 4 + 4

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
3. Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
4. Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
5. Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
6. Если D 0, решений нет: x ∈ ∅

Примеры решения квадратного уравнения:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – будет два различных корня:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

D = 0 – будет один корень:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D 0 – решений нет.

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )

где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,

x – переменная (то есть буква),

x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.

Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:

a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2

Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )

• b = 0 ⇒ применить формулу сокращенного умножения для разности квадратов.

Дробно рациональные уравнения

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .

Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .

Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.

ОДЗ – область допустимых значений переменной.

В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0

ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).

Алгоритм решения дробно рационального уравнения:

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
2. Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
3. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
4. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Пример решения дробного рационального уравнения:

Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.

Решение:

Будем действовать в соответствии с алгоритмом.

1. Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .

Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:

x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0

x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0

x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0

x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0

x 2 + x − 6 2 − x = 0

Первый шаг алгоритма выполнен успешно.

Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2

1. Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:

x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.

a = 1, b = 1, c = − 6

D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25

D > 0 – будет два различных корня.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

Корни, полученные на предыдущем шаге:

Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

Системы уравнений

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы уравнений

Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

Существует два метода решений систем линейных уравнений:

1. Метод подстановки.
2. Метод сложения.

Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
3. Решить уравнение с одной неизвестной.
4. Найти оставшуюся неизвестную.

Решить систему уравнений методом подстановки

Решение:

1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

1. Решить уравнение с одной неизвестной.

3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

1. Найти оставшуюся неизвестную.

x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

Ответ можно записать одним из трех способов:

Решение системы уравнений методом сложения.

Метод сложения основывается на следующем свойстве:

Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

Решить систему уравнений методом сложения

Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

Ответ можно записать одним из трех способов:

Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

ГДЗ по алгебре за 9 класс

Алгебра 9 класс

Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова

Издательство: Просвещение 2015

Тип книги: Учебник

Алгебра 9 класс Углубленный уровень

Авторы: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.

Издательства: Просвещение, Мнемозина 2015-2018

Тип книги: Учебник

Алгебра 9 класс

Авторы: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир

Издательства: Просвещение, Вентана-граф 2016-2021

Тип книги: Учебник

Алгебра 9 класс Учебник, Задачник Базовый уровень

Авторы: Мордкович А.Г., Семенов П.В.

Издательство: Мнемозина 2015-2019

Тип книги: Задачник

Алгебра 9 класс Углубленный уровень

Авторы: Мерзляк А.Г., Поляков В.М.

Издательство: Вентана-граф 2017-2020

Серия: Алгоритм успеха

Тип книги: Учебник

Премиум

Алгебра 9 класс Учебник, Задачник Углубленный уровень

Авторы: А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев, П.В. Семенов, Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский, Л.А. Александрова

Издательство: Мнемозина 2015-2019

Тип книги: Задачник

Алгебра 9 класс

Авторы: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин

Издательство: Просвещение 2015

Тип книги: Учебник

Алгебра 9 класс

Авторы: С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин

Издательство: Просвещение 2016

Серия: МГУ — школе

Тип книги: Учебник

Алгебра 9 класс

Авторы: Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович

Издательство: Просвещение 2015-2019

Тип книги: Учебник

Алгебра 9 класс

Авторы: Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров

Издательство: Просвещение 2015

Тип книги: Учебник

Премиум

Алгебра 9 класс

Авторы: Муравин Г.К., Муравин К.С, Муравина О.В.

Издательство: Дрофа 2014

Тип книги: Учебник

Премиум

Алгебра 9 класс

Авторы: Мордкович А.Г., Семенов П.В., Александрова Л.А., Мардахаева Е.Л.

Издательства: Просвещение, Бином 2018

Тип книги: Учебник

Алгебра 9 класс самостоятельные и контрольные работы

Авторы: А.П. Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова

Издательство: Илекса 2015

Тип книги: Самостоятельные и контрольные работы

Премиум

Алгебра 9 класс

Авторы: Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю.

Издательство: Ювента 2017

Тип книги: Учебник

Алгебра 9 класс

Авторы: Шыныбеков А.Н., Шыныбеков Д.А., Жумабаев Р.Н.

Издательство: Атамұра 2019

Тип книги: Учебник

Алгебра 9 класс рабочая тетрадь

Авторы: Миндюк Н.Г., Шлыкова И.С.

Издательство: Просвещение 2018

Тип книги: Рабочая тетрадь

Алгебра 9 класс рабочая тетрадь

Авторы: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

Издательство: Вентана-граф 2019

Тип книги: Рабочая тетрадь

Алгебра 9 класс рабочая тетрадь

Авторы: Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И.

Издательство: Просвещение 2018

Тип книги: Рабочая тетрадь

Алгебра 9 класс рабочая тетрадь

Авторы: Минаева С.С., Рослова Л.О.

Издательство: Просвещение 2017

Тип книги: Рабочая тетрадь

Алгебра 9 класс рабочая тетрадь

Авторы: Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева, Н.Е. Фёдорова, М.И Шабунин

Издательство: Просвещение 2016

Тип книги: Рабочая тетрадь

Премиум

Алгебра 9 класс рабочая тетрадь

Авторы: Муравин Г.К., Муравина О.В.

Издательство: Дрофа 2016

Тип книги: Рабочая тетрадь

Алгебра 9 класс Дидактические материалы

Авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, Л.Б. Крайнева

Издательство: Просвещение 2015

Тип книги: Дидактические материалы

Алгебра 9 класс дидактические материалы Углубленный уровень

Автор: Феоктистов И.Е.

Издательство: Мнемозина 2018

Тип книги: Дидактические материалы

Алгебра 9 класс дидактические материалы

Авторы: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Рабинович Е.М.

Издательства: Просвещение, Вентана-граф 2017-2021

Серия: Алгоритм успеха

Тип книги: Дидактические материалы

Алгебра 9 класс дидактические материалы

Авторы: Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И.

Издательство: Просвещение 2011

Тип книги: Дидактические материалы

Алгебра 9 класс дидактические материалы

Авторы: Потапов М.К., Шевкин А.В

Издательство: Просвещение 2018

Серия: МГУ — школе

Тип книги: Дидактические материалы

Алгебра 9 класс дидактические материалы

Авторы: Евстафьева Л.П., Карп А.П.

Издательство: Просвещение 2017

Тип книги: Дидактические материалы

Алгебра 7-9 класс контрольные работы Углубленный уровень

Автор: Мордкович А.Г.

Издательство: Мнемозина 2016

Тип книги: Контрольные работы

Алгебра 9 класс контрольно-измерительные материалы

Автор: Мартышова Л.И.

Издательство: ВАКО 2015

Тип книги: Контрольно-измерительные материалы (КИМ)

Алгебра 9 класс контрольные работы

Авторы: Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О.

Издательство: Просвещение 2016

Тип книги: Контрольные работы

Алгебра 9 класс контрольные работы Базовый уровень

Автор: Александрова Л.А.

Издательство: Мнемозина 2016-2019

Тип книги: Контрольные работы

Алгебра 9 класс самостоятельные работы Базовый уровень

Автор: Александрова Л.А.

Издательство: Мнемозина 2016-2019

Тип книги: Самостоятельные работы

Премиум

Алгебра 9 класс самостоятельные работы Базовый и углубленный уровень

Автор: Александрова Л.А.

Издательство: Мнемозина 2016

Тип книги: Самостоятельные работы

Премиум

Алгебра 9 класс тематические тесты ОГЭ

Авторы: Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О.

Издательство: Просвещение 2017

Тип книги: Тематические тесты

Премиум

Алгебра 9 класс самостоятельные и контрольные работы Углубленный уровень

Авторы: Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Рабинович Е.М.

Издательство: Вентана-граф 2018

Серия: Алгоритм успеха

Тип книги: Самостоятельные и контрольные работы

Алгебра 9 класс тематические тесты ОГЭ

Авторы: П.В. Чулков, Т.С. Струков

Издательство: Просвещение 2018

Серия: МГУ — школе

Тип книги: Тематические тесты

Алгебра 9 класс тематические тесты ОГЭ

Авторы: Дудницын Ю.П., Кронгауз В.Л.

Издательство: Просвещение 2017

Тип книги: Тематические тесты

Алгебра 7-9 класс тесты Базовый уровень

Авторы: Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е.

Издательство: Мнемозина 2013-2019

Тип книги: Тесты

Алгебра 9 класс тематические тесты ОГЭ

Автор: Ткачева М.В.

Издательство: Просвещение 2018

Тип книги: Тематические тесты

Алгебра 9 класс дидактические материалы

Авторы: Звавич Л.И., Дьяконова Н.В.

Издательство: Экзамен 2017

Тип книги: Дидактические материалы

Алгебра 9 класс тестовый контроль знаний

Автор: Гальперина А.Р.

Издательство: Лiтера ЛТД 2017

Тип книги: Тестовый контроль знаний

Премиум

Алгебра 9 класс контрольные работы

Автор: Шуркова М.В.

Издательство: Бином 2020

Тип книги: Контрольные работы

Алгебра 9 класс контрольные и самостоятельные работы

Издательство: Экзамен 2011

Тип книги: Контрольные и самостоятельные работы

Премиум

Алгебра 9 класс тетрадь контрольных тестовых работ

Автор: Сайткулова О.В.

Издательство: Фёдоров 2017

Тип книги: Учебник

Алгебра 9 класс контрольные и самостоятельные работы

Авторы: Журавлев С.Г., Малышева Л.А., Свентковский В.А.

Издательство: Экзамен 2016

Тип книги: Контрольные и самостоятельные работы

Алгебра 9 класс сборник заданий

Авторы: Кузнецова Л.В., Бунимович Е.А., Пигарев Б.П., Суворова С.Б.

Издательство: Дрофа 2008

Тип книги: Сборник заданий

Алгебра 9 класс рабочая тетрадь

Авторы: Е.М. Ключникова, И.В. Комиссарова

Издательство: Экзамен 2013

Тип книги: Рабочая тетрадь

Алгебра 9 класс

Авторы: Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О.

Издательство: Просвещение 2018

Серия: Сферы 1-11

Тип книги: Учебник

Алгебра 9 класс тесты

Авторы: Е.М. Ключникова, И.В. Комиссарова

Издательство: Экзамен 2011

Тип книги: Тесты

Премиум

Алгебра 9 класс рабочая тетрадь

Автор: Шуркова М.В.

Издательство: Бином 2021

Тип книги: Рабочая тетрадь

Алгебра 9 класс тесты

Авторы: Ю.А. Глазков, И.К. Варшавский, М.Я. Гаиашвили

Издательство: Экзамен 2011

Тип книги: Тесты

Премиум

Алгебра 9 класс рабочая тетрадь

Авторы: Потапов М.К., Шевкин А.В.

Издательство: Просвещение 2021

Серия: МГУ — школе

Тип книги: Рабочая тетрадь

Алгебра 9 класс рабочая тетрадь

Авторы: Т. М. Ерина, М. Ю. Ерина

Издательство: Экзамен 2019

Тип книги: Рабочая тетрадь

Премиум

Алгебра 9 класс практикум Базовый уровень

Автор: Левитас Г.Г.

Издательство: Бином 2019

Тип книги: Практикум

Алгебра 9 класс

Авторы: Солтан Г.Н., Солтан А.Е., Жумадилова А.Ж.

Издательство: Келешек-2030 2019

Тип книги: Учебник

Алгебра 9 класс

Авторы: Абылкасымова А.Е., Кучер Т.П., Корчевский В.Е., Жумагулова 3.А.

Издательство: Мектеп 2019

Тип книги: Учебник

Алгебра 9 класс самостоятельные и контрольные работы

Авторы: Ю.А. Глазков, И.К. Варшавский, М.Я. Гаиашвили

Издательство: Экзамен 2013

Тип книги: Самостоятельные и контрольные работы

Алгебра 9 класс контрольные измерительные материалы

Авторы: Ю. А. Глазков, М. Я. Гаиашвили, В. И. Ахременкова

Издательство: Экзамен 2014

Серия: Контрольные измерительные материалы

Тип книги: Контрольно-измерительные материалы (КИМ)

Премиум

Алгебра 9 класс Контрольные работы (из Методического пособия) Углубленный уровень

Авторы: Буцко Е.В., Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

Издательство: Вентана-граф 2020

Серия: Алгоритм успеха

Тип книги: Контрольные работы (Методическое пособие)

Алгебра 9 класс дидактические материалы

Авторы: Б.Г. Зив, В.А. Гольдич

Издательство: Виктория плюс 2013

Тип книги: Дидактические материалы

Премиум

Алгебра 9 класс Математические диктанты, Контрольные работы (из Методического пособия)

Авторы: Буцко Е.В., Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

Издательство: Вентана-граф 2018

Серия: Алгоритм успеха

Тип книги: Математические диктанты, Контрольные работы (Методическое пособие)

Премиум

Алгебра 9 класс поурочные разработки

Авторы: Рурукин А.Н., Полякова А.С.

Издательство: ВАКО 2010

Тип книги: Поурочные разработки

Премиум

Алгебра 9 класс контрольные и самостоятельные работы

Автор: Крайнева Л.Б.

Издательство: Просвещение 2021

Тип книги: Контрольные и самостоятельные работы

Впереди у тебя получение самого первого аттестата, который дает право поступить в техникум или ПТУ, получить профессию. Это пропуск во взрослую жизнь, так сделай все, чтобы не было за него стыдно! Конечно, программа по алгебре в 9 классе очень сложная — никто с этим не спорит! Но главное — не запустить учебу! Тогда все получится!

Не слушай тех, кто говорит, что в старших классах не надо делать домашнюю работу. Теперь ее нужно делать обязательно, если ты хочешь получить аттестат! Не дается алгебра? Воспользуйся ГДЗ! Любая тема, которая осталась непонятой, будет, что называется, «разложена по полочкам»!

Переписывай внимательно решения квадратных уравнений, переноси в тетрадку готовые функции и графики к ним из пособия. Со временем ты будешь пользоваться решебником только для проверки собственных знаний — ведь это отличный алгебраический «тренажер»!