Квадратные уравнения. Углубленное изучение свойств квадратных уравнений
Разделы: Математика
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, углубленное изучение свойств квадратных уравнений.
Образовательные цели урока: обеспечить закрепление теоремы Виета, обратить внимание учащихся на решение квадратных уравнений ах 2 + вх + с = 0, в которых а+в+с=0; привить навыки устного решения таких уравнений.
Воспитательные цели урока: способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов, развивать самостоятельность и творчество.
Ход урока
1. Организационный момент.
Учащимся сообщаются задачи урока:
- Контроль знаний с помощью тестирования (тест на заполнение пропусков, чтобы получилось верное определение, формулировка, правило)
- Решение задач на применение прямой и обратной теорем Виета.
- Изучение нового свойства квадратных уравнений.
2. Повторение пройденного материала.
1) Решить уравнение (работа у доски): 7х 2 — 9х + 2 =0
Решение: D = в 2 – 4ас, D = 25, х1 = , х2 = 1. Ответ: х1 = , х2 = 1.
2) Тест “ Квадратные уравнения”:
Вариант 1
- . уравнением называется уравнение ах 2 + вх + с = 0, где а,в,с – заданные числа, а 0, х – переменная.
- Уравнение х 2 = а, где а > 0, имеет корни х1 = . ; х2 = .
- Уравнение ах 2 = 0, где а 0, называется . .
- Уравнение ах 2 + вх + с = 0, где а 0, в 0, называется . квадратным уравнением.
- Если ах 2 + вх + с = 0 — квадратное уравнение (а 0), то “в” называют . коэффициентом.
- Корни квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 вычисляют по формуле х = . .
- Приведенное квадратное уравнение х 2 + рх + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = . в = . с = . .
- Если х1 и х2 — корни уравнения х 2 + рх + q = 0, то справедливы формулы х1 + х2 =. ; х1 * х2 = .
Вариант 2
- Если ах 2 + вх + с = 0 — квадратное уравнение, то а называют . коэффициентом, с — . членом.
- Уравнение х 2 = а, где а 2 + с = 0, где а 0, с 0, называется . квадратным уравнением.
- Корни квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 вычисляют по формуле х1 = . ; х2 = . .
- Квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0 имеет два различных действительных корня, если в 2 – 4ас . 0.
- Квадратное уравнение вида х 2 + рх + q = 0 называют . .
- Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна . коэффициенту, взятому с . знаком, а произведение корней равно . числу.
- Если числа p, q, х1, х 2 таковы, что х1 + х2 = — Р; х1 * х2 = . то х1 и х2 — корни уравнения.
3. Задание на определение вида уравнения (устно).
— Ребята, здесь вы видите уравнения, определенные по какому-то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений этой группы является лишним?
Неполные квадратные уравнения
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.
Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:
- если D 0, есть два различных корня.
Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравненийКак мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль). Как решить уравнение ax² = 0Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0. Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.
Пример 1. Решить −5x² = 0.
Записывайся на дополнительные уроки по математике онлайн, с нашими лучшими преподавателями! Для учеников с 1 по 11 класса! Как решить уравнение ax² + с = 0Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный. Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами. Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:
Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи. Если — c/а 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней. В двух словахНеполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:
Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.
Разделим обе части на 9: Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней. Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.
Разделим обе части на -1: Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3. Как решить уравнение ax² + bx = 0Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0. Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника. Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня: Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0
Ответ: х = 0 и х = 16. Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0 Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни: Решение уравнения ах2 вх сФормулы корней квадратных уравнений Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Преобразуем квадратный трехчлен ax 2 + bx + c методом выделения полного квадрата. Обычно выражение b 2 — 4ac обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 . Любое квадратное уравнение можно преобразовать к этому виду, удобному для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни. Решение: a = 2, b = 4, c = 7 D = 4 * 4 — 4 * 2 * 7 = 16 — 56 = — 40 Так как D , то действительных корней нет. 2. Если D = 0 , то квадратное уравнение имеет один корень, который находится п о формуле: и это единственный корень уравнения. 4x 2 — 20x + 25 = 0 Решение: a = 4, b = -20, c = 25 D = (-20)* (-20) — 4 * 4 * 25 = 400 — 400 = 0 Так как D = 0 , то данное уравнение имеет один корень: 3. Если D > 0 , то квадратное уравнение имеет два корня: 3x 2 + 8x — 11 = 0 Решение: a = 3, b = 8, c = -11 D = (-8)* (-8) — 4 * 3 * (-11) = 64 + 132 = 196 Так как D > 0 , то имеются два корня уравнения: источники: http://skysmart.ru/articles/mathematic/nepolnye-kvadratnye-uravneniya http://www.sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/standartnyj-vid |