Решение уравнения cost a видеоурок

Урок-презентация «Арккосинус.Решение уравнения cost=a»

Разделы: Математика

Тип урока: изучение нового материала.

• дидактические: сформировать у учащихся понятие арккосинуса; вывести общую формулу решения уравнения cos t = a; выработать алгоритм решения данного уравнения;
• развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
• воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и самостоятельность мышления у учащихся.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация «Арккосинус. Решение уравнения cos t =a» (Приложение 1) .

I. Организационный момент

Объявить тему и цели урока, познакомить учащихся с ходом проведения урока (слайд 1).

II. Актуализация опорных знаний

Повторить способ решения уравнения вида cos t = a, где а – действительное число, с помощью числовой окружности.

Решить уравнения: 1) cos t = ; 2) cos t = 1 (слайд 2).

Используем геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости.

1) cos t = (слайд 3);

.

.

III. Изучение нового материала

Ввести проблемную ситуацию: любое ли тригонометрическое уравнение вида

cos t = a можно решить с помощью числовой окружности?

1) Предложить учащимся решить уравнение cos t = (слайд 5).

С помощью числовой окружности получим (слайд 6):

где t₂ = – t₁.

Когда впервые возникла ситуация с решение уравнений такого типа, ученым-математикам пришлось придумать способ её описания на математическом языке. В рассмотрение был введен новый символ arccos а (слайд 7).

Читается: арккосинус а; «arcus» в переводе с латинского значит «дуга» (сравните со словом «арка»). С помощью этого символа числа t₁ и t₂ записываются следующим образом: t₁ = arccos , t₂ = – arccos .

Теперь с помощью этого символа корни уравнения cos t = можно записать так: (слайд 8).

Предложить учащимся обобщить полученные знания, ответив на вопрос: «Что же означает arccos ?» (слайд 9).

Вывод: это число (длина дуги), косинус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности.

2) Решить уравнение cos t = – (слайд 10).

С помощью числовой окружности и символа arccos а получим (слайд 11):

.

Предложить учащимся обобщить полученные знания, ответив на вопрос: «Что же означает arccos () ?» (слайд 12).

Вывод: это число (длина дуги), косинус которого равен и которое принадлежит второй четверти числовой окружности.

3) Сформулировать определение арккосинуса в общем виде (слайд 13):

Если │а│≤ 1, то

4) Рассмотреть примеры на вычисление арккосинуса.

Пример 1. Вычислите arccos (слайд 14).

Пусть

Значит, поскольку и Итак, arccos=

Пример 2. Вычислите arccos (слайд 15).

Пример 3. Вычислите arccos 0 (слайд 16).

Пример 4. Вычислите arccos 1 (слайд 17).

5) Сделать общий вывод о решении уравнения cos t = a (слайд 18).

Если │a│≤ 1, то уравнение cost = a имеет решения: .

6) Рассмотреть частные случи.

Выделим формулы для решения следующих уравнений: cos t = 0, cos t =1 , cos t = –1 (слайд 19).

7) Доказать теорему и рассмотреть её применение на практике.

Для любого а [-1;1] выполняется равенство arccos a + arccos (-a) = (слайд 20).

Применение теоремы (слайд 21).

На практике используется: arccos (-a) = — arccos a , где 0 ≤ а ≤ 1.

arccos= — arccos = —

IV. Обобщение изученного материала

Составим алгоритм решения простейшего тригонометрического уравнения вида cos t = a:

• составить общую формулу;
• вычислить значение arccos a;
• подставить найденное значение в общую формулу.

Пример 1. Решить уравнение cos t = (слайд 22 – 24).

Пример 2. Решить уравнение cos t = (слайд 25 – 27).

Пример 3. Решить уравнение cos t = (слайд 28).

Пример 4. Решить уравнение cos t = — 1,2 (слайд 29).

V. Подведение итогов урока (слайд 30)

Итак, сегодня на уроке мы ввели понятие арккосинуса; вывели общую формулу решения уравнения cos t = a и выработали алгоритм решения данного уравнения.

VI. Домашнее задание

Изучить теоретический материал.

Практическая часть (даётся задание в соответствии с используемым учебным пособием).

1. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник.

2. А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа, 10-11. Часть 2. Задачник.

3. А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова. Математика-10 (для гуманитарных классов).

4. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала анализа-10.Часть 1. Учебник (профильный уровень).

Урок «Арккосинус. Решение уравнения cost = а»

Краткое описание документа:

В продолжение предыдущей темы, в которой рассматривались примеры решения тригонометрических функций, этот видеоурок знакомит учащихся с арккосинусом и решением уравнения cos t = a.

Рассматривается пример решения уравнения cos t =1/4 . Используя числовую окружность, находим точки с координатой х = 1/4, на графике отметим эти точки как M(t₁) и N(t₂).

На графике видно, что t₁ – это длина АМ, а t₂ – это длина AN. По-другому можно сказать, что t₁ = arccos 1/4; t₂ = – arccos 1/4. Решение уравнения t = ± arccos ¼ + 2πk.

Таким образом, arccos 1/4– это число (длина АМ), косинус которого равен 1/4. Это число принадлежит отрезку от 0 до π/2, т.е. первой четверти окружности.

Далее рассматривается решение уравнения cos t = — 1/4. По аналогии с предыдущим примером, t = ± arccos (-1/4 + 2πk. Можно сказать, чтоarccos (-1/4 – это число (длина дуги АМ), косинус которого равен – ¼ и это число принадлежит II четвертиокружности, т.е. отрезкуот π/2 до π.

Исходя из двух примеров, дается определение арккосинусу: если модуль а меньше или равен 1, то arccos а это такое число из отрезка от 0 до π, косинус которого равен а. Тогда выражение cos t = a при модуле а меньше или равно 1 может иметь вид t = ± arccos a + 2πk. Далее указаны значения t при cos t = 0; cos t = 1; cos t = — 1.

Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arcсos. Укажем, что данное значение arcсos равно t, следовательно, cos t равен этому значению, где t принадлежит отрезку от 0 до π. Пользуясь таблицей значений, найдем, что cos t соответствует значение t =π/6. Найдем соответствующее значение косинуса, где π/6 принадлежит отрезку от 0 до π.

Мы получили ответ: π/6. Далее автор обращает внимание на то, что arccos — это значение угла, на которое ушла точка М от точки А. Вся рассматриваемая нами окружность равна 2π, т.е. 360°, тогда угол это arccos t = π/6 равен 60°.

Разберем пример 2. Вычислить arcсos отрицательного числа. Допустим, что arcсos этого числа равен, следовательно, cos t равен этому числу, где t принадлежит отрезку от 0 до π. По таблице значений увидим, какое значение соответствует cos t, это t = 5π/6. Т.е. cos 5π/6 это минус корень из трех, деленный на два, где 5π/6 принадлежит отрезку от 0 до π.

Далее автор рассматривает теорему: для любого а, принадлежащего отрезку от минус одного до одного, действительно равенство arccos a + arccos (-a) =π.При доказательстве для определенности считаем, что а > 0, тогда – а 0, arccos a принадлежит I четверти окружности (отмечено на рисунке), а когда а 0, считают, что arcosа принадлежит первой четверти числовой окружности.

Арккосинус и решение уравнения cos t =a

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы продолжим изучение арккосинуса и решение типовых уравнений и задач. В начале урока решим нетабличное уравнение и проиллюстрируем решение на числовой окружности и на графике. Далее выведем общую формулу ответа для уравнения cos t = a и рассмотрим некоторые частные случаи решения. Далее мы продолжим решение тригонометрических уравнений, иллюстрируя решения на графике и на круге.