Узнать ещё
Знание — сила. Познавательная информация
cosx=-1
С помощью этой ассоциации легко запомнить формулу для решения частного случая простейшего тригонометрического уравнения cosx=-1.
Колобок движется влево-вправо, а не вверх вниз — его фигура предполагает именно такое движение. А вправо-влево у нас происходит движение по оси ox. Значит, косинус — это x.
И когда нам надо решить уравнение cosx=-1, это означает, что требуется найти точки, в которых x равен -1.
Как и для других частных случаев косинуса, рассматриваем решение данного уравнения на единичной окружности, то есть на окружности с радиусом 1.
Так как cosx=-1, а косинус — это x, идем влево на 1. Попадаем в точку п. Это лишь одна из точек, в которых cosx=-1.
Таких точек — бесконечное множество. В каждую следующую точку попадаем через полный оборот окружности, то есть через 2п. Чтобы учесть все эти точки, 2п умножаем на n, где n — целое число.
Итак, решение уравнения cosx=-1 — это множество точек x=п+2пn, где n — целое число. Проиллюстрируем эти рассуждения рисунком:
Урок тригонометрии «Различные способы решения уравнения sinx + cosx = 1»
Разделы: Математика
Образовательные, развивающие и воспитательные цели урока:
Техническая оснащенность урока: компьютеры.
План сдвоенного урока.
I. Повторение по теме “Уравнения”.
Вопросы для повторения.
II. Сообщение темы урока, знакомство с целями.
Урок посвящён способам решения уравнения sin x + cos x = 1.
III. Ход работы.
Я буду ставить перед вами задачу, определив способ решения, а вы будете именно этим способом решать данное уравнение, используя различные приёмы. Работать будете на листочках. Кто раньше решит, выйдет и приведёт своё решение на обороте доски (такую возможность будут иметь одновременно 4 ученика).
По окончанию работы и сдачи листочков на проверку класс обсудит приведённые на доске варианты решений. Затем начнётся следующий этап работы. Не забывайте каждый раз подписывать листочки.
Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x + cos x = 1.
I способ. Введение вспомогательного угла.
Рассмотрим два приёма:
Разделим обе части уравнения на :
Воспользуемся алгоритмом решения уравнений вида а sin x + b cos x = c.
применительно к уравнению sin x + cos x, имеем:
Подпишите листочки.
- Изложите на листочках алгоритм использования вспомогательного угла при решении уравнений вида a sin x + b cos x =0.
- Запишите формулу применения синуса дополнительного угла для выражения sin x + cos x.
- Теперь выразите sin x + cos x через косинус дополнительного угла.
- Кто раньше закончит работу, покажет свои варианты ответов на доске.
II способ. С помощью универсальной тригонометрической подстановки.
Запишите формулы универсальной подстановки для sin x, cos x . Кто первый закончит, покажет на доске.
(1)
Выводы: Обращение к функции tgx / 2 предполагает, что cosx / 2 0, т.е. x 2n, n Z.
При таком переходе возможна потеря решений, т.к. исходное уравнение имело смысл при всех значениях переменной х, в том числе и при x = + 2n, n Z.
Есть вероятность того, что они могут оказаться корнями исходного уравнения,
поэтому надо проверить, не являются ли значения x = + 2n, n Z решениями данного уравнения.
sin ( + 2n) + cos( + 2n) = 1
-1 1.
Следовательно, x = + 2n, n Z.
Решением уравнения не является и переход к функции tgx / 2, в данном случае потери решения за собой не повлечёт. Итак, по формулам (1) из исходного уравнения sin x + cos x = 1, получаем:
III способ. Сведение к однородному уравнению.
Возможно, ли получить из данного уравнения однородное уравнение?
Надо перейти к аргументу x/2 и применить формулы половинного аргумента к функциям в левой и правой частях уравнения sin x + cos x = 1.
Написать на листочках формулы, которые при этом используются, и то однородное уравнение, которое получится. Получили однородное уравнение второй степени.
2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 = sin 2 x/2 + cos 2 x/2 (2)
Подпишите листочки и решите данное однородное тригонометрическое уравнение второй степени
2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 = sin 2 x/2 + cos 2 x/2,
2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 — sin 2 x/2 — cos 2 x/2 = 0
sinx/2*cosx/2 — sin 2 x/2 = 0
Это уравнение можно решить, используя различные приёмы.
Разделим обе части уравнения на cos 2 x/2, т.к. cos 2 x/2 0
Ответ: <2n; /2 + 2k>, где n, k Z
Рассмотрим решение уравнения (2) способом разложения на множители:
sinx/2*cosx/2 — sin 2 x/2 = 0,
sinx/2*(cosx/2 — sinx/2) = 0,
x = 2n, n Z;
b) cosx/2 – sinx/2 = 0
x = /2 + 2k, k Z.
Ответ : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.
IV способ. Преобразование суммы в произведение.
Запишите формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. Кто первый закончит работу, воспроизведёт её на доске. Используя формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, решить данное уравнение:
а) Выразим cos x через sin(/2 – x):
О т в е т : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z
sin x + cos x = 1
б) Выразим sin x через cos (/2 – х):
V способ. Применение формул половинного и двойного аргумента.
Напишите формулы тригонометрических функций двойного аргумента и половинного аргумента.
Запишите: sin x + cos x = 1; sin x = 1- cos x, приведите левую и правую части уравнения к аргументу х/2, используя формулы двойного и половинного угла, и решите получившееся уравнение.
2sinx/2 * cosx/2 = 2 sin 2 x/2 ,
sinx/2 * cosx/2 = sin 2 x/2 ,
x = /2 + 2k, k Z.
x = 2n; n, Z
Ответ: <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.
Или это уравнение можно решить делением обеих частей на cos 2 x/2.
VI способ. Возведение обеих частей уравнения в квадрат:
sin x + cos x = 1,
(sin x + cos x) 2 = 1,
2 sin x cos x + 1= 1,
2 sin x cos x = 0,
При возведении в степень возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней, т.е. получается уравнение-следствие. Причина приобретения корней состоит в том, что при возведении в квадрат чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат.
При возведении в квадрат обеих частей уравнения sin x + cos x = 1, мы производим эту же операцию и с частями «теневого» уравнения (- sin x — cos x = 1), поскольку результат этих действий будет один и тот же.
Следовательно, по окончании решения, обязательно следует производить отбор корней.
1. Проверим корни вида x = j:
Значит, значения x = 2k, k Z, являются решениями исходного уравнения.
х= j , при j = 2k + 1, k Z.
следовательно, значения x = 2(k+1), где k Z, не являются решениями исходного уравнения.
2. Проверяем корни вида x = /2 + j, j Z:
j = 2n : x = /2+ 2n, где n Z.
Значит, значения x = /2+ 2n, где n Z являются решениями исходного уравнения.
x = /2 + 2(n+1); n Z.
следовательно, значения x = /2 + 2(n+1); n Z не являются решениями исходного уравнения.
Ответ : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.
VII способ. Замена cos x выражением :
Проверив результат, убеждаемся, что из серии x = k, k Z решением исходного уравнения являются только значения х вида: x = 2h, где h Z при k = 2h.
Ответ : <2h; /2 + 2n>, где n, h Z.
VIII способ. Графическое решение уравнения sin x + cos x = 1.
Предварительно проводится фронтальная беседа.
1. Что значит решить уравнение графически?
2. Как можно решить графически данное уравнение?
1. Построить в одной системе координат графики функций:
Абсциссы точек пересечения графиков функций и являются решением данного уравнения.
2. Построить график функции y = sin x+ cos x –1.
Абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс являются решением исходного уравнения.
3. Построение графиков на экране компьютера:
Прежде чем приступить к работе на компьютере, повторим элементы компьютерной грамотности, позволяющие построение графиков.
Что такое масштаб применительно к ЭВМ?
Масштаб – количество точек на экране, приходящееся на единицу значения.
Что называется пикселем?
Пиксель – наименьший объект графической среды, характеризующийся координатой Х и У (это точка на экране).
С помощью какого оператора можно построить точку на экране?
C помощью, какого оператора устанавливается новая система координат?
Window (x1, y1) – (x2, y2).
Рассказать о порядке построения линий осей координат на экране.
Line (x, y) – (x2, y2), c
Назовите операторы, которые обеспечивают надписи на осях координат.
Locate x, y: PRINT «Y».
Что собой представляет график на экране?
Что обеспечивает развёртку графика по осям координат?
Выполняем решение систем (1) на компьютере по соответствующим программам.
IV. Домашнее задание:
Решить различными способами уравнение sinx – cosx = 1 или любое другое уравнение.
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения
Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a
Уравнение cos (x) = a
Объяснение и обоснование
- Корни уравнения cosx = а. При | a | > 1 уравнение не имеет корней, поскольку | cosx | 1 или при а 1 уравнение не имеет корней, поскольку | sinx | 1 или при а
http://urok.1sept.ru/articles/211974
http://ya-znau.ru/znaniya/zn/75