Решение уравнения функции 11 класса

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №49. Уравнения. Методы решения уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Методы решения уравнений.
• Применение методов решения к уравнениям различного вида.
• Примеры решения задач государственной итоговой аттестации

Глоссарий по теме

Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основные методы решения уравнений

Метод разложения на множители

Решить уравнение:

ООУ:

Преобразуем обе части уравнения

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений

или

имеет множество корней

равносильно и его корни

Ответ:

Метод замены переменной

ООУ:

Так как в уравнении присутствует повторяющееся выражение, введем новую переменную

и получи уравнение

, корни которого

Возвращаемся к первоначальной переменной

Ответ:

Метод решения однородных уравнений.

ООУ: x – любое действительное число

Все слагаемые в правой части уравнения имеют равные степени, поэтому разделим обе части уравнения на и получим

.

Решаем полученное уравнение методом замены переменной

или

Итак, можно сделать следующие выводы. Наличие в уравнении повторяющихся элементов позволяет сделать предположение, что в его решении можно применить метод замены переменной. Наличие общих множителей выводит на применение метода разложение на множители. Если же в одной из частей уравнения стоит однородный многочлен, то применяем метод решения однородных уравнений.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Решите уравнение

Выберите ответ из предложенных.

ООУ:

Преобразуем левую часть уравнения

Введем новую переменную

Получим уравнение

Возвращаемся к первоначальной переменной

Решите уравнение

Выберите корень из списка:

ООУ:

Возведем обе части уравнения в квадрат

Повторно возведем в квадрат при условии

Корни этого уравнения

Учитывая все ограничения, получаем ответ .

Как решать
показательные уравнения?

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной \(х\) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение \(х\). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо \(х\) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если \(х=3\), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны \(3\), только вот степени разные – слева степень \((4х-1)\), а справа \((-2)\). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что \(125=5*5*5=5^3\), а \(25=5*5=5^2\), подставим:

Воспользуемся одним из свойств степеней \((a^n)^m=a^\):

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить \(2\) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где \(a,b\) какие-то положительные числа. (\(a>0, \; b>0\).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит \(a^x\), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число \(b\), которое нужно попытаться представить в виде \(b=a^m\). Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что \(16=2*2*2*2=2^4\) это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$
Пример 6 $$5^<-x>=125 \Rightarrow 5^<-x>=5*5*5 \Rightarrow 5^<-x>=5^3 \Rightarrow –x=3 \Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^<4x>=81 \Rightarrow (3*3)^<4x>=3*3*3*3 \Rightarrow(3^2)^<4x>=3^4 \Rightarrow 3^<8x>=3^4 \Rightarrow 8x=4 \Rightarrow x=\frac<1><2>.$$

Здесь мы заметили, что \(9=3^2\) и \(81=3^4\) являются степенями \(3\).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

\(3\) и \(2\) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число \(b>0\), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице \(a>0, \; a \neq 1\):

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим \(2\) в виде \(3\) в какой-то степени, где \(a=3\), а \(b=2\):

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что \(9=3^2\), тогда \(9^x=(3^2)^x=3^<2x>=(3^x)^2\). Здесь мы воспользовались свойством степеней: \((a^n)^m=a^\). Подставим:

Обратим внимание, что во всем уравнении все \(х\) «входят» в одинаковую функцию — \(3^x\). Сделаем замену \(t=3^x, \; t>0\), так как показательная функция всегда положительна.

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание \(3\). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член \(3=2+1\) и вынести общий множитель \(2\):

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение \(t\):

Тут у нас две показательные функции с основаниями \(7\) и \(3\), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на \(3^x\):

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену \(t=(\frac<7><3>)^x\):

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену \(t=2^x\) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель \(2^x\)):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании \(2\), \(5\) и \(10\). Очевидно, что \(10=2*5\). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой \((a*b)^n=a^n*b^n\):

И перекинем все показательные функции с основанием \(2\) влево, а с основанием \(5\) вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами \(a^n*a^m=a^\) и \(\frac=a^\):

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

Урок алгебры в 11 классе по теме «Решение показательных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Список литературы.doc

Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. Ч. 2. Учебник для 11 класса, профильный уровень, Москва: Мнемозина, 20014.

Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. ЕГЭ шаг за шагом, Москва: Мнемозина, 20012.

Семенко Е. А. Тестовые контрольные задания по алгебре и началам анализа. Базовый уровень. Краснодар: «Просвещение – Юг», 20012.

Семенко Е. А. Готовимся к ЕГЭ по математике. Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа. Краснодар: «Просвещение – Юг», 20012. Ч. 1.

Семенко Е. А. Готовимся к ЕГЭ по математике. Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа. Краснодар: «Просвещение – Юг», 20129. Ч. 2.

Семенко Е. А. Готовимся к ЕГЭ по математике. Обобщающее повторение курса алгебры и начала анализа. Краснодар: «Просвещение – Юг», 20012. Ч. 3.

Выбранный для просмотра документ пояснительная записка 11 класс.doc

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

Пояснительная записка

Автор (полностью фамилия, имя, отчество, должность, предмет):

Демиденко Наталья Ивановна, учитель математики

Образовательное учреждение (полное название), регион

Муниципальное образование Брюховецкий район Краснодарского края

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 7

Предмет, класс, в котором используется продукт :

Алгебра, 11 класс.

Авторы учебника, учебно-методического комплекса

Мордкович А. Г. «Алгебра» 11 класс, профильный уровень.

Урок разноуровневого обобщающего повторения «Показательная функция. Решение показательных уравнений»

Необходимое оборудование и материалы для занятия:

Описание мультимедийного продукта (медиапродукта): среда, редактор, в котором выполнен продукт, вид продукта :

Презентация PowerPoint 2003

Структура, краткое описание содержания, системы навигации (можно сделать схему):

Урок обобщения и систематизации знаний.

Обобщить знание основных свойств показательной функции, повторить способы решения показательных уравнений базового и повышенного уровня сложности, проконтролировать усвоение данного материала.

Выбранный для просмотра документ свойства показательной функции.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Учитель математики МАОУ СОШ №7 Демиденко Н. И. Ст. Переясловская 2016 год

На одном из рисунков изображён график функции Укажите номер этого рисунка

2. График какой функции изображён на рисунке? 1) 2) 3) 4)

3. Укажите множество значений функции 1). 2) 3) 4) 4. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции ? 1) 3 2) 4 3) 5 4) 6

5. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции ? 1) -1 2) 0 3) 1 4) 2 6. Укажите характер монотонности функций: а) y=2x+3; б) y=3-x -4; в) y=0,5x+2; г) y=ex; д) y=0,1-x+5;

Выбранный для просмотра документ урок 11 кл Демиденко.doc

Муниципальное образование Брюховецкий район Краснодарского края

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 7

Урок разноуровневого обобщающего повторения

в 11 классе по теме:

РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

Урок разноуровневого обобщающего повторения

по теме: «Показательная функция.

Решение показательных уравнений»

Урок разработан для учащихся 11 класса, проводится в форме сдвоенного урока.

Цель урока. Обобщить знание основных свойств показательной функции, повторить способы решения показательных уравнений базового и повышенного уровня сложности, проконтролировать усвоение данного материала.

I этап урока – организационный (1 минута)

Сообщение цели урока.

II этап урока (5 минут)

Повторение свойств показательной функции.

Вопрос: «Какую функцию называют показательной?»

Определение. Функция, заданная формулой вида у = а х (где a >0, ), называется показательной функцией с основанием а.

Вопрос: Сформулируйте основные свойства показательной функции.

Область определения – множество R всех действительных чисел.

Область значений – множество R ₊ всех положительных действительных чисел.

При а>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0 R .

При любых действительных значениях х и у справедливы равенства

; ;

; ;

.

При ответах на вопросы используется плакат с рисунком показательной функции.

III этап урока (5 минут)

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

Устная работа по теме: «Показательная функция и её свойства»

С помощью мультимедийного устройства на экран проецируются задания. Учащиеся дают ответы на поставленные вопросы, делая ссылки на теоретический материал.

1. На одном из рисунков изображен эскиз графика функции . Укажите номер этого рисунка.

2. График какой функции изображен на рисунке?

3. Укажите множество значений функции .

4. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции ?

5. Какое из следующих чисел не входит в множество значений функции ?

6. Укажите характер монотонности функций:

а) y =2 x +3; б) y =3 — x -4; в) y =0,5 x +2; г) y = e x ; д) y =0,1 — x +5;

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

IV этап урока (15 минут)

Повторение теоретического материала и методов решений

Эта часть урока предполагает совместную работу учителя и учащихся, должны прозвучать следующие определения и выводы с примерами.

Определение. Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

Простейшее показательное уравнение имеет вид: а х = b , (а>0, a 1, b >0) a x = b , x = log _a b

При решении показательных уравнений используют два основных метода: приведение к одному основанию и введение новых переменных.

Теорема. Если а> 0 и а 1, то уравнение a f ( x ) = a g ( x ) равносильно уравнению f(x)=g(x).

Уравнения вида A ∙ a 2 x + B ∙ a x + C =0 и A ∙ a x + B ∙ a — x + C =0, где A 0, B , C некоторые числа, a >0, a 1, a x = t ( t >0) сводятся к квадратным уравнениям.

Уравнение вида A ∙ a 2 x + B ∙ a x b x + C ∙ b 2 x =0 ( a >0, b >0, a 1, b 1) называется однородным уравнением второй степени и сводится к квадратному уравнению путём деления на a 2 x или b 2 x .

Вынесение общего множителя за скобки.

Вынесение за скобки общего множителя рекомендуется тогда, когда в левой части при равных основаниях коэффициенты в показателях при неизвестных совпадают. Рекомендуется за скобки выносить множитель с меньшим показателем, чтобы внутри скобок остались степени с положительными показателями.

На доске заранее записаны четыре уравнения, учитель вызывает учащихся. Они объясняют решение уравнений.

1). Решить уравнение: 2 х ∙5 х = 0,001(10 х-1 ) х .

По свойствам степени приведём обе части уравнения к основанию 10:

10 x = 10 -3 ∙

10 х =

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

2) Решить уравнение: 100 х – 80∙10 х-1 -20 =0.

10 2 x – 80∙10 x -1 – 20=0,

Обозначим 10 x = t , где t >0.

t ₂ не удовлетворяет условию t >0.

3) Решить уравнение: 69 х – 13∙6 х + 6∙4 х =0.

Это однородное уравнение 2-й степени, разделим все члены уравнения на 4 х >0;

6∙(9/4) х – 13∙(6/4) х + 6=0,

6∙(3/2) 2х – 13∙(3/2) х + 6=0.

Обозначим (3/2) х = t , t >0, получим

6 t 2 – 13 t +6 =0, t ₁ =3/2, t ₂ =2/3.

(3/2) x = 3/2 или (3/2) x = 2/3,

4). Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму всех корней.

V этап урока (15 минут)

Разноуровневая самостоятельная работа)

Самостоятельная работа составлена для 3-х уровней сложности (по 2 варианта).

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

1. На одном из рисунков изображен эскиз графика функции . Укажите номер этого рисунка.

2. Укажите множество значений функции .

3. Упростите выражение .

4. Найдите значение выражения , при .

5. Укажите область определения функции .

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму всех корней.

На одном из рисунков изображен график функции . Укажите номер этого рисунка.

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

2. Какое из следующих чисел входит в множество значений функции ?

3. Упростите выражение .

4. Упростите выражение .

5. Решите неравенство .

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму всех корней.

II уровень сложности.

1. Решите неравенство .

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

2. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму всех корней.

3. Укажите область определения функции .

.

4. Найдите решение уравнения , принадлежащее области определения функции .

1. Решите неравенство:

2. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе укажите сумму всех корней.

3. Укажите область определения функции .

4. Найдите решение уравнения , принадлежащее области определения функции .

III уровень сложности.

1. Решите уравнение .

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

2. Решить уравнение

3. Решить уравнение

1. Найдите решение уравнения , принадлежащее области определения функции .

2. Решить уравнение

3. Решить уравнение

По истечении времени учащиеся сдают работы.

На 2-м уроке разбираются решения показательных уравнений повышенного уровня сложности и задания из части «С».

Использование свойств функции при решении уравнений.

Свойство 1. Если функция f ( x ) монотонно возрастает на промежутке Х, а функция g ( x ) монотонно убывает на промежутке Х, то уравнение f ( x )= g ( x ) либо имеет один корень, либо не имеет корней на этом промежутке.

Свойство 2. Если функция f ( x ) на промежутке Х ограничена сверху, причём sup f ( x )= A , а функция g ( x ) ограничена снизу, причём inf g ( x )= A , то уравнение f ( x )= g ( x ) равносильно системе уравнений

1). Решить уравнение 3 х +4 х =5 х .

3, 4, 5 –это стороны египетского треугольника, поэтому х=2 является корнем данного уравнения. Докажем, что других корней уравнение не имеет. Разделим обе части уравнения на 4 х >0.

Функция, стоящая в левой части монотонно убывает (основание меньше 1), а стоящая в правой части монотонно возрастает (основание больше 1), поэтому х=2 является единственным корнем уравнения. Ответ: 2.

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

2). Решить уравнение 2 cos 2 =2 х +2 -х .

Обозначим 2 х =у, где у>0. Тогда правая часть уравнения примет вид у+1/у. Воспользуемся известным неравенством у+1/у>2 ( y >0). В то же время справедливо неравенство 2 cos 2 Значит, уравнение сводится к системе уравнений

Из второго уравнения находим х=0. Это значение удовлетворяет и первому уравнению системы, поэтому х=0 является корнем исходного уравнения.

Решение показательных уравнений с параметрами.

1) Найти все значения параметра т, при которых уравнение

2011 2х – 4∙2011 х — 3 m + m 2 =0 имеет единственный корень.

Обозначим 2011 х = t , t >0 и исходное уравнение примет вид t 2 -4 t -3 m + m 2 =0. ( 1 ).

Чтобы исходное уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы уравнение ( 1 ) имело единственный положительный корень.

Возможны три различных случая.

t 2 — 4t- 3m+m 2 =0 D/4=4+3m-m 2 .

При m =-1 и m =4 уравнение t 2 -4 m -3 m + m 2 =0 принимает вид t 2 -4 t +4=0, t ₁ = t ₂ =2. Т.к. 2>0, то условие единственности для исходного уравнения выполняется.

t ₁ ≠ t ₂ и один из корней отрицателен, а другой положителен. Это

возможно тогда и только тогда, когда t ₁ ∙ t ₂ = c / a , где c / a

В этом случае D >0 , т.к. ac

m (0;3)

t ₁ ≠ t ₂ и какой-то из этих корней равен нулю, а другой положителен.

Это возможно, если с=0.

-3 m + m 2 =0, m =0 или m =3.

Уравнение t 2 — 4 t — 3 m + m 2 =0 принимает вид t 2 — 4 t =0, t ₁ =0, t ₂ =4.

Объединяя полученные решения, имеем что при m =-1, m =4 и m [0;3]

уравнение t 2 -4 t -3 m + m 2 =0 имеет единственный положительный корень. Поэтому уравнение 2011 2х — 4∙2011 х — 3 m + m 2 =0 имеет единственный корень.

Ответ: m [0;3], m =-1, m =4.

Демиденко Н. И. Учитель математики МАОУ СОШ №7

Ст. Переясловской Краснодарского края. Показательная функция. Решение показательных уравнений. Урок алгебры в 11 классе

2) Найти все значения а, для которых при каждом значении х [2;3) значение выражения 4 х – 2 х не равно значению выражения а∙2 х +4.

Значения указанных в задаче выражений не равны друг другу тогда и только тогда, когда выполнено условие 4 х — 2 х ≠ a ∙2 х . Обозначим 2 x = t , где t [4;8). Рассмотрим функцию f ( t )= t 2 — t — at — 4, f ( t )= t 2 — (1+а) t — 4. Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение f ( t )=0 не имело корней на промежутке [4;8).

Изобразим график функции y = f ( t ). Это парабола, её ветви направлены вверх, f (0)=-4, поэтому t ₁ t ₂ >0.

Уравнение f ( t )=0 имеет корень на промежутке [4;8) тогда и только тогда, когда

Решим систему неравенств

Итак, уравнение f ( t )=0 на промежутке [4; 8) для всех остальных значений а, т.е. тогда и только тогда, когда a

Ответ: а

Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.

Учитель подводит итог урока, обращает внимание на то, что теоретические факты и типы уравнений необходимо выучить. В качестве домашнего задания учащиеся получают по два варианта предыдущей краевой контрольной работы.