Решение уравнения имеет вид выберите один ответ

Дифференциальные уравнения (варианты)

Это уравнение вида — линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Используем условие . Тогда , Окончательно

Ответ:

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение Его корни

Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , . Подставим в исходное , . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Продифференцируем по х второе уравнение

Исключая с помощью первого уравнения и с помощью второго уравнения системы, получим

, ,

Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение.

Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , .

Подставим в исходное , , . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Из второго уравнения

Ответ:

Вариант 2

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Ответ:

или

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Используем условие . Тогда , Окончательно

Ответ:

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .

Отсюда — линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: ,

Замена где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Ответ:

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение Его корни

Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r3-3r2+4= 0

Корни характеристического уравнения:

R1 = -1 и корень характеристического уравнения r2 = 2 кратности 2.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-x, y2 = e2x, y3 = xe2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = (2•x-3)•e-x

Уравнение имеет частное решение вида:

Y’ =

Y» =

Y»’ =

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

-3+4=

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Корни характеристического уравнения:r1 = -4, r2 = 0, r3 = 4

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Y1 = e-4x, y2 = e0x, y3 = e4x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Правая часть F(x) = e2•x+3cos2x-sinx

Будем искать отдельно частные решения для F1(x) = e2•x, F2(x) = 3cos2x, F3(x) = — sinx

Рассмотрим правую часть: F1(x) = e2•x

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y»’ -16y’ = (8•A•e2x) -16(2•A•e2x) = e2•x или -24•A•e2x = e2•x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = -1/24;

Частное решение имеет вид: y* = -1/24e2x

Рассмотрим правую часть: F2(x) = 3•cos(2•x)

Поиск частного решения.

Уравнение имеет частное решение вида:y* = Acos(2x) + Bsin(2x)

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y»’ -16y’ = (8•A•sin(2x)-8•B•cos(2x)) -16(2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)) = 3•cos(2•x)

или 40•A•sin(2x)-40•B•cos(2x) = 3•cos(2•x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 0;B =-3/40;

Частное решение имеет вид:

Поиск частного решения.

Уравнение имеет частное решение вида: y* = Acos(x) + Bsin(x)

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y»’ -16y’ = (A•sin(x)-B•cos(x)) -16(B•cos(x)-A•sin(x)) = — sin(x)

или 17•A•sin(x)-17•B•cos(x) = — sin(x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = -1/17;B = 0;

Частное решение имеет вид: y* = -1/17cos(x) + 0sin(x) или y* = -1/17cos(x)

Окончательно, общее решение данного уравнения

Корни характеристического уравнения: r1 = 2, r2 = 4

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e4x, y2 = e2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:

Тогда окончательно

Корни характеристического уравнения:

Корень характеристического уравнения r1 = 2 кратности 2.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e2x, y2 = xe2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = e2•x•sin(5•x)

Поиск частного решения.

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 5.

Следовательно, число α + βi = 2 + 5i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида: y* = e2x(Acos(5x) + Bsin(5x))

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y» -4y’ + 4y = (-e2x((20•A+21•B)•sin(5x)+(21•A-20•B)•cos(5x))) -4(e2x((2•B-5•A)•sin(5x)+(2•A+5•B)•cos(5x))) + 4(e2x(Acos(5x) + Bsin(5x))) = e2•x•sin(5•x)

или -25•A•e2x•cos(5x)-25•B•e2x•sin(5x) = e2•x•sin(5•x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 0;B = -1/25;

Частное решение имеет вид: y* = e2x(0cos(5x) -1/25sin(5x)) илиy* =-1/25 e2x sin(5x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Используем начальные условия

Тогда окончательно,

Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение дифференциального уравнения . Тогда . Подставляем в первое граничное условие

. Тогда .

Подставляем во второе граничное условие

При А=0 и В=0 – тривиальное решение у=0

Поэтому и — собственные значения

— собственные векторы

Метод исключения неизвестных.

Продифференцируем по х первое уравнение

Исключая с помощью второго уравнения , получим ,

Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , . Подставим в исходное ,

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Из первого уравнения

Ответ:

Продифференцируем по х второе уравнение

Исключая с помощью первого уравнения , получим

, ,

Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Из второго уравнения

Ответ:

Вариант 5

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Ответ:

или

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Используем условие . Тогда , Окончательно

Ответ:

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .

Отсюда — линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: ,

Замена где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Ответ:

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение Его корни

Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , . , , .

Подставим в исходное , . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Вынесем r за скобку. Получим: r(r-1) = 0

Корни характеристического уравнения:r1 = 0, r2 = 1

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e0x, y2 = ex.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) =

Уравнение имеет частное решение вида:

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

Корни характеристического уравнения:(комплексные корни): r1 = 4i, r2 = -4i

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = 16•cos(4•x)-16•e4x, будем искать отдельно частные решения для f1(x)= 16•cos(4•x) и для f2(x)= 16•e4x

Для f1(x) = 16•cos(4•x) имеем

Уравнение имеет частное решение вида: y ч1* = x (Acos(4x) + Bsin(4x))

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 0;B = 2;

Частное решение имеет вид: yч1* = x (0cos(4x) + 2sin(4x)) или y ч1* = 2xsin(4x)

Частное решение ищем в виде y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Здесь P(x) = 16, Q(x) = 0, α = 4, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 4 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y» + 16y = (16•A•e4x) + 16(Ae4x) = 16•e4•x или 32•A•e4x = 16•e4•x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 1/2;

Частное решение имеет вид: y*ч2 = 1/2e4x

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 9 = 0

Корни характеристического уравнения: r1 = -3i, r2 = 3i

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Тогда окончательно

Корни характеристического уравнения:(комплексные корни): r1 = i,

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)

Поиск частного решения.

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Здесь P(x) = 2, Q(x) = -3, α = 0, β = 3.

Следовательно, число α + βi = 0 + 3i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида: y* = Acos(3x) + Bsin(3x)

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y» + y = (-9(A•cos(3x)+B•sin(3x))) + (Acos(3x) + Bsin(3x)) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)

или -8•A•cos(3x)-8•B•sin(3x) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = -1/4;B = 3/8;

Частное решение имеет вид: y* = -1/4cos(3x) + 3/8sin(3x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Используем начальные условия

Тогда окончательно,

Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение дифференциального уравнения . Подставляем в первое граничное условие

. Тогда .

Подставляем во второе граничное условие

При А=0 и В=0 – тривиальное решение у=0

Поэтому и — собственные значения

— собственные векторы

Продифференцируем по х второе уравнение

Исключая с помощью первого уравнения и с помощью второго уравнения системы, получим

Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, общее решение для будет .

Из второго уравнения

Ответ:

Найдём сначала общее решение соответствующей однородной системы

Продифференцируем по х второе уравнение

Исключая с помощью первого уравнения и с помощью второго уравнения системы, получим

Из второго уравнения Общее решение однородной системы:

Принимаем частное решение первоначальной системы в виде:

Решаем данную систему по формулам Крамера, получим два дифференциальных уравнения первого порядка:

Окончательно,

Или

Ответ:

Решение уравнения имеет вид выберите один ответ

Общее решение уравнения $$(x+1)ydx=(y-1)xdy$$ имеет вид:

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:

Чтобы решить это уравнение, необходимо разделить переменные $$\frac=\frac$$ и проинтегрировать обе части полученного равенства.

$$\int \left ( 1+\frac<1> \right )dx=\int\left ( 1-\frac<1> \right )dy$$ ,

Решение уравнения $$y’x=2y$$ при условии, что $$x_0=-2$$ , а $$y_0=10$$ , имеет вид:

Запишем уравнение в виде:

$$y=Cx^2$$ – общее решение уравнения.

Подставляя в общее решение значения $$x_0=-2$$ и $$y_0=10$$ найдем произвольную постоянную:

Подставляя значение $$C=2,5$$ в общее решение, найдем частное решение:

Различайте общее решение $$y=\phi (x;C)$$ и частное решение $$y=\phi (x)$$ дифференциального уравнения первого порядка.

Решение уравнения $$y’+y=e^x$$ имеет вид:

Дифференциальное линейное уравнение первого порядка имеет вид:

Чтобы решить это уравнение, необходимо применить подстановку:

Полагая $$y=uv$$ , $$y’=u’v+uv’$$ , получим:

Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $$u$$ , и вынесем его из скобок:

Если положим $$v’+v=0$$ , то получим: $$u’v=e^x$$ .

Запишем систему уравнений: $$\begin v’+v=0, \\ u’v=e^x. \end$$

Решим первое уравнение системы:

Подставим полученное значение $$v=e^<-x>$$ во второе уравнение системы и решим его:

Так как $$y=uv$$ , то получим:

$$y’=\frac$$ , $$u’=\frac$$ , $$v’=\frac$$ .
Решая первое уравнение системы всегда полагаем $$C=0$$ .

Виды дифференциальных уравнений

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1 -го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2 -го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

Напомним, что y ‘ = d x d y , если y является функцией аргумента x .

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y ‘ = f ( x )

Начнем с примеров таких уравнений.

y ‘ = 0 , y ‘ = x + e x — 1 , y ‘ = 2 x x 2 — 7 3

Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f ( x ) · y ‘ = g ( x ) является метод деления обеих частей на f ( x ) . Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y ‘ = g ( x ) f ( x ) . Оно является эквивалентом исходного уравнения при f ( x ) ≠ 0 .

Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

e x · y ‘ = 2 x + 1 , ( x + 2 ) · y ‘ = 1

Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х , при которых функции f ( x ) и g ( x ) одновременно обращаются в 0 . В качестве дополнительного решения в уравнениях f ( x ) · y ‘ = g ( x ) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х .

Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x · y ‘ = sin x , ( x 2 — x ) · y ‘ = ln ( 2 x 2 — 1 )

Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1 -го порядка».

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f 1 ( y ) · g 1 ( x ) d y = f 2 ( y ) · g 2 ( x ) d x или f 1 ( y ) · g 1 ( x ) · y ‘ = f 2 ( y ) · g 2 ( x )

Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f ( y ) d y = g ( x ) d x . Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у , разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫ f ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x

К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

y 2 3 d y = sin x d x , e y d y = ( x + sin 2 x ) d x

Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f 2 ( y ) ⋅ g 1 ( x ) . Так мы придем к уравнению f 1 ( y ) f 2 ( y ) d y = g 2 ( x ) g 1 ( x ) d x . Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f 2 ( y ) ≠ 0 и g 1 ( x ) ≠ 0 . Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: d y d x = y · ( x 2 + e x ) , ( y 2 + a r c cos y ) · sin x · y ‘ = cos x y .

К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = a x + b y . Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y ‘ = f ( a x + b y ) , a , b ∈ R .

Подставив z = 2 x + 3 y в уравнение y ‘ = 1 e 2 x + 3 y получаем d z d x = 3 + 2 e z e z .

Заменив z = x y или z = y x в выражениях y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

Если произвести замену z = y x в исходном уравнении y ‘ = y x · ln y x + 1 , получаем x · d z d x = z · ln z .

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y ‘ = y 2 — x 2 2 x y . Нам необходимо привести его к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x . Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x 2 или y 2 .

Нам дано уравнение y ‘ = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 , a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 ∈ R .

Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , нам необходимо ввести новые переменные u = x — x 1 v = y — y 1 , где ( x 1 ; y 1 ) является решением системы уравнений a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0

Введение новых переменных u = x — 1 v = y — 2 в исходное уравнение y ‘ = 5 x — y — 3 3 x + 2 y — 7 позволяет нам получить уравнение вида d v d u = 5 u — v 3 u + 2 v .

Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u . Также примем, что z = u v . Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u · d z d u = 5 — 4 z — 2 z 2 3 + 2 z .

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x )

Приведем примеры таких уравнений.

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1 -го порядка относятся:

y ‘ — 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 ; y ‘ — x y = — ( 1 + x ) e — x

Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y ( x ) = u ( x ) v ( x ) . Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

Дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) y = Q ( x ) y a

Приведем примеры подобных уравнений.

К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

y ‘ + x y = ( 1 + x ) e — x y 2 3 ; y ‘ + y x 2 + 1 = a r c t g x x 2 + 1 · y 2

Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z = y 1 — a , которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1 -го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y ( x ) = u ( x ) v ( x ) .

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Уравнения в полных дифференциалах P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0

Если для любых значений x и y выполняется ∂ P ( x , y ) ∂ y = ∂ Q ( x , y ) ∂ x , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y представляло собой полный дифференциал некоторой функции U ( x , y ) = 0 , то есть, d U ( x , y ) = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y . Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U ( x , y ) = 0 по ее полному дифференциалу.

Выражение, расположенное в левой части записи уравнения ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y = 0 представляет собой полный дифференциал функции x 3 3 — x y 2 + C = 0

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , p , q ∈ R

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k 2 + p k + q = 0 . Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q :

действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R ;
действительные и совпадающие k 1 = k 2 = k , k ∈ R ;
комплексно сопряженные k 1 = α + i · β , k 2 = α — i · β .

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ;
y = C 1 e k x + C 2 x e k x ;
y = e a · x · ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) .

Пример 13

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + 3 y ‘ = 0 . Найдем корни характеристического уравнения k 2 + 3 k = 0 . Это действительные и различные k 1 = — 3 и k 2 = 0 . Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2 e 0 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = f ( x ) , p , q ∈ R

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y 0 , которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , и частного решения y

исходного уравнения. Получаем: y = y 0 + y

Способ нахождения y 0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y

мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f ( x ) , которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2 -го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

y ‘ ‘ — 2 y ‘ = ( x 2 + 1 ) e x ; y ‘ ‘ + 36 y = 24 sin ( 6 x ) — 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x )

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

На некотором отрезке [ a ; b ] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, y = C 1 y 1 + C 2 y 2 .

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 x , e k 2 x , . . . , e k n x 3 ) e k 1 x , x · e k 1 x , . . . , x n 1 · e k 1 x , e k 2 x , x · e k 2 x , . . . , x n 2 · e k 2 x , . . . e k p x , x · e k p x , . . . , x n p · e k p x 4 ) 1 , c h x , s h x

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = 0 .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) мы можем найти в виде суммы y = y 0 + y

, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y

частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y 0 можно описанным выше способом. Определить y

нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = x 2 + 1 .

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Мы можем провести замену y ( k ) = p ( x ) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 , которое не содержит искомой функции и ее производных до k — 1 порядка.

В этом случае y ( k + 1 ) = p ‘ ( x ) , y ( k + 2 ) = p ‘ ‘ ( x ) , . . . , y ( n ) = p ( n — k ) ( x ) , и исходное дифференциальное уравнение сведется к F 1 ( x , p , p ‘ , . . . , p ( n — k ) ) = 0 . После нахождения его решения p ( x ) останется вернуться к замене y ( k ) = p ( x ) и определить неизвестную функцию y .

Дифференциальное уравнение y ‘ ‘ ‘ x ln ( x ) = y ‘ ‘ после замены y ‘ ‘ = p ( x ) станет уравнением с разделяющимися переменными y ‘ ‘ = p ( x ) , и его порядок с третьего понизится до первого.

В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F ( y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) = 0 , порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену d y d x = p ( y ) , где p ( y ( x ) ) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y )
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Рассмотрим решение уравнения 4 y 3 y ‘ ‘ = y 4 — 1 . Путем замены d y d x = p ( y ) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4 y 3 p d p d y = y 4 — 1 .

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x )

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

находим корни характеристического уравнения k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 ;
записываем общее решение ЛОДУ y 0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y = y 0 + y

— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y

целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = x cos x + sin x соответствует линейное однородное ДУ y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = 0 .

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x )

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y = y 0 + y

, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y

— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

y 0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y 1 , y 2 , . . . , y n , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 в тождество. Частные решения y 1 , y 2 , . . . , y n обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y = y 0 + y

Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

Системы дифференциальных уравнений вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

источники:

http://testy.quali.me/test/university/52

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/differentsialnye-uravnenija/vidy-differentsialnyh-uravnenij/