Разностный метод для уравнения колебаний
8.1. Разностный метод для уравнения колебаний
8.1.1. Уравнение колебаний струны. Явная схема
Рассмотрим задачу о малых колебаниях натянутой струны с распределенной по длине нагрузкой f(x, t) (см. рис. 8.1):
(8.11)
(8.12)
(8.13)
Струна совершает плоские колебания, т. е. точки струны перемещаются параллельно плоскости t = 0.
Функция u(x, t) выражает смещение точки x струны в момент времени t от прямолинейной формы.
Начальные условия (8.12) означают следующее. Форма струны в начальный момент времени t = 0 выражается функцией μ(x). Скорость перемещения точки x струны в момент времени t = 0 равна значению функции μ0(x).
Краевые условия (8.13) говорят о том, что левый конец струны с течением времени совершает смещение μ1(t), а правый конец — смещение μ2(t).
Если концы струны закреплены, то μ1(t) = μ2(t) = 0.
Мы предполагаем, что начальные условия (8.12) и краевые условия (8.13) должны быть согласованы между собой в угловых точках, т. е. выполнены условия 
.
На рис. 8.1 представлен случай, когда 
, 
.
Введем сеточную область (рис.8.2, a)). В прямоугольной области 
зададим точки:
(8.14)
Рассмотрим уравнение (8.11) в точках 
, 
, 
, и заменим производные разностными формулами
, (8.15)
Обозначим через 
приближенные значения искомой функции в точках . Тогда из уравнения (8.11) получим разностное уравнение (разностную схему), которое аппроксимирует уравнение (8.11) с порядком O(h2 + τ2):
(8.16)
На рис. 8.2 b) изображен шаблон «крест» разностного уравнения (8.16). Разностное уравнение (8.16) связывает значения неизвестной функции на трех слоях (k – 1, k, k + 1).
На слое k = 0 заданы начальные условия (8.12), из которых следует, что
. (8.17)
Чтобы найти значения неизвестной функции на слое k = 1, используем условие для производной ut(x, 0) из (8.12). Для этого построим разложение в ряд Тейлора
. (8.18)
Из уравнения (8.11), учитывая первое условие в (8.12), выразим вторую производную
. (8.19)
Теперь, учитывая условие 
в (8.12), из (8.18), (8.19) выводим формулу для вычисления значений функции на первом слое:
. (8.20)
С учетом (8.13), окончательно получим для приближенных значений искомой функции на первом слое формулы
. (8.21)
Учитывая граничные условия (8.13) из (8.16) выводим формулы для вычисления значений на слоях 
:
(8.22)
Мы получили явные формулы (8.17), (8.21), (8.22) решения разностной задачи.
Разностная схема называется устойчивой, если она имеет единственное решение и малым изменениям исходных данных отвечают малые изменения решения.
Приведем без доказательства (доказательство можно найти в [9]) следующий факт: для выполнения условия устойчивости разностной схемы (8.16) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Куранта cτ 0 находим методом прогонки, последовательными вычислениями в несколько этапов.
2.1. Вычислим правые части (8.26):
(8.29)
2.2. Вычислим прогоночные коэффициенты:
(8.30)
(8.31)
(8.32)
2.3. Вычислим решение ui,k+1:
(8.33)
(8.34)
Отметим преимущества неявной схемы перед явной схемой:
В явной схеме надо выбирать шаги h и τ так, чтобы выполнялось условие устойчивости (условие Куранта) cτ