Арккосинус. Решение уравнения cos x=a
п.1. Понятие арккосинуса
В записи \(y=cosx\) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – косинус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному косинусу найти угол. Но одному значению косинуса соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(cosx=1\), то \(x=2\pi k,\ k\in\mathbb
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором косинус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: \(0\leq x\leq \pi\) (верхняя половина числовой окружности).
\(arccos\frac12=\frac\pi3,\ \ arccos\left(-\frac<\sqrt<3>><2>\right)=\frac<5\pi><6>\)
\(arccos2\) – не существует, т.к. 2> 1
п.2. График и свойства функции y=arccosx
1. Область определения \(-1\leq x\leq1\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу \(0\leq arccosx\leq \pi\) . Область значений \(y\in[0;\pi]\)
3. Максимальное значение \(y_
Минимальное значение \(y_
4. Функция убывает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.
п.3. Уравнение cosx=a
Значениями арккосинуса могут быть только углы от 0 до π (180°). А как выразить другие углы через арккосинус? |
Углы в нижней части числовой окружности записывают через отрицательный арккосинус. А углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арккосинуса и величины, которая ‘не помещается» в область значений арккосинуса.
1) Решим уравнение \(cosx=\frac12\).
Найдем точку \(\frac12\) в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам \(\pm\frac\pi3\) — это базовые корни.
Если взять верхний корень \(\frac\pi3\) и прибавить к нему полный оборот \(\frac\pi3+2\pi=\frac<7\pi><3>\), косинус полученного угла \(cos\frac<7\pi><3>=\frac12\), т.е. \(\frac<7\pi><3>\) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида \(\frac\pi3+2\pi k\) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида \(-\frac\pi3+2\pi k\).
Получаем ответ: \(x=\pm\frac\pi3+2\pi k\)
Заметим, что полученный ответ является записью вида
\(x=\pm arccos\frac12+2\pi k\)
А т.к. арккосинус для \(\frac12\) точно известен и равен \(\frac\pi3\), то мы его и пишем в ответе.
Но так бывает далеко не всегда.
2) Решим уравнение \(cosx=0,8\)
Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению верхняя точка – это угол, равный arccos0,8. Тогда нижняя точка – это тот же угол, но отложенный в отрицательном направлении обхода числовой окружности, т.е. (–arccos0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: \(x=\pm arccos0,8+2\pi k\) |
п.4. Формула арккосинуса отрицательного аргумента
Докажем полезную на практике формулу для \(arccos(-a)\).
По построению: $$ \begin |
п.5. Примеры
Пример 1. Найдите функцию, обратную арккосинусу. Постройте графики арккосинуса и найденной функции в одной системе координат.
Для \(y=arccosx\) область определения \(-1\leq x\leq 1\), область значений \(0\leq y\leq \pi\).
Обратная функция \(y=cosx\) должна иметь ограниченную область определения \(0\leq x\leq \pi\) и область значений \(-1\leq y\leq 1\).
Строим графики:
Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.
Пример 2. Решите уравнения:
a) \(cos x=-1\) \(x=\pi+2\pi k\) | б) \(cos x=\frac<\sqrt<2>><2>\) \(x=\pm\frac\pi4+2\pi k\) |
в) \(cos x=0\) \(x=\pm\frac\pi2+2\pi k=\frac\pi2+\pi k\) | г) \(cos x=\sqrt<2>\) \(\sqrt<2>\gt 1,\ \ x\in\varnothing\) Решений нет |
д) \(cos x=0,7\) \(x=\pm arccos(0,7)+2\pi k\) | e) \(cos x=-0,2\) \(x=\pm arccos(-0,2)+2\pi k\) |
Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arccos0,8;\ \ arccos(-0,5);\ \ arccos\frac\pi7 $$
Способ 1. Решение с помощью числовой окружности |
Отмечаем на оси косинусов (ось OX) точки с абсциссами 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\)
Значения арккосинусов (углы) считываются на верхней половине окружности: чем меньше косинус (от 1 до -1), тем больше угол (от 0 до π).
Получаем: \(\angle A_1OA\lt\angle A_2OA\angle A_3OA\)
$$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$
Отмечаем на оси OX аргументы 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арккосинусов по возрастанию: $$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$
Арккосинус – функция убывающая: чем больше аргумент, тем меньше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по убыванию: 0,8; \(\frac\pi7\); -0,5.
И записываем арккосинусы по возрастанию: \(arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5)\)
Пример 4*. Решите уравнения:
\(a)\ arccos(x^2-3x+3)=0\) \begin
\(б)\ arccos^2x-arccosx-6=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-6=0\Rightarrow (t-3)(t+2)=0\Rightarrow \left[ \begin
\(в)\ arccos^2x-\pi arccosx+\frac<2\pi^2><9>=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: \begin
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения
Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a
Уравнение cos (x) = a
Объяснение и обоснование
- Корни уравнения cosx = а. При | a | > 1 уравнение не имеет корней, поскольку | cosx | 1 или при а 1 уравнение не имеет корней, поскольку | sinx | 1 или при а
Урок по теме : «Решение уравнений cos x= a»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Тема «Решение уравнений с os x = a »
Цель: вывести формулы решения уравнений с os x = a , выработать алгоритм решения данных уравнений
Образовательные — 1) разобрать два основных метода решения простейших тригонометрических уравнений: используя геометрическую модель – числовую окружность ;с применением формул
2) закрепить решения простейших тригонометрических уравнений
Развивающие – создать условия для развития познавательного интереса учащихся, способности к анализу, формированию математической речи, умению находить ошибки; познакомить обучающихся с историческим материалом, ;
Воспитательные – прививать учащимся навык самостоятельности в работе, формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради, наблюдательности, аккуратности.
Тип урока: комбинированный (урок изучения новой темы)
Формы работы: фронтальная, индивидуальная.
Методы обучения: актуализация знаний, самостоятельная работа, использование проблемной ситуации
Межпредметные связи: история
Сохраняющие здоровье технологии: эмоциональный настрой, построение урока с учётом работоспособности обучающихся, физкультминутка.
Современные образовательные технологии: ИКТ, здоровьесберегающие, проблемное обучение.
Оборудование: компьютер, проектор,опорные конспекты
2. Актуализация знаний учащихся. Из истории тригонометрии
4. Изучение нового материала
6. Выполнение заданий по теме из учебника.
7. Подведение итогов урока.
1 ) Организационный момент . Приветствие, сообщение темы и цели урока.
2 ) Актуализация знаний учащихся .На прошлом уроке мы познакомилась с одним из методов решения уравнения вида с os x = a .
Вы убедились в очередной раз ,что графический метод очень трудоемкий и «времязатратный».Сегодня мы вместе с вами откроем для дальнейшего использования более компактный и удобный метод решения уравнений.
3)Но сначала немного истории тригонометрии.
Основоположниками тригонометрии, первооткрывателями решений тригонометрических уравнений были как Беруни, Леонард Эйлер, Муххамад ат-Туси ,Региомонтан , Бернулли , Аль –Хорезми и многие ученые Европы и Азии. Предоставлю вам возможность увидеть графики тригонометрических функций,так или иначе связанных с косинусом ,созданные этими учеными.Слайд №3,4,5
4) Новый материал ( Использование презентации слайды №6-13)
5)Минута отдыха. Изобразите руками тангенсоиду,график котангенса ,окружность,
Глазами «постройте» виртуальную синусоиду,косинусоиду.,окружность ,числа 11,12,13
Более тысячи биологически активных точек на ухе известно в настоящее время, поэтому, массируя их, можно апосредовательно воздействовать на весь организм. Нужно стараться так помассировать ушные раковины, чтобы уши «горели».
Упражнение можно выполнять в такой последовательности:
1) потягивание за мочки сверху вниз;
2) потягивание ушной раковины вверх;
3) потягивание ушной раковины к наружи;
4) круговые движения ушной раковины по часовой стрелке и против;
(в это время раздать опорные конспекты)
6). Работа с задачником ,решение у доски и в тетрадях №15.5-15.7(а,б) 15.14 .
А)ПОКАЗАТЬ образец записи решения уравнения на доске
б)У доски по 2 человека
7)Закрепление пройденного .Самостоятельная работа
9)Подведение итогов урока:
-что необходимо знать для успешного решения уравнения сos x=a
-что нужно уметь делать для успешного решения уравнения сos x=a
— Как вы думаете, когда люди впервые столкнулись с тригонометрическими уравнениями ?
«Мышление начинается с удивления», – заметил 2 500 лет назад Аристотель . А математика замечательный предмет для удивления.
Я надеюсь, что сегодняшний наш урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности.И да поможет вам Математика!
Каждый ,кто считает себя усвоившим тему урока может наградить себя соответствующим сертификатом
Самостоятельная работа к уроку
Самостоятельная работа вариант 1
1)Вычислить:а) arccos ; б) sin ( arccos )
2) Решить уравнения:
Самостоятельная работа вариант 1
1)Вычислить:а) arccos ; б) sin ( arccos )
2) Решить уравнения:
Самостоятельная работа вариант 1
1)Вычислить:а) arccos ; б) sin ( arccos )
2) Решить уравнения:
Самостоятельная работа вариант 1
1)Вычислить:а) arccos ; б) sin ( arccos )
2) Решить уравнения:
Самостоятельная работа вариант 2
1)Вычислить:а) arccos ; б) sin ( arcos 0,5)
2) Решить уравнения:
Самостоятельная работа вариант 2
1)Вычислить:а) arccos ; б) sin ( arcos 0,5)
2) Решить уравнения:
Самостоятельная работа вариант 2
1)Вычислить:а) arccos ; б) sin ( arcos 0,5)
2) Решить уравнения:
Самостоятельная работа вариант 2
1)Вычислить:а) arccos ; б) sin ( arcos 0,5)
http://ya-znau.ru/znaniya/zn/75
http://infourok.ru/urok_po_teme__reshenie_uravneniy_cos_x_a-480703.htm