Решение уравнения лагранжа примеры решения задач

Дифференциальное уравнение Лагранжа

Решение дифференциального уравнения Лагранжа

Рассмотрим дифференциальное уравнение Лагранжа:
(1) ,
где и – это функции.
Будем искать его решение в параметрическом виде. То есть будем считать, что , , а также производная являются функциями от параметра . Положим
.
Поставим в (1):
(2) .
Продифференцируем по :
(3) .
С другой стороны:
(4) .
Левые части уравнений (3) и (4) равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования:
;
.

Разделим на . При уравнение принимает вид:
.
Это линейное дифференциальное уравнение относительно переменной . Решая его, получаем зависимость переменной от параметра : . Затем подставляем в (2):
.
В результате получаем зависимость переменной от параметра : . То есть мы получили параметрическое представление решения уравнения (1).

Дополнительные решения дифференциального уравнения Лагранжа

В процессе приведения уравнения к линейному, мы разделили уравнение на . Поэтому мы рассматривали решение при . В заключении следует рассмотреть случай , то есть исключить параметр из уравнений:
(5) ;
(6) .

Уравнение (5) содержит только переменную t . Поэтому его нужно решить и определить корни. Если корней нет, то дополнительных решений также нет.

Предположим, что мы нашли корни уравнения (5) (один или несколько). Обозначим такой корень как :
(7) .
Тогда уравнение (6) дает нам зависимость y от x , которая является линейной функцией:
.
Поскольку в силу (7), , то
(8) .

Покажем, что (8) является решением исходного уравнения (1). Для этого найдем производную (8). Она равна постоянной:
.
Подставим (8) и в (1):
;
;
.
Это уравнение выполняется, поскольку в силу (7), .

Таким образом, мы нашли, что уравнение (1) может иметь решения
,
где – корни уравнения
.

Пример

Решить уравнение:
(1.1)

Разделим на . При имеем:
(1.2) .
Это уравнение Лагранжа. Ищем решение в параметрическом виде. Считаем, что , , а также — это функции от параметра . Положим . Тогда
(1.3) .

Чтобы упростить выкладки, умножим (1.3) на знаменатель дроби и продифференцируем по :
;
;
(1.4) .
Далее имеем:
(1.5) .
Поставляем (1.3) и (1.5) в (1.4) и выполняем преобразования:
;
;
.
Разделим на . При ( или при и при ) имеем:
.

Разделяем переменные и интегрируем:
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную . Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1, которую включаем в .
.
Отсюда
;
.
Подставляем в (1.3):
.
Заменим постоянную :
.

Теперь рассмотрим значения , которые мы исключили из рассмотрения при выполнении операций деления. Для этого подставим эти значения в исходное уравнение (1.1),
(1.1) .
Проверим, существует ли для этих значений дополнительные решения.

1) Подставим в (1.1):
.
Отсюда . Решение удовлетворяет исходному уравнению (1.1).

2) Подставим в (1.1):
;
.
Значение не удовлетворяет исходному уравнению. Отбрасываем его.

3) Подставим в (1.1):
;
;
.
Решение удовлетворяет исходному уравнению.

Общее решение уравнения имеет вид:
;
;
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 26-08-2012 Изменено: 24-11-2021

Метод множителей Лагранжа. Пример решения

Решение. Найдем экстремум функции F(X)=9·x₁+x₁ 2 +6·x₂+x₂ 2 , используя сервис функция Лагранжа :
L( X , λ )=F( X )+∑λ_i·φ_i( X )
где F( X ) — целевая функция вектора X , φ_i( X ) — ограничения в неявном виде (i=1..n)
В качестве целевой функции, подлежащей оптимизации, в этой задаче выступает функция:
F(X) = 9·x₁+x₁ 2 +6·x₂+x₂ 2
Перепишем ограничение задачи в неявном виде: φ_i( X )= x₁+x₂-150=0
Составим вспомогательную функцию Лагранжа: L( X , λ ) = 9·x₁+x₁ 2 +6·x₂+x₂ 2 + λ(x₁+x₂-150)
Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным х_i и неопределенному множителю λ.
Составим систему:
∂L/∂x₁ = 2·x₁+λ+9 = 0
∂L/∂x₂ = λ+2·x₂+6 = 0
∂F/∂λ = x₁+x₂ -150= 0
Систему решаем с помощью метода Гаусса или используя формулы Крамера.

Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Из 1-ой строки выражаем x₃

Из 2-ой строки выражаем x₂

Из 3-ой строки выражаем x₁

Таким образом, чтобы общие издержки производства были минимальны, необходимо производить x₁ = 74.25; x₂ = 75.75.

Задание . По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 50 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены 2-мя технологическими способами. При производстве x₁ — изделий 1-ым способом затраты равны 3x₁+x₁ 2 (т. руб.), а при изготовлении x₂ — изделий 2-ым способом они составят 5x₂+x₂ 2 (т. руб.). Определить сколько изделий каждым из способов необходимо изготовить, чтобы общие затраты на производство были минимальные.

Решение: составляем целевую функцию и ограничения:
F(X) = 3x₁+x₁ 2 + 5x₂+x₂ 2 → min
x₁+x₂ = 50

Пример №2 . В качестве целевой функции, подлежащей оптимизации, выступает функция: F(X) = x₁·x₂
при условии: 3x₁ + x₂ = 6.
Перепишем ограничение задачи в неявном виде: φ_i( X )=3x₁ + x₂ — 6 = 0
Составим вспомогательную функцию Лагранжа: L( X , λ )=x₁·x₂+λ(3x₁ + x₂ — 6)
Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным х_i и неопределенному множителю λ.
Составим систему:
∂L/∂x₁ = 3·λ+x₂ = 0
∂L/∂x₂ = x₁+λ = 0
∂F/∂λ = 3·x₁ + x₂-6 = 0
Решаем данную систему методом Гаусса.
Запишем систему в виде:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Из 1-ой строки выражаем x₃

Из 2-ой строки выражаем x₂

Из 3-ой строки выражаем x₁

Точка экстремума (1;3). Значение функции в точке экстремума F(1;3)=3.

Пример №3 . Рассмотрим функцию: F(X)=3·x₁ 2 +2·x₂ 2 -3·x₁+1
и условия-ограничения: x₁ 2 + x₂ 2 = 4
L( X , λ )=3·x₁ 2 +2·x₂ 2 -3·x₁+1 + λ(x₁ 2 + x₂ 2 — 4)
Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным х_i и неопределенному множителю λ.
Составим систему:
∂L/∂x₁ = 2·x₁·(λ+3)-3 = 0
∂L/∂x₂ = 2·(λ+2)·x₂ = 0
∂F/∂λ = x₁ 2 +x₂ 2 -4 = 0
Выражаем из первого уравнения x₁:

Из второго уравнения получаем x₂ = 0.
Подставляем в третье уравнение:
или
Перепишем в виде: λ+3 =3/4 откуда λ=-9/4.
Подставляя λ в выражение для x₁, получаем:

Стационарная точка (2;0). Значение функции в стационарной точке: F(2;0) = 7.

Пример №4 . Найдем локальные стационарные точки функции:
F(X) = 3·x₁·x₂
g(x): 2·x₁+x₂=3
Перепишем ограничение задачи в неявном виде: 2·x₁+x₂-3 = 0
Составим вспомогательную функцию Лагранжа:
L = 3·x₁·x₂ + λ·(2·x₁+x₂-3)
Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным х_i и неопределенному множителю λ.
Составим систему:
∂L/∂x₁ = 2·λ+3·x₂ = 0
∂L/∂x₂ = 3·x₁+λ = 0
∂F/∂λ = 2·x₁+x₂-3 = 0
Данную систему решаем методом обратной матрицы:
Запишем матрицу в виде:
Вектор B: B T = (0,0,3)
Главный определить: ∆ = 0·(0·0-1·1)-3·(3·0-1·2)+2·(3·1-0·2) = 12
Транспонированная матрица:
Алгебраические дополнения
; ∆_1,1 = (0·0-1·1) = -1
; ∆_1,2 = -(3·0-2·1) = 2
; ∆_1,3 = (3·1-2·0) = 3
; ∆_2,1 = -(3·0-1·2) = 2
; ∆_2,2 = (0·0-2·2) = -4
; ∆_2,3 = -(0·1-2·3) = 6
; ∆_3,1 = (3·1-0·2) = 3
; ∆_3,2 = -(0·1-3·2) = 6
; ∆_3,3 = (0·0-3·3) = -9
Обратная матрица:
Вектор результатов X: X = A -1 ·B


x₁ = 9 / ₁₂ = 0.75
x₂ = 18 / ₁₂ = 1.5
λ = -27 / ₁₂ = -2.25
Таким образом, локальный экстремум (0.75; 1.5). Значение функции в стационарной точке F(0.75; 1.5) = 3.375.

Пример №5 . Найдем точку экстремума функции:
F(X) = 2x₁ 2 +x₁x₂+x₂ 2 +2x₁-4x₂
Перепишем ограничение задачи в неявном виде:
φ₁ = x₁+x₂-2 = 0
Составим вспомогательную функцию Лагранжа:
L = 2x₁ 2 +x₁x₂+x₂ 2 +2x₁-4x₂ + λ(x₁+x₂-2)
Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным х_i и неопределенному множителю λ.
Составим систему:
∂L/∂x₁ = 4x₁+λ+x₂+2 = 0
∂L/∂x₂ = x₁+λ+2x₂-4 = 0
∂F/∂λ = x₁+x₂-2 = 0
Решаем данную систему с помощью формул Крамера.
Запишем систему в виде:

B T = (-2,4,2)
Главный определитель:
∆ = 4 · (2 · 0-1 · 1)-1 · (1 · 0-1 · 1)+1 · (1 · 1-2 · 1) = -4 = -4
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₁ = -2 · (2 · 0-1 · 1)-4 · (1 · 0-1 · 1)+2 · (1 · 1-2 · 1) = 4

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₂ = 4 · (4 · 0-2 · 1)-1 · (-2 · 0-2 · 1)+1 · (-2 · 1-4 · 1) = -12

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₃ = 4 · (2 · 2-1 · 4)-1 · (1 · 2-1 · (-2))+1 · (1 · 4-2 · (-2)) = 4

Стационарная точка: F(-1; 3).

Пример №6 . Найдем экстремум функции F(X) = x₁·x₂, используя функцию Лагранжа: L( X , λ )=F( X )+∑λ_i·φ_i( X ).
Примечание: решение ведем с помощью сервиса Функция Лагранжа онлайн

ЛДУ с переменными коэффициентами. Метод Лагранжа

Линейные дифференциальные уравнения с переменные коэффициентами

Если известно частное решение уравнения

то его порядок можно понизить на единицу (не нарушая линейности уравнения), полагая , где — новая неизвестная функция, а затем делая замену (можно непосредственно делать замену ).

Если известно частных линейно независимых решений уравнения (32), то порядок уравнения может быть понижен на единиц.

Общее решение уравнения

есть сумма какого-нибудь его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (32).

Если известна фундаментальная система соответствующего однородного уравнения (32), то общее решение неоднородного уравнения (33) может быть найдено методом вариации постоянных ( метод Лагранжа ).

Общее решение уравнения (32) имеет вид

где — произвольные постоянные.

Будем искать решение уравнения (33) в виде

где — некоторые пока неизвестные функции от . Для их определения получаем систему

Разрешая эту систему относительно , получаем

где — произвольные постоянные. Внося найденные значения в (34), получаем общее решения уравнения (33).

В частности, для уравнения второго порядка

Решая (36) относительно и , получаем

где и — постоянные интегрирования.

Замечание. Для уравнения , где , система (36) будет выглядеть так:

Пример 1. Найти общее решение уравнения , если есть его частное решение.

Решение. Положим , где — новая неизвестная функция от , тогда

Подставляя в данное уравнение, получаем

Но так как есть частное решение данного уравнения, то , поэтому имеем

Но , а значит , и уравнение (37) примет вид

Перепишем его в виде . Отсюда имеем , откуда

Интегрируя это уравнение, найдем и, следовательно, общее решение данного уравнения будет

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид (см. пример 1)

и следовательно, его фундаментальная система решений будет

Будем искать общее решение данного уравнения методом вариации произвольных постоянных:

где — постоянные неизвестные функции от , подлежащие определению. Для их нахождения составим следующую систему:

Отсюда находим: . Интегрируя, получаем

Подставляя эти значения и в выражение для , найдем общее решение данного уравнения

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Соответствующее однородное уравнение будет . Его характеристическое уравнение имеет мнимые корни , и общее решение однородного уравнения имеет вид

Общее решение исходного уравнения ищем в виде

где и — неизвестные функции от . Для их нахождения составим систему

Разрешаем эту систему относительно и :

Подставляя выражения и в (38), получаем общее решение данного уравнения

Здесь есть частное решение исходного неоднородного уравнения.

Пример 4. Зная фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, найти частное решение уравнения

Решение. Применяя метод вариации постоянных, находим общее решение уравнения (39):

При первые два слагаемых правой части (40) стремятся к бесконечности, причем при любых , неравных нулю одновременно, функция есть бесконечно большая функция при . Третье слагаемое правой части (40) имеет пределом ноль при , что легко установить с помощью правила Лопиталя. Таким образом, функция , которая получается из (40) при и , будет решением уравнения (39), удовлетворяющим условию .

Составление дифференциального уравнения по заданной фундаментальной системе решений

Рассмотрим линейно независимую на отрезке систему функций

имеющих все производные до n-го порядка включительно. Тогда уравнение

где — неизвестная функция, будет линейным дифференциальным уравнением, для которого, как нетрудно видеть, функции составляют фундаментальную систему решений. Коэффициент при в (42) есть определитель Вронского системы (41). Те точки, в которых этот определитель обращается в ноль, будут особыми точками построенного уравнения — в этих точках обращается в ноль коэффициент при старшей производной .

Пример 1. Составить дифференциальное уравнение, для которого образуют фундаментальную систему решений.

Решение. Применяя формулу (42), получаем

Раскрывая определитель в левой части (43) по элементам третьего столбца, будем иметь . Это и есть искомое дифференциальное уравнение.

Пример 2. Составить дифференциальное уравнение, для которого функции фундаментальную систему решений образуют функции .

Решение. Составим уравнение вида (42):

Раскрывая последний определитель по элементам 3-го столбца, будем иметь

В этом примере определитель Вронского обращается в ноль при . Это не противоречит общей теории, в силу которой определитель Вронского фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения

с непрерывными на отрезке коэффициентами не обращается в ноль ни в одной точке отрезка . Записав уравнение (44) в виде

видим, что коэффициент при терпит разрыв при , так что в точке непрерывность коэффициентов уравнения (45) нарушается.

Разные задачи

Пусть — фундаментальная система линейного однородного уравнения

Тогда имеет место формула Остроградского–Лиувилля

где — определитель Вронского, а — любое значение из отрезка , на котором непрерывны коэффициенты уравнения.

Пример 1. Показать, что линейное дифференциальное уравнение имеет решение вида , где — некоторый многочлен. Показать, что второе решение этого уравнения имеет вид , где — также многочлен.

Решение. Будем искать решение в виде многочлена, например, первой степени: . Подставляя в уравнение, найдем, что . Пусть , тогда ;. таким образом, многочлен будет решением данного уравнения. Перепишем данное уравнение в виде

Пусть — второе частное решение данного уравнения, линейно независимое с первым. Находим определитель Вронского системы решений

здесь . Применяя формулу Остроградского–Лиувилля, будем иметь

где — любое значение , причем , или ; здесь . Для нахождения получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Деля обе части этого уравнения на , приведем его к виду